精品解析：2025年福建省福州杨桥中学中考一模数学试题

2025福州杨桥中学初三数学模拟卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.） 1. 在实数，，，中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，无理数的定义，根据无限不循环小数即为无理数，进行作答即可． 【详解】解：依题意， 实数，，都不是无理数，是无理数， 故选：D 2. 近年来，我国民营企业蓬勃发展，截止2025年1月，我国民营企业数量约为万户，将万用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：万=， 故选B． 3. 下列运算中结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，幂的乘方计算，单项式除以单项式和积的乘方计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 4. 如图是一个水平放置的圆柱体，关于该几何体的三视图描述正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三个视图都不相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了画三视图的知识，熟练掌握三视图是解题的关键．根据三视图的定义判断即可． 【详解】解：该几何体的三视图中完全相同的是主视图和左视图均为长方形，俯视图是一个圆． 故选：A． 5. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，这个三角形内角和为 B. 任意画两条直线，这两条直线平行 C. 任意画两个面积相等的三角形，这两个三角形全等 D. 任意画一个五边形，这个五边形外角和为 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查随机事件，理解随机事件，必然事件，不可能事件的定义是正确判断的前提． 根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义结合具体的问题情境进行判断即可． 【详解】解：A．任意画一个三角形，这个三角形内角和为，是必然事件，因此选项A符合题意； B．任意画两条直线，这两条直线平行，是随机事件，因此选项B不符合题意； C．任意画两个面积相等的三角形，这两个三角形全等，是随机事件，因此选项C不符合题意； D．任意画一个五边形，这个五边形外角和为，是不可能事件，因此选项D不符合题意． 故选：A． 6. 如图，过正五边形的顶点A作射线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，多边形的内角和定理，过点 作，根据多边形的内角和定理，求出的度数，根据平行线的性质，进行求解即可. 【详解】解：∵正五边形， ∴， 过点 作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故选A. 7. 如图，小明想要测量学校操场上旗杆 的高度，他作了如下操作：（1）在点 处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；（2）量得测角仪的高度；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长CE交AB于F，得四边形CDBF为矩形，故CF=DB=b，FB=CD=a，在直角三角形ACF中，利用CF的长和已知的角的度数，利用正切函数可求得AF的长，从而可求出旗杆AB的长． 【详解】延长CE交AB于F，如图， 根据题意得，四边形CDBF为矩形， ∴CF=DB=b，FB=CD=a， 在Rt△ACF中，∠ACF=α，CF=b， tan∠ACF= ∴AF=, AB=AF+BF=， 故选：A． 【点睛】主要考查了利用了直角三角形的边角关系来解题，通过构造直角三角形，将实际问题转化为数学问题是解答此类题目的关键所在． 8. 《九章算术》中有一个问题大意为：五只雀、六只燕，共重1斤(等于 16两)，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的质量各为多少．若设每只雀重x两，每只燕重y两，根据题意，可列方程组为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列二元一次方程，找出两个等量关系并列出方程组即可． 【详解】解：∵五只雀、六只燕，共重1斤(等于 16两)， ∴， 又∵互换其中一只，恰好一样重，即四只雀一只燕和五只燕一只雀的重量相等， ∴， ∴可列方程组为， 故选：A． 9. 如图， 是 的直径，过圆上一点 作 的切线，交 的延长线于点，若， 的半径为2，则的长是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质，三角函数，勾股定理，连接 ，利用切线的性质得，再根据三角函数的性质由求出，即可解决问题． 【详解】解：连接 ， 是 的切线， ， ， ， 在中，， ， 故选：A． 10. 已知互不相等的实数a，b，c满足，则关于x的一元二次方程根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定根的存在情况 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，因为整理，结合，故，所以，即可作答． 【详解】解： ， ， ， ， 即， ， ， ， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求不等式的解集，掌握不等式的性质是关键．根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：， 不等式两边同时减去 得，， 系数化为1得，， 故答案为： ． 12. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向如图所示的游戏板投掷飞镖一次（击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重新投掷一次），则击中阴影区域的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是几何概率，解题关键是理解飞镖停留在阴影部分的概率就是阴影部分的面积与总面积的比值． 根据几何概率的定义：飞镖停留在阴影部分的概率就是阴影部分的面积与总面积的比值． 【详解】解： 总面积为， 其中阴影部分的面积为， 飞镖停留在阴影部分的概率是． 故答案为：． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，边AB的垂直平分线DE分别与AC、AB相交于点D、E，则△BCD的周长为______． 【答案】7 【解析】 【分析】利用勾股定理求出BC，证明DA=DB，即可解决问题． 【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=4，AB=5， ∴BC= =3， 由作图可知，DE垂直平分线段AB， ∴DA=DB， ∴△BCD的周长=BC+CD+DB=BC+CD+DA=BC+AC=3+4=7． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 14. 某科创实验小组根据小孔成像的科学原理设置了如图1所示的小孔成像实验．当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，绘制了火焰的像高 （单位：）与物距（小孔到㛭烛的距离）（单位：）的函数图象（如图2所示），为便于观察，在实验中要求火焰的像高不得低于，求小孔到蜡烛的距离至多是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据题意正确求出反比例函数的解析式是解题关键． 根据题意得到，当时，，得到小孔到蜡烛的距离至多是，即可得到答案． 【详解】解： 根据函数图象得， ， 当时，， 小孔到蜡烛的距离至多是， 故答案为：． 15. 若，则的值为_______. 【答案】1 【解析】 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，正确分解因式是解题关键．先用完全平方公式分解因式，把已知数据代入得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴原式． 故答案为：1． 16. 如图，正六边形中，依次连接部分对角线，围成新的正六边形，作此正六边形的外接圆．已知，则图中阴影部分面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆以及不规则图形面积的计算，正确添加辅助线、熟练掌握正多边形和圆的相关知识是解题的关键．根据图形可得阴影部分面积等于半径为的圆的面积减去正六边形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为 ，连接，设交于点 ， ∵，是正六边形， ∴，是等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. ∴图中阴影部分面积为 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算．根据零指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值进行计算即可求解． 【详解】解： ． 18. 如图，平行四边形 的对角线， 相交于点 ，过点 且与 、 分别交于点 、．求证：． 【答案】 证明： 四边形 为平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及三角形的全等证明，根据平行四边形的性质，证明，即可得到．掌握平行四边形的性质得到全等三角形是解题的关键． 【详解】略 19. 先化简，再求值，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，先计算小括号，再因式分解约分化到最简，最后代入数值求解即可得到答案； 【详解】解：， 当时，原式=． 20. 甲、乙、丙三位射击爱好者进行了十次打靶射击，靶图中圆环内每个点代表此次打靶的成绩，从外到内每个圆环内的点依次对应获得1到10分的成绩，脱靶记为0分，圆环上的点算内环成绩（例如，处于9分环和10分环之间圆环上的点算10分）． 三人成绩的平均数和中位数统计表 爱好者 甲 乙 丙 平均数 x 中位数 y 8 6 同时，三人的具体成绩统计如下：甲的成绩：4，9，10，10，10，9，10，9，9，8． 乙的成绩：8，8，7，8，7，8，7，8，8，8． 丙的成绩：3，8，5，3，7，2，7，6，8，10． 根据以上信息，回答下列问题： （1）由靶图可知，成绩最稳定的是________（填“甲”、“乙”或“丙”）； （2）统计表中________，________； （3）小明通过研究发现：甲、乙、丙三人的成绩中有一人的成绩，无论对其中哪一个数据进行改变（仅改变一个数值，数据个数不变），此人成绩的中位数和众数都不会变化？请结合数据说明此人是谁． 【答案】（1）乙 （2）；9 （3）解：乙，理由如下 据乙的成绩分析：由于8出现的次数有7次，7出现3次，无论改变其中哪个数据，8至少有6次，仍然最多，且中间两个数还是8，所以中位数和众数依然还是8，所以乙符合． 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，众数和平均数，熟知中位数和众数的定义是解题的关键． （1）根据靶图可知乙的射击成绩最集中，据此可得答案； （2）根据平均数和中位数的定义求解即可； （3）无论改变乙中哪个数据，8至少有6次，仍然最多，且中间两个数还是8，所以中位数和众数依然还是8，据此可得结论． 【小问1详解】 解：由靶图可知，乙的射击成绩最集中，即稳定性最好； 【小问2详解】 解：由题意得，甲的平均数为，即 把甲的10次射击成绩按照从低到高排列为4，8，9，9，9，9，10，10，10，10，处在最中间的两个数分别为9，9，则甲的中位数为，即； 【小问3详解】 略 21. 如图，已知直线． （1）在，所在的平面内求作直线 ，使得，且 与间的距离恰好等于 与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（）的条件下，若与间的距离为4，点， ， 分别在 ，，上，且 以为直角的等腰直角三角形，求 的面积． 【答案】（1） 如图，直线 即为所求作的直线； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了基本作图，垂直平分线的性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先作出与的垂线，再作出夹在中间垂线段的垂直平分线即可； （ ）由与间的距离为，，，设，然后用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：如图，直线 即为所求作的直线； 【小问2详解】 解：如图 ，与间的距离为，，， 设， 则，解得， ∴． 22. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM． （1）求证：BM=CM； （2）当⊙O的半径为2时，求的长．（结果保留π） 【答案】（1）证明： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=CD， ∴， ∵M 为中点， ∴ ， ∴ ， ∴BM＝CM； （2）． 【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，得到AB=CD，从而有，进一步得到 ，从而得到结论； （2）连接OM，OB，OC．由，得到∠BOM=∠COM，由正方形ABCD内接于⊙O，得到∠BOC=90，进而得到∠BOM=135°，由弧长公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接OM，OB，OC． ∵， ∴∠BOM=∠COM， ∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴∠BOC=360°÷4=90°， ∴∠BOM=135°， ∴ = ． 23. 我们知道能被3整除的数的规律，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数就能被3整除． 例如，三位数108，，9可以被3整除， 108就能被3整除． 【发现】将三位数去掉末尾数字得到两位数，再用减去的2倍所得的差为．若能被7整除，则三位数就能被7整除． 【验证】如，对于三位数364，，28可以被7整除， 364就能被7整除． （1）用上述方法判断455能否被7整除？ 【探究】（2）请用含，，的代数式表示 ； （3）结合（2）论证“发现”中的结论正确． 【迁移】（4）下列结论正确的是 ．（填序号） ①在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ②在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ③在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； 【答案】（1）455能被7整除；（2）；（3）见解析；（4）① 【解析】 【分析】本题考查了数的整除、整式加减的应用、有理数的混合运算、列代数式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出，结合能够被整除即可得解； （2）根据题意表示出代数式即可； （3）由（2）可得，由题意可得（ 为整数），推出，表示出，即可得解； （4）仿照（3）的方式逐项分析即可得解． 【详解】解：（1）∵，能够被整除； ∴455能被7整除； （2）由题意可得：； （3）由（2）可得， ∵能被7整除， ∴（ 为整数）， ∴， ∴， ∴三位数能被7整除； （4）①， ∵是11的倍数， ∴（ 为整数）， ∴， ∴， ∴是11的倍数；故①正确； ②， ∵是11的倍数， ∴（ 为整数）， ∴， ∴，不一定是11的倍数，故②错误； ③， ∵是11的倍数， ∴（ 为整数）， ∴， ∴，不一定是11的倍数，故③错误； 综上所述，正确的是①． 24. 综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线 的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 ______ ______ ______ 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知 的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______． 【变式思考】 （2）已知 的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 【拓展运用】 （3）如图④， 中，，点D在边上，．以点C为圆心， 长为半径作弧与线段 相交于点E，过点E作任意直线与边 ，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？ 【答案】（1） 图序 角平分线 的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 ， （2）猜想：，理由如下： 如图，延长 至 使，连接 ，过 作于，延长 交 于， ∵， 平分， ∴为等边三角形，，， 设，， ∴，，而， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：， ∴； ， ∴； （3）是定值 补全图形如图所示： 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 如图，过点 作于，于，过点作于， ， ， ，，， ， 在中，， ， ， ， ， ， 由 是确定的，由作图可得 为定长，而和为定值， 为定值， 即为定值． 【解析】 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值分别计算，再填表即可；再由可得结论； （2）如图，延长 至 使，连接 ，过 作于，延长 交 于，证明为等边三角形，，，设，，利用相似三角形的性质求解，再进一步可得； （3）根据题目要求画图，设，运用等腰三角形性质和三角形内角和定理可求得，过点 作于，于，过点作于，利用，即可求得答案． 【详解】解：（1）∵， 是 的角平分线，， ∴， ∴； ∴，； 如图，由（1）可得：， ∴， ∴，， ∴； （2）略 （3）略 【点睛】本题属于实际探究题，考查了类比方法的应用，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的灵活应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 25. 已知二次函数 （1）当时 ①求二次函数与坐标轴的交点坐标． ②若点是二次函数图象上的点，且，求的最小值． （2）若点和在二次函数图象上，且点 在对称轴的左侧，求证：． 【答案】（1）①，；；②的最小值为； （2） 证明： 二次函数， 二次函数对称轴为直线， 点C在对称轴的左侧， ，即， 点和在二次函数图象上， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴交点情况，二次函数最值情况，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）①将代入中，得到二次函数解析式，再当时，有，求解该方程，即可解题； ②根据题意得到，利用二次函数解析式表示出，进而得到，再结合二次函数最值情况求解，即可解题； （2）根据题意得到二次函数对称轴为直线，进而推出，再分别表示出，进而表示出，再结合求解，即可解题． 【小问1详解】 解：①当时，， 当时，有， 解得，， 二次函数图象与x轴的交点坐标为，； 当 时，有， 二次函数图象与y轴的交点坐标为； ② 点是二次函数图象上的点，且， ， ，， ， ， 的最小值为； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025福州杨桥中学初三数学模拟卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.） 1. 在实数，，，中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 近年来，我国民营企业蓬勃发展，截止2025年1月，我国民营企业数量约为万户，将万用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一个水平放置的圆柱体，关于该几何体的三视图描述正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三个视图都不相同 5. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，这个三角形内角和为 B. 任意画两条直线，这两条直线平行 C. 任意画两个面积相等的三角形，这两个三角形全等 D. 任意画一个五边形，这个五边形外角和为 6. 如图，过正五边形的顶点A作射线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他作了如下操作：（1）在点处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；（2）量得测角仪的高度；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中有一个问题大意为：五只雀、六只燕，共重1斤(等于 16两)，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的质量各为多少．若设每只雀重x两，每只燕重y两，根据题意，可列方程组为( ) A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，过圆上一点作的切线，交的延长线于点 ，若，的半径为2，则的长是（ ） A. B. C. D. 2 10. 已知互不相等的实数a，b，c满足，则关于x的一元二次方程根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定根的存在情况 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 不等式的解集是______． 12. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向如图所示的游戏板投掷飞镖一次（击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重新投掷一次），则击中阴影区域的概率是__________． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，边AB的垂直平分线DE分别与AC、AB相交于点D、E，则△BCD的周长为______． 14. 某科创实验小组根据小孔成像的科学原理设置了如图1所示的小孔成像实验．当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，绘制了火焰的像高 （单位：）与物距（小孔到㛭烛的距离） （单位：）的函数图象（如图2所示），为便于观察，在实验中要求火焰的像高不得低于，求小孔到蜡烛的距离至多是_____． 15. 若，则的值为_______. 16. 如图，正六边形中，依次连接部分对角线，围成新的正六边形，作此正六边形的外接圆．已知，则图中阴影部分面积为________． 三、解答题（本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 如图，平行四边形的对角线 ，相交于点，过点且与、分别交于点 、．求证：． 19. 先化简，再求值，其中． 20. 甲、乙、丙三位射击爱好者进行了十次打靶射击，靶图中圆环内每个点代表此次打靶的成绩，从外到内每个圆环内的点依次对应获得1到10分的成绩，脱靶记为0分，圆环上的点算内环成绩（例如，处于9分环和10分环之间圆环上的点算10分）． 三人成绩的平均数和中位数统计表 爱好者 甲 乙 丙 平均数 x 中位数 y 8 6 同时，三人的具体成绩统计如下：甲的成绩：4，9，10，10，10，9，10，9，9，8． 乙的成绩：8，8，7，8，7，8，7，8，8，8． 丙的成绩：3，8，5，3，7，2，7，6，8，10． 根据以上信息，回答下列问题： （1）由靶图可知，成绩最稳定的是________（填“甲”、“乙”或“丙”）； （2）统计表中________，________； （3）小明通过研究发现：甲、乙、丙三人的成绩中有一人的成绩，无论对其中哪一个数据进行改变（仅改变一个数值，数据个数不变），此人成绩的中位数和众数都不会变化？请结合数据说明此人是谁． 21. 如图，已知直线． （1）在，所在的平面内求作直线 ，使得，且 与间的距离恰好等于 与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（ ）的条件下，若与间的距离为4，点 ， ，分别在 ，，上，且 以为直角的等腰直角三角形，求 的面积． 22. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM． （1）求证：BM=CM； （2）当⊙O的半径为2时，求的长．（结果保留π） 23. 我们知道能被3整除的数的规律，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数就能被3整除． 例如，三位数108，，9可以被3整除，108就能被3整除． 【发现】将三位数去掉末尾数字 得到两位数，再用减去 的2倍所得的差为．若能被7整除，则三位数就能被7整除． 【验证】如，对于三位数364，，28可以被7整除，364就能被7整除． （1）用上述方法判断455能否被7整除？ 【探究】（2）请用含 ，， 的代数式表示 ； （3）结合（2）论证“发现”中的结论正确． 【迁移】（4）下列结论正确的是 ．（填序号） ①在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ②在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ③在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； 24. 综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 ______ ______ ______ 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知 的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______． 【变式思考】 （2）已知 的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 【拓展运用】 （3）如图④， 中，，点D在边 上，．以点C为圆心，长为半径作弧与线段相交于点E，过点E作任意直线与边，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？ 25. 已知二次函数 （1）当时 ①求二次函数与坐标轴的交点坐标． ②若点是二次函数图象上的点，且，求的最小值． （2）若点和在二次函数图象上，且点在对称轴的左侧，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $