精品解析：河南省洛阳市新安县实验初级中学2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试题

2024-2025学年度八年级综合素养评估（七） 数学 ▶下册16.1-19.2◀ 注意事项：共三大题，23小题，满分120分，答题时间100分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点P坐标是（ ） A B. C. D. 2. 维生素D有助于身体吸收钙和磷．成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线过点，，则关于的方程的解是（ ） A. B. C. D. 5. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力阻力臂=动力动力臂”．若已知某杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力和动力臂之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，点在边上，以，为边作，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ） A. 5 B. 10 C. D. 8. 如图，在矩形中，，，为边上一点，平分，则的长为（ ） A. 7 B. 5 C. 2 D. 1 9. 如图，两张等宽的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形．若测得，两点之间的距离为，，两点之间的距离为，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第一象限的角平分线上．若矩形从如图所示的位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，则旋转的第2025秒时，点所对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第二、三、四象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式：________． 12. 如图，这是汽车常备的一种千斤顶的示意图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，的度数为________． 13. 如图，在四边形中，，，．动点从点出发，以的速度向点运动．同时，动点从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，当运动时间______时，四边形为平行四边形． 14. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，是轴上的一点．若的面积为2，则的值为________． 15. 如图，在中，，，是边上的一个动点，以为对角线作平行四边形，则的最大值为________，最小值为________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算： （2）化简：． 17. 如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，，相交于点，且，连接，，求证：四边形平行四边形． 18. 已知：如图，在矩形中，对角线与相交于点O，点M，P，N，Q分别在上，且．求证：四边形是矩形． 19. 阅读与思考 下面是小亮同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 今天是2025年3月28日（星期五），在下午实践活动课上，我们小组的同学参加了一次“探索压力一定时，压强与受力面积之间的函数关系”的数学活动． 第一步：如图，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录相应的桌面所受的压强与受力面积． 第二步：数据整理．收集记录的数据如下表． 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 受力面积 桌面所受的压强 300 200 150 120 80 75 第三步：在数据分析中，我们发现一组数据可能有明显错误，我们对此重新进行了实验，并证明了我们的猜想是正确的，于是对数据进行了修改．实验结束后，大家有很多收获，每个人都撰写了数学日记． 任务： （1）你认为表中哪组数据是明显错误的？请写出是哪组，并求出关于的函数表达式． （2）如果要求压强不超过，那么长方体的受力面积至少为多少？请直接写出答案． 20. 在学习了平行四边形的相关知识后，小明进行了更深入的研究．他发现，过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，解答下列问题． （1）如图，在平行四边形中，是对角线的中点．用无刻度的直尺和圆规过点作，分别交，于点，，连结，．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 21. 如图，在四边形中，，点在边上，且． （1）求证：． （2）若，，，，求线段的长． 22. 直播带货是指通过一些互联网平台，使用直播技术进行商品线上展示、咨询答疑、导购销售的新型服务方式．某企业为开启网络直播带货的新篇章，购买，两种型号的直播设备．已知型号设备的单价是型号设备单价的倍，且用元购买型号设备的数量比用元购买型号设备的数量少台． （1）求，两型号设备的单价． （2）若该企业计划购买两种设备共台，且要求型号设备数量不少于型号设备的数量的一半．设购买型号设备台，总费用为，问总费用最少是多少元? 23. 【观察发现】 如图1，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【探究迁移】 （1）如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点． ①的度数为________． ②，是正比例函数的图象上的两个动点，连接，．若，，则的最小值是________． （2）如图3，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点．将直线绕点顺时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式． 【拓展应用】 （3）如图4，点在轴正半轴上，，是直线上的动点，是轴上的动点．若是以动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度八年级综合素养评估（七） 数学 ▶下册16.1-19.2◀ 注意事项：共三大题，23小题，满分120分，答题时间100分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，掌握点的坐标的定义是解答本题的关键． 根据点的坐标的定义判断即可． 【详解】解：由图可得，点P的横坐标是，纵坐标是，故点P的坐标为． 故选：D． 2. 维生素D有助于身体吸收钙和磷．成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：数据“0.0000046”用科学记数法表示为， 故选：D． 3. 如图，在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．根据题意得到，推出，进而得到，再结合，求出即可得到结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4. 如图，直线过点，，则关于的方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，由直线过点即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵直线过点， ∴关于的方程的解是， 故选：C． 5. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力阻力臂=动力动力臂”．若已知某杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力和动力臂之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用．直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而得出动力F关于动力臂l的函数关系式，从而确定其图象即可． 【详解】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，阻力和阻力臂分别是和， ∴动力F和动力臂l之间的函数解析式为， 则，是反比例函数， 又∵动力臂， 故选：B． 6. 如图，在中，，，点在边上，以，为边作，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，平行四边形的性质，根据等边对等角，求出的度数，平行线的性质，求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 7. 反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ） A. 5 B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据，且，即可作答． 【详解】解：∵， 结合图象，得， 故选：A 8. 如图，在矩形中，，，为边上一点，平分，则的长为（ ） A. 7 B. 5 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，角平分线定义，正确求得的长是关键．根据平行线的性质以及角平分线的定义证明，根据等角对等边，即可求得的长，在直角中，利用勾股定理求得的长，则的长即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 又， ， ， 在直角中，， ． 故选：C． 9. 如图，两张等宽的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形．若测得，两点之间的距离为，，两点之间的距离为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题考查了菱形的判定和性质，先证明四边形是菱形，再利用菱形的性质即可解答，证明是菱形是解题的关键． 【详解】解：两张等宽的矩形纸条交叉重叠， ， 四边形为平行四边形， 等宽， 平行四边形中边上的高等于边上的高， 根据面积公式可得， 平行四边形是菱形， 如图，连接交于点，则， ， , 故选：D． 10. 如图，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第一象限的角平分线上．若矩形从如图所示的位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，则旋转的第2025秒时，点所对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，每秒的速度顺时针旋转，故，故8秒完成一个循环，进而得到旋转的第2025秒时，点所对应的点的坐标与旋转1秒时相同，根据旋转1秒时，恰好落在x轴的正半轴上，且，即可求解． 本题考查了矩形的性质，旋转的性质，坐标规律题，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，每秒的速度顺时针旋转，故，故8秒完成一个循环， ，即旋转的第2025秒时，点所对应的点的坐标与旋转1秒时相同， 对角线在第一象限的角平分线上， 得到旋转1秒时，恰好落在x轴的正半轴上， 根据矩形的性质，得， 故点所对应的点的坐标为． 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第二、三、四象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，先根据一次函数的图象经过二、三、四象限判断出及的符号，再写出符合条件的一次函数解析式即可，根据题意判断出的符号是解答此题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴，， ∴符合该条件的一次函数的表达式为， 故答案为：． 12. 如图，这是汽车常备的一种千斤顶的示意图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据菱形的性质，解答即可． 本题考查了菱形性质，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在四边形中，，，．动点从点出发，以的速度向点运动．同时，动点从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，当运动时间______时，四边形为平行四边形． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，由题意可得，，进而根据平行四边形的判定列出方程解答即可求解，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即， 解得， 故答案为：． 14. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，是轴上的一点．若的面积为2，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，正确理解反比例函数的几何意义是解答本题的关键，连结，，设与y轴相交于点D，由轴可得，再根据反比例函数的几何意义，即可求得答案． 【详解】解：连结，，设与y轴相交于点D， ∵轴， ∴， 又∵， ∴， ∵反比例函数位于第二象限， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，是边上的一个动点，以为对角线作平行四边形，则的最大值为________，最小值为________． 【答案】 ①. 8 ②. 【解析】 【分析】本题考查是平行四边形的性质，垂线段最短，等腰三角形的性质，勾股定理，根据平行四边形的性质得出当时, 最小，然后连接，利用等腰三角形的性质得出，再由勾股定理及三角形等面积法即可求解；点P在A点时，最大为，根据解答即可． 【详解】解：设与交于点，连接, ∵四边形是平行四边形， ∴, ∵ 是边上的一个动点， ∴当时, 最小， ， ， ， ， ，即， 解得， ； 当点P在A点时，最大为， 这时， 故答案为：8；． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算： （2）化简：． 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、分式的混合运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用绝对值、零指数幂、负整数指数幂的性质化简，再合并即可； （2）利用分式的运算法则化简即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，，相交于点，且，连接，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，根据平行四边形的性质得出，根据平行线的性质得出，，进而结合，证明得出，根据一组对边平行且相等，即可证四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，则， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 18. 已知：如图，在矩形中，对角线与相交于点O，点M，P，N，Q分别在上，且．求证：四边形矩形． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】证明MP∥AB；同理可证QN∥CD；证明MP∥QN，MQ∥PN，得到四边形MPNQ是平行四边形；证明∠MPN=90°即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°；AC=BD，AO=AC，BO=BD； ∴AO=BO；而AM=BP， ∴AM：AO=BP：BO， ∴MP∥AB； 同理可证：QN∥CD； ∵AB∥CD， ∴MP∥QN； 同理可证：MQ∥PN， ∴四边形MPNQ是平行四边形； ∵MP∥AB，PN∥BC，∠ABC=90°， ∴∠MPN=90°， ∴四边形MPNQ是矩形． 【点睛】该题主要考查了矩形判定及其性质的应用问题，灵活运用矩形的判定及其性质是解题的关键． 19. 阅读与思考 下面是小亮同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 今天是2025年3月28日（星期五），在下午实践活动课上，我们小组的同学参加了一次“探索压力一定时，压强与受力面积之间的函数关系”的数学活动． 第一步：如图，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录相应的桌面所受的压强与受力面积． 第二步：数据整理．收集记录的数据如下表． 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 受力面积 桌面所受的压强 300 200 150 120 80 75 第三步：在数据分析中，我们发现一组数据可能有明显错误，我们对此重新进行了实验，并证明了我们的猜想是正确的，于是对数据进行了修改．实验结束后，大家有很多收获，每个人都撰写了数学日记． 任务： （1）你认为表中哪组数据是明显错误的？请写出是哪组，并求出关于的函数表达式． （2）如果要求压强不超过，那么长方体的受力面积至少为多少？请直接写出答案． 【答案】（1）第五组； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）计算两个变量的乘积，判定第五组乘积不同，根据乘积为定值，构成反比例函数，写出解析式即可． （2）如果要求压强不超过，那么长方体的受力面积至少为多少？请直接写出答案． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 只有第五组，显然错误， 根据题意，反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：由， 当时， ． 故面积最小为． 20. 在学习了平行四边形的相关知识后，小明进行了更深入的研究．他发现，过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，解答下列问题． （1）如图，在平行四边形中，是对角线的中点．用无刻度的直尺和圆规过点作，分别交，于点，，连结，．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据垂线的尺规作图解答即可． （2）根据菱形的性质解答． 【小问1详解】 解：根据垂线的基本作图，画图如下： 则四边形即为所求． 【小问2详解】 证明：根据基本作图，得 直线是线段的垂直平分线， 故， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了垂线的基本作图，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 21. 如图，在四边形中，，点在边上，且． （1）求证：． （2）若，，，，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）线段的长为 【解析】 【分析】（1）由平行线的判定定理得到，再由平行四边形的判定与性质即可得证； （2）由菱形的判定得到是菱形，设菱形的边长为，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 证明：， ， ， 四边形是平行四边形， ； 【小问2详解】 解：由（1）知，四边形是平行四边形， ， 是菱形， 设菱形的边长为， ， ， 在中，，，，则由勾股定理可得，即， 解得，则线段的长为． 【点睛】本题考查四边形综合，涉及平行线的判定、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理及解方程等知识．熟练掌握平行四边形的判定、菱形的判定与性质是解决问题的关键． 22. 直播带货是指通过一些互联网平台，使用直播技术进行商品线上展示、咨询答疑、导购销售的新型服务方式．某企业为开启网络直播带货的新篇章，购买，两种型号的直播设备．已知型号设备的单价是型号设备单价的倍，且用元购买型号设备的数量比用元购买型号设备的数量少台． （1）求，两型号设备的单价． （2）若该企业计划购买两种设备共台，且要求型号设备的数量不少于型号设备的数量的一半．设购买型号设备台，总费用为，问总费用最少是多少元? 【答案】（1）型号设备的单价为元，型号设备的单价为元 （2）元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． （）设型号设备的单价为元，则型号设备的单价为元，根据题意列出方程即可求解； （）根据题意列出不等式求出的取值范围，再根据题意求出与的一次函数关系式，最后根据一次函数的性质解答即可求解； 【小问1详解】 解：设型号设备的单价为元，则型号设备的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：型号设备的单价为元，型号设备的单价为元； 【小问2详解】 解：∵型号设备的数量不少于型号设备的数量的一半， ∴， 解得， 又由题意得，， ∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴当时，取最小值，元， 答：总费用最少是元． 23. 【观察发现】 如图1，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【探究迁移】 （1）如图2，平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点． ①的度数为________． ②，是正比例函数的图象上的两个动点，连接，．若，，则的最小值是________． （2）如图3，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点．将直线绕点顺时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式． 【拓展应用】 （3）如图4，点在轴的正半轴上，，是直线上的动点，是轴上的动点．若是以动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）①②8（2）（3）或 【解析】 【分析】（1）①根据解析式确定，，得到，解答即可． ②根据垂线段最短，得到时，取得最小值，利用三角形全等判定证明，利用勾股定理解答即可． （2）过点D作于点D，过点D作轴于点F，过点B作于点E，则四边形为矩形，根据一线三直角全等模型解答即可． （3）分在x轴的上方，下方，结合全等模型解答即可． 【详解】（1）解：①∵直线与轴、轴分别交于，两点． ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． ②解：根据垂线段最短，得到时, 取得最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：8． （2）解：过点D作于点D，过点D作轴于点F，过点B作于点E， 则四边形为矩形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点， ∴，， ∴， ∴， 解得． ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴解析式为． （3）解：当在x轴的上方时，过点P作于点M， 根据题意，得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是直线上的动点， 设， ∴，， 解得， 故； 当在x轴的下方时，过点P作于点N， 同理可证， ∴， ∵，是直线上的动点， 设， ∴，， 解得， 故； 综上所述，所有符合条件的点的坐标或． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，垂线段最短，待定系数法，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$