5.1二元一次方程和它的解 练习 2024-2025学年北京版（2024）数学七年级下册

5.1二元一次方程和它的解 练习 一、单选题 1．若是方程的解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 2．已知是方程的一个解，则的值是（   ） A．3 B． C．4 D． 3．下列是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 4．已知方程是关于，的二元一次方程，则的值是（    ） A．1 B．0 C． D．1或 5．下列方程中：①；②；③；④；⑤．是二元一次方程的是（   ） A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④ 6．小明将一张100元的纸币换成若干张10元和20元的纸币（两种都换），则置换方案共有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 7．已知，，，下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 8．若是方程的一个解，则a的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 9．已知是关于的二元一次方程的解，则代数式的值是（　　） A．1 B．1 C． D． 10．使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）与不等式（组）的“同频解”．如是方程与不等式的“同频解”；则以下说法正确的是（   ） 方程与不等式有且仅有一个负整数“同频解”； 是与的“同频解”，则； 存在整数使得方程的所有解均是其与的“同频解”； A．个 B．个 C．个 D．个 11．方程是二元一次方程，请你推断m的值属于下列情况中的（    ） A．不可能是 B．不可能是 C．不可能是1 D．不可能是2 12．年月，为推进文旅产业赋能乡村振兴，推动乡村高质量发展，铁锋区举办了文旅宣传推介会活动，计划用元购买蛋糕和矿泉水供游客食用．已知一箱蛋糕元，一箱矿泉水元，蛋糕和矿泉水的用量均不能低于箱，且在钱都用完的情况下，购买方案共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 二、填空题 13．已知关于x，y的方程是二元一次方程，则 ． 14．若是关于，的二元一次方程，那么的值为 ． 15．关于，的二元一次方程，且当时，． （1）的值是 ； （2）当时，对于每一个的值，关于的不等式总成立，则的取值范围是 ． 16．写出一个解为的二元一次方程 . 三、解答题 17．一个三角形的边长和周长如图所示． (1)请列出关于未知数的方程； (2)若，求的值． 18．兴庆宫公园是西安市最大的城市公园，拥有优美的自然风光和精致的园林景观，是市民游玩休闲的好地方．星光中学李老师组织七（1）班48名学生假期去兴庆宫公园划船游玩，已知公园内有四座电动船和六座电动船可供租用，若每条船均坐满，且每种船型至少租一条，请你求出所有可行的租船方案． 19．有一段6000米的道路由甲、乙两个工程队负责完成，已知甲工程队每天完成600米，乙工程队每天完成300米，若甲队先单独工作若干天，再由甲、乙两工程队合作完成剩余的任务，设两工程队合作施工天． (1)用含的代数式表示甲队单独工作天数； (2)如果甲队每天需工程费7000元，乙队每天需工程费5000元，且支付工程队总费用不超过79000元，请列不等式求出的最大值． 20．学校组织甲、乙两支队伍共75位学生，参加文艺演出，并购买演出服（每人一套），下表是服装厂给出的演出服价格表： 购买服装的套数 套（含39套） 套（含69套） 70套及以上 每套服装的价格 80元 70元 60元 甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队．若甲乙两队分别各自购买演出服，两队共需花费5600元，请回答下列问题： (1)如果甲、乙两队联合起来购买演出服，那么比各自分别购买节省__________元； (2)甲、乙两队各有多少位学生？ (3)现从甲、乙两队分别抽调一部分学生去福利院演出（要求两队抽调的人数均不为0），并在演出后与小朋友们开展“心连心活动”．若甲队每位学生对接3位小朋友，乙队每位学生对接4位小朋友，恰好使得60位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖，共有几种抽调方案？请列举出来． 《5.1二元一次方程和它的解 练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A A A B D D B B 题号 11 12 答案 D C 1．B 【分析】本题考查了已知二元一次方程的解求参数，解题关键是理解二元一次方程的解的概念. 将解代入方程，转化为关于待定字母的方程求解即可. 【详解】解：将代入， ，解得：， 故选B 2．C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解本题的关键． 把代入方程，建立关于m的方程，求解即可． 【详解】解：把代入方程，得 ， 解得：， 故选：C． 3．A 【分析】本题考查了二元一次方程，掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 根据含有两个未知数，且未知项的次数都为1次的整式方程叫二元一次方程，逐项判断即可． 【详解】解：A、是二元一次方程，故此选项符合题意； B、是二元二次方程，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； C、是二元二次方程，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； D、是分式方程，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 4．A 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据只含有2个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，据此进行求解即可． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴且， ∴， 故选：A． 5．A 【分析】本题考查了二元一次方程，含有两个未知数，且两个未知数的次数都为的整式方程叫二元一次方程．据此逐一判断即可． 【详解】解：方程：②，不是整式方程，不是二元一次方程， ③，未知数的次数不都为，不是二元一次方程， ④，含未知数的项的次数不为，不是二元一次方程， ①；⑤，符合二元一次方程的定义． 故选：A． 6．B 【分析】此题考查了二元一次方程的应用，设兑换成10元x张，20元的零钱y元，根据题意列出二元一次方程，进而求解即可． 【详解】设兑换成10元x张，20元的零钱y元， 由题意得：， 整理得：， 方程的整数解为：，，，． 因此兑换方案有4种， 故选：B． 7．D 【分析】先用c的代数式表示a，b，后根据条件解答即可．本题考查了解方程组，解不等式． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 解得． 故选：D． 8．D 【分析】本题考查了二元一次方程的解的概念，解一元一次方程，理解方程的解的概念是解题的关键． 将方程的解代入原方程中，解关于的一元一次方程即可求解． 【详解】解：将代入得： ， 解得：， 故选：D． 9．B 【分析】此题考查了二元一次方程的解和求代数式的值．把二元一次方程的解代入方程，再利用整体代入求值即可．熟练掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：把代入方程， 得：， ， ． 故选：B． 10．B 【分析】本题考查了方程与不等式或不等式组的关系，根据方程与不等式或不等式组的关系逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由方程得：， 则不等式， ∴， ∵，且负整数， ∴此时无解，原选项错误，不符合题意； 由得：，代入得， ， 解得：， 由， ∴∵是与的“同频解”， ∴， ∴， ∴，原选项正确，符合题意； 由得，， 代入与得，， 整理得：， 若不等式对所有成立，则系数必须为， ∴，解得：，与题意矛盾，则原选项错误，不符合题意； 综上可得正确，共个， 故选：． 11．D 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，其中含x的一次项的系数不等于0，注意首先要化为一般形式．二元一次方程就是只含有两个未知数，并且未知数的项的最高次数是1的整式方程，根据定义求解． 【详解】方程可化为即， 根据题意，得， 则的值一定不可能是． 故选：D． 12．C 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设购买了箱蛋糕，箱矿泉水，由题意可得，解方程即可求解，正确求出二元一次方程的解是解题的关键． 【详解】解：设购买了箱蛋糕，箱矿泉水， 由题意得，， ∴， ∵，，且为整数， ∴或或或， ∴购买方案共有种， 故选：． 13． 【分析】此题主要考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是，像这样的方程叫做二元一次方程可得且，即可求解． 【详解】解：关于，的方程是二元一次方程， 且， ，， ． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，据此可得且，再进一步解答即可． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 15． 2 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，二元一次方程的解、已知字母的值，求代数式的值，正确求解是解题的关键． （1）将的值代入进去即可求得结果； （2）解有关的不等式，再根据恒成立求有关的不等式． 【详解】解：（1）∵当时，， ∴， 解得：， 故答案为：2； （2）由（1）可得， ∴， 解得：， ∵当时，对于每一个的值，关于的不等式总成立， ∴， 解得：， 故答案为：． 16．（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．取方程，将x，y的值相加，即可得出结论． 【详解】解：， ， 是二元一次方程的一个解． 故答案为：（答案不唯一）． 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查了列二元一次方程，解一元一次方程，准确识图、弄清题意是解题的关键． （1）根据三角形的周长列出方程即可； （2）把代入，解关于b的一元一次方程即可． 【详解】（1）解：∵三角形的周长为10， ∴； （2）解：把代入，得： ， 解得． 18．所有可行的租船方案有三种：租用3条四座电动船，6条六座电动船；租用6条四座电动船，4条六座电动船；租用9条四座电动船，2条六座电动船 【分析】本题考查二元一次方程的应用．设租用条四座电动船，条六座电动船，列二元一次方程组求出整数解即可解题． 【详解】解：设租用条四座电动船，条六座电动船， 则有：， ． 为正整数，且， 或或， 故所有可行的租船方案有以上三种，即租用3条四座电动船，6条六座电动船；租用6条四座电动船，4条六座电动船；租用9条四座电动船，2条六座电动船． 19．(1)甲队单独工作天数为天 (2)6 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，正确理解题意列出关系式是解答本题的关键． （1）设甲队单独工作t天，根据“甲队先单独工作若干天，再由甲、乙两工程队合作完成剩余的任务，设两工程队合作施工天，共修6000米长”列出二元一次方程求解即可； （2）根据支付工程队总费用不超过79000元列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲队单独工作t天，根据题意得， ， 解得，， 所以，甲队单独工作天数为天； （2）解：根据题意得，， 化简得， 解得，， 所以，的最大值为6． 20．(1) (2)甲队有40人，乙队有35人 (3)一共有四种抽调方案：方案一，甲队抽调4人，乙队抽调12人；方案二，甲队抽调8人，乙队抽调9人；方案三，甲队抽调12人，乙队抽调6人；方案四，甲队抽调16人，乙队抽调3人． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式组求解是解题的关键． （1）计算出甲、乙两队联合起来购买演出服的费用即可得到答案； （2）设甲队有x人，则乙队有人，先根据甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队列出不等式组求出x的取值范围，再讨论x的取值范围并根据价格表建立方程讨论求解即可； （3）设从甲队抽调m人，从乙队抽调n人，由题意得，，求出此方程的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，甲、乙两队联合起来购买演出服的费用为元， ∵元， ∴如果甲、乙两队联合起来购买演出服，那么比各自分别购买节省元； （2）解：设甲队有x人，则乙队有人， ∵甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队， ∴， ∴且x为正整数， 当时，则， ∴，此时方程无解，不符合题意； 当时，则 ∴， 解得， ∴， 综上所述，甲队有40人，则乙队有35人， 答：甲队有40人，乙队有35人； （3）解：设从甲队抽调m人，从乙队抽调n人， 由题意得，， ∴， ∵m、n为正整数， ∴是正整数，即是正整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴一共有四种抽调方案：方案一，甲队抽调4人，乙队抽调12人；方案二，甲队抽调8人，乙队抽调9人；方案三，甲队抽调12人，乙队抽调6人；方案四，甲队抽调16人，乙队抽调3人． 学科网（北京）股份有限公司 $$