精品解析：福建省漳州市诏安县某校2024-2025学年八年级下学期第二次月考数学试题

2024-2025下学期第二次质量监测八年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共40分) 1. 要使分式有意义，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 将多项式因式分解时，应提取的公因式是 A. B. C. D. 3. 如图，在四边形中，连接、，，，则有（ ） A. 与互相垂直平分 B. 垂直平分 C. 垂直平分 D. 平分 4. 若把分式中的和都扩大为原来的倍，那么分式的值（　　） A. 扩大为原来的倍 B. 扩大为原来的倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 5. 已知在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，若，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若的三边长a，b，c满足，则是（　　） A. 等边三角形或直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 7. 甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作．从第三个工作日起，乙志愿者加入此项工作，且甲、乙两人工作效率相同，结果提前3天完成此项工作．设甲志愿者计划完成此项工作需用x天，用方程表示问题中的数量关系为（ ）． A. B. C. D. 8. 如果是多项式的一个因式，则k的值为（ ） A. -4 B. 4 C. 5 D. 8 9. 如图，将绕顶点C旋转得到，且点B刚好落在上，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点A在第一象限内，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，共24分) 11. 已知，，则的值为_________． 12. 若分式的值为零，则x的值是______． 13. 点向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得到点的坐标为______． 14. 若解关于的分式方程不会产生增根，则的取值为_________． 15. 如图，一次函数与的图象的交点坐标为．则关于的不等式的解集为____________． 16. 如图，在中，的面积是的垂直平分线分别交边于两点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小作为_______． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．） 17. 因式分解：． 解分式方程∶． 18. 求代数式的值，其中． 19. 如图，，，于点E，于点D，求证：． 20. 已知． （1）将A进行因式分解． （2）若，求的值． 21. 观察下列式子的因式分解做法： ①； ②； ③；… （1）模仿以上做法，尝试对进行因式分解； （2）观察以上结果，猜想：______；（n为正整数） （3）根据以上结论，试求的值 22. 阅读并解答：若多项式中有因式，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为， （1）已知：二次三项式有一个因式是，则 m的值为______． （2）已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值． （3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 23. 国产电影《哪吒之魔童闹海》成为全球动画电影票房冠军，其电影周边产品同样火爆．小李计划购买某种周边产品进行销售，现有甲、乙两个批发商可供选择，甲比乙的单价少5元．且用2000元在甲采购的周边产品个数与用2200元在乙采购的个数相等． （1）请利用分式方程，求甲和乙两个批发商的周边产品的单价分别是多少元： （2）若两个批发商针对这种周边产品给出了不同的优惠方案： 甲：若一次性购买这种周边产品的数量不超过40个，按原价出售；若超过40个．超过的部分打8折． 乙：一律打8折出售． 若小李计划在甲批发商处购买这种周边产品m个，设应付n元． ①直接写出n与m之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ②若小王想购买90个这种周边产品时，从哪家购买比较划算？ 24. （阅读理解） 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故． 【新知理解】 （1）比较大小：______．（填“>”，“=”，“<”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示，其面积分别为，请比较的大小关系． 【拓展应用】 （3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？ 25. （1）呈现问题 如图①，在中，，D、E分别在、上，若，则和是顶角相等的等腰三角形，连接、，则、、之间的数量关系是________；与的数量关系是________； （2）类比探究 如图②，和均为等边三角形，点A、E、D在同一直线上，连接．求出的度数及与的数量关系； （3）拓展延伸 如图③，和均为等腰直角三角形，，点A、E、D在同一直线上，为中边上的高，连接．直接写出的度数及线段、、之间的数量关系； （4）解决问题 在（3）的条件下，若，，直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025下学期第二次质量监测八年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共40分) 1. 要使分式有意义，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解． 【详解】解：当，即时，分式有意义， 故选：B． 2. 将多项式因式分解时，应提取的公因式是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查公因式的确定，在找公因式时，一找系数的最大公约数，二找相同字母的最低次幂，据此即可求解． 【详解】解：， 故因式分解时，应提取的公因式是， 故选：A． 3. 如图，在四边形中，连接、，，，则有（ ） A. 与互相垂直平分 B. 垂直平分 C. 垂直平分 D. 平分 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的判定，由，，得A与C在的垂直平分线上，进而解决此题． 【详解】解：∵，， ∴A与C在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴垂直平分， 故B选项符合题意； 由已知条件无法证明平分，平分， 故A、C、D选项不符合题意； 故选：B． 4. 若把分式中的和都扩大为原来的倍，那么分式的值（　　） A. 扩大为原来的倍 B. 扩大为原来的倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数． 用和代替式子中的和，化简即可得出结论． 【详解】解：由题意得， 分式的值扩大为原来的倍， 故选：A． 5. 已知在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，若，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系．观察两个一次函数图像的位置关系是解题的关键． 通过观察两个一次函数图像的位置关系，来确定不等式的解集．当的图像在的图像下方或重合时，满足，此时对应的x的取值范围即为所求． 【详解】解：观察图像可以看到一次函数与的图像相交于点． 要使，则一次函数的图像在的图像下方或重合，x的取值范围为． 故选B． 6. 若的三边长a，b，c满足，则是（　　） A. 等边三角形或直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的定义．利用因式分解得到，则，得到或，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴或，即或， ∴是等腰三角形或直角三角形． 故选：C． 7. 甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作．从第三个工作日起，乙志愿者加入此项工作，且甲、乙两人工作效率相同，结果提前3天完成此项工作．设甲志愿者计划完成此项工作需用x天，用方程表示问题中的数量关系为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，关键根据工程问题常用的等量关系“工效×时间=工作总量”列方程求解． 由题意可得甲的工作时间为天，乙是第三个工作日起加入，所以乙的工作时间为天，甲工作量+乙工作量=1，列出方程即可． 【详解】由已知甲志愿者计划完成此项工作需x天，因为提前3天完成此项工作，所以甲的工作时间为天，乙是第三个工作日起加入，所以乙的工作时间为天，甲和乙的工作效率相同，每天都做，则， 故选A． 8. 如果是多项式的一个因式，则k的值为（ ） A. -4 B. 4 C. 5 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】设=，然后利用多项式乘法法则计算，得到的式子与的对应项的系数相同，据此即可求得a，k的值． 【详解】解：设==， 则， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查因式分解与整式乘法的关系，根据是多项式的一个因式，设=是解题的关键． 9. 如图，将绕顶点C旋转得到，且点B刚好落在上，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质，得到，，，继而得到，结合对顶角相等，得到，计算选择即可． 【详解】根据旋转的性质，得到，，， ∴，， ∵，， ∴ ∴， ∴, 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形外角性质，等边对等角，等量代换，三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点A在第一象限内，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，确定旋转后的位置是解此题的关键． 【详解】解：由题可知，将绕点O逆时针旋转，每次旋转， ∴每旋转4次则回到原位置， ∴第2025次旋转结束后，图形旋转了， 如图所示，旋转后的图形为作轴于H， ∵，， 设则 在中 （负值舍去） ∵点在第二象限， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，共24分) 11. 已知，，则的值为_________． 【答案】-6 【解析】 【分析】先把分解因式，再代入求解，即可． 【详解】∵，， ∴==， 故答案是：-6． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握分解因式，是解题的关键． 12. 若分式的值为零，则x的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得． 13. 点向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得到点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的平移，掌握点的平移规律是解题的关键．根据向左平移横坐标减，下平移纵坐标减，即可求解． 【详解】解：点向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则得到的点的坐标为 即， 故答案为：． 14. 若解关于的分式方程不会产生增根，则的取值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程有增根的条件，准确计算是解题的关键．首先去分母，把分式方程化为整式方程，用表示，当时分式方程有增根，求出，因此分式方程不会产生增根是时． 【详解】解：， 去分母得， 解得， 当时分式方程有增根， ， 把代入， 得， 分式方程不会产生增根， ， 故答案为：． 15. 如图，一次函数与的图象的交点坐标为．则关于的不等式的解集为____________． 【答案】 【解析】 【分析】结合图形，把直线与轴的交点求出，即可得到答案． 【详解】解：把代入，得，解得， 直线与轴的交点为， 一次函数与的图象的交点坐标为， 当时，， 即关于的不等式的解集为． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式，能根据函数图象，得出不等式的解集是解题的关键． 16. 如图，在中，的面积是的垂直平分线分别交边于两点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小作为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称求最短距离，熟练掌握等腰三角形的性质、轴对称的性质是解题的关键．由垂直平分线的性质可得A与B关于对称，连接，交于点P，则当三点共线时，周长最小为的长． 【详解】∵是线段的垂直平分线， ∴A与B关于对称，连接，交于点P， ∵， ∴周长， 当三点共线时，周长最小， ∵为边的中点，， ∴， 的面积为， ， ， ， 的周长的最小值， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．） 17. 因式分解：． 解分式方程∶． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，解分式方程，正确掌握因式分解的方法及分式方程的解法是解题的关键． （1）提前公因式分解即可； （2）先去分母化为整式方程，求出解再检验即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 经检验时，， ∴原分式方程的解为． 18. 求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则化简原式，再把x的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：原式= = = = =， 当时，原式=． 【点睛】本题考查了分式的化简求值以及二次根式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 19. 如图，，，于点E，于点D，求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用证明即可证明结论． 【详解】略 20. 已知． （1）将A进行因式分解． （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，平方差公式，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的关键． （1）先将展开后合并同类项，再利用平方差公式即可求解； （2）先对进行化简，再代入求值即可； 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ， 若， 则． 21. 观察下列式子的因式分解做法： ①； ②； ③；… （1）模仿以上做法，尝试对进行因式分解； （2）观察以上结果，猜想：______；（n为正整数） （3）根据以上结论，试求的值 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探究，因式分解的应用： （1）根据已有等式，推出规律进行求解即可； （2）根据已有等式，推出规律进行求解即可； （3）利用规律，将式子变形为，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题干可知：； 故答案为： 【小问2详解】 ； 故答案为： 【小问3详解】 ． 22. 阅读并解答：若多项式中有因式，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为， （1）已知：二次三项式有一个因式是，则 m的值为______． （2）已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值． （3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】（1） （2），另一个因式为 （3），另一个因式为 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，正确读懂例题是解本题的关键． （1）根据题意将代入二次三项式得到二次三项式的值为0，解关于m的一元一次方程即可； （2）根据题意将代入二次三项式得到二次三项式的值为0，解关于k的一元一次方程即可求出k的值；再因式分解即可得到另一个因式； （3）同理（2）求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意：当时，二次三项式的值为0， 即， 解得：； 【小问2详解】 解：根据题意：当时，二次三项式的值为0， 即， 解得：； 则原二次三项式为， ∵， ∴另一个因式为； 【小问3详解】 解：根据题意：当时，二次三项式的值为0， 即， 解得：； 则原二次三项式为， ∵， ∴另一个因式为． 23. 国产电影《哪吒之魔童闹海》成为全球动画电影票房冠军，其电影周边产品同样火爆．小李计划购买某种周边产品进行销售，现有甲、乙两个批发商可供选择，甲比乙的单价少5元．且用2000元在甲采购的周边产品个数与用2200元在乙采购的个数相等． （1）请利用分式方程，求甲和乙两个批发商的周边产品的单价分别是多少元： （2）若两个批发商针对这种周边产品给出了不同的优惠方案： 甲：若一次性购买这种周边产品的数量不超过40个，按原价出售；若超过40个．超过的部分打8折． 乙：一律打8折出售． 若小李计划在甲批发商处购买这种周边产品m个，设应付n元． ①直接写出n与m之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ②若小王想购买90个这种周边产品时，从哪家购买比较划算？ 【答案】（1）甲和乙两个批发商的周边产品的单价分别是元、元 （2）① ②小王想购买90个这种周边产品，从乙批发商购买比较划算 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意正确列出分式方程和一次函数解析式是解题的关键． （1）设甲批发商的周边产品的单价是元，则乙批发商的周边产品的单价是元，根据题意得，解得，得到，即可得到答案． （2）①根据题意列出函数解析式即可； ②分别求出所需费用，再比较大小即可． 【小问1详解】 解：设甲批发商的周边产品的单价是元，则乙批发商的周边产品的单价是元， 根据题意得， 解得， ， 答：甲和乙两个批发商的周边产品的单价分别是元、元； 【小问2详解】 解：①根据题意得当时，， 当时， ； ②小王想购买90个这种周边产品， 从甲批发商购买所需费用（元）， 从乙批发商购买所需费用（元）， ， 小王想购买90个这种周边产品，从乙批发商购买比较划算． 24. （阅读理解） 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故． 【新知理解】 （1）比较大小：______．（填“>”，“=”，“<”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示，其面积分别为，请比较的大小关系． 【拓展应用】 （3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？ 【答案】（1）（2） （3）小亮两次购买苹果共花费元，两次购买苹果的平均单价为元/千克； 小莹两次购买苹果共花费20元，两次购买苹果的平均单价为元/千克； ， m，n是正数，且， ， ， 小莹的购货方式更合算． 【解析】 【分析】此题考查了作差法比较两个数的大小，多项式乘以多项式，整式加减运算、分式加减法的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题中的方法作差解答； （2）先分别表示出两个平行四边形的面积，再利用作差法计算判断； （3）先分别表示两人两次购买苹果的平均单价，再用作差法计算比较大小即可判断． 【详解】（1）∵， ∴，即 故答案为：； （2）， ， ． ， ， ，即． （3）略 25. （1）呈现问题 如图①，在中，，D、E分别在、上，若，则和是顶角相等的等腰三角形，连接、，则、、之间的数量关系是________；与的数量关系是________； （2）类比探究 如图②，和均为等边三角形，点A、E、D在同一直线上，连接．求出的度数及与的数量关系； （3）拓展延伸 如图③，和均为等腰直角三角形，，点A、E、D在同一直线上，为中边上的高，连接．直接写出的度数及线段、、之间的数量关系； （4）解决问题 在（3）的条件下，若，，直接写出四边形的面积． 【答案】（1） ，；（2），；（3），；（4） 【解析】 【分析】此题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）由三角形外角的性质及等式的性质可得出结论； （2）证明，由全等三角形的性质得出，，则可得出结论； （3）证明，得出，最后证出即可． （4）根据进行计算即可． 【详解】解：（1），， ， 即， 是的外角， ； 故答案为：，； （2）和均为等边三角形， ，，，， ， 即， 在和中， ， ， ，， 点，，在同一直线上， ， ， ， 综上可得的度数为；线段与之间的数量关系是：； （3）， 和均为等腰直角三角形， ，，，， ， 即， 在和中， ， ， ，， 点，，在同一直线上， ， ， ； ，，， ， ， ． （4）， ． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $