第10章分式-期末复习讲义2024-2025学年苏科版八年级数学下册

分式 【知识积累】 知识点一、分式的四则运算 分式的加法与减法 1）同分母分式：分母不变，分子相加减 2）异分母分式：先通分，变为同分母分式，再加减 分式的乘法和除法 1）分式的乘法：分子的积为积的分子，分母的积为积的分母，能约分的约分。即： 2）分式的除法：除式的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。即： 3）分式的乘方：分子、分母分别乘方。即：= 【专项训练】 题型一、鼓楼区24年真题 1、当，下列分式的化简结果为的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，进行计算即可得到答案． 【详解】解：A．已是最简分式，无法约分化简，故选项错误，不符合题意； B．已是最简分式，无法约分化简，故选项错误，不符合题意； C．，故选项正确，符合题意； D．已是最简分式，无法约分化简，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 2、若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键．根据分式有意义的条件即可得出答案． 【详解】解：， ． 故答案为：． 3、分式与的最简公分母是 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，熟知通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母是解题的关键．根据最简公分母的定义解答即可． 【详解】解：分式与的分母分别是、， 最简公分母是． 故答案为：． 4、化简的结果是 【答案】 【分析】本题考查的是分式的约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．先确定分式的分子、分母的公因式，再约分即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 5、若，则 ． 【答案】1 【分析】根据得，结合，解答即可． 本题考查了已知代数式的值，求值，通分，整体变形是解题的关键． 【详解】解：根据得， 故， 故答案为：1． 6、（1）化简：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查分式的化简和解分式方程，掌握计算顺序是解题的关键． （1）先把括号内的分式同分，然后把除法转化为乘法约分即可； （2）先去分母转化为一元一次方程，然后解方程求解，最后进行验根即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， 方程两边同乘，得， 解这个一元一次方程，得． 检验：当时，， ∴是原方程的解． 7、甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地匀速开往乙地，实际行驶的速度比原计划的速度增加，结果提前到达，求汽车实际行驶的时间？ 甲同学所列的方程为，； 乙同学所列的方程为：． (1)甲同学所列方程中的x表示______；乙同学所列方程中的y表示_______． (2)选择甲、乙两同学中的一个方法解答这个题目． 【答案】(1)汽车原计划行驶的时间，汽车实际行驶的速度 (2) 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）根据题目中的方程即可得到结论； （2）设汽车原计划需行驶的时间为 ，则汽车实际行驶的时间为，根据题意列方程，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：甲同学所列方程中的表示汽车原计划需行驶的时间；乙同学所列方程中的表示汽车实际行驶的时间， 故答案为：汽车原计划需行驶的时间；汽车实际行驶的时间； （2）解：选择甲同学的方法， 设汽车原计划需行驶的时间为 ，则汽车实际行驶的时间为， 根据题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， 答：汽车实际行驶的时间为． 题型二、建邺区24年真题 1、如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的4倍B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不变 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是根据，的变化找出分子分母的变化．解决该题型题目时，根据分式的基本性质找出分式的变化是关键．根据，都扩大为原来的2倍，即可得出分子扩大为原来的4倍，分母扩大为原来的2倍，由此即可得出结论． 【详解】解：∵，都扩大为原来的2倍， ∴分子扩大为原来的4倍，分母扩大为原来的2倍， ∴分式的值扩大为原来的2倍． 故选：C． 2、当 时，分式的值为0 【答案】2 【分析】 此题主要考查了分式的值为零的条件，直接利用分式的值为零则分子为零求出答案即可， 正确把握定义是解题关键． 【详解】 解：分式的值为0， ， 解得：． 故答案为：2． 3、已知关于x的方程有增根，则m的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了已知分式方程的根的情况求参数，将分式方程去分母得整式方程，根据分式方程有增根，代入整式方程求出m的值即可，熟练掌握分式方程的增根的确定方法是解题的关键． 【详解】解：去分母得，， ∵分式方程有增根， ∴， ∴， 解得 故答案为：． 4、解方程 【答案】x=-1． 【分析】首先去掉分母，观察可得最简公分母是（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解． 【详解】解：方程两边同乘x-2，得2x=x-2+1 解这个方程，得x= -1 检验：x= -1时，x-2≠0 ∴原方程的解是x= -1 5、先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】首先进行分式的化简，再把x的值代入化简后的式子，即可求得其值． 【详解】解： 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值及分母有理化，熟练掌握和运用分式的化简是解决本题的关键． 6、某车间加工1500个零件后，由于技术革新，工作效率提高到原来的倍，当再加工同样多的零件时，用时比以前少．该车间技术革新前每小时加工多少个零件？ 【答案】该车间技术革新前每小时加工50个零件 【分析】设该车间技术革新前每小时加工x个零件，则技术革新后每小时加工个零件，根据题意，找出等量关系累出方程求解即可． 【详解】解：设该车间技术革新前每小时加工x个零件，则技术革新后每小时加工个零件， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解； 答：该车间技术革新前每小时加工50个零件． 【点睛】本题主要考查了分式方程是实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程求解． 题型三、玄武区24年真题 1、下列运算中，正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 2、若分式的值为0，则的值为______． 答案：2 3、已知关于的分式方程有增根，则m的值为______． 答案：4 4、解分式方程： （1）； （2）． 解：（1）　　 检验：当时，， 所以，原方程的解是． （2）　　　 检验：当时，是增根， 所以，原方程无解． 5、先化简，再求值：，其中 解：原式． 当时，原式． 题型四、秦淮区24年真题 1、若，则下列化简一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的约分化简，根据分式的基本性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，选项化简错误，不符合题意； B、，选项化简错误，不符合题意； C、，选项化简错误，不符合题意； D、，选项化简正确，符合题意； 故选D． 2、当m= 时，关于x的分式方程无解 【答案】-6 【详解】把原方程去分母得，2x+m=-(x-3)①，把x=3代入方程①得，m=-6，故答案为-6. 3、解分式方程:（1） （2） 【答案】（1）x=-3;（2）无解； 【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】(1)去分母得：3x−3=6x+6， 移项合并得：3x=−9， 解得：x=−3， 经检验x=−3是分式方程的解； (2)去分母得：1−x=−1−2x+4， 移项合并得：x=2， 经检验x=2是增根，分式方程无解. 【点睛】此题考查解分式方程，解题关键在于掌握运算法则. 4、我们都知道，数学来源于生活，生活中处处有数学．例如：现有a克糖水，其中含有b克糖，则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）是，生活经验告诉我们，在糖水中加水，糖水会变淡．请运用所学知识证明这一道理． 【答案】见解析 【分析】本题考查了分式的基本运算，解题的关键用作差法比较分式大小． 根据加水后浓度下降即得到糖水加水后会变淡． 【详解】设加入克水，糖水的浓度为， ∵， ∴ ∴加入水后，糖水的浓度变小， ∴在糖水中加水，糖水会变淡． 5、某中学组织学生去离学校15千米的农场，先遣队比大队提前20分钟出发，先遣队的速度是大队速度的1.2倍，结果先遣队比大队早到0.5小时，先遣队和大队的速度各是多少？ 【答案】大队的速度为，先遣队的速度是． 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出分式方程是解答的关键． 设大队的速度为，则先遣队的速度为，根据先遣队比大队提前20分钟出发，先遣队比大队早到列出分式方程求解即可． 【详解】解：设大队的速度为，则先遣队的速度为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， ∴， 答：大队的速度为，先遣队的速度是． 题型五、联合体24年真题 1、若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 【答案】x≠-2． 【分析】直接利用分式有意义的条件得出x的取值范围． 【详解】∵分式 在实数范围内有意义， ∴x+2≠0， 解得：x≠-2， 则x的取值范围是：x≠-2． 【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键． 2、分式、的最简公分母是 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，根据最简公分母的定义即可求解，掌握最简公分母的定义是解题的关键． 【详解】解：是， 故答案为：． 3、小丽与小明为艺术节做小红花，小明比小丽每小时多做朵．已知小明做朵与小丽做朵所用时间相等，小明、小丽每小时各做小红花多少朵？设小丽每小时做小红花朵，根据题意，列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，小丽每小时做小红花朵，根据题意，列出分式方程即可，根据题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：小丽每小时做小红花朵， 由题意可得，， 故答案为：． 4、先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值步骤是解题的关键．先根据分式的化简步骤化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 5、解方程： 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，先去分母化为整式方程，解方程并检验即可． 【详解】解： 两边同乘以得，， 解得， 当时， ∴是分式方程的解 学科网（北京）股份有限公司 $$ 分式 【知识积累】 知识点一、分式的四则运算 分式的加法与减法 1）同分母分式：分母不变，分子相加减 2）异分母分式：先通分，变为同分母分式，再加减 分式的乘法和除法 1）分式的乘法：分子的积为积的分子，分母的积为积的分母，能约分的约分。即： 2）分式的除法：除式的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。即： 3）分式的乘方：分子、分母分别乘方。即：= 【专项训练】 题型一、鼓楼区24年真题 1、当，下列分式的化简结果为的是（ ）． A． B． C． D． 2、若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 3、分式与的最简公分母是 4、化简的结果是 5、若，则 ． 6、（1）化简：； （2）解方程：． 7、甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地匀速开往乙地，实际行驶的速度比原计划的速度增加，结果提前到达，求汽车实际行驶的时间？ 甲同学所列的方程为，； 乙同学所列的方程为：． (1)甲同学所列方程中的x表示 ；乙同学所列方程中的y表示 ． (2)选择甲、乙两同学中的一个方法解答这个题目． 题型二、建邺区24年真题 1、如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A．扩大为原来的4倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不变 2、当 时，分式的值为0 3、已知关于x的方程有增根，则m的值是 ． 4、解方程 5、先化简，再求值：，其中 6、某车间加工1500个零件后，由于技术革新，工作效率提高到原来的倍，当再加工同样多的零件时，用时比以前少．该车间技术革新前每小时加工多少个零件？ 题型三、玄武区24年真题 1、下列运算中，正确的是（ ） A． B． C． D． 2、若分式的值为0，则的值为 ． 3、已知关于的分式方程有增根，则m的值为 ． 4、解分式方程： （1）； （2）． 5、先化简，再求值：，其中 题型四、秦淮区24年真题 1、若，则下列化简一定正确的是（ ） A． B． C． D． 2、当m= 时，关于x的分式方程无解. 3、解分式方程:（1） （2） 4、我们都知道，数学来源于生活，生活中处处有数学．例如：现有a克糖水，其中含有b克糖，则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）是，生活经验告诉我们，在糖水中加水，糖水会变淡．请运用所学知识证明这一道理． 5、某中学组织学生去离学校15千米的农场，先遣队比大队提前20分钟出发，先遣队的速度是大队速度的1.2倍，结果先遣队比大队早到0.5小时，先遣队和大队的速度各是多少？ 题型五、联合体24年真题 1、若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 2、分式、的最简公分母是 3、小丽与小明为艺术节做小红花，小明比小丽每小时多做朵．已知小明做朵与小丽做朵所用时间相等，小明、小丽每小时各做小红花多少朵？设小丽每小时做小红花朵，根据题意，列方程为 ． 4、先化简，再求值：，其中． 5、解方程： 学科网（北京）股份有限公司 $$