串讲 二元一次方程组（考点串讲，5大考点+6大题型剖析+5个易错+押题预测）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版2024）

七年级数学下学期·期末复习大串讲 串讲 二元一次方程组（5考点&8题型） 目 录 01 02 04 03 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 六大常考点：知识梳理 十一大题型典例剖析 六大易错易混经典例题+针对训练 精选6道期中真题对应考点练 考点透视 考点一：二元一次方程的概念与解 含有两个未知数，并且所含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程(linear equation with twounknowns)． 二元一次方程必须满足的三个条件. 二元一次方程的一般形式：ax＋by＝c (a≠0 b≠0 ) 考点透视 满足二元一次方程的一对未知数的值叫作二元一次方程的一个解． 这对未知数的值能够使方程左右两边的值相等. 如x＝5，y＝10 是方程2x＋y＝20 的一个解，记作 一个二元一次方程通常有很多个解. 考点透视 考点二：二元一次方程组的概念与解 把含有相同未知数的两个二元一次方程联立在一起所组成的方程组叫作二元一次方程组． 二元一次方程组必须满足的三个条件： (1)方程组中共含有两个未知数； (2)含有未知数的项的次数都是1； (3)两个方程都是整式方程. 二元一次方程组的一般形式： (≠0 ≠0 ). 考点透视 我们把二元一次方程组中两个方程的公共解叫作二元一次方程组的解. 例如，是二元一次方程组的解. 考点透视 考点三：二元一次方程组的解法 把方程组的两个方程(或先做适当变形)的左、右两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法叫作加减消元法,简称加减法. 考点透视 用“代入消元法”解二元一次方程组的一般步骤： 步骤 具体做法 目的 注意 ①变形 根据绝对值较小的未知数(同一个未知数)的系数的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数. 使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数. (1)选准消元对象：当某个未知数的系数相等或互为相反数或存在整数倍关系时选择消去该未知数； (2)方程两边同乘某个数时，不要漏乘. ②加减 当其中一个未知数的系数相等时，将两个方程相减；当其中一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加. 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程. （1）加减前，应将对应未知数对齐再加减，若一个方程缺少某一项时，将该项看作0，再对齐加减； （2）一定要把两个方程两边分别相加减. 考点透视 步骤 具体做法 目的 注意 ③求解 解消元后得到的一元一次方程. 求出一个未知数的值. ④回代 把求得的未知数的值代入方程组中某个方程中. 求出另一个未知数的值. 回代时选择系数的绝对值较小的方程. ⑤写解 把两个未知数的值联立起来. 将方程组的解表示为的形式. 要用“{ ”将未知数的值联立起来. 考点透视 考点四： 三元一次方程组的相关概念 把含有三个未知数的三个一次方程联立在一起，就组成了一个三元一次方程组. 三元一次方程组必须满足的三个条件： (1)方程组中一共含有三个未知数； (2)含有未知数的项的次数都是1； (3)方程组中的每个方程都是整式方程. 考点透视 解三元一次方程组的一般步骤: (1)消元：利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数，得到关于另外两个未知 数的二元一次方程组. (2)求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值. (3)回代：将求得的未知数的值代入原方程组中含有最后一个未知数的方程中，得 到一个一元一次方程. (4)求解：解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值. (5)写解：将求得的三个未知数的值用“<m></m>”联立起来，就是原三元一次方程组的解. 考点透视 考点五：用二元一次方程组解决问题 用二元一次方程解决问题的基本步骤： 1. 审： 审题，仔细审题，弄清题目中的已知量与未知量，找出能够表达应用题全部含义的两个等量关系； 2. 设： 3. 列： 根据找出的两个等量关系，列出二元一次方程组； 4. 解： 解二元一次方程组,求出未知数的值； 5. 验： 未知数的值既要代入原方程组检验，又要检验所求解是否符合题意； 6. 答： 写出答案. 设两个合适的未知数,用含未知数的代数式表示出其他的量； 题型剖析 题型一：二元一次方程的概念 【例1】下列哪些是二元一次方程？哪些不是？ (1)3a＋4b＝5； (2)2x＋x2＝0；(3)4x＋π＝7； (4)－4m－2n＝1； (5)3x＋＝1； (6)xy＝3； (7)3x－y； (8) x＋y＋z＝6. 解：(1)(4)是二元一次方程，(2)(3)(5)(6)(7)(8)不是二元一次方程． 【变式】下列方程是二元一次方程的是 (　　) A．2x－y＝y B．xy＝－2 C．3x2－y＝5 D. ＝2 A 【变式】已知方程(a＋2)x＋(b－3)y＝9是关于x，y的二元一次方程，则a的取值范围是________，b的取值范围是_______． a≠－2 b≠3 题型剖析 题型二：二元一次方程的解 【例2】把方程3x＋2y＝12写成用含x的代数式表示y的形式，并写出方程的四个解. 解：由方程3x＋2y＝12，得 y＝6－x. 当x＝0，1，2，3时，将这四个值代入y＝6－x， 得y的值分别为6，，3， . 所以是方程的四个解. 解：∵3x＋2y＝18， ∴2y＝18－3x， ∴y＝； 当x＝0时，y＝9； 当x＝2时，y＝6； 当x＝4时，y＝3； 当x＝6时，y＝0； ∴非负整数解为． 【变式】已知二元一次方程3x＋2y＝18，写出此方程的非负整数解． 2. 把下列方程写成用含y的代数式表示x的形式，并求方程的正整数解： (1) x＋3y＝7； (2) 32－4x＝3y. 解：(1) 由方程x＋3y＝7，得 x＝7－3y. 当y＝1，2时，将这两个值代入x＝7－3y，得x的值分别为4，1. 所以是方程的两个解. 解：(2) 由方程32－4x＝3y，得 x＝8－y. 当y＝4，8时，将这两个值代入x＝8－y，得x的值分别为5，2 . 所以是方程的两个解. 【变式】小亮在一场篮球比赛中共得21分，其中罚球得3分. 怎样用二元一次方程描述他投中的两分球、三分球个数与得分之间的等量关系？他分别投中了几个两分球和三分球？ 解：设他分别投中了x个两分球，y个三分球， 根据题意，得2x＋3y＋3＝21． 即2x＋3y＝18， 因为x、y为非负整数，所以方程的解为，或． 答：他投中了3个两分球，4个三分球或他投中了6个两分球，2个三分球． 题型剖析 题型三：二元一次方程组的相关概念 【例3】若方程组是二元一次方程组，求a的值． 解：∵方程组是二元一次方程组， ∴或， ∴或3或2或－． 【变式】已知是方程组(m，n是常数)的解，求m，n的值. 解：把代入得 解得 【变式】下列四对数值，哪几对是二元一次方程x＋y＝3的解？哪几对是二元一次方程x－y＝－1的解？哪几对是二元一次方程组的解？ 解：是二元一次方程x＋y＝3的解． 是二元一次方程x－y＝－1的解． 是二元一次方程组的解． 解：方程组如下： ∵x，y均必须取非零自然数， ∴列表尝试如下： 【变式】小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解． ∴方程组的解为x＝3，y＝9. 答：小悦买书用了 1元纸币 3张，5元纸币9张． x 1 2 3 4 5 y 11 10 9 8 7 56 52 48 44 40 【变式】小慧在文具店买了5本练习本和4支圆珠笔，共花去23元小强买了同样的练习本10本和同样的圆珠笔2支，共花去34元． (1)设练习本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元，列出相应的方程组； 解：(1)根据题意，得. 解：(2)是，理由如下： 把代入方程①中，左边＝5×3＋4×2＝23＝右边， 把代入方程②中，左边＝10×3＋2×2＝34＝右边， 所以是二元一次方程组的解． (2) 是列出的二元一次方程组的解吗？请说明理由． 题型剖析 题型四：二元一次方程组的解法 【例4】解下列方程组. ① ② (1) 解：①＋②，得4x＝8， x＝2. 将x＝2代入①，得 3×2＋2y＝2. y＝－2. 所以原方程组的解是 ① ② (2) 解：①－②，得2y＝4， y＝2. 将y＝2代入①，得 3x－2×2＝－1. x＝1. 所以原方程组的解是 【变式】解下列方程组： (1) ； (2) ． 解：(1) ①＋②，得3x＝9， 解得：x＝3， 将代入①，得y＝1， 原方程组的解是. (2) ①×3，得6x＋9y＝－33③， ③－②，得14y＝－42， 解得：y＝－3， 把y＝－3代入②，得6x＋15＝9， 解得：x＝－1， 原方程组的解是． 【变式】已知x、y满足方程组 求代数式x－y的值． 解： ②－①得2x－2y＝－1－5， 得x－y＝－3. 【变式】解方程组 ① ② 解法1：由①＋②，得 4(x＋y)＝36 ，x＋y＝9 ③ 由①－②，得 6(x－y)＝24，x－y＝4 ④ 解由③、④组成的方程组， 解得. 方法二： 整理得 【变式】解方程组：． 解：②－①得：x－y＝1③， ∴③×2077得：2077x－2077y＝2077④， ④－①得：y＝－2， ③×2079得：2079x－2079y＝2079⑤， ⑤－②得：x＝－1， ∴方程组的解为：． ① ② 题型剖析 题型五：三元一次方程组的解法 【例5】解方程组 ① ② ③ 解：①－②，得x－y＝5. ④ ②×3－③，得5x＋7y＝76. ⑤ ④与⑤联立，得方程组 解这个方程组，得 把x＝，y＝代入①，得z＝. 所以原方程组的解是 【变式】解下列三元一次方程组： (1) 解：(1)③－①，得－④， ②＋④，得，， 把代入④，得－， ， 把代入①，得． 原方程组的解为． ① ② ③ (2) . ① ② ③ 解：(2)②－③，得x＋3z＝5④， ④－①，得2z＝2， ∴z＝1， 把z＝1代入④，得x＝2， 把x＝2，z＝1代入③，得y＝4． 原方程组的解为． 解：(1)由已知得 解得 即a＝2，b＝－3，c＝1. 【变式】已知等式y＝ax2＋bx＋c，且当x＝1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝－3时，y＝28； (1)求 a、b、c 的值； 【变式】已知等式y＝ax2＋bx＋c，且当x＝1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝－3时，y＝28； (2)当x＝－3时，y的值又是多少？ 解：(2)由(1)得y＝2x2－3x＋1. 当x＝－2时，y＝8＋6＋1＝15. 即y的值是15． 题型剖析 题型六：三元一次方程组的应用 【例6】一某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买1个A品牌的足球、1个B品牌的足球和1个C品牌的足球共需180元；购买2个A品牌的足球和1个B品牌的足球共需140元；购买2个B品牌的足球和1个C品牌的足球共需200元．求A，B，C三种品牌的足球的单价． 解：设A，B，C三种品牌的足球的单价分别为x元、y元、z元，依题意得： ，解得 ， 答：A，B，C三种品牌的足球的单价分别为40元，60元，80元． 【变式】一个三位数，各个数位上数字之和为10，百位数字比十位数字大1．如果百位数字与个位数字对调，则所得新数比原数的3倍还大61，求原来的三位数. 解：设个位、十位、百位上的数字为，依题意得： ，解得 ， ∴原来的三位数是217. 答：原来的三位数是217. 解：设该球队胜x场、平y场、负z场. 原方程组的解为 答: 该球队胜14场、平5场、负3场. 【变式】足球比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分． 某足球队赛了22场得47分，且胜的场数比负的场数的4倍还多2．该球 队胜、平、负各多少场？ 题型剖析 题型七：二元一次方程组的应用1 【例7】在班级联欢会筹备工作中，小明负责购买奖品，他用420元购买吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”共10个. 已知“冰墩墩”48元/个，“雪容融” 38元/个，小明购买两种吉祥物各几个？ 分析：设购买“冰墩墩”x个，“雪容融”y个.可以列表分析数量关系： 列表是梳理、分析问题中等量关系的常用策略. 类型 “冰墩墩” “雪容融” 合计 单价/（元/个） 个数/个 花费/元 48 38 x y 10 48x 38y 420 解：设购买“冰墩墩”x个，“雪容融”y个. 根据题意，得 解这个方程组，得 答: 购买“冰墩墩”4个，“雪容融”6个. 【变式】《九章算术》中记载了这样一道题，大意是：五头牛和两只羊，价值十两金；两头牛和五只羊，价值八两金.一头牛、一只羊分别价值几两金？请你解决这个问题. 解：设一头牛价值x两金，一只羊价值y两金， 根据题意，得 解得 答：一头牛价值两金，一只羊价值两金． 【变式】某景区停车场的收费标准：每辆中型汽车8元/次，每辆小型汽车6元/次. 现在停车场内停有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费360元，中、小型汽车各有多少辆？ 解：设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆， 根据题意，得 解得 答：中型汽车有30辆，小型汽车有20辆． 【变式】有大、小两种货车，3辆大车与5辆小车一次可运货24.5吨，2辆大车与3辆小车一次可运15.5吨，7辆大车和6辆小车一次可运货多少吨？ 解：设大货车每辆运x吨，小货车每辆运y吨．根据题意，得 解得 则7x＋6y＝43. 答：7辆大车和6辆小车一次可运货43吨． 题型剖析 题型八：二元一次方程组的应用2 【例8】 某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3 km，超过3 km的部分按路程(不足1 km按1 km计算)另收费. 甲乘坐这种出租车行驶了11 km，付了20元.乙乘坐这种出租车行驶了23 km，付了38元. 这种出租车的起步价是多少元？超过3 km后每千米收费多少元？ 解：设这种出租车的起步价x元，超过3 km后每千米收费y元 . 根据题意，得 解这个方程组，得 答：这种出租车的起步价8元，超过3 km后每千米收费1.5元 . 【变式】班级图书管理员从学校图书馆借来一批图书，如果全班每人分3本，那么剩余20本；如果全班每人分4本，那么还缺25本. 这个班有多少名学生？这批图书共有多少本？ 解：设这个班有x名学生，这批图书共有y本 . 根据题意，得 解这个方程组，得 答：这个班有45名学生，这批图书共有155本 . 【变式】某工厂去年的利润为200万元，今年总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少10%，今年的利润为780万元，去年的总收入、总支出各是多少万元. 总收入(万元) 总支出(万元) 利润(万元) 去年 今年 x (1＋20%)x y (1－10%) y 200 780 解：设去年的总收入是x万元、去年的总支出是y万元. 解得 答：去年的总收入是2000万元、去年的总支出是1800万元. 【变式】某天，一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场批了西红柿和豆角共40kg到菜市场去卖，西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示： 品名 西红柿 豆角 批发价(单位：元/kg ) 1.2 1.6 零售价(单位：元/ kg ) 1.8 2.4 问：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱？ 解：设该蔬菜经营户当天批了西红柿xkg，豆角 y kg，根据题意得： 解之得： 10(1.8－1.2)＋30(2.4－1.6)＝30（元）． 答：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚30元． 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 1．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）下列方程是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【详解】A， ，y的指数是2，不是二元一次方程，故此选项不符合题意． B， 是三元一次方程，故此选项不符合题意． C， 是二元一次方程，故此选项符合题意． D， ，指数是2，不是二元一次方程，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）《九章算术》中记载了一个问题，大意是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各带了多少钱？小明用二元一次方程组解决此问题，若他已经列出一个方程 ，则符合题意的另一个方程是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：∵如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50，且所列方程为 ， ∴x表示甲带的钱数，y表示乙带的钱数． 又∵如果乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共有钱50， ∴符合题意的另一个方程是 ． 故选：B． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知方程组 ，则 （用只含 的代数式表示） 【详解】解： ， 得： ， 整理得： ． 故答案为： ． 4．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）已知 是方程 的解，则代数式 的值为 ． 【详解】解：∵ 是方程 的解， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 5．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）按要求解方程组： (1)用代入法解方程组： (2)用加减法解方程组： ． 【详解】（1）解： ， 由②，得 ③， 把③代入①，得 ， 解得： ， 把 代入③，得 ， 这个方程组的解是 ； （2）解： ， 得， ； 得， ； 解得： ； 把 代入①得， ，解得： ； 原方程组的解为 ． 6．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元买了一支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本． (1)求每支钢笔和每本笔记本的价格； (2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？ 【详解】（1）解：设每支钢笔x元，每本笔记本y元． 依题意得： ，解得： ， 答：每支钢笔3元，每本笔记本5元； （2）解：设买a支钢笔，则买笔记本 本， 依题意得： ，解得： ， ∵a为正整数，∴ ，21，22，23，24，∴一共有5种方案． 7．（22-23七年级下·江苏常州·期末）《孙子算经》是南北朝时期重要的数学专著，包含“鸡兔同笼”等许多有趣的数学问题．如：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”大意是：用一根绳量一根木，绳多出4.5尺；将绳对折再量木，绳缺少1尺．问木长多少？若设绳长为 尺，木长为 尺，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵用一根绳量一根木，绳多出4.5尺； ∴ ； ∵将绳对折再量木，绳缺少1尺， ∴ ， ∴根据题意可得方程组为 ， 故选：A． 8．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）如图，在大长方形 中，放入六个相同的小长方形，若 ，则图中阴影部分的面积为（　　） A．48 B．51 C．55 D．56 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，依题意得： ， 解得： ， ∴ ， ∴图中阴影部分面积是51． 故选：B． 9．（22-23七年级下·江苏常州·期末）已知 是二元一次方程组 的解，则 ． 【详解】解：把 代入 ，得 ， 解得 ， 所以 ， 故答案为 ． 10．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）已知关于x，y的方程组 的解为 ，则关于x，y的方程组 的解为 ． 【详解】解：∵ ，∴ ， 而关于 ， 的方程组 的解是 ，∴ ，解得： ； 故答案为： ． 11．（23-24七年级下·江苏南京·期末）解二元一次方程组： (1) (2) 【详解】（1）解： 得： ； 解得： ， 将 代入①， 得 ， 解此一元一次方程得， ， 故原方程组的解为 ； （2）解： ， 整理得： ， 得： ， 把 代入①得： ， ∴方程组的解为： ． 12．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）某水果零售商店在水蜜桃销售季节分两批次从批发市场共购进水蜜桃80箱，已知第一、二次进货价分别为每箱60元、50元，且第二次比第一次多付款700元． (1)求第一、二次各购进水蜜桃多少箱； (2)若商店对这80箱水蜜桃先按每箱80元销售了45箱，其余的每箱打八折销售，求该商店销售完全部水蜜桃所获得的利润．（注：按整箱出售，利润﹣销售总收入﹣进货总成本） 【详解】（1）解：设第一、二次各购进水蜜桃a箱和b箱，由题意可得， ， 解得， ， 答：第一、二次各购进水蜜桃30和50箱； （2）该商店销售完全部水蜜桃所获得的利润为： （元）， 答：利润为1540元． $$