专题08 因式分解期末复习(八大题型+过关检测)-2024-2025学年八年级数学下学期期末重点题型复习与过关检测（北师大版）

专题08 因式分解期末复习（八大重点题型+过关检测） 重点题型 1 题型一 判断是否是因式分解 1 题型二 已知因式分解的结果求参数 2 题型三 公因式 2 题型四 提公因式法分解因式 2 题型五 判断能否用公式法分解因式 3 题型六 综合提公因式和公式法分解因式 3 题型七 因式分解在有理数简算中的应用 3 题型八 因式分解的应用 4 过关检测 4 题型一 判断是否是因式分解 例1：下列各式从左到右的变化中属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 变式训练一 1．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D．        2．下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 题型二 已知因式分解的结果求参数 例2：已知关于的多项式因式分解后有一个因式是，试求的值． 变式训练二 1．若是多项式因式分解的结果，则的值是（    ） A．2 B． C．8 D． 2．若多项式因式分解的结果为，则的值为（    ） A． B． C．19 D．21 题型三 公因式 例3：用提取公因式法因式分解，提出的公因式应当是（    ） A． B． C． D． 变式训练三 1．多项式的公因式是 ． 2．多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 题型四 提公因式法分解因式 例4：分解因式： (1)； (2)． 变式训练四 1．分解因式： (1)； (2)； (3)． 2．已知，，则多项式 ． 题型五 判断能否用公式法分解因式 例5：在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有 个． 变式训练五 1．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 题型六 综合提公因式和公式法分解因式 例6：因式分解 (1)； (2)； (3) 变式训练六 1．分解因式． (1)； (2)． 2．因式分解： (1)； (2)． 题型七 因式分解在有理数简算中的应用 例7：利用分解因式计算：． 变式训练七 1．用简便方法计算： (1)； (2)． 2．设，，则数a，b，c的大小关系是 ． 题型八 因式分解的应用 例8：如图是长为，宽为的长方形，如果它的周长为14，面积为10，那么的值为 ． 变式训练八 1．若，，是三角形三边的长，则多项式的值（    ） A．大于零 B．小于零 C．大于或等于零 D．小于或等于零 2．已知小亮、小莹两位同学家的菜地都是正方形，小亮家的菜地的周长比小莹家的菜地的周长多，这两家的菜地的面积相差，求小亮、小莹两位同学家的菜地的边长． 一、单选题 1．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，多项式可因式分解为，则的值为（   ） A． B．1 C． D．9 3．多项式中各项的公因式是（ ） A． B． C． D． 4．若能用完全平方公式进行因式分解，则常数的值为（   ） A．4 B． C．4或 D．不能确定 5．如果a，b，c是三角形的三边长，那么代数式的值是（   ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 6．小李是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条明码信息：，，5，，a，，分别依次对应七个字：之，桥，天，中，眼，空，国，现将 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．天空之桥 B．中国天眼 C．中国天空 D．天眼之桥 二、填空题 7．若，，则 ． 8．给出下列多项式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中能够因式分解的是： （填上序号）． 9．如果是的一个因式，则的值为 ． 10．一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为8，面积为3，则的值为 ． 11．计算的值为 ． 三、解答题 12．因式分解： (1)； (2)． 13．简便计算： (1) (2)．     14．仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，． 类比上面方法解答： (1)若二次三项式可分解为，则______． (2)若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值． 15．【阅读材料】把整式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．例如： ①用配方法因式分解： 解： ②求的最小值． 解： 即的最小值为． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； (2)利用上述方法进行因式分解：； (3)求的最小值． 16．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：． 例如：求代数式的最小值． 原式． ， 当时，有最小值是2． 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式（利用配方法）：； (2)求多项式的最小值； (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 因式分解期末复习（八大重点题型+过关检测） 重点题型 1 题型一 判断是否是因式分解 1 题型二 已知因式分解的结果求参数 3 题型三 公因式 4 题型四 提公因式法分解因式 5 题型五 判断能否用公式法分解因式 6 题型六 综合提公因式和公式法分解因式 7 题型七 因式分解在有理数简算中的应用 9 题型八 因式分解的应用 11 过关检测 12 题型一 判断是否是因式分解 例1：下列各式从左到右的变化中属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解定义，熟练掌握因式分解定义是本题的关键，同时要理解整式乘法和因式分解的关系． 根据因式分解定义是把一个多项式变成整式乘积的形式，选出答案即可． 【详解】解：A、是因式分解，符合题意； B、，不符合把一个多项式变成整式乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意； C、，不符合把一个多项式变成整式乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意； D、，原因式分解错误，不符合题意， 故选：A． 变式训练一 1．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题考查了因式分解的定义，要与整式的乘法区分开，二者是互逆运算，容易出错． 根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式，叫做因式分解，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A. ，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意     B. ，右边不是整式积的形式，故此选项不符合题意； C. ，是因式分解，故此选项符合题意；     D. ，右边的因式不是整式，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的判断，把一个多项式表示为几个多项式乘积的形式，称为因式分解，掌握因式分解的概念是解题的关键．根据因式分解的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； B、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； C、，因式分解错误，不符合题意； D、，是因式分解，符合题意； 故选：D． 题型二 已知因式分解的结果求参数 例2：已知关于的多项式因式分解后有一个因式是，试求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解的意义，解决此题的关键是灵活利用因式分解建立与方程之间的关系来解决问题． 设分解后的另一个因式为．根据题意得到，然后得出，，进而求解即可． 【详解】解：设分解后的另一个因式为． 由题意，得， ∴，， ∴， ∴． 变式训练二 1．若是多项式因式分解的结果，则的值是（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，因式分解的定义，熟练掌握多项式的运算法则是解题的关键． 先计算，由得到即可求得的值． 【详解】解：∵， 由题意得，， ， ． 故选：C． 2．若多项式因式分解的结果为，则的值为（    ） A． B． C．19 D．21 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的逆运算，解题的关键是得出，的值．将展开，得到，的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：B． 题型三 公因式 例3：用提取公因式法因式分解，提出的公因式应当是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查公因式的定义，提取公因式，把看作一个整体，就是各项公共的部分，也就是公因式．整体思想的利用比较关键． 【详解】解：． 所以公因式是． 故选：C． 变式训练三 1．多项式的公因式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了公因式．根据公因式的确定方法解答即可． 【详解】解：多项式的公因式是， 故答案为：． 2．多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了公因式的定义，多项式的公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的，据此求解即可． 【详解】解：多项式的公因式是， 故选：C． 题型四 提公因式法分解因式 例4：分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了因式分解，正确找出公因式是解题关键． （1）直接找出公因式，进而提取公因式得出答案． （2）直接找出公因式，进而提取公因式得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式训练四 1．分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查提公因式法分解因式，熟记利用提公因式法分解因式的方法是解决问题的关键． （1）利用提公因式法分解因式即可得到答案； （2）利用提公因式法分解因式即可得到答案； （3）利用提公因式法分解因式即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 2．已知，，则多项式 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．将因式分解得，再把已知条件代入即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 题型五 判断能否用公式法分解因式 例5：在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握、是解答本题的关键．根据公式分析解答即可． 【详解】解：，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； 故答案为：4． 变式训练五 1．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查提公因式法、公式法分解因式，根据完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可． 【详解】解：A． ，可以利用平方差公式进行因式分解，因此选项A不符合题意； B．，可以利用提公因式法进行因式分解，因此选项B不符合题意； C．，可以利用完全平方公式进行因式分解，因此选项C符合题意； D．，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项D不符合题意； 故选：C． 2．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的知识，理解并掌握平方差公式的结构特征是解题关键．结合平方差公式的结构特征，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，不能用平方差公式进行分解因式，本选项不符合题意； B. ，能用平方差公式进行分解因式，本选项符合题意； C. ，不能用平方差公式进行分解因式，本选项不符合题意； D. ，不能用平方差公式进行分解因式，本选项不符合题意． 故选：B． 题型六 综合提公因式和公式法分解因式 例6：因式分解 (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，熟练计算是解题的关键． （1）直接提取公因式，进而分解因式即可； （2）直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先利用平方差，再利用完全平方公式即可解答． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， 变式训练六 1．分解因式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解； （2）先利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型七 因式分解在有理数简算中的应用 例7：利用分解因式计算：． 【答案】 【分析】本题考查分解因式，平方差公式，将原式中24变形为，再利用平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解： ． 变式训练七 1．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用完全平方公式因式分解进行简便计算，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行因式分解后即可求解； （2）利用完全平方公式进行因式分解后即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 2．设，，则数a，b，c的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查因式分解，将利用平方差公式进行因式分解后，再根据乘法法则，比较大小即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴； 故答案为：． 题型八 因式分解的应用 例8：如图是长为，宽为的长方形，如果它的周长为14，面积为10，那么的值为 ． 【答案】70 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据提公因式法进行计算即可． 【详解】解：∵长为，宽为的长方形的周长为14，面积为10， ∴，， 故，， 则． 变式训练八 1．若，，是三角形三边的长，则多项式的值（    ） A．大于零 B．小于零 C．大于或等于零 D．小于或等于零 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系，完全平方公式的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据三角形三边关系得到，继而得到，即可得到答案． 【详解】解：，，是三角形三边的长， ， ，即， ， 故选：B． 2．已知小亮、小莹两位同学家的菜地都是正方形，小亮家的菜地的周长比小莹家的菜地的周长多，这两家的菜地的面积相差，求小亮、小莹两位同学家的菜地的边长． 【答案】小亮家菜地的边长为，小莹家菜地的边长为 【分析】本题考查因式分解的应用，解二元一次方程组，设小亮家菜地的边长为，小莹家菜地的边长为，根据题意得到，，进而推出，解二元一次方程组，求出的值即可． 【详解】解：设小亮家菜地的边长为，小莹家菜地的边长为，则有，， ∴，， ∴． 联立 解得 答：小亮家菜地的边长为，小莹家菜地的边长为． 一、单选题 1．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查判断是否是因式分解，根据因式分解的定义，把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，进行判断即可． 【详解】解：A、，是整式的乘法，不符合题意； B、，等式右边不是积的形式，不符合题意； C、，等式右边不是整式的积的形式，不符合题意； D、，是因式分解，符合题意； 故选D． 2．已知，多项式可因式分解为，则的值为（   ） A． B．1 C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，先得出，结合多项式可因式分解为，列式，即可作答． 【详解】解：， ∵多项式可因式分解为， ∴， ∴， 故选：B 3．多项式中各项的公因式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公因式的定义，熟练掌握公因式的定义是解此题的关键．公因式是各项系数的最大公约数和字母因式的最低次幂的积． 根据公因式的定义解答即可． 【详解】解：多项式中各项的公因式是． 故选：B． 4．若能用完全平方公式进行因式分解，则常数的值为（   ） A．4 B． C．4或 D．不能确定 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解方法，利用完全平方公式的结构特征判断，常数项等于一次项系数一半的平方，确定出的值即可得到答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵能用完全平方公式进行因式分解， ∴， ∴， ∴， ∴的值为4或， 故选：C． 5．如果a，b，c是三角形的三边长，那么代数式的值是（   ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，把原式进行因式分解，再根据三角形的三边关系即可判断．解决本题的关键是熟练运用完全平方公式和平分差公式进行因式分解． 【详解】解： ∵a、b、c是三角形的三边长， ∴，， ∴，即的值是负数． 故选：A． 6．小李是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条明码信息：，，5，，a，，分别依次对应七个字：之，桥，天，中，眼，空，国，现将 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．天空之桥 B．中国天眼 C．中国天空 D．天眼之桥 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解．先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可． 【详解】解： ， ∴结果呈现的密码信息可能是“天空之桥”， 故选：A． 二、填空题 7．若，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查代数式求值，先分解因式得到，再整体代值求解即可． 【详解】解：， 将，代入，得 原式， 故答案为：． 8．给出下列多项式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中能够因式分解的是： （填上序号）． 【答案】②④⑤⑥ 【分析】根据提公因式法以及公式法对各个多项式依次加以分析进行判断求解即可. 【详解】①，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解； ②，故可以因式分解； ③，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解； ④，故可以因式分解； ⑤，故可以因式分解； ⑥，故可以因式分解； 综上所述，②④⑤⑥可以因式分解， 故答案为：②④⑤⑥. 【点睛】本题主要考查了因式分解的运用，熟练掌握相关方法及公式是解题关键. 9．如果是的一个因式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式的定义，熟练掌握因式的定义是解题的关键，根据是的一个因式，可得当时，代数式，代入求解即可得到答案． 【详解】解：∵是的一个因式， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为8，面积为3，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的应用，灵活应用因式分解的方法是解本题的关键．根据长方形周长与面积公式求出与的值，原式提取公因式后，代入计算即可求出值． 【详解】解：∵一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为8，面积为3， ∴，， 即， 则原式， 故答案为：12． 11．计算的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式因式分解即可求解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 三、解答题 12．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 13．简便计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用因式分解进行简便计算，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法． （1）直接提取公因式，进而求出答案； （2）将前两项提取公因式2013，进而分解因式得出答案． 【详解】（1）解：      ； （2）解： ． 14．仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，． 类比上面方法解答： (1)若二次三项式可分解为，则______． (2)若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值． 【答案】(1)4 (2)另一个因式为，b值为1 【分析】本题主要考查了多项式乘法与因式分解的关系： （1）由题意得，，据此把等式右边展开即可得到答案； （2）设另一个因式为，则，据此仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴另一个因式为，b值为1． 15．【阅读材料】把整式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．例如： ①用配方法因式分解： 解： ②求的最小值． 解： 即的最小值为． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； (2)利用上述方法进行因式分解：； (3)求的最小值． 【答案】(1)4 (2) (3)1 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据完全平方公式解答即可； （2）先根据完全平方公式配方，再用平方差公式分解； （3）先根据完全平方公式配方，再利用偶次方的性质求解． 【详解】（1）解：∵， ∴所添常数项为4． 故答案为：4； （2）解： （3）解： ∵ ∴ ∴的最小值为1． 16．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：． 例如：求代数式的最小值． 原式． ， 当时，有最小值是2． 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式（利用配方法）：； (2)求多项式的最小值； (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2)最小值为 (3)12 【分析】本题考查因式分解的应用．熟练掌握因式分解是关键． （1）读懂题意，按题目给出的方法因式分解即可； （2）配方后即可得出多项式的最值； （3）把等式的项都移到一边，配方，正好出现非负数相加等于0，然后非负数等于0，求出各条边长，再求周长即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴多项式的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴的周长为． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$