专题06 图形的旋转期末复习(十二大题型+过关检测)-2024-2025学年八年级数学下学期期末重点题型复习与过关检测（北师大版）

专题06 图形的旋转期末复习（十二大重点题型+过关检测） 重点题型 1 题型一 判断生活中的旋转现象 1 题型二 判断由一个图形旋转而成的图案 2 题型三 找旋转中心、旋转角、对应点 2 题型四 旋转中的规律性问题 3 题型五 根据旋转的性质求解 4 题型六 根据旋转的性质说明线段或角相等 5 题型七 画旋转图形 6 题型八 求旋转对称图形的旋转角度 7 题型九 求绕原点旋转90度的点的坐标 8 题型十 求绕某点(非原点)旋转90度的点的坐标 8 题型十一 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 9 题型十二 旋转综合题 10 过关检测 11 题型一 判断生活中的旋转现象 例1：数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（   ） A．国旗上升的过程 B．在笔直的公路上行驶的汽车 C．工作中的风力发电机叶片 D．传输带运输的东西 变式训练一 1．在常见的扑克牌中，“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的（    ） A．旋转 B．平移 C．轴对称 D．以上都对 2．下列现象中，属于旋转的是（   ） A．在笔直公路上行驶的汽车 B．在空中直线上升的氢气球 C．风力发电机叶片的转动 D．传送带上物品位置的移动 题型二 判断由一个图形旋转而成的图案 例2：在下列绿色食品，回收，节能，节水四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 变式训练二 1．将校徽按顺时针方向旋转后得到的图形是图中的（   ）    A．   B．   C．   D．   2．观察如图所示的图案（考虑阴影），它可以看作图案的 通过 （方式）得到的． 题型三 找旋转中心、旋转角、对应点 例3：如图，在中，，将绕点C旋转得到．若点B、C、D在同一条直线上，则旋转方向和旋转角可能是（     ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 变式训练三 1．如图，小明在数学探究活动中发现：线段与线段存在一种特殊的关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，这个旋转中心的位置可以是图中的（   ） A．点E B．点F C．点G D．点H 2．如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点都在格点上，每个小方格都是边长为1的正方形．是由旋转得到的，则旋转中心的坐标为 ． 题型四 旋转中的规律性问题 例4：依次观察三个图形：，并判断照此规律从左向右第四个图形是（    ） A． B． C． D． 变式训练四 1．如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2021次闪烁呈现出来的图形是（　　） A．B． C． D． 2．下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2024个图案与第1个至第4个中的第 个箭头方向相同（填序号）． 题型五 根据旋转的性质求解 例5：如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 变式训练五 1．如图，若最大圆的直径是，则空白部分的面积是 ． 2．如图，已知在四边形中，，，于点E，旋转后能与重合． (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)如果点A是旋转中心，那么点B经过旋转后，旋转到图中点________的位置． 题型六 根据旋转的性质说明线段或角相等 例6：如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，使得点B的对应点E恰好落在边上，点A的对应点为D，延长交于点F．试判断与的位置关系，并说明理由． 变式训练六 1．如图，在中，，将绕点B逆时针旋转，得到，点D恰好落在的延长线上，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，点是直线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． (1)如图①，当，且点在线段上时，线段和之间的数量关系是 ； (2)如图②，当，且点在线段上时，猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明； 题型七 画旋转图形 例7：如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点），以边的中点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出． 变式训练七 1．如图，的顶点坐标分别为，，．将绕原点顺时针度（）后得到，且点的对应点是，点B、C的对应点分别是． (1)______； (2)请在图中画出． 2．如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点，仅用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图①中画出向右平移4个单位后的图形（意标上字母）； (2)连接， 线段和的关系是 ； (3)在图②中画出绕点 B 顺时针旋转后的． 题型八 求旋转对称图形的旋转角度 例8：如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 度． 变式训练八 1．如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．一个正方形要绕它的中心至少旋转 ，才能与原来的图形重合． 题型九 求绕原点旋转90度的点的坐标 例9：在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转得到点，则点的坐标为 ． 变式训练九 1．在平面直角坐标系中，点绕原点顺时针旋转后得到点，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，O是原点，，将绕O逆时针旋转得，则点C的坐标为 ． 题型十 求绕某点(非原点)旋转90度的点的坐标 例10：如图，在平面直角坐标系中，是由绕点旋转得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式训练十 1．如图，的三个顶点的坐标分别为、、，将绕C逆时针旋转后，A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，点坐标为，点坐标为，将线段绕点顺时针旋转90°至，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 题型十一 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 例11：在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针方向旋转到点，则点的坐标是 ． 变式训练十一 1．在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转后的对应点所在象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在平面直角坐标系中，点A坐标是，当把坐标系绕点O顺时针旋转时，点A在旋转后的坐标系中的坐标是 ． 题型十二 旋转综合题 例12：在四边形中，，，，，则的最大值为 ． 变式训练十二 1．已知和都是等腰三角形，．    (1)如图①，当点D在外部，点E在内部时，求证：． (2)如图②，和都是等腰直角三角形，，点C，D，E在同一直线上，为中边上的高．求的度数；判断线段之间的数量关系，并说明理由． (3)如图③，和都是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转，连结．当时，在旋转过程中，与的面积和是否存在最大值？若存在，写出计算过程；若不存在，请说明理由． 2．如图1，在中，，，点D、E分别在边、上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，分别连接、． (1)如图2，当时，求证：； (2)如图3，当时，延长交于点F，求证：垂直平分； (3)连接，在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数． 一、单选题 1．将4张扑克牌按图1的方式放在桌面上，将其中1张扑克牌旋转了后得到图2，则被旋转过的扑克牌是（　　） A． B． C． D． 2．如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．在平面直角坐标系中，点P（a,b）绕点O顺时针旋转45°为一次变换，第2020次变换后得点P′，则点P′的坐标为（      ） A．（ a, b） B．（-a,-b） C．（b,-a） D．（b,-a） 4．如图，把绕着点顺时针方向旋转，得到，点刚好落在上，则的度数为（    ） A．72° B． C． D．66° 5．如图，图②是由图①经过平移得到的，图②还可以看作是由图①经过怎样的变换得到的？现给出两种变换方式：①2次旋转；②2次轴对称，下面说法正确的是（   ） A．①②都不行 B．①②都可行 C．只有①可行 D．只有②可行 6．一个图形绕着某一点旋转任意角度后能与自身重合，这个图形是（    ） A．任意三角形 B．平行四边形 C．圆 D．矩形 7．如图是由中国结和雪花两种元素组成的一个图案，这个图案绕着它的旋转中心旋转角度后能够与它本身重合，则旋转角度不可能为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，将绕点顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 10．如图所示，图形①经过轴对称变换得到图形②；则图形①经过 变换得到图形③；图形①经过 变换得到图形④．（填平移或旋转）    11．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均为格点（网格线的交点），将绕某点顺时针旋转，得到（点均为格点），则旋转中心的坐标为 ． 12．如图，在中，，，将绕点C按逆时针方向旋转后得到，设交于点F，连接，若，则旋转角的度数为 ． 13．在平面直角坐标系，把点绕原点O旋转，点P的对应点的坐标是 ． 14．在平面直角坐标系中，点先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到A点，再把A点绕原点旋转得到B点，那么B点的坐标是 ． 三、解答题 15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为． (1)画出绕点C逆时针旋转后的图形； (2)将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，画出； (3)若可以看作绕某点旋转得到，则旋转中心的坐标是__________． 16．如下图，将绕点O顺时针旋转得到，E，F分别是，的中点． (1)在这个旋转过程中，旋转中心是什么？旋转角是什么？ (2)与的长有什么关系？与呢？ (3)与的度数大小有什么关系？ 17．在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，求的长． 【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程； 【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，判断之间的数量关系，并说明理由； 【类比迁移】如图③，小李家有一块三角形的空地，其中，小李家位于空地旁的点，通过测量．，请直接写出线段的长． 18．（1）问题背景 如图甲，，，垂足为，且，，求四边形的面积．    小明发现四边形的一组邻边，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程： 第一步：将绕点逆时针旋转； 第二步：利用与互补， 证明三点共线， 从而得到正方形； 进而求得四边形的面积．    请直接写出四边形的面积为　 　． （2）类比迁移如图乙，为等边外一点，，，且，求四边形的面积． （3）拓展延伸 如图丙，在五边形中，，，，，，求五边形的面积． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 图形的旋转期末复习（十二大重点题型+过关检测） 重点题型 1 题型一 判断生活中的旋转现象 1 题型二 判断由一个图形旋转而成的图案 2 题型三 找旋转中心、旋转角、对应点 4 题型四 旋转中的规律性问题 6 题型五 根据旋转的性质求解 7 题型六 根据旋转的性质说明线段或角相等 9 题型七 画旋转图形 12 题型八 求旋转对称图形的旋转角度 15 题型九 求绕原点旋转90度的点的坐标 17 题型十 求绕某点(非原点)旋转90度的点的坐标 19 题型十一 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 22 题型十二 旋转综合题 24 过关检测 30 题型一 判断生活中的旋转现象 例1：数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（   ） A．国旗上升的过程 B．在笔直的公路上行驶的汽车 C．工作中的风力发电机叶片 D．传输带运输的东西 【答案】C 【分析】根据旋转变换的概念，对选项进行一一分析，排除错误答案．本题考查生活中的旋转现象．旋转变换：一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转变换．要注意旋转的三要素：①定点−旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 【详解】解：A、国旗上升的过程是平移，不属于旋转，不符合题意； B、在笔直的公路上行驶的汽车属于平移，不是绕着某一个固定的点转动，不属于旋转，不符合题意； C、工作中的风力发电机叶片，符合旋转变换的定义，属于旋转，符合题意； D、传输带运输的东西是平移，不属于旋转，不符合题意． 故选：C． 变式训练一 1．在常见的扑克牌中，“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的（    ） A．旋转 B．平移 C．轴对称 D．以上都对 【答案】A 【分析】本题主要考旋转，根据把图形倒过来放，看它还是和原来一样可判断出是图形是旋转变换即可． 【详解】解：“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的旋转， 故选：A． 2．下列现象中，属于旋转的是（   ） A．在笔直公路上行驶的汽车 B．在空中直线上升的氢气球 C．风力发电机叶片的转动 D．传送带上物品位置的移动 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，解答关键是根据相关定义进行判定．根据旋转的定义分别判断即可． 【详解】解：A、在笔直公路上行驶的汽车，属于平移，故此选项不符合题意； B、在空中直线上升的氢气球，属于平移，故此选项不符合题意； C、风力发电机叶片的转动，属于旋转，故此选项符合题意； D、传送带上物品位置的移动，属于平移，故此选项不符合题意； 故选：C． 题型二 判断由一个图形旋转而成的图案 例2：在下列绿色食品，回收，节能，节水四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了运用旋转设计图案，通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转，进而判断得出即可，正确理解旋转图形的特点是解题的关键． 【详解】解：、不是通过一个基本图形旋转得到的，不符合题意； 、是通过一个基本图形经过旋转得到的，符合题意； 、不是通过一个基本图形旋转得到的，不符合题意； 、不是通过一个基本图形旋转得到的，不符合题意； 故选：． 变式训练二 1．将校徽按顺时针方向旋转后得到的图形是图中的（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质可得答案． 【详解】解：将校徽按顺时针方向旋转后得到的图形是：    故选：D． 2．观察如图所示的图案（考虑阴影），它可以看作图案的 通过 （方式）得到的． 【答案】 四分之一 旋转 【分析】本题考查了旋转性质，认真观察图形，得出原图形可以看做图案的四分之一通过每次旋转90度得到的，即可作答． 【详解】解：观察图形可知，它可以看做图案的四分之一通过每次旋转90度得到的， 故答案为：四分之一，旋转． 题型三 找旋转中心、旋转角、对应点 例3：如图，在中，，将绕点C旋转得到．若点B、C、D在同一条直线上，则旋转方向和旋转角可能是（     ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 【答案】A 【分析】本题主要考查了求旋转角和旋转方向，根据平角的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，点B、C、D在同一条直线上， ∴， ∴旋转方向和旋转角可能是顺时针，， 故选；A． 变式训练三 1．如图，小明在数学探究活动中发现：线段与线段存在一种特殊的关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，这个旋转中心的位置可以是图中的（   ） A．点E B．点F C．点G D．点H 【答案】B 【分析】本题考查找旋转中心，根据旋转中心在对应点连线的中垂线上，连接，线段的中垂线的交点即为旋转中心，进行判断即可． 【详解】解：如图， 旋转中心的位置可以为点； 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点都在格点上，每个小方格都是边长为1的正方形．是由旋转得到的，则旋转中心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了找旋转中心，坐标与图形；设旋转中心为点．根据旋转中心必然在一组对应点的中垂线上，根据网格找到的垂直平分线的交点，结合坐标系，即可求解． 【详解】解：如图，旋转中心为点，． 故答案为：． 题型四 旋转中的规律性问题 例4：依次观察三个图形：，并判断照此规律从左向右第四个图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形规律可知，从左到右是依次顺时针旋转图形，据此即可求解． 【详解】解：由图形规律可得从左到右是依次顺时针旋转图形， ∴第四个图形是D． 故答案为：D 【点睛】本题考查了旋转的性质，根据三个图形找出旋转的规律是解题关键． 变式训练四 1．如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2021次闪烁呈现出来的图形是（　　） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形的变化易得每旋转一次的度数，根据阴影所处的位置可得相应选项． 【详解】解：观察图形的变化可知：每旋转一次，旋转角为90°，即每4次旋转一周， ∵2021÷4＝505...1， 即第2021次与第1次的图案相同． 故选：A． 【点睛】此题考查了图形的变换规律问题，解题的关键是找到图形旋转的规律周期． 2．下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2024个图案与第1个至第4个中的第 个箭头方向相同（填序号）． 【答案】4 【分析】此题主要考查了生活中的旋转现象，直接利用已知图案得出旋转规律进而得出答案． 【详解】解：每次4个图案为一个周期，， 则第2024个图案中箭头的指向与第4个图案方向一致． 故答案为：4． 题型五 根据旋转的性质求解 例5：如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转角的理解，利用定义从图形中准确得找出旋转角是关键．根据题意得出旋转角，进而根据，即可求解． 【详解】解：依题意，， 又∵， ∴ 故选：C． 变式训练五 1．如图，若最大圆的直径是，则空白部分的面积是 ． 【答案】48 【分析】本题考查求阴影部分是不规则图形，正方形的面积．求阴影面积时，关键在于观察阴影部分的图形，若阴影部分是特殊图形，利用面积公式即可解答，若阴影部分是不规则图形，考虑把不规则图形转化为可计算的规则图形． 【详解】解∶观察图中阴影部分，可以发现四个阴影部分加起来是大圆外切正方形的四分之一， ∴， ∴ ． 故答案为48． 2．如图，已知在四边形中，，，于点E，旋转后能与重合． (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)如果点A是旋转中心，那么点B经过旋转后，旋转到图中点________的位置． 【答案】(1)点A (2)90° (3)D 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质以及旋转中心的确定，旋转角的确定，以及旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质． （1）根据图形确定旋转中心即可； （2）根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得，从而求得旋转角度即可； （3）根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得，从而求得对应点即可． 【详解】（1）解：由图可知，点A为旋转中心； （2）解：∵旋转后能与重合， ∴， ∴旋转角是； （3）解：∵旋转后能与重合， ∴， ∴， ∴点B经过旋转后，旋转到图中点D的位置． 故答案为：D． 题型六 根据旋转的性质说明线段或角相等 例6：如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，使得点B的对应点E恰好落在边上，点A的对应点为D，延长交于点F．试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．由旋转的性质得出，证出，则可得出． 【详解】解：，理由如下： ∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式训练六 1．如图，在中，，将绕点B逆时针旋转，得到，点D恰好落在的延长线上，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．由旋转的性质可知，然后利用等边对等角得，最后由三角形内角和即可求解即可． 【详解】解：由旋转可知：． ∵点D在的延长线上， ∴． ∵， ∴， ∴，即旋转角的度数为． 故选：A． 2．如图，在中，，，点是直线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． (1)如图①，当，且点在线段上时，线段和之间的数量关系是 ； (2)如图②，当，且点在线段上时，猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明； 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查几何变换的综合应用，涉及全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定性质． （1）由将线段绕点逆时针旋转得到线段，得，，从而，故，得； （2）根据，得，由，即知，从而，有，故． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图： ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， 在与中， ， ， ； （2）解：线段、、之间的数量关系为，证明如下： 如图： ， ， 同（1）可证， ， ， ， ． 题型七 画旋转图形 例7：如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点），以边的中点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画旋转图形，连接并延长到使得，同理作出，再顺次连接即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 变式训练七 1．如图，的顶点坐标分别为，，．将绕原点顺时针度（）后得到，且点的对应点是，点B、C的对应点分别是． (1)______； (2)请在图中画出． 【答案】(1)90 (2)见解析 【分析】本题考查了两点之间的距离公式，勾股定理的逆定理，旋转的性质． （1）利用两点之间的距离公式求得三边的长，利用勾股定理的逆定理即可判断是等腰直角三角形，求得； （2）根据旋转的性质作出图形即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 故答案为：90； （2）解：如图，即为所求． 2．如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点，仅用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图①中画出向右平移4个单位后的图形（意标上字母）； (2)连接， 线段和的关系是 ； (3)在图②中画出绕点 B 顺时针旋转后的． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3)见解析 【分析】本题考查作图旋转变换、作图平移变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据平移的性质可得答案． （3）根据旋转的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图①，即为所求． （2）解：由平移得，线段和的关系是平行且相等． 故答案为：平行且相等． （3）解：如图②，即为所求． 题型八 求旋转对称图形的旋转角度 例8：如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 度． 【答案】72 【分析】本题主要考查了旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解题关键． 观察图形可得，图形由五个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度即可． 【详解】解：图形可看作由一个基本图形旋转5次所组成，故最小旋转角为． 故答案为：72． 变式训练八 1．如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质．先利用旋转的性质得到，，再利用，计算即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， 故选：B． 2．一个正方形要绕它的中心至少旋转 ，才能与原来的图形重合． 【答案】90 【分析】本题考查了旋转角的定义及求法，解题关键是利用正方形对称轴数量，结合旋转一周的度数，求出使图形重合的最小旋转角度。 正方形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点，然后根据旋转角及旋转对称图形的定义作答即可． 【详解】解：∵正方形绕中心旋转时，由于其具有4条对称轴，绕中心旋转一周是，且旋转后能与自身重合的角度间隔是相等的． ∴， ∴正方形绕中心至少旋转90度后能和原来的图案互相重合． 故答案为：90． 题型九 求绕原点旋转90度的点的坐标 例9：在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是旋转的性质，图形与坐标，全等三角形的判定与性质，灵活运用以上知识解题是关键．根据题意画出示意图，结合旋转的性质及全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图：则， ∵， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得得点在第三象限， ∴， 故答案为：． 变式训练九 1．在平面直角坐标系中，点绕原点顺时针旋转后得到点，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标与旋转变换的关系．关键是根据旋转的性质和角之间的关系确定全等三角形．如图，过点A、分别作x轴的垂线，垂足为H、P，则，由旋转的性质和角之间的关系可证，求出，的长，即可得到点的坐标． 【详解】 过点A、分别作x轴的垂线，垂足为H、P， ∵点， ∴， ∵线段绕点O顺时针旋转， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点． 故选：A． 2．如图，O是原点，，将绕O逆时针旋转得，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】过点C作于点D，结合条件是等腰直角三角形建构起一线三直角全等模型，利用模型的二级结论解决问题． 【详解】解：过点C作轴于点D，过点A作轴于点B， 根据绕O逆时针旋转得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点C在第二象限， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，坐标与线段的关系，坐标与象限的关系，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 题型十 求绕某点(非原点)旋转90度的点的坐标 例10：如图，在平面直角坐标系中，是由绕点旋转得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，线段的垂直平分线的性质，两点之间距离公式，确定点为与的垂直平分线的交点，是解题的关键． 根据旋转的性质可得为与的垂直平分线的交点，则，设，再由，结合两点之间距离公式建立方程求解． 【详解】解：由题意得点为与的垂直平分线的交点， ∴， ∵， ∴的垂直平分线为直线， 设， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故选：C． 变式训练十 1．如图，的三个顶点的坐标分别为、、，将绕C逆时针旋转后，A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与旋转，根据旋转的性质，画出图形，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：由题意，画图如下： 由图可知：A的对应点的坐标为； 故选：D． 2．如图，点坐标为，点坐标为，将线段绕点顺时针旋转90°至，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，求平面直角坐标系内点的坐标， 先作轴，轴，根据题意可知，可得，再证明，可得，即可得出答案． 【详解】解：如图所示， 过点A，B作轴，轴，交x轴于点D，E， ∵点， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点． 故选：A． 题型十一 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 例11：在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针方向旋转到点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，勾股定理，等边对等角，过点A作轴于B，则，则可推出，由旋转的性质可得，则点在y轴上，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于B， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴点在y轴上， ∴， 故答案为：． 变式训练十一 1．在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转后的对应点所在象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查点坐标关于原点对称的特点，平面直角坐标系中象限和点坐标的关系等．根据题意可知与关于原点对称的坐标为， 【详解】解：点在第二象限，绕原点逆时针旋转后即为点的中心对称点， ∴对应点在第四象限， 故选：D． 2．在平面直角坐标系中，点A坐标是，当把坐标系绕点O顺时针旋转时，点A在旋转后的坐标系中的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转．根据题意画出图形，连接，作轴于点B，当把坐标系绕点O顺时针旋转时，相当于把绕点O逆时针旋转，可得点A在旋转后的坐标系中的坐标是． 【详解】解：如图所示：连接，作轴于点B， ∵点A坐标是． ∴，， ∴， ∴， 当把坐标系绕点O顺时针旋转时，相当于把绕点O逆时针旋转， ∴点A在旋转后的坐标系中的坐标是． 故答案为：． 题型十二 旋转综合题 例12：在四边形中，，，，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题是四边形中线段最值问题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．将线段绕点顺时针旋转得到，连接、，可得到等腰直角，通过判定，得出，因为，所以当、、三点共线时，取最大值，由，即可求出的最大值． 【详解】解：如图所示，将线段绕点顺时针旋转得到，连接、， 由旋转可得，，， ， ，即， ， ， ， ， ， ，， 当、、三点共线时，取最大值，最大值为， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 变式训练十二 1．已知和都是等腰三角形，．    (1)如图①，当点D在外部，点E在内部时，求证：． (2)如图②，和都是等腰直角三角形，，点C，D，E在同一直线上，为中边上的高．求的度数；判断线段之间的数量关系，并说明理由． (3)如图③，和都是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转，连结．当时，在旋转过程中，与的面积和是否存在最大值？若存在，写出计算过程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)存在，7 【分析】（1）证明 ，即可得出结论； （2）由等腰直角三角形的性质得 ，则 ，同 （1） 得 ，则 ， 然后由等腰直角三角形的性质得 ，即可解决问题； （3）根据旋转的过程中 的面积始终保持不变，而在旋转的过程中， 的边 始终保持不变，即可解决问题； 【详解】（1）证明：∵， 即 ， 在 和 中， （2），理由如下： ∵ 是等腰直角三角形， ∴， ∴， 同 （1）得： (SAS)， ∴， ∴， ∵ 是等腰直角三角形， 为 中 边上的高， ∴， ∵， ∴； （3） 与 的面积和存在最大值为7，理由如下： 如图（4）    由旋转可知，在旋转的过程中 的面积始终保持不变 ， ∵ 与 面积的和达到最大， ∴ 面积最大， ∵在旋转的过程中， 始终保持不变， ， ∴ 面积最大时， 点 到 的距离最大， ∴， ∴ 与 面积的和达到的最大值为： 【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性 质以及三角形面积等知识，本题综合性强， 熟练掌握等腰三角形的性质和旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型 2．如图1，在中，，，点D、E分别在边、上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，分别连接、． (1)如图2，当时，求证：； (2)如图3，当时，延长交于点F，求证：垂直平分； (3)连接，在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的面积的最大值为，旋转角 【分析】（1）利用“”证得，即可得到结论； （2）利用“”证得，推出，进而得出，再结合勾股定理，得出，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论； （3）观察图形，当点D在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：由题意得，，，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：根据题意：，，， 在和中， ， ， ，且， ， ， ， ，，， ，， ， ， 是线段的垂直平分线； （3）解： 在中，边的长是定值，则边上的高取最大值时，的面积有最大值， 当点D在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，如图， ，，，， ，， ，， 的面积的最大值为：， 此时旋转角． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质等知识，寻找全等三角形，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 一、单选题 1．将4张扑克牌按图1的方式放在桌面上，将其中1张扑克牌旋转了后得到图2，则被旋转过的扑克牌是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是旋转的性质，根据图形旋转的性质解答即可． 【详解】解：由图可知，将图1其中1张扑克牌旋转了后得到图形与图2相同，只有当梅花3被旋转过时才能出现这种情况． 故选：B． 2．如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，即可得出，分别以A,B,C为旋转中心即可从正方形甲旋转到正方形乙的位置． 【详解】解：如图， 绕A点逆时针旋转90°，可到正方乙的位置； 绕C点顺时针旋转90°，可到正方乙的位置； 绕AC的中点B旋转180°，可到正方乙的位置； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等；特别注意容易忽略点B． 3．在平面直角坐标系中，点P（a,b）绕点O顺时针旋转45°为一次变换，第2020次变换后得点P′，则点P′的坐标为（      ） A．（ a, b） B．（-a,-b） C．（b,-a） D．（b,-a） 【答案】B 【分析】由图形列出部分点的坐标，根据坐标发现规律“P2（b,-a）, P4（-a，-b）,P6（-b,a），P8（a,b）, P10（b,-a）…”，根据该规律即可求出点P2020的坐标． 【详解】解：通过观察，可以发现规律：P2（b,-a）, P4（-a，-b）,P6（-b,a），P8（a,b） , P10（b,-a）….故每8次是一个循环，20208=252……4,故与P4坐标一样,为（-a,-b）. 【点睛】本题是对点的坐标变化规律的考查，找到变化规律是解题的关键． 4．如图，把绕着点顺时针方向旋转，得到，点刚好落在上，则的度数为（    ） A．72° B． C． D．66° 【答案】B 【分析】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质等知识，根据题意得出是解题关键． 利用旋转的性质得出，，，再利用等腰三角形的性质得出答案． 【详解】解：由题意可得：， ∵把绕着点C顺时针方向旋转，得到， ∴， ∴． ∴ 故选：B． 5．如图，图②是由图①经过平移得到的，图②还可以看作是由图①经过怎样的变换得到的？现给出两种变换方式：①2次旋转；②2次轴对称，下面说法正确的是（   ） A．①②都不行 B．①②都可行 C．只有①可行 D．只有②可行 【答案】B 【分析】本题考查旋转和轴对称，理解旋转和轴对称的概念是解题的关键． 2次旋转就可以与原图重合，2次轴对称就可以与原图重合，据此判定即可． 【详解】图①每次旋转，2次旋转后可以得到图②，变换方式①可行； 图①沿竖直方向的直线，2次轴对称可以得到图②，变换方式②可行； 故选：B． 6．一个图形绕着某一点旋转任意角度后能与自身重合，这个图形是（    ） A．任意三角形 B．平行四边形 C．圆 D．矩形 【答案】C 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．绕其对称中心点旋转任意角度后，所得到的图形都和原图形重合就是旋转不变图形，根据旋转的性质即可作出判断． 【详解】解：圆，绕圆心旋转任意角度后都能与原图形重合， 故选：C． 7．如图是由中国结和雪花两种元素组成的一个图案，这个图案绕着它的旋转中心旋转角度后能够与它本身重合，则旋转角度不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转对称图形、正多边形的性质．先求出正六边形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可． 【详解】解：， 则这个图案绕着它的中心旋转或的倍数后能够与它本身重合， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 8．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】在中，利用勾股定理可得，再由旋转的性质可得，然后由即可获得答案． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴， 由旋转可知，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 9．如图，将绕点顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用旋转的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，且点共线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了三角形的内角和定理，比较简单． 二、填空题 10．如图所示，图形①经过轴对称变换得到图形②；则图形①经过 变换得到图形③；图形①经过 变换得到图形④．（填平移或旋转）    【答案】 旋转 平移 【分析】观察各个图形的特点，根据平移、旋转和轴对称的性质解答即可． 【详解】解：仔细观察各个图的位置关系可知：①和②是轴对称关系，①和③图形的大小一样，但方向发生了变化，是旋转，①和④的形状大小一样，是平移关系． ∴图形①经过旋转变换得到图形③； 图形①经过平移变换得到图形④． 故答案为轴对称；旋转；平移． 【点睛】本题考查了生活中的旋转、平移及轴对称现象，图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化；旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心；轴对称是两个图形沿某条直线对折后能够完全重合． 11．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均为格点（网格线的交点），将绕某点顺时针旋转，得到（点均为格点），则旋转中心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转，由旋转的性质可得的对应点为，的对应点为，的对应点为，同时旋转中心在和的垂直平分线上，进而求出旋转中心坐标，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可得的对应点为，的对应点为，的对应点为， ∴交点在和的垂直平分线上，如图， ∴旋转中心的坐标为， 故答案为：． 12．如图，在中，，，将绕点C按逆时针方向旋转后得到，设交于点F，连接，若，则旋转角的度数为 ． 【答案】 【分析】由旋转性质可得，，，，，，解得；，进而得到结果．本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识．解题的关键在于找出角度的数量关系． 【详解】解：如图 由旋转性质可得， ∴ ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．在平面直角坐标系，把点绕原点O旋转，点P的对应点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．分两种情况，当将点绕原点逆时针旋转时得到点时，过点P作轴于点，轴于点A，证明，得出，，得出；当将点绕原点顺时针旋转得到点时，根据点与点关于原点对称，求出结果即可． 【详解】解：当将点绕原点逆时针旋转时得到点时，如图，过点P作轴于点，轴于点A， 由旋转的性质可知，，， ， ∵轴，轴， ， ， ， ， ，， ∵， ∴，， ，， ， 当将点绕原点顺时针旋转得到点时，点与点关于原点对称，此时点． 故答案为：或． 14．在平面直角坐标系中，点先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到A点，再把A点绕原点旋转得到B点，那么B点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查点的平移和中心对称的性质，设，由平移得，再利用旋转可得，，即可得解． 【详解】解：设点的坐标为， 点先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到A点， ∴， 把点绕原点旋转得到点， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为． (1)画出绕点C逆时针旋转后的图形； (2)将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，画出； (3)若可以看作绕某点旋转得到，则旋转中心的坐标是__________． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，找旋转中心，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）利用网格特点和旋转的性质画出点、绕点逆时针旋转的对应点、，再顺次连接点、、即可； （2）先将点、、分别先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到点、、的坐标，再顺次连接即可； （3）分别作和的垂直平分线，它们的交点满足条件． 【详解】（1）解：根据网格的特点画出点、绕点逆时针旋转的对应点、，顺次连接点、、，如下图即为所求： （2）解：将点、、分别先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到点、、的坐标，再顺次连接，如下图即为所求： （3）解：作和的垂直平分线，交于点，如图所示， 由图可知点的坐标为， 故答案为：． 16．如下图，将绕点O顺时针旋转得到，E，F分别是，的中点． (1)在这个旋转过程中，旋转中心是什么？旋转角是什么？ (2)与的长有什么关系？与呢？ (3)与的度数大小有什么关系？ 【答案】(1)旋转中心是点O，旋转角是 (2) (3) 【分析】本题主要考查了旋转．熟练掌握旋转的定义和性质是解决问题的关键．旋转的定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角． （1）根据旋转角的定义和旋转中心的定义即可求解； （2）根据旋转的定义和线段中点的定义即可求解； （3）根据旋转的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得旋转中心是点O，旋转角是； （2）解：由旋转知：，， ∵E，F分别是，的中点 ∴，， ∴； （3）解：由旋转知：， ∴， ∴． 17．在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，求的长． 【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程； 【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，判断之间的数量关系，并说明理由； 【类比迁移】如图③，小李家有一块三角形的空地，其中，小李家位于空地旁的点，通过测量．，请直接写出线段的长． 【答案】【思考探究】5；【理解应用】，理由见解析；【类比迁移】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理等三角形综合知识，通过旋转构造特殊三角形是解题的关键． 思考探究：根据提示易得等边三角形和直角三角形，继而得解； 理解应用：通过旋转易得等腰直角三角形和直角三角形，继而得解； 类比迁移：通过旋转易得等腰直角三角形和直角三角形，继而得解． 【详解】解：思考探究：由旋转可知：， 是等边三角形， ， ， 是直角三角形， ； 理解应用：，理由如下： 如图，把绕点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转可知：， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ∴在中，，即， ； 类比迁移：如图，将绕点B顺时针旋转，得到，连接， 由旋转可知： ， 是等腰直角三角形， ，， ∵， ∴点在线段上， ， 是直角三角形， ， 的长为． 18．（1）问题背景 如图甲，，，垂足为，且，，求四边形的面积．    小明发现四边形的一组邻边，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程： 第一步：将绕点逆时针旋转； 第二步：利用与互补， 证明三点共线， 从而得到正方形； 进而求得四边形的面积．    请直接写出四边形的面积为　 　． （2）类比迁移如图乙，为等边外一点，，，且，求四边形的面积． （3）拓展延伸 如图丙，在五边形中，，，，，，求五边形的面积． 【答案】（1）25（2）（3）24 【分析】（1）根据四边形的面积等于正方形的面积计算即可； （2）如图乙中，延长至，取，连接．只要证明，即可推出四边形的面积等于的面积； （3）如图丙中，延长至，连接、、．只要证明五边形的面积等于四边形的面积即可． 【详解】解（1）由题可知． 故答案为25． （2）如图，延长至，取，连接．   等边中，，， ， 四边形中，， ， 又，， ， ，． ， ， 为等边三角形且， ． （3）如图，延长至，连接、、．   ，，， ， ． ，， ， ， ． 【点睛】本题考查四边形综合题、旋转变换、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$