专题7 期末复习题题组——平行线的判定与性质（30题）2024-2025学年沪科版七年级下册数学（高效学习）

专题7 期末复习题题组——平行线的判定与性质（30题）（解析版） 目录 类型1 相交线与垂线的性质 1 类型2 平行线的判定 4 类型3 平行线的判定与性质 9 类型4 平行的性质与判定在生活中的实际应用 31 类型1 相交线与垂线的性质 1．（2025春保定期中）如图，直线AB与CD相交于点O，OC平分∠AOE． （1）若∠BOD＝34°，求∠AOE的度数． （2）过点O作OF⊥OE，若∠AOE：∠BOE＝2：3，求∠BOF的度数． 【解答】解：（1）∵∠BOD＝34°， ∴∠AOC＝∠BOD＝34°， ∵OC平分∠AOE， ∴∠AOE＝2∠AOC＝68°； （2）∵∠AOE：∠BOE＝2：3，∠AOE+∠BOE＝180°， ∴∠AOE＝180°72°， ∵OF⊥OE， ∴∠EOF＝90°， ∴∠BOF＝180°﹣∠AOE﹣∠EOF＝18°． 2．（2025春虞城县期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB． （1）若∠1＝∠2，判断ON与CD位置关系，并说明理由； （2）若，求∠BOD的度数． 【解答】解：（1）ON⊥CD， 理由：∵OM⊥AB， ∴∠AOM＝90°， ∴∠AOC+∠1＝90°， ∵∠1＝∠2， ∴∠AOC+∠2＝90°， 即∠CON＝90°， ∴ON⊥CD； （2）∵OM⊥AB， ∴∠BOM＝90°， ∴∠BOC＝∠1+∠BOM＝∠1+90°， ∵∠1∠BOC， ∴∠1＝30°， ∴∠BOD＝180°﹣∠1﹣∠MOB＝60°． 3．（2025春天山区校级期末）如图，已知OC⊥AB于O，∠AOD：∠COD＝1：2． （1）若OE平分∠BOC，求∠DOE的度数； （2）若∠AOE的度数比∠COE的度数的3倍多30°，试判断OD与OE的位置关系，并说明理由． 【解答】解：（1）OC⊥AB于O， ∴∠AOC＝∠BOC＝90°． ∵∠AOC＝90°，∠AOD：∠COD＝1：2， ∠DOC＝60°． ∵OE平分∠BOC，∠BOC＝90°， ∴∠COE＝45°， ∠DOE＝∠DOC+∠COE＝60°+45° ∠DOE＝105°； （2）OD⊥OE，理由如下： OC⊥AB于O， ∴∠AOC＝∠BOC＝90°． ∵∠AOC＝90°，∠AOD：∠COD＝1：2， ∠DOC＝60°． ∠AOE﹣∠COE＝2∠COE+30°， ∠AOE﹣∠COE＝90°， ∵2∠COE+30°＝90°， ∴∠COE＝30°． ∵∠DOE＝∠DOC+∠COE＝60°+30°＝90°， ∴OD⊥OE． 4．（2024秋大连期末）如图，直线AB，CD相交于点O，以O为观察中心，射线OA表示正北方向，射线OC表示正东方向，即∠AOC＝90°，射线OE，OF的方向如图所示，且∠EOF＝90°． （1）如图1， ①若射线OE的方向为北偏东40°，则射线OF的方向为　 　； ②请说明∠AOF与∠COE互为补角． （2）如图2，OM平分∠COE，ON平分∠DOE，求证：∠DON＝∠MOF． ϖ 【解答】解：（1）①∵∠AOE＝40°，∠EOF＝90°， ∴∠BOF＝180°﹣90°﹣40°＝50°， 即OF的方向是南偏东50°， 故答案为：南偏东50°； ②∵∠EOF＝90°＝∠EOC+∠COF，∠BOF+∠COF＝90°， ∴∠EOC＝∠BOF， ∵∠AOF+∠BOF＝180°， ∴∠AOF+∠COE＝180°， 即∠AOF与∠COE互为补角； （2）∵OM平分∠COE，ON平分∠DOE， ∴∠COM＝∠EOM∠COE，∠DON＝∠EON∠DOE， ∴∠MON（∠COE+∠DOE）180°＝90°， ∴∠EON+∠EOM＝90°， 又∵∠EOF＝∠EOM+∠FOM＝90°，∠DON＝∠EON， ∴∠DON＝∠MOF． 类型2 平行线的判定 5．（2025春陈仓区期中）如图，已知直线EF与直线AB，CD分别相交于点E，F，GF⊥EF于点F，若∠1＝38°，∠2＝52°，直线AB与CD平行吗？请说明理由． 【解答】解：直线AB与CD平行，理由如下： ∵GF⊥EF于点F， ∴∠EFG＝90°， ∵∠2＝52°， ∴∠EFD＝180°﹣90°﹣52°＝38°， ∵∠AEF＝∠1＝38°， ∴∠AEF＝∠EFD， ∴AB∥CD． 6．（2024秋丹巴县期末）已知：如图，点F在AB上，EF交BD于G，交CD于E，∠1＝∠2，∠3＝∠ABE，∠ADC+∠C＝180°． 求证：AD∥EF． 【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∴∠ABE＝∠DBC， 又∵∠3＝∠ABE， ∴∠3＝∠DBC， ∴EF∥BC， ∵∠ADC+∠C＝180°， ∴AD∥BC， ∴AD∥EF． 7．（2025春莱阳市期中）如图，点D、E、F分别在△ABC的三条边上，点G在EF上，如果∠1＝∠2，∠3＝∠C，那么DE与BC平行吗？请说明理由． 【解答】解：DE∥BC，理由如下： ∵∠1＝∠2， ∴DG∥AC， ∴∠3＝∠AED， ∵∠3＝∠C， ∴∠C＝∠AED， ∴DE∥BC． 8.（2025春长寿区校级期中）完成下面的证明： 已知：如图，AB和CD交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD，过点O作OM⊥BD于点M，延长MO交AC于点N，求证：ON⊥AC． 证明：∵OM⊥BD（已知）， ∴∠OMB＝90°（　 　 ）， ∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD（已知）， 又∵∠COA＝∠BOD（　 　 ）， ∴∠C＝　 　 （等量代换）， ∴　 　 ∥AC，（　 　 ）． ∴　 　 ＝∠OMB（　 　 ）， ∴∠ONA＝90°， ∴ON⊥AC（　 　 ）． 【解答】证明：∵OM⊥BD（已知）， ∴∠OMB＝90°（ 垂直的性质）， ∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD（已知）， 又∵∠COA＝∠BOD（ 对顶角相等）， ∴∠C＝∠D（等量代换）， ∴BD∥AC，（ 内错角相等，两直线平行）． ∴∠ANO＝∠OMB（两直线平行，内错角相等 ）， ∴∠ONA＝90°， ∴ON⊥AC（ 垂直的定义）． 故答案为：垂直的性质，对顶角相等，∠D，BD，内错角相等，两直线平行，∠ANO，两直线平行，内错角相等，垂直的定义． 9．（2025春临潼区期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝59°，∠D＝121°，点P，F分别在边BC，CD上，连接PF，连接BF并延长至点E，连接CE，∠ABE＝3∠DCE，∠DCE＝24°． （1）求∠DFE的度数； （2）若∠BFP＝48°，请判断CE与PF是否平行，并说明理由． 【解答】解：（1）∵∠ABE＝3∠DCE，∠DCE＝24°， ∴∠ABE＝72°， ∵∠A＝59°，∠D＝121°，59°+121°＝180°， ∴AB∥CD， ∴∠DFE＝∠ABE＝72°； （2）CE∥PD，理由如下： 由（1）知，∠DFE＝72°， ∴∠BFC＝∠DFE＝72°， ∵∠BFP＝48°， ∴∠PFC＝∠BFC﹣∠BFP＝72°﹣48°＝24°， 又∵∠DCE＝24°， ∴∠DCE＝∠PFC， ∴CE∥PD． 10．（2025春大连期中）如图，点D，E，F，G都在三角形ABC的边上，BD∥EF，∠BEF+∠BDG＝180°． （1）求证：DG∥BC； （2）若∠EFC＝120°，DG平分∠ADB，求∠C的度数． 【解答】（1）证明：∵BD∥EF， ∴∠BEF+∠DBC＝180°， ∵∠BEF+∠BDG＝180°， ∴∠DBC＝∠BDG， ∴DG∥BC； （2）解：∵∠EFC＝120°，∠EFC+∠EFA＝180°， ∴∠EFA＝60°， ∵BD∥EF， ∴∠ADB＝∠EFA＝60°， ∵DG平分∠ADB， ∴∠ADG∠ADB＝30°， ∵DG∥BC， ∴∠C＝∠ADG＝30°． 11．（2025春大连期中）如图，平行直线AB，CD与EF相交，交点分别为E，F． （1）若∠AEF＝50°，求∠CFE的度数； （2）若EG平分∠BEF，FH平分∠CFE，试判断EG与FH的位置关系，并说明理由． 【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠AEF+∠CFE＝180°， ∵∠AEF＝50°， ∴∠CFE＝180°﹣∠AEF＝130°； （2）EG∥FH，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠BEF＝∠CFE， ∵EG平分∠BEF，FH平分∠CFE， ∴∠GEF∠BEF，∠EFH∠CFE， ∴∠GEF＝∠EFH， ∴EG∥FH． 类型3 平行线的判定与性质 12．（2025春海淀区校级期中）如图，点E、F分别在线段CD和AB上，且AE⊥BC于G，DF⊥BC于H，∠1＝∠2． （1）求证：AB∥CD； （2）连接AC，若∠ACB＝48°，∠CAB＝3∠BCD+32°，求∠B． 【解答】（1）证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠AGB＝∠FHB＝90°， ∴AE∥DF， ∴∠1＝∠D， ∵∠1＝∠2， ∴∠D＝∠2， ∴AB∥CD； （2）解：如图， ∵AB∥CD， ∴∠B＝∠BCD， ∵∠CAB＝3∠BCD+32°， ∴∠CAB＝3∠B+32°， ∵∠ACB+∠CAB+∠B＝180°，∠ACB＝48°， ∴48°+3∠B+32°+∠B＝180°， ∴∠B＝25°． 13．（2025春周至县期中）如图，已知△ABC，点D在AB上，DF交AC于点E，连接CF，若DF∥BC，∠B＝∠F． （1）求证：AB∥CF； （2）若∠B＝50°，CA平分∠BCF，求∠A的度数． 【解答】（1）证明：∵DF∥BC， ∴∠ADF＝∠B（两直线平行，同位角相等）， ∵∠B＝∠F， ∴∠ADF＝∠F（等量代换）， ∴AB∥CF（内错角相等，两直线平行）； （2）解：∵∠B＝50°，∠B＝∠F， ∴∠F＝50°， ∵DF∥BC， ∴∠∠BCF＝180°﹣∠F＝180°﹣50°＝130°， ∵CA平分∠BCF， ∴， ∵AB∥CF， ∴∠A＝∠ACF＝65°． 14．（2025春中山市期中）如图1，已知CD∥EF，A，B分别是CD和EF上一点，BC平分∠ABE，BD平分∠ABF． （1）求证：BC⊥BD； （2）如图2，若点G是BF上一点，且∠BAG＝50°，作∠DAG的平分线交BD于点P，求∠DAP与∠ABP的数量关系； （3）如图3，过点A作AN⊥EF于点N，作AQ∥BC交EF于点Q，AP平分∠BAN交BF于点P，求∠PAQ的度数． 【解答】（1）证明：∵BC平分∠ABE，BD平分∠ABF， ∴，， ∵∠ABE+∠ABF＝180°， ∴， ∴BD⊥BC； （2）解；∵CD∥EF， ∴∠BAD+∠ABG＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠DAG+∠BAG+∠ABG＝180°， ∵∠BAG＝50°， ∴∠DAG+∠ABG＝180°﹣∠BAG＝180°﹣50°＝130°， ∵AP平分∠DAG， ∴， 由（1）得， ∴； （3）解：设∠CBE＝x°， ∵BC平分∠ABE， ∴∠CBE＝∠ABC＝x°，∠ABE＝2∠CBE＝2x°， ∵CD∥EF， ∴∠DAB＝∠ABE＝2x°，∠DAQ＝∠AQB，∠ANE＝∠DAN（两直线平行，内错角相等）， ∵AQ∥BC， ∴∠CBE＝∠AQB＝∠DAQ＝x°（两直线平行，同位角相等）， ∵AN⊥EF， ∴∠ANE＝∠DAN＝90°， ∴∠NAQ＝90°﹣x°，∠BAN＝2x°﹣90°， ∵AP平分∠BAN， ∴； ∴∠PAQ＝∠PAN+∠NAQ＝x°﹣45°+90°﹣x°＝45°，即∠PAQ的度数为45°． 15．（2025春商丘期中）（1）如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC＝3∠BEF，过点A作AG⊥EF交EF于点G，FK平分∠AFE，AK平分∠PAG，FK与AK交于点K． ①∠AKF＝　 　 °； ②若，求∠FBE； （2）如图2将②中确定的△BEF绕着点F以每秒4°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，△AFG保持不变，当边BF与射线FA重合时停止，则在旋转过程中，△BEF的边BE所在的直线与△AFG的某一边所在的直线垂直时，直接写出此时t的值． 【解答】解：（1）①∵FK平分∠AFE，AK平分∠PAG， ∴∠EFH＝∠HFA，∠GAK＝∠KAP， ∵AG⊥EF， ∴∠EFH+∠HFA+∠FAG＝90°， 又∵∠GAK+∠KAP+∠FAG＝180°， 故∠EFH+∠HFA+∠FAG+∠GAK+∠KAP+∠FAG＝180°+90°＝270°， 即2∠HFA+2∠GAK+2∠FAG＝270°， ∴∠HFA+∠GAK+∠FAG＝135°， ∠AKF＝180°﹣∠HFA﹣∠GAK﹣∠FAG＝180°﹣135°＝45°， 故答案为：45； ②∵， ∴， ∵AB∥CD， ∴∠CEF＝∠EFH+∠HFA， 又∵∠CEF＝∠BEC+∠BEF，∠BEC＝3∠BEF， ∴∠CEF＝4∠BEF， 故， 解得：∠BEF＝20°， 故∠BEC＝3∠BEF＝60°， ∴∠FBE＝∠BEC＝60°； （2）解：由②可得∠FBE＝60°，∠BEF＝20°，，∠AFG＝80°，∠BFE＝100°， 当B′E′⊥EF时，如图： ∵∠FE′B′＝20°， ∴∠EFE′＝90°﹣20°＝70°，∠B′FE＝100°﹣70°＝30°， ∴∠BFB′＝100°﹣∠B′FE＝70°， 此时旋转时间为； 当B′E′⊥AF时，如图： ∵∠FE′B′＝20°，∠FAG＝10°， ∴∠AFE′＝90°﹣20°＝70°，∠B′FA＝100°﹣70°＝30°， ∴∠BFB′＝180°﹣∠B′FA＝150°， 此时旋转时间为； 当B′E′⊥AG时，如图： ∵∠FAG＝10°， ∴∠B′HA＝90°﹣10°＝80°， ∵∠FE′B′＝20°， ∴∠E′FA＝180°﹣80°﹣20°＝80°，∠B′FA＝100°﹣80°＝20°， ∴∠BFB′＝180°﹣∠B′FA＝160°， 此时旋转时间为； 综上，符合条件的t的值为17.5秒或37.5秒或40秒． 16．（2025春淮安区校级期中）【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．老师让同学们将两把直角三角尺EFG和HMN（∠GEF＝∠MHN＝90°，∠MNH＝60°，∠HMN＝30°，∠EGF＝∠EFG＝45°）”，已知AB∥CD．如图①，把三角尺EFG的直角顶点E放在直线CD上，把三角尺HMN的直角顶点H放在直线AB上，HM经过点E． （1）若∠GEM＝120°，∠DEF＝20°，求∠AHN的度数； 【操作探究】 （2）如图②，绕点H逆时针旋转三角尺HMN，恰好可以使得点G与点N重合，此时测得∠FGM＝20°，请你说明∠AHG与∠DEF之间的数量关系； 【深度探究】 （3）在（1）的条件下，将三角尺GEF绕E点以每秒3°的速度按逆时针方向，同时将三角尺HMN绕H点以每秒2°的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为t（0≤t≤60）．请直接写出当HN与△EGF的一边平行时t的值． 【解答】解：（1）∵∠GEM＝120°， ∴∠GEH＝180°﹣120°＝60°， ∵∠GEF＝90°， ∴∠FEH＝90°﹣60°＝30°， ∵∠DEF＝20°， ∴∠DEH＝∠DEF+∠FEH＝20°+30°＝50°， ∵AB∥CD， ∴∠AHM＝∠DEH＝50°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠MHN＝90°， ∴∠AHN＝90°﹣50°＝40°； （2）结论：∠DEF﹣∠AHG＝5°． 理由：设∠DEF＝x． ∵∠FEG＝90°， ∴∠CEG＝90°﹣x， ∵∠FGM＝20°，∠MGH＝60°， ∴∠FGH＝60°﹣20°＝40°， ∵∠EGF＝45°， ∴∠EGH＝∠EGF+∠FGH＝85°， ∵AB∥CD， ∴∠AHG+∠CEG＝∠EGH， ∴∠AHG＝85°﹣（90°﹣x）＝x﹣5°， ∴∠DEF﹣∠AHG＝5°； （3）由（1）可得，∠AHN＝40°，∠DEF＝20°， 当时，∠AHN＝（40﹣3t）°，当t＜10时，∠FED＝（20﹣2t）°； ①当NH∥GF时，如图，设直线FG分别交AB，CD于点S，T，过点F作FK∥CD， ∵AB∥CD， ∴FK∥AB（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴∠KFT＝∠STE＝∠HST＝∠NHS＝（40﹣3t）°， ∵∠GFE＝45°， 则∠EFT＝135°， ∵FK∥CD， ∴∠KFE+∠FET＝180°， ∴40﹣3t+135+20﹣2t＝180， 解得：t＝3； ②当NH∥EF时，如图， ∵AB∥CD， ∴∠AHN＝∠FED， 当时，∠AHN＝（40﹣3t）°，∠FED＝（2t﹣20）°， ∴40﹣3t＝2t﹣20， 解得：t＝12； ③当NH∥EG时，如图， 当时，∠AHN＝（3t﹣40）°，∠FED＝（2t﹣20）°， ∵AB∥CD， ∴∠AHG＝∠GED（两直线平行，内错角相等）， ∵∠GED+∠FED＝90°， ∴∠AHG+∠FED＝90°， ∴3t﹣40+2t﹣20＝90， 解得：t＝30， 综上，t＝3或t＝12或t＝30． 17．（2025春周至县期中）【问题提出】 （1）如图①，AB∥CD，∠D＝15°，∠GAB＝70°，求∠P的度数； （2）如图②，AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA，PE，请写出∠PAB，∠CEP，∠APE之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA，PE，∠PED的平分线EQ与∠PAB的平分线AF所在直线交于点Q，求2∠AQE+∠APE的值． 【解答】解：（1）如图，过点P作PH∥AB， ∵AB∥CD，PH∥AB， ∴∠GAB＝∠APH，CD∥PH， ∴∠D＝∠DPH， ∵∠GAB＝70°，∠D＝15°， ∴∠APD＝∠APH+∠DPH＝∠GAB+∠D＝85°； （2）∠CEP+∠PAB﹣∠APE＝180°，理由如下： 如图，过点P作PM∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥PM， ∴∠MPE＝∠CEP，∠APM+∠PAB＝180°， ∴∠CEP＝∠APM+∠APE， 即∠CEP＝180°﹣∠PAB+∠APE， ∴∠CEP+∠PAB﹣∠APE＝180°； （3）如图，过点Q作QG∥AB， ∵AB∥CD，QG∥AB， ∴AB∥CD∥QG， ∴∠AQG＝∠BAQ，∠EQG＝∠DEQ， ∴∠AQE＝∠AQG+∠EQG＝∠BAQ+∠DEQ， ∴2∠AQE＝2∠BAQ+2∠DEQ＝2（180°﹣∠BAF）+2∠DEQ， 又∵EQ，AF分别是∠PED与∠PAB的平分线， ∴2∠DEQ＝∠PED，2∠BAF＝∠PAB， ∴2∠AQE＝360°﹣∠PAB+∠PED， 由（2）知∠CEP+∠PAB﹣∠APE＝180°， ∴∠APE＝∠CEP+∠PAB﹣180°， ∴2∠AQE+∠APE＝360°﹣∠PAB+∠PED+∠CEP+∠PAB﹣180°＝360°+180°﹣180°＝360°， 即2∠AQE+∠APE＝360°． 18．（2025春嘉定区期中）问题情境 我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用． 已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF． 问题初探 （1）如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数． 分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数． 由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为 　 　 ，∠EMC的度数为 　 　 ． 类比再探 （2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写∠CAF与∠EMC的数量关系，并说明理由． （3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由． 【解答】解：（1）由题可得，∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°， ∠EMC＝∠BCH＝90°﹣30°＝60°； 故答案为：30°，60°； （2）∠EMC+∠CAF＝90°，理由： 证明：如图， 过C作CH∥GF，则∠CAF＝∠ACH， ∵DE∥GF，CH∥GF， ∴CH∥DE， ∴∠EMC＝∠HCM， ∴∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°； （3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，理由： 证明：如图， 过B作BK∥GF，则∠BAG＝∠KBA， ∵BK∥GF，DE∥GF， ∴BK∥DE， ∴∠BMD＝∠KBM， ∴∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°． 19．（2025春西城区校级期中）直线AB∥CD，EF分别交AB、CD于点M、N，NP平分∠MND． （1）如图1，若MR平分∠EMB，则MR∥NP．请你把下面的解答过程补充完整： 解：∵AB∥CD；（已知） ∴∠EMB＝∠END．（　 　 ） ∵MR平分∠EMB，NP平分∠MND；（已知） ∴∠EMR∠EMB，∠MNP∠MND．（　 　 ） ∴∠EMR＝ 　 ； ∴MR∥/NP．（　 　 ） （2）如图2，若MR平分∠AMN，则MR与NP有怎样的位置关系？请说明理由． （3）如图3，若MR平分∠BMN，则MR与NP有怎样的位置关系？请在横线上写出你猜想的结论：　 　 ． 【解答】解：（1）∵AB∥CD（已知）， ∴∠EMB＝∠END（两直线平行，同位角相等）， ∵MR平分∠EMB，NP平分∠MND（已知）， ∴∠EMR∠EMB，∠MNP∠MND（角平分线的定义）， ∴∠EMR＝∠MNP， ∴MR∥NP（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；∠MNP；同位角相等，两直线平行； （2）MR∥NP，理由如下： ∵AB∥CD（已知）， ∴∠AMN＝∠DNM（两直线平行，内错角相等）， ∵MR平分∠AMN，NP平分∠MND（已知）， ∴∠NMR∠AMN，∠MNP∠MND（角平分线定义）， ∴∠NMR＝∠MNP， ∴MR∥NP（内错角相等，两直线平行）； （3）如图3，MR交NP于点O， ∵AB∥CD（已知）， ∴∠BMN+∠DNM＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵MR平分∠BMN，NP平分∠MND（已知）， ∴∠NMR∠BMN，∠MNP∠MND（角平分线定义）， ∴∠NMR+∠MNP＝90°， ∴∠MON＝90°， ∴MR⊥NP， 故答案为：MR⊥NP． 20．（2025春芙蓉区校级月考）已知AB∥CD，M，N分别在AB，CD上，点E在直线AB与直线CD之间． （1）如图1，求证：∠E＝∠1+∠2； （2）如图2，若F在AB，CD之间，∠EMF＝5∠BMF，NF平分∠END，若∠1＝∠2，求∠E与∠F的数量关系； （3）如图3，射线ME从MA开始，绕点M以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线NF从ND开始，绕点N以20°每秒的速度逆时针旋转，直线ME与直线NF交于点P，若直线ME与直线NF相交所夹的锐角为30°，直接写出运动时间t秒（0≤t≤18）的值为 　 　 ． 【解答】（1）证明：作EF平行AB， 又∵AB∥CD， ∴EF∥CD， 由条件可知∠1＝∠MEF， 又∵EF∥CD， ∴∠2＝∠FEN， ∴∠1+∠2＝∠MEF+∠FEN， 即∠E＝∠1+∠2； （2）解：设∠BMF＝y°，则∠EMF＝5y°，设∠ENF＝∠DNF＝x°， ∴∠1＝180°﹣6y°，∠2＝180°﹣2x， ∵∠1＝∠2， ∴3y°＝x°， 由（1）得∠F＝∠BMF+∠DNF＝y+x，∠E＝∠1+∠2＝360°﹣6y°﹣2x°； ∴∠F＝4y，∠E＝360°﹣12y°， ∴3∠F+∠E＝360°； （3）解：①过点P向左作PQ∥AB，可得20°t﹣10°t＝30°，t＝3． ②过点P向左作PQ∥AB，可得20°t﹣180°+180°﹣10°t＝150°，t＝15． 故答案为：3或15． 21．（2025春江油市期中）在含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动中．如图1，已知两直线a，b且a∥b，同学们以“一个Rt△ABC，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°”展开探究． （1）在图1中，∠1＝40°，求∠2的度数； 【深入探究】 （2）如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠2﹣∠1＝120°，请说明理由； 【拓展应用】 （3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC平分∠BAM，此时发现∠1与∠2又存在新的数量关系，请直接写出∠1与∠2的数量关系． 【解答】解：（1）如图， ∵∠1＝40°，∠BCA＝90°， ∴∠3＝180°﹣∠BCA﹣∠1＝50°， ∵a∥b， ∴∠2＝∠3＝50°； （2）理由如下： 如图2，过点B作BD∥a， ∴∠2+∠ABD＝180°， ∵a∥b， ∴b∥BD， ∴∠1＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝60°﹣∠1， ∴∠2+60°﹣∠1＝180°， ∴∠2﹣∠1＝120°； （3）∠1＝∠2，理由如下： 如图，过点C作CP∥a， ∵AC平分∠BAM， ∴∠CAM＝∠BAC＝30°，∠BAM＝2∠BAC＝60°， 又∵a∥b， ∴CP∥b，∠1＝∠BAM＝60°， ∴∠PCA＝∠CAM＝30°， ∴∠BCP＝∠BCA﹣∠PCA＝90°﹣30°＝60°， 又∵CP∥a， ∴∠2＝∠BCP＝60°， ∴∠1＝∠2． 22．（2024秋松北区期末）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图①，已知AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点P在直线AB、CD之间，设∠AEP＝∠α，∠CFP＝∠β，求证：∠P＝∠α+∠β． 证明：如图②，过点P作PQ∥AB，∴∠EPQ＝∠AEP＝∠α， ∵PQ∥AB，AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠FPQ＝∠CFP＝∠β， ∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝∠α+∠β，即∠EPF＝∠α+∠β． 可以运用以上结论解答下列问题：【类比应用】 （1）如图③，已知AB∥CD，∠D＝15°，∠GAB＝70°，求∠P的度数． （2）如图④，已知AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA、PE，则∠PAB，∠CEP，∠APE之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图⑤，已知AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA、PE，∠PED的平分线与∠PAB的平分线所在直线交于点Q，求∠APE+2∠AQE的值． 【解答】解：（1）如图③，延长BA至H， ∵AB∥CD， ∴∠APD＝∠HAP+∠D， ∵∠HAP＝∠GAB，∠GAB＝70°， ∴∠HAP＝70°， ∵∠D＝15°， ∴∠APD＝85°； （2）∠CEP+∠PAB﹣∠APE＝180°，理由如下： 如图④，过P点作PM∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥PM， ∴∠MPE＝∠CEP，∠MPA+∠PAB＝180°， ∴∠MPE﹣∠MPA﹣∠PAB＝∠CEP﹣180°， 即∠APE﹣∠PAB＝∠CEP﹣180°， ∴∠CEP+∠PAB﹣∠APE＝180°； （3）由示例知，∵AB∥CD， ∴∠AQE＝∠BAQ+∠DEQ， ∴2∠AQE＝2∠BAQ+2∠DEQ＝2（180°﹣∠BAF）+2∠DEQ， 又∵QE，AF分别是∠PED与∠PAB的角平分线， ∴2∠BAF＝∠PAB，2∠DEQ＝∠PED， ∴2∠AQE＝360°﹣∠PAB+∠PED， 由（2）知，∠CEP+∠PAB﹣∠APE＝180°， ∴∠APE＝∠CEP+∠PAB﹣180°， ∴2∠BAF+∠APE＝360°﹣∠PAB+∠PED+∠CEP+∠PAB﹣180°＝180°+180°＝360°， 即2∠BAF+∠APE＝360°． 23．（2025春西城区校级期中）已知a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，且AD⊥BC于E． （1）如图1，求证：∠ABC+∠ADC＝90°； （2）如图2，BF平分∠ABC交AD于点F，DG平分∠ADC交BC于点G，求∠AFB+∠CDG的度数； （3）如图3，P为线段AB上一点，I为线段BC上一点，连接PI，N为∠IPB的角平分线上一点，且∠NCD∠BCN，则∠CIP，∠IPN，∠CNP之间的数量关系是 　 　 ． 【解答】（1）证明：如图1中，过E作EF∥a， ∵a∥b， ∴a∥b∥EF， ∵AD⊥BC， ∴∠BED＝90°， ∵EF∥a， ∴∠ABE＝∠BEF， ∵EF∥b， ∴∠ADC＝∠DEF， ∴∠ABC+∠ADC＝∠BED＝90°； （2）解：如图2中，作FM∥a，GN∥b， 设∠ABF＝∠EBF＝x，∠ADG＝∠CDG＝y， 由（1）知，2x+2y＝90°，x+y＝45°， ∵FM∥a∥b， ∴∠BFD＝2y+x， ∴∠AFB＝180°﹣（2y+x）， 同理：∠CGD＝180°﹣（2x+y）， ∴∠AFB+∠CGD＝360°﹣（3x+3y） ＝360°﹣3×45° ＝225°； （3）解：如图，设PN交CD于E， 当点N在∠DCB内部时， ∵∠CIP＝∠PBC+∠IPB， ∴∠CIP+∠IPN＝∠PBC+∠BPN+2∠IPE， ∵PN平分∠IPB， ∴∠EPB＝∠EPI， ∵AB∥CD， ∴∠NPB＝∠CEN，∠ABC＝∠BCE， ∵， ∴∠CIP+∠IPN＝3∠PEC+3∠NCE＝3（∠NCE+∠NEC）＝3∠CNP， 当点N′在直线CD的下方时， ∵∠CIP＝∠PBC+∠IPB， ∴∠CIP+∠IPN＝∠PBC+∠BPN'+2∠IPE， ∵PN'平分∠IPB， ∴∠EPB＝∠EPI， ∵AB∥CD， ∴∠NPB＝∠CEP，∠ABC＝∠BCE， ∵， ∴∠CIP+∠CNP＝3∠IPN， 综上所述：3∠CNP＝∠CIP+∠IPN或3∠IPN＝∠CIP+∠CNP． 类型4 平行的性质与判定在生活中的实际应用 24．（2025春赛罕区期中）根据下面的推理过程，填写理由． 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图1是一个“巴”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中AB∥GH，AD∥EF，∠A＝∠G＝∠EFD，求证：∠D＝∠AEF． 证明：如图2，∵AB∥GH（已知）， ∴∠B+∠G＝180°（ 　 　 ）， 又∵∠A＝∠G（ 　 　 ）， ∴∠A+∠B＝180°（等量代换）， ∴AD∥BG（ 　　 　　 ）， ∵AD∥EF（已知）， ∴BG∥EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行）， ∴∠AEF＝∠B（ 　　 　　 ）， ∴∠A+∠AEF＝180°（等量代换）， ∵∠A＝∠EFD（已知）， ∴∠EFD+∠AEF＝180°（ 　 　 ）， ∴AB∥CD（ 　　 　　 ）， ∴∠A+∠D＝180°（ 　　 　　 ）， ∴∠AEF＝∠D（同角的补角相等）． 【解答】证明：如图2，∵AB∥GH（已知）， ∴∠B+∠G＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵∠A＝∠G（已知）， ∴∠A+∠B＝180°（等量代换）， ∴AD∥BG（同旁内角互补，两直线平行）， ∵AD∥EF（已知）， ∴BG∥EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行）， ∴∠AEF＝∠B（两直线平行，同位角相等）， ∴∠A+∠AEF＝180°（等量代换）， ∵∠A＝∠EFD（已知）， ∴∠EFD+∠AEF＝180°（等量代换）， ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠A+∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠AEF＝∠D（同角的补角相等）． 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；已知；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 25．（2025春东莞市期中）台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，它能够集中光线，使得周围环境适合于阅读、学习或工作，对于保护眼睛健康也具有重要意义．如图1是一盏可折叠台灯．图2是其平面示意图，底座MN位于水平位置，支架AB、BC为固定支撑杆，支架OC可绕点C旋转，从而调节灯光照射方向．已知灯体顶角∠DOE＝52°，∠DOE的平分线OP始终与OC垂直． （1）求∠COD的度数； （2）如图2，当支架OC旋转至水平位置时，OD恰好与BC平行，求支架BC与水平方向上夹角∠CBF的度数． 【解答】解：（1）∵OP平分∠DOE， ∴∠DOP∠DOE52°＝26°， ∵OP⊥OC， ∴∠COP＝90°， ∴∠COD＝∠DOP+∠COP＝116°； （2）∵OD∥BC， ∴∠BCO＝180°﹣∠DOC＝64°， ∵OC∥BF， ∴∠OCB＝∠CBF＝64°． 26．（2025春东莞市校级期中）【问题初探】 （1）数学活动课上，王老师给出如下问题：如图1，AB∥CD，点E在AB，CD之间且点E在点A右侧，求证：∠AEC＝∠BAE+∠DCE； 【类比探究】 （2）李明对王老师给出的问题进行了改编：如图2，AB∥CD，点E在AB，CD之间且点E在点A左侧，直接写出∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系； 【学以致用】 （3）如图3是超市购物车，图4是其侧面示意图，已知AB∥CD，FD⊥CD，测量得知∠ABE＝75°，∠DFE＝115°，求∠BEF的度数． 【解答】（1）证明：如图1，过点E作EF∥AB，则∠BAE＝∠AEF， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠DCE＝∠CEF， ∵∠AEC＝∠AEF+∠CEF， ∴∠AEC＝∠BAE+∠DCE； （2）如图2，过点E作EF∥AB，则∠BAE+∠AEF＝180°， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠BAE+∠AEF+∠CEF+∠DCE＝180°+180°， 即∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°； （3）如图4，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥CD， ∴∠BEM＝∠ABE＝75°，∠NFD+∠FDC＝180°， ∵FD⊥CD， ∴∠FDC＝90°， ∴∠NFD＝90°， ∵∠DFE＝115°， ∴∠EFN＝115﹣90°＝25°， 由条件可知EM∥FN， ∴∠FEM＝∠EFN＝25°， ∴∠BEF＝∠BEM+∠FEM＝75°+25°＝100°． 27．（2025春香洲区校级期中）在科学实验课上，小明发现：1．光线在不同介质中的传播速度是不一样的，当光线从一种介质射向另一种介质时，折射现象便会发生；2．经过实验，小明还发现凸透镜能让与主光轴平行的光线汇聚在主光轴上的某一点．基于这些发现，小明设计了以下三个问题： （1）如图1，这是一块玻璃的a，b两面，且a∥b．现有一束光线CD从玻璃射向空气时发生折射，光线变成DE，F为射线CD上的一点．已知∠1＝135°，∠2＝23°，求∠3的度数； （2）如图2，箭头所画的是光线的方向，F是凸透镜的焦点，BD∥CE∥OF．若∠BDF＝150°，∠CEF＝160°，求∠DFE的度数； （3）联想拓展：如图3，BD∥CE∥OF，若∠BDF的邻补角∠MDF的角平分线与∠CEF的邻补角∠NEF的角平分线交于点Q，请直接写出∠BDF，∠CEF与∠Q的数量关系． 【解答】解：（1）∵a∥b，∠1＝135°， ∴∠GDF＝∠1＝135°（两直线平行，同位角相等）， ∴∠HDF＝180°﹣∠GDF＝180°﹣135°＝45°， ∵∠2＝23°， ∴∠3＝45°﹣∠2＝45°﹣23°＝22°； （2）∵BD∥CE∥OF， ∴∠BDF+∠DFO＝180°，∠CEF+∠EFO＝180°， ∵∠BDF＝150°，∠CEF＝160°， ∴∠DFO＝30°，∠EFO＝20°， ∴∠DFE＝30°﹣20°＝10°； （3）∠BDF+2Q＝∠CEF． 28．（2025春介休市期中）【阅读理解】 “两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． 【建立模型】 （1）如图①，已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，∠EAB＝135°，∠AEC＝95°，则∠ECD＝ 　 　 °． （2）如图②，已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，请写出∠AEC与∠BAE、∠DCE之间的关系，并说明理由． 【解决问题】 （3）奥运会过后掀起一股滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB∥CD，如果人的小腿CD与地面的夹角∠CDE＝60°，求出身体BA与水平线的夹角∠BAF的度数． 【解答】解：（1）如图，过点E作EF∥AB， 由条件可得EF∥AB∥CD， ∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°， ∵∠EAB＝135°，∠AEC＝95°， ∴∠AEF＝45°，∠CEF＝95°﹣45°＝50°， ∴∠ECD＝180°﹣∠CEF＝130°， 故答案为：130°； （2）∠AEC＝∠BAE+∠ECD，理由如下： 如图，过E作直线EF∥AB， 由条件可得AB∥EF∥CD， ∴∠BAE＝∠AEF，∠ECD＝∠CEF， ∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠BAE+∠ECD； （3）如图，延长AB交直线ED于点H， 由条件可得∠CDE＝∠DHA＝60°， ∵AF∥EH， ∴∠BAF＝∠DHA＝60°． 29．（2025春湖北校级期中）“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．现将两灯射出的光束看作是两条射线，如图1所示，灯A射出的光束AA′从AM开始顺时针旋转至AN便立即往回旋转，灯B射出的光束BB′从BP开始顺时针旋转至BQ便立即往回旋转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒，a，b满足|a﹣2|+（b﹣1）2＝0．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1． （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，∠BAN＝　 　 °； （2）若灯B射出的光束BB′先转动15秒，灯A射出的光束AA′才开始转动，在灯B射出的光束BB′到达BQ之前（即灯B转动角度小于180°），A灯转动多少秒时，两灯射出的光束互相平行？ （3）如图2，两灯同时开始转动，在灯A射出的光束AA′到达AN之前（即灯A转动角度小于180°），若两灯射出的光束交于点C，过C作∠ACD＝120°，交PQ于点D，在转动过程中，∠ACD的度数保持不变，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意可得：a﹣2＝0，b﹣1＝0， ∴a＝2，b＝1， ∵∠BAM＝2∠BAN， ∵∠BAM+∠BAN＝180°， ∴3∠BAN＝180°， ∴∠BAN＝60°， 故答案为：2，1，60； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， ①当0＜t＜90时，如图1， ∵PQ∥MN， ∴∠PBD＝∠BDA， ∵AC∥BD， ∴∠CAM＝∠BDA， ∴∠CAM＝∠PBD， ∴2t＝15+t， 解得：t＝15； ②当90≤t＜165时，如图2， ∵PQ∥MN， ∴∠PBA+∠BAN＝180°， ∵AB∥CD， ∴∠CAN＝∠BDA， ∴∠PBD+∠CAN＝180°， ∴15+t+（2t﹣180）＝180， 解得t＝115； 当t＝15或t＝115时，两灯的光束互相平行． （3）不会变化． 理由如下：设灯A射线转动时间为t秒， ∵∠MAC＝2t，∠MAB＝120°， ∴∠BAC＝2t﹣120° ＝2（t﹣60°）， 又∵∠DBC＝t，∠ABD＝120°， ∴∠ABC＝120°﹣t， ∠BCA＝180°﹣（∠ABC+∠BAC） ＝180°﹣t， 又∵∠ACD＝120°， ∴∠BCD＝120°﹣∠BCA ＝120°﹣（180°﹣t） ＝t﹣60° ∴∠BAC：∠BCD＝2：1， ∴∠BAC和∠BCD关系不会变化． 30．（2025春蕉城区期中）在物理学中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等． 如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角∠1＝∠2． 【简单应用】（1）如图2，有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为45°，现放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底（即射线b⊥OC），MN与水平线的夹角∠MOC的度数为 　65°　 ． 【类比拓展】（2）如图3，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：∠1＝∠2，∠3＝∠4．在这样的条件下，求证：AB∥CD． 【尝试探究】（3）两块平面镜OM，ON，且∠MON＝α，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．如图4，光线AB与CD相交于点E，则∠BEC的度数是多少？（用含α的式子表示） 【解答】（1）解：由题意可得，（180°﹣40°﹣90°）＝25°， ∴∠MOC＝25°+40°＝65°， 故答案为：65°； （2）证明：如图3，∵OM⊥ON， ∴∠COB＝90°， ∴∠2+∠3＝90°， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°， ∴∠DCB+∠ABC＝360°﹣180°＝180°， ∴AB∥CD； （3）解：如图4，在△OBC中， ∵∠MON＝α， ∴∠2+∠3＝180°﹣α， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠DCB＝180°﹣2∠3，∠ABC＝180°﹣2∠2， ∴∠BEC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCD ＝180°﹣（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3） ＝2（∠2+∠3）﹣180° ＝2（180°﹣a）﹣180° ＝180°﹣2α． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7 期末复习题题组——平行线的判定与性质（30题）（原卷版） 目录 类型1 相交线与垂线的性质 1 类型2 平行线的判定 3 类型3 平行线的判定与性质 95 类型4 平行的性质与判定在生活中的实际应用 11 类型1 相交线与垂线的性质 1．（2025春保定期中）如图，直线AB与CD相交于点O，OC平分∠AOE． （1）若∠BOD＝34°，求∠AOE的度数． （2）过点O作OF⊥OE，若∠AOE：∠BOE＝2：3，求∠BOF的度数． 2．（2025春虞城县期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB． （1）若∠1＝∠2，判断ON与CD位置关系，并说明理由； （2）若，求∠BOD的度数． 3．（2025春天山区校级期末）如图，已知OC⊥AB于O，∠AOD：∠COD＝1：2． （1）若OE平分∠BOC，求∠DOE的度数； （2）若∠AOE的度数比∠COE的度数的3倍多30°，试判断OD与OE的位置关系，并说明理由． 4．（2024秋大连期末）如图，直线AB，CD相交于点O，以O为观察中心，射线OA表示正北方向，射线OC表示正东方向，即∠AOC＝90°，射线OE，OF的方向如图所示，且∠EOF＝90°． （1）如图1， ①若射线OE的方向为北偏东40°，则射线OF的方向为　 　； ②请说明∠AOF与∠COE互为补角． （2）如图2，OM平分∠COE，ON平分∠DOE，求证：∠DON＝∠MOF． ϖ 类型2 平行线的判定 5．（2025春陈仓区期中）如图，已知直线EF与直线AB，CD分别相交于点E，F，GF⊥EF于点F，若∠1＝38°，∠2＝52°，直线AB与CD平行吗？请说明理由． 6．（2024秋丹巴县期末）已知：如图，点F在AB上，EF交BD于G，交CD于E，∠1＝∠2，∠3＝∠ABE，∠ADC+∠C＝180°． 求证：AD∥EF． 7．（2025春莱阳市期中）如图，点D、E、F分别在△ABC的三条边上，点G在EF上，如果∠1＝∠2，∠3＝∠C，那么DE与BC平行吗？请说明理由． 8.（2025春长寿区校级期中）完成下面的证明： 已知：如图，AB和CD交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD，过点O作OM⊥BD于点M，延长MO交AC于点N，求证：ON⊥AC． 证明：∵OM⊥BD（已知）， ∴∠OMB＝90°（　 　 ）， ∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD（已知）， 又∵∠COA＝∠BOD（　 　 ）， ∴∠C＝　 　 （等量代换）， ∴　 　 ∥AC，（　 　 ）． ∴　 　 ＝∠OMB（　 　 ）， ∴∠ONA＝90°， ∴ON⊥AC（　 　 ）． 9．（2025春临潼区期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝59°，∠D＝121°，点P，F分别在边BC，CD上，连接PF，连接BF并延长至点E，连接CE，∠ABE＝3∠DCE，∠DCE＝24°． （1）求∠DFE的度数； （2）若∠BFP＝48°，请判断CE与PF是否平行，并说明理由． 10．（2025春大连期中）如图，点D，E，F，G都在三角形ABC的边上，BD∥EF，∠BEF+∠BDG＝180°． （1）求证：DG∥BC； （2）若∠EFC＝120°，DG平分∠ADB，求∠C的度数． 11．（2025春大连期中）如图，平行直线AB，CD与EF相交，交点分别为E，F． （1）若∠AEF＝50°，求∠CFE的度数； （2）若EG平分∠BEF，FH平分∠CFE，试判断EG与FH的位置关系，并说明理由． 类型3 平行线的判定与性质 12．（2025春海淀区校级期中）如图，点E、F分别在线段CD和AB上，且AE⊥BC于G，DF⊥BC于H，∠1＝∠2． （1）求证：AB∥CD； （2）连接AC，若∠ACB＝48°，∠CAB＝3∠BCD+32°，求∠B． 13．（2025春周至县期中）如图，已知△ABC，点D在AB上，DF交AC于点E，连接CF，若DF∥BC，∠B＝∠F． （1）求证：AB∥CF； （2）若∠B＝50°，CA平分∠BCF，求∠A的度数． 14．（2025春中山市期中）如图1，已知CD∥EF，A，B分别是CD和EF上一点，BC平分∠ABE，BD平分∠ABF． （1）求证：BC⊥BD； （2）如图2，若点G是BF上一点，且∠BAG＝50°，作∠DAG的平分线交BD于点P，求∠DAP与∠ABP的数量关系； （3）如图3，过点A作AN⊥EF于点N，作AQ∥BC交EF于点Q，AP平分∠BAN交BF于点P，求∠PAQ的度数． 15．（2025春商丘期中）（1）如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC＝3∠BEF，过点A作AG⊥EF交EF于点G，FK平分∠AFE，AK平分∠PAG，FK与AK交于点K． ①∠AKF＝　 　 °； ②若，求∠FBE； （2）如图2将②中确定的△BEF绕着点F以每秒4°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，△AFG保持不变，当边BF与射线FA重合时停止，则在旋转过程中，△BEF的边BE所在的直线与△AFG的某一边所在的直线垂直时，直接写出此时t的值． 16．（2025春淮安区校级期中）【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．老师让同学们将两把直角三角尺EFG和HMN（∠GEF＝∠MHN＝90°，∠MNH＝60°，∠HMN＝30°，∠EGF＝∠EFG＝45°）”，已知AB∥CD．如图①，把三角尺EFG的直角顶点E放在直线CD上，把三角尺HMN的直角顶点H放在直线AB上，HM经过点E． （1）若∠GEM＝120°，∠DEF＝20°，求∠AHN的度数； 【操作探究】 （2）如图②，绕点H逆时针旋转三角尺HMN，恰好可以使得点G与点N重合，此时测得∠FGM＝20°，请你说明∠AHG与∠DEF之间的数量关系； 【深度探究】 （3）在（1）的条件下，将三角尺GEF绕E点以每秒3°的速度按逆时针方向，同时将三角尺HMN绕H点以每秒2°的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为t（0≤t≤60）．请直接写出当HN与△EGF的一边平行时t的值． 17．（2025春周至县期中）【问题提出】 （1）如图①，AB∥CD，∠D＝15°，∠GAB＝70°，求∠P的度数； （2）如图②，AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA，PE，请写出∠PAB，∠CEP，∠APE之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA，PE，∠PED的平分线EQ与∠PAB的平分线AF所在直线交于点Q，求2∠AQE+∠APE的值． 18．（2025春嘉定区期中）问题情境 我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用． 已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF． 问题初探 （1）如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数． 分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数． 由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为 　 　 ，∠EMC的度数为 　 　 ． 类比再探 （2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写∠CAF与∠EMC的数量关系，并说明理由． （3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由． 19．（2025春西城区校级期中）直线AB∥CD，EF分别交AB、CD于点M、N，NP平分∠MND． （1）如图1，若MR平分∠EMB，则MR∥NP．请你把下面的解答过程补充完整： 解：∵AB∥CD；（已知） ∴∠EMB＝∠END．（　 　 ） ∵MR平分∠EMB，NP平分∠MND；（已知） ∴∠EMR∠EMB，∠MNP∠MND．（　 　 ） ∴∠EMR＝ 　 ； ∴MR∥/NP．（　 　 ） （2）如图2，若MR平分∠AMN，则MR与NP有怎样的位置关系？请说明理由． （3）如图3，若MR平分∠BMN，则MR与NP有怎样的位置关系？请在横线上写出你猜想的结论：　 　 ． 20．（2025春芙蓉区校级月考）已知AB∥CD，M，N分别在AB，CD上，点E在直线AB与直线CD之间． （1）如图1，求证：∠E＝∠1+∠2； （2）如图2，若F在AB，CD之间，∠EMF＝5∠BMF，NF平分∠END，若∠1＝∠2，求∠E与∠F的数量关系； （3）如图3，射线ME从MA开始，绕点M以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线NF从ND开始，绕点N以20°每秒的速度逆时针旋转，直线ME与直线NF交于点P，若直线ME与直线NF相交所夹的锐角为30°，直接写出运动时间t秒（0≤t≤18）的值为 　 　 ． 21．（2025春江油市期中）在含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动中．如图1，已知两直线a，b且a∥b，同学们以“一个Rt△ABC，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°”展开探究． （1）在图1中，∠1＝40°，求∠2的度数； 【深入探究】 （2）如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠2﹣∠1＝120°，请说明理由； 【拓展应用】 （3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC平分∠BAM，此时发现∠1与∠2又存在新的数量关系，请直接写出∠1与∠2的数量关系． 22．（2024秋松北区期末）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图①，已知AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点P在直线AB、CD之间，设∠AEP＝∠α，∠CFP＝∠β，求证：∠P＝∠α+∠β． 证明：如图②，过点P作PQ∥AB，∴∠EPQ＝∠AEP＝∠α， ∵PQ∥AB，AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠FPQ＝∠CFP＝∠β， ∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝∠α+∠β，即∠EPF＝∠α+∠β． 可以运用以上结论解答下列问题：【类比应用】 （1）如图③，已知AB∥CD，∠D＝15°，∠GAB＝70°，求∠P的度数． （2）如图④，已知AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA、PE，则∠PAB，∠CEP，∠APE之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图⑤，已知AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA、PE，∠PED的平分线与∠PAB的平分线所在直线交于点Q，求∠APE+2∠AQE的值． 23．（2025春西城区校级期中）已知a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，且AD⊥BC于E． （1）如图1，求证：∠ABC+∠ADC＝90°； （2）如图2，BF平分∠ABC交AD于点F，DG平分∠ADC交BC于点G，求∠AFB+∠CDG的度数； （3）如图3，P为线段AB上一点，I为线段BC上一点，连接PI，N为∠IPB的角平分线上一点，且∠NCD∠BCN，则∠CIP，∠IPN，∠CNP之间的数量关系是 　 　 ． 类型4 平行的性质与判定在生活中的实际应用 24．（2025春赛罕区期中）根据下面的推理过程，填写理由． 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图1是一个“巴”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中AB∥GH，AD∥EF，∠A＝∠G＝∠EFD，求证：∠D＝∠AEF． 证明：如图2，∵AB∥GH（已知）， ∴∠B+∠G＝180°（ 　 　 ）， 又∵∠A＝∠G（ 　 　 ）， ∴∠A+∠B＝180°（等量代换）， ∴AD∥BG（ 　　 　　 ）， ∵AD∥EF（已知）， ∴BG∥EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行）， ∴∠AEF＝∠B（ 　　 　　 ）， ∴∠A+∠AEF＝180°（等量代换）， ∵∠A＝∠EFD（已知）， ∴∠EFD+∠AEF＝180°（ 　 　 ）， ∴AB∥CD（ 　　 　　 ）， ∴∠A+∠D＝180°（ 　　 　　 ）， ∴∠AEF＝∠D（同角的补角相等）． 25．（2025春东莞市期中）台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，它能够集中光线，使得周围环境适合于阅读、学习或工作，对于保护眼睛健康也具有重要意义．如图1是一盏可折叠台灯．图2是其平面示意图，底座MN位于水平位置，支架AB、BC为固定支撑杆，支架OC可绕点C旋转，从而调节灯光照射方向．已知灯体顶角∠DOE＝52°，∠DOE的平分线OP始终与OC垂直． （1）求∠COD的度数； （2）如图2，当支架OC旋转至水平位置时，OD恰好与BC平行，求支架BC与水平方向上夹角∠CBF的度数． 26．（2025春东莞市校级期中）【问题初探】 （1）数学活动课上，王老师给出如下问题：如图1，AB∥CD，点E在AB，CD之间且点E在点A右侧，求证：∠AEC＝∠BAE+∠DCE； 【类比探究】 （2）李明对王老师给出的问题进行了改编：如图2，AB∥CD，点E在AB，CD之间且点E在点A左侧，直接写出∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系； 【学以致用】 （3）如图3是超市购物车，图4是其侧面示意图，已知AB∥CD，FD⊥CD，测量得知∠ABE＝75°，∠DFE＝115°，求∠BEF的度数． 27．（2025春香洲区校级期中）在科学实验课上，小明发现：1．光线在不同介质中的传播速度是不一样的，当光线从一种介质射向另一种介质时，折射现象便会发生；2．经过实验，小明还发现凸透镜能让与主光轴平行的光线汇聚在主光轴上的某一点．基于这些发现，小明设计了以下三个问题： （1）如图1，这是一块玻璃的a，b两面，且a∥b．现有一束光线CD从玻璃射向空气时发生折射，光线变成DE，F为射线CD上的一点．已知∠1＝135°，∠2＝23°，求∠3的度数； （2）如图2，箭头所画的是光线的方向，F是凸透镜的焦点，BD∥CE∥OF．若∠BDF＝150°，∠CEF＝160°，求∠DFE的度数； （3）联想拓展：如图3，BD∥CE∥OF，若∠BDF的邻补角∠MDF的角平分线与∠CEF的邻补角∠NEF的角平分线交于点Q，请直接写出∠BDF，∠CEF与∠Q的数量关系． 28．（2025春介休市期中）【阅读理解】 “两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． 【建立模型】 （1）如图①，已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，∠EAB＝135°，∠AEC＝95°，则∠ECD＝ 　 　 °． （2）如图②，已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，请写出∠AEC与∠BAE、∠DCE之间的关系，并说明理由． 【解决问题】 （3）奥运会过后掀起一股滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB∥CD，如果人的小腿CD与地面的夹角∠CDE＝60°，求出身体BA与水平线的夹角∠BAF的度数． 29．（2025春湖北校级期中）“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．现将两灯射出的光束看作是两条射线，如图1所示，灯A射出的光束AA′从AM开始顺时针旋转至AN便立即往回旋转，灯B射出的光束BB′从BP开始顺时针旋转至BQ便立即往回旋转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒，a，b满足|a﹣2|+（b﹣1）2＝0．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1． （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，∠BAN＝　 　 °； （2）若灯B射出的光束BB′先转动15秒，灯A射出的光束AA′才开始转动，在灯B射出的光束BB′到达BQ之前（即灯B转动角度小于180°），A灯转动多少秒时，两灯射出的光束互相平行？ （3）如图2，两灯同时开始转动，在灯A射出的光束AA′到达AN之前（即灯A转动角度小于180°），若两灯射出的光束交于点C，过C作∠ACD＝120°，交PQ于点D，在转动过程中，∠ACD的度数保持不变，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 30．（2025春蕉城区期中）在物理学中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等． 如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角∠1＝∠2． 【简单应用】（1）如图2，有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为45°，现放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底（即射线b⊥OC），MN与水平线的夹角∠MOC的度数为 　65°　 ． 【类比拓展】（2）如图3，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：∠1＝∠2，∠3＝∠4．在这样的条件下，求证：AB∥CD． 【尝试探究】（3）两块平面镜OM，ON，且∠MON＝α，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．如图4，光线AB与CD相交于点E，则∠BEC的度数是多少？（用含α的式子表示） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$