第04讲 直线与平面的夹角、二面角（6考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019选择性必修第一册）

第04讲 直线与平面的夹角、二面角 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解直线与平面所成角的有关概念，凸显数学抽象的核心素养； 2．理解二面角的有关概念，凸显数学抽象的核心素养； 3.会用向量方法求线面角、二面角．凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养. 知识点 1 直线与平面的夹角 1.定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 2.规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于0°.因此，直线与平面所成的角的范围是[0°，90°]． 3.性质：（1）如图所示，设AO是平面α的一条斜线，O为斜足，A’为A在平面α内的射影，而OM是平面α内的一条射线，A’M⊥OM，记∠AOA’=θ1,∠A’OM=θ2,∠AOM=θ, 则有： ①cosθ=cosθ1·cosθ2 ②平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角 （2）①如图所示，经过平面外同一点所作的平面的多条斜线中，斜线段长、射影长及斜线与平面所成的角，只要有一个相等，则另外两个也对应相等. ②当线段AB所在直线与平面α所成的角为θ，且AB在平面α内的射影为A’B’时，有A’B’=ABcosθ. 规律方法：(1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角． (2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等． 知识点2 用空间向量求直线与平面的夹角 直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝. 知识点3 二面角及其度量 概念 平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面 图示 平 面 角 文字 在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角 图示 符号 OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角 范围 [0，π] 规定 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角 记法 棱为l，面分别为α，β的二面角记为α－l－β.如图所示，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P－l－Q 规律方法：二面角的求法 （1）求二面角大小的步骤： 简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择． （2）作二面角的平面角的方法： 方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线． 如右图所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面角． 方法二：(垂线法)过二面的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角． 如图所示，∠AFE为二面角A－BC－D的平面角． 方法三：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角． 如图所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面角． 知识点4 用空间向量求二面角的大小 1.如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉． 2.如图2、3，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小(或)． 考点一：求直线与平面的夹角 例1.（23-24高一下·上海·期末）如图，在四棱锥中，已知底面，底面是正方形，． (1)求证：直线平面； (2)求直线与平面所成的角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定推理即得. （2）利用线面角的定义求解即得. 【详解】（1）在四棱锥中，由平面，平面，得， 由正方形，得，而平面， 所以直线平面. （2）令，连接， 由（1）知，直线平面，则是直线与平面所成的角， 显然，而平面，即有，则， 所以直线与平面所成的角的大小. 【变式1-1】（22-23高二上·广东东莞·阶段练习）设E，F分别是正方体的棱DC上两点，且，，则下列命题为假命题的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线与所成的角为 C．平面 D．直线与平面所成的角 【答案】C 【分析】根据正方体的性质，结合体积公式、线面垂直、线线垂直，线面角的求解逐项判断即可． 【详解】 对A，三棱锥的体积为为定值，A正确； 对B，， 或其补角是异面直线与所成的角，为，B正确； 对C，取的中点，连结，可知：， 又因为侧面，侧面，所以， 又因为，平面，平面，所以平面， 根据过一点有且只有一条直线与平面垂直，可知C错误； 对D，由平面，可知：为直线与平面所成的角， 所以， 即直线与平面所成的角为，故D正确； 故选：C. 【变式1-2】（2024·四川雅安·三模）如图，在正方体中，已知点为底面的中心，为棱的中点，则下列结论中错误的是（    ）    A．平面 B．平面 C．异面直线与所成的角等于 D．直线与平面所成的角等于 【答案】D 【分析】根据平行四边形即可得线线平行，进而可判断A，根据，即可判断B,根据异面直线的夹角即可求解C，根据线面角的几何法即可求解D. 【详解】对于A，连接，，交于，则四边形为平行四边形， 所以，因为平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，连接，为底面的中心，为棱的中点，， 由于平面，平面，所以， 又,且都在面内，则平面， 有平面，故，同理可得， 再由平面,平面，则平面，B正确； 对于C，，为异面直线与所成的角所成的角， △为等边三角形，，故C正确； 对于D，因为平面， 为直线与平面所成的角， 由于，故不等于，故D不正确 故选：D    【变式1-3】（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，已知点是正方形所在平面外一点，平面，，，分别是，的中点.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，由平行四边形的判定定理与性质可得，结合线面平行的判定定理即可得证； （2）找出在平面上的投影即可得直线与平面所成的角为，计算即可得. 【详解】（1）取的中点，连接，， 因为是的中点，所以且， 又是的中点，是正方形，所以，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面；    （2）因为平面，平面，所以平面平面， 平面平面，又四边形为正方形，所以， 又因为平面，所以平面， 所以是在平面上的射影， 所以即为直线与平面所成的角， 又，所以为等腰直角三角形，所以， 即直线与平面所成的角为. 考点二：向量方法求直线与平面的夹角 例2.（24-25高三上·云南·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，. (1)证明：； (2)求平面与平面的夹角. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理来证明底面等腰梯形中存在的垂直关系，再来证明线面垂直推导线线垂直； （2）利用空间向量法来求两平面夹角的大小. 【详解】（1）证明：在四边形中作于于，如图       ， 四边形为等腰梯形，， 故，，. 又平面平面，， 又，平面 平面. 又平面，. （2）如图，以为原点建立空间直角坐标系. 由（1）可得，则， 则， 设平面的法向量， 则有，令，则，即， 取平面的一个法向量， ， 即平面与平面所成夹角的余弦值为， 所以平面与平面的夹角为. 【变式2-1】（23-24高二上·山东德州·阶段练习）如图所示的几何体中，底面是平行四边形，，，四边形为矩形，平面平面，，点是线段的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用面面垂直的性质，线面垂直的性质、判定推理得解. （2）由（1）的信息，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦得解. 【详解】（1）由四边形是矩形，得，而平面平面，平面平面， 平面，则平面，又平面，于是， 由，，得，则，而，平面， 所以平面． （2）由（1）知，直线，，两两垂直， 以点为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，    则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为： . 【变式2-2】（20-21高二上·山东德州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，平面PAB，点O为PB的中点.，.    (1)求证：直线平面ABCD； (2)求直线PB与平面OAC夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由勾股定理逆定理得，由线面垂直的性质定理得，从而由线面垂直的判定定理得证题设线面垂直； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求线面角． 【详解】（1）∵，， ∴在中，， ∴， 又平面PAB，平面PAB， ∴， 又，AB、平面ABCD， ∴直线平面ABCD. （2）由（1）得，，，建立以A为原点的空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，， ∴，，， 设平面OAC的法向量为， 则，即，令，则，， ∴， ∴， 故直线PB与平面OAC夹角的正弦值为.    【变式2-3】（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知四棱锥，底面是正方形，平面平面，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【详解】（1）因为平面平面，， 且平面平面平面， 所以平面． （2）由题意和（1）知，两两垂直， 以A为原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 可得． 易知平面的一个法向量为． 设平面的法向量为，则， 令，则，可得． 设平面与平面的夹角为， 则， 可得 所以平面与平面的夹角的正弦值为． 考点三：已知线面角求其它量 例3.（2024·山东青岛·三模）如图所示，多面体，底面是正方形，点为底面的中心，点为的中点，侧面与是全等的等腰梯形，，其余棱长均为2. (1)证明:平面； (2)若点在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】（1）取中点，通过证明平面，平面平面，得证平面. （2) 以为原点，建立空间直角坐标系，设，由直线与平面所成角的正弦值为，利用向量法求出的值即可. 【详解】（1）取中点，连接，则为的中点， 因为侧面是等腰梯形，所以，又，所以， 和都是边长为2的等边三角形，得，所以四边形为等腰梯形， 因为点为的中点，为的中点，所以. 因为是等边三角形，所以， 又，平面，， 所以平面，平面，所以平面平面， 平面平面，平面，， 故平面. （2）在梯形中，，等腰梯形中由勾股定理得， 取中点，由（1）知，两两垂直， 以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则，得 设，， 设直线与平面所成角为， 所以. 解得（负值舍去)，所以点为棱的中点，所以的长为1. 【变式3-1】（2021高三·全国·专题练习）如图，菱形中，，与相交于点，平面，，，．若直线与平面所成的角为45°，则＝ ．    【答案】2 【分析】 根据题意求出，建立空间直角坐标系，利用线面角公式求解即可. 【详解】设AE＝a，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，则△ABC为正三角形， 又AB=2，易得， 如图，以O为坐标原点，以OA，OB所在直线分别为x轴、y轴，以过点O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系．    则， 所以， 设平面BED的法向量为， 则，令z=1则，， 因为直线OF与平面BED所成角的大小为45°， 所以， 由，解得，所以AE＝2． 故答案为：2. 【变式3-2】（2023·广东广州·华南师大附中校考三模）如图，四棱锥的底面为正方形，，平面，分别是线段的中点，是线段上的一点.    (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，且点不是线段的中点，求三棱锥体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直判定可证得平面，由中位线性质知，从而得到平面，由面面垂直判定可得结论； （2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，，由线面角的向量求法可构造方程求得，结合垂直关系可得平面的距离为，利用棱锥体积公式可求得结果. 【详解】（1）连接， 分别是线段的中点，， 底面四边形为正方形，， 平面，平面，， 又，平面，平面， ，平面， 又平面，平面平面. （2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，解得：，，； 设直线与平面所成角为， ， 解得：或（舍），， 平面，平面，； ，，平面，平面， 到平面的距离为， .    【变式3-3】（2022·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，底面是等腰梯形，，．    (1)求证：平面平面； (2)若，，直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)12 【分析】（1）先证平面，再证面面垂直； （2）根据条件，求四棱锥的底面积和高，进而求其体积. 【详解】（1） 平面，平面，所以． ，，平面且，所以平面， 又平面，所以：平面平面． （2） 设和相交于点，连接．如图：    由（1）知，平面，所以是直线与平面所成的角， ，所以． 四边形为等腰梯形，， ∴，均为等腰直角三角形， 梯形的高为， 梯形的面积为． 在等腰三角形中，，∴， ∴，， 四棱锥的体积为． 考点四：求二面角 例4.（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，，平面分别为的中点，.    (1)求证：平面平面； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用线面垂直的性质判定、面面垂直的判定推理即得. （2）取的中点，利用线面垂直的判定，性质证明并计算是二面角的平面角大小即得. 【详解】（1）在四棱锥中，由平面平面，得， 又，即，而平面，则平面， 又在中，分别为中点，即有，因此平面，而平面， 所以平面平面. （2）如图，取的中点，连接，取的中点，连接，    由平面，得平面，而平面， 则，由，得， 又平面，于是平面，又平面， 因此，是二面角的平面角， 设，则，在中，，则， 在中，，则， 在中，，因此， 所以二面角的大小为. 【变式4-1】（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知正三棱台的上底面边长为6，下底面边长为12，侧棱长为6，则（    ） A．棱台的高为 B．棱台的表面积为 C．棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为 D．棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为 【答案】B 【分析】A选项，将正三棱台补形为正三棱锥，结合上底面边长为6，下底面边长为12，侧棱长为6，得到正三棱锥为正四面体，作出辅助线，求出正四面体的高，得到棱台的高；B选项，计算出各个面的面积，相加得到答案；C选项，找到线面角，求出余弦值；D选项，找到二面角的平面角，求出正弦值. 【详解】A选项，将正三棱台补形为正三棱锥， 过点作⊥平面，交平面于点， 故即为棱台的高， 因为上底面边长为6，下底面边长为12，侧棱长为6， 所以，故正三棱锥为正四面体， 取的中点，连接，则三点共线，且⊥，⊥， ，， 由勾股定理得， 由相似可知，棱台的高为三棱锥的高的一半，即，A错误； B选项，，， 其中等腰梯形与等腰梯形，等腰梯形的面积相等， 均等于， 故棱台的表面积为，B正确； C选项，为棱台的侧棱与底面所成角的平面角， 其中，C错误； D选项，即为棱台的侧面与底面所成二面角的平面角， 故，D错误.， 故选：B 【变式4-2】（2024·内蒙古锡林郭勒盟·模拟预测）在四面体中，平面平面，是直角三角形，，则二面角的正切值为 ． 【答案】/ 【分析】设的中点分别为，证得平面，得到，再由，证得平面，得到BD，得出为二面角的平面角，在直角中，即可求解． 【详解】设的中点分别为，连接，则, 因为BC，所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为是直角三角形，且，所以， 所以且， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，则BD，所以为二面角的平面角， 在直角中，可得． 故答案为：.    【变式4-3】（23-24高一下·甘肃武威·阶段练习）在四棱锥中，是等边三角形，四边形ABCD是矩形，，，，E是棱PD的中点． (1)求证：； (2)求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）取PA的中点F，证得和，得到平面，则，进而证得平面，即可证得； （2）根据题意，证得平面，得到，过作的垂线，证得平面，得到，得出二面角的大小为，在直角中，即可求解. 【详解】（1）证明：如图所示，取PA的中点F，连接BF，EF， 因为是等边三角形，F是PA的中点，所以， 又因为F是PA的中点，E是棱PD的中点，所以， 因为四边形ABCD是矩形，所以，所以， 又因为，所以，           因为，且平面PAB，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为平面BEF，所以. （2）解：因为平面PAB，平面，所以， 又因为，，且平面，所以平面， 因为平面PDA，所以， 过作的垂线，垂足为，连接，如图所示， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以，所以二面角的大小为， 在等边中，因为，可得， 在直角中，由，则，可得， 在直角中，可得．   考点五：向量方法求二面角 例5.（23-24高二下·江苏盐城·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是边长为的正方形，为等边三角形，点是线段的中点，点满足． (1)求证：平面﹔ (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于，连接，根据条件证明即可得证； （2）先证明平面，建立空间直角坐标系，求出相关点和向量的坐标，分别求得平面与平面的法向量，最后由空间向量的夹角公式求解即得. 【详解】（1） 如图，连接交于，连接， 由是的中点可得，又为正方形， 所以，所以，所以，即， 又，即，所以/， 又平面，平面，所以平面； （2） 因平面平面，且平面平面，为等边三角形，点是线段的中点， 可得，又平面，故得平面. 如图，取的中点为，连接，分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系. 则，， 所以，，则， 设平面的法向量为，由， 则，故可取； 又平面的一个法向量为， 所以， 由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 【变式5-1】（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，结合向量即可求解. 【详解】连接，设交于点，则平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设底面边长为，则， 显然是平面的一个法向量， 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设二面角为，所以. 故选：B. 【变式5-2】（23-24高二下·青海海东·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，F，E分别是PB，PC的中点． (1)证明：； (2)求平面ADEF与平面PCD的夹角． 【答案】(1)证明见解析 (2)60° 【分析】（1）由线面垂直得到，结合正方形性质得到线面垂直，得到，再由三线合一得到线线垂直，证明出线面垂直，得到； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到平面的法向量，得到两个平面的夹角. 【详解】（1）∵平面ABCD，平面， ∴， 又四边形ABCD为正方形， 故，AB，PA为平面PAB上的相交直线， ∴平面PAB， ∵平面， ∴， ∵等腰三角形PAB中F是PB的中点， ∴， ∵，平面， ∴平面ADEF， ∵平面ADEF， ∴． （2）平面ABCD，平面， 故， 易知AB，AD，AP两两垂直，故分别以其所在直线为坐标轴建系， 如图所示，则，，，，，， 由（1）得平面ADEF， 可得平面ADEF的一个法向量， 设平面PCD的一个法向量， 则， 解得，令得，故， ∴， 设平面ADEF与平面PCD的夹角为，则， 故， ∴平面ADEF与平面PCD的夹角为60°． 【变式5-3】（20-21高二·全国·课后作业）如图，以正四棱锥的底面中心为坐标原点建立直角坐标系，其中，，为的中点，正四棱锥的底面边长为，高为． (1)求； (2)当是二面角的平面角时，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定向量的坐标，利用向量的夹角公式求解即可， （2）确定，结合（1）的结论，可求得结果 【详解】（1）由题意得， 所以， 所以， ， 所以 （2）若是二面角的平面角，则，即， 由，得，且， 所以，得， 所以， 所以 考点六：已知二面角求其它量 例6.（21-22高二上·广东深圳·期末）如图，直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，D为棱AC中点. (1)证明：AB1//平面； (2)若面B1BC1与面BC1D的夹角余弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，使，连接，即可得到，从而得证； （2）设，以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解面与面的夹角余弦值为，从而得到方程，解得即可． 【详解】（1）证明：如图，连，使，连， 由直三棱柱，所以四边形为矩形，所以为中点， 在中，、分别为和中点，， 又因平面平面，面，面， 平面． （2）解：设，以为坐标原点如图建系， 则，，所以、， 设平面的法向量 则， 故可取． 设平面的法向量，则， 故可取， 因为面与面的夹角余弦值为， 所以，即，解得，． 【变式6-1】（22-23高二上·江西吉安·期末）如图，在四棱锥中，已知：平面ABCD，，，，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形，利用空间向量的坐标运算表示面面夹角的余弦值，即可确定点位置，即可求解. 【详解】以为坐标原点，建系如图， 因为二面角的平面角大小为， 所以的轨迹是过点的一条直线， 又因为Q是四边形ABCD内部一点（包括边界）， 所以的轨迹是过点的一条线段， 设以的轨迹与轴的交点坐标为， 由题意可得, 所以, 因为平面，所以平面的一个法向量为, 设平面的法向量为， 所以令则 所以， 因为二面角的平面角大小为， 所以，解得， 所以当在线段BC上时，面积最大，最大值为， 所以面积的取值范围是， 故选:D. 【变式6-2】（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）已知圆锥的顶点为，母线长为2，轴截面为，若为底面圆周上异于的一点，且二面角的大小为，则的面积为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】记为的中点，即可求出、，取的中点，连接，从而得到二面角的平面角为，即可求出、，再由勾股定理求出，即可得解. 【详解】如图所示，记为的中点，则垂直于底面，所以， 又， 所以，取的中点，连接， 显然有，即二面角的平面角为， 即，又， ，，则， 的面积为. 故选：A. 【变式6-3】（21-22高二下·湖北宜昌·阶段练习）如图，已知直三棱柱中，，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的一点． (1)证明：； (2)当平面DEF与平面所成角的余弦值为时，求线段的长度． 【答案】(1)证明过程见解析； (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线线垂直；（2）求出两平面的法向量，根据余弦值列出方程，求出的值. 【详解】（1）因为直三棱柱中，，， 所以两两垂直， 以B为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 所以，故， 所以. （2）设平面DEF的法向量为， 则， 令得：，故， 设平面的法向量， 则， 解得：， 所以 1．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（   ） A．或－1 B．或1 C．－1或2 D． 【答案】B 【分析】根据平面夹角的向量公式求解可得. 【详解】因为， 所以，解得或1． 故选：B． 2.（23-24高二上·河南商丘·阶段练习）正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系， ， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设直线与平面所成角为， 所以. 故选：D 3．（23-24高一下·山东聊城·阶段练习）正四面体中，M是侧棱上的中点，若异面直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先在正四面体中，作出对应的角，再比较三者间的的大小关系即可解决. 【详解】正四面体中，取中点，连接，，，过作于，连接，，过作的平行线交于，    则，由平面平面可得平面， 所以，则， 由平面可得平面平面， 又平面平面平面， 则平面，则， 因为， 因为，所以， 设正四面体边长为，，所以， ，， 因为， 所以，又， 则，综上：. 故选：C. 4．（多选）（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）如图，正方体棱长为，，分别是，的中点，则（    ） A．平面 B． C．直线与平面所成角的正弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ABC 【分析】 A项，求出和面的法向量即可得出结论；B项，求出的坐标即可求出的长；C项，D项，求出和平面的法向量即可求出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】由题意， 在正方体中，棱长为2，，分别是，的中点 作空间直角坐标系如下图所示， , ， A项，， 面的一个法向量为， ∵， ∴平面，A正确； B项，，B正确； ∵，平面的一个法向量为， 设线与平面所成角为， ， ∴C正确，D错误. 故选：ABC. 5.（多选）（23-24高二下·湖北黄冈·期中）如图，平面，，，，，，，则（    ） A． B．平面 C．平面与平面的夹角的余弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BC 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得. 【详解】因为平面，， 由题意，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系， 可得，，，，，， 则，， 所以，所以，不垂直，故A错误； 依题意，是平面的法向量， 又，可得，则， 又因为直线平面，所以平面，故B正确； 设为平面的一个法向量，则， 即，令，可得， 依题意，，， 设为平面的法向量， 则，即，不妨令，可得， 所以， 故平面与平面的夹角的余弦值为，故C正确； 设直线与平面所成角为，， 则，故D错误. 故选：BC. 6．（23-24高二下·江苏徐州·期中）如图，在三棱柱中中，两两互相垂直，是线段上的点，平面与平面所成锐二面角为，当最小时， .    【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设出的长，求出平面与平面的法向量，借助面面角的向量求法求出关系，再判断当取最小时的长，进而求得的大小. 【详解】在三棱柱中，两两垂直，建立空间直角坐标系，如图：    依题意，设，则， 则，， 设平面的法向量为，则，令，得， 平面的法向量， 由平面与平面所成（锐）二面角为，得， 化简得，当取得最大值时，最小，此时，， 且，所以. 故答案为: 【点睛】易错点睛：空间向量求二面角时，一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算． 7．（23-24高二上·新疆·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 （1）建立空间直角坐标系，利用平面法向量的性质进行运算证明即可； （2）利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以， 因为是直棱柱， 所以平面， 因此平面的一个法向量为， 所以，即，又平面，所以平面； （2）因为，，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以. 8．（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）在正四棱柱中，，为棱中点． (1)证明平面． (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正四棱柱的性质，得到侧面，利用线面垂直的性质可以证明出，结合，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）因为是正四棱柱，所以侧面， 而平面，所以 又，，平面，所以平面； （2）如图建立空间直角坐标系，则，，设，则， 所以，， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以，， 则，，， 设是平面的法向量， 所以取， 设是平面的法向量， 所以取， 设二面角为，则， 所以二面角的正弦值为. 9．（23-24高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）如图所示，在四棱锥中，平面，，，是的中点，，. (1)证明：平面； (2)若二面角的平面角的大小为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，两两垂直，建立空间直角坐标系，得到，，从而得到线面垂直； （2）求出平面的法向量，由二面角大小得到方程，求出，从而求出体积. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以，， 又，所以两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 故， ，， ∴ ⊥，⊥， ∵ 平面，平面，， ∴⊥平面； （2），， 设平面AED的法向量为， 则， 解得，令，则，则， 平面ACD的法向量为， 故， 解得，负值舍去， 四棱锥的体积为. 10．（22-23高二上·云南昆明·期末）如图，在直三棱柱中，侧面为正方形，，，M，N分别为和的中点，为棱上的点. (1)证明：； (2)是否存在点D，使得平面与平面夹角的余弦值为？如果不存在，请说明理由；如果存在，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，满足条件 【分析】(1)利用空间向量的坐标运算证明求解； (2)利用空间向量的坐标运算表示面面夹角的余弦值，即可求解. 【详解】（1）证明：由题意，，，两两垂直，以A为原点， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，， 所以， 因为， 所以. （2）由题意，平面，所以平面的一个法向量为， 因为，所以，， 设平面的法向量为， 则， 令，则， 设平面与平面的夹角为，则 ， 整理得，，解得， 所以存在点，满足条件. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 直线与平面的夹角、二面角 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解直线与平面所成角的有关概念，凸显数学抽象的核心素养； 2．理解二面角的有关概念，凸显数学抽象的核心素养； 3.会用向量方法求线面角、二面角．凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养. 知识点 1 直线与平面的夹角 1.定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 2.规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于0°.因此，直线与平面所成的角的范围是[0°，90°]． 3.性质：（1）如图所示，设AO是平面α的一条斜线，O为斜足，A’为A在平面α内的射影，而OM是平面α内的一条射线，A’M⊥OM，记∠AOA’=θ1,∠A’OM=θ2,∠AOM=θ, 则有： ①cosθ=cosθ1·cosθ2 ②平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角 （2）①如图所示，经过平面外同一点所作的平面的多条斜线中，斜线段长、射影长及斜线与平面所成的角，只要有一个相等，则另外两个也对应相等. ②当线段AB所在直线与平面α所成的角为θ，且AB在平面α内的射影为A’B’时，有A’B’=ABcosθ. 规律方法：(1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角． (2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等． 知识点2 用空间向量求直线与平面的夹角 直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝. 知识点3 二面角及其度量 概念 平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面 图示 平 面 角 文字 在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角 图示 符号 OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角 范围 [0，π] 规定 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角 记法 棱为l，面分别为α，β的二面角记为α－l－β.如图所示，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P－l－Q 规律方法：二面角的求法 （1）求二面角大小的步骤： 简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择． （2）作二面角的平面角的方法： 方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线． 如右图所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面角． 方法二：(垂线法)过二面的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角． 如图所示，∠AFE为二面角A－BC－D的平面角． 方法三：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角． 如图所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面角． 知识点4 用空间向量求二面角的大小 1.如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉． 2.如图2、3，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小(或)． 考点一：求直线与平面的夹角 例1.（23-24高一下·上海·期末）如图，在四棱锥中，已知底面，底面是正方形，． (1)求证：直线平面； (2)求直线与平面所成的角的大小． 【变式1-1】（22-23高二上·广东东莞·阶段练习）设E，F分别是正方体的棱DC上两点，且，，则下列命题为假命题的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线与所成的角为 C．平面 D．直线与平面所成的角 【变式1-2】（2024·四川雅安·三模）如图，在正方体中，已知点为底面的中心，为棱的中点，则下列结论中错误的是（    ）    A．平面 B．平面 C．异面直线与所成的角等于 D．直线与平面所成的角等于 【变式1-3】（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，已知点是正方形所在平面外一点，平面，，，分别是，的中点.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角. 考点二：向量方法求直线与平面的夹角 例2.（24-25高三上·云南·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，. (1)证明：； (2)求平面与平面的夹角. 【变式2-1】（23-24高二上·山东德州·阶段练习）如图所示的几何体中，底面是平行四边形，，，四边形为矩形，平面平面，，点是线段的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【变式2-2】（20-21高二上·山东德州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，平面PAB，点O为PB的中点.，.    (1)求证：直线平面ABCD； (2)求直线PB与平面OAC夹角的正弦值. 【变式2-3】（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知四棱锥，底面是正方形，平面平面，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 考点三：已知线面角求其它量 例3.（2024·山东青岛·三模）如图所示，多面体，底面是正方形，点为底面的中心，点为的中点，侧面与是全等的等腰梯形，，其余棱长均为2. (1)证明:平面； (2)若点在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求. 【变式3-1】（2021高三·全国·专题练习）如图，菱形中，，与相交于点，平面，，，．若直线与平面所成的角为45°，则＝ ．    【变式3-2】（2023·广东广州·华南师大附中校考三模）如图，四棱锥的底面为正方形，，平面，分别是线段的中点，是线段上的一点.    (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，且点不是线段的中点，求三棱锥体积. 【变式3-3】（2022·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，底面是等腰梯形，，．    (1)求证：平面平面； (2)若，，直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 考点四：求二面角 例4.（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，，平面分别为的中点，.    (1)求证：平面平面； (2)求二面角的大小. 【变式4-1】（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知正三棱台的上底面边长为6，下底面边长为12，侧棱长为6，则（    ） A．棱台的高为 B．棱台的表面积为 C．棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为 D．棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为 【变式4-2】（2024·内蒙古锡林郭勒盟·模拟预测）在四面体中，平面平面，是直角三角形，，则二面角的正切值为 ． 【变式4-3】（23-24高一下·甘肃武威·阶段练习）在四棱锥中，是等边三角形，四边形ABCD是矩形，，，，E是棱PD的中点． (1)求证：； (2)求二面角的正切值． 考点五：向量方法求二面角 例5.（23-24高二下·江苏盐城·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是边长为的正方形，为等边三角形，点是线段的中点，点满足． (1)求证：平面﹔ (2)求二面角的余弦值． 【变式5-1】（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高二下·青海海东·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，F，E分别是PB，PC的中点． (1)证明：； (2)求平面ADEF与平面PCD的夹角． 【变式5-3】（20-21高二·全国·课后作业）如图，以正四棱锥的底面中心为坐标原点建立直角坐标系，其中，，为的中点，正四棱锥的底面边长为，高为． (1)求； (2)当是二面角的平面角时，求． 考点六：已知二面角求其它量 例6.（21-22高二上·广东深圳·期末）如图，直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，D为棱AC中点. (1)证明：AB1//平面； (2)若面B1BC1与面BC1D的夹角余弦值为，求. 【变式6-1】（22-23高二上·江西吉安·期末）如图，在四棱锥中，已知：平面ABCD，，，，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）已知圆锥的顶点为，母线长为2，轴截面为，若为底面圆周上异于的一点，且二面角的大小为，则的面积为（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式6-3】（21-22高二下·湖北宜昌·阶段练习）如图，已知直三棱柱中，，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的一点． (1)证明：； (2)当平面DEF与平面所成角的余弦值为时，求线段的长度． 1．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（   ） A．或－1 B．或1 C．－1或2 D． 2.（23-24高二上·河南商丘·阶段练习）正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·山东聊城·阶段练习）正四面体中，M是侧棱上的中点，若异面直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）如图，正方体棱长为，，分别是，的中点，则（    ） A．平面 B． C．直线与平面所成角的正弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为 5.（多选）（23-24高二下·湖北黄冈·期中）如图，平面，，，，，，，则（    ） A． B．平面 C．平面与平面的夹角的余弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为 6．（23-24高二下·江苏徐州·期中）如图，在三棱柱中中，两两互相垂直，是线段上的点，平面与平面所成锐二面角为，当最小时， .    7．（23-24高二上·新疆·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 8．（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）在正四棱柱中，，为棱中点． (1)证明平面． (2)求二面角的正弦值． 9．（23-24高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）如图所示，在四棱锥中，平面，，，是的中点，，. (1)证明：平面； (2)若二面角的平面角的大小为，求四棱锥的体积． 10．（22-23高二上·云南昆明·期末）如图，在直三棱柱中，侧面为正方形，，，M，N分别为和的中点，为棱上的点. (1)证明：； (2)是否存在点D，使得平面与平面夹角的余弦值为？如果不存在，请说明理由；如果存在，求线段的长. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$