专题07 概率（十大题型+思维导图+知识清单+课后作业）（暑假复习举一反三讲义）高一数学人教A版必修第二册

专题07 概率（暑假复习讲义） 【人教A版】 【知识清单1 有限样本空间与随机事件】 1．有限样本空间 (1)随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. (2)有限样本空间 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间. 一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果， 则称样本空间Ω={}为有限样本空间. 2．事件 (1)随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，···表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. (2)必然事件 A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件. (3)不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件. 【知识清单2 事件的关系和运算】 1．事件的关系和运算 (1)两个事件的关系和运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示 包含 A发生导致B发生 并事件 （和事件） A与B至少一个发生 或 交事件 （积事件） A与B同时发生 或 互斥 （互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ， (2)多个事件的和事件、积事件 类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，…，A∪B∪C∪… (或A+B+C+…)发生当且仅当A，B，C，…中至少一个发生，A∩B∩C∩… (或ABC…)发生当且仅当A，B，C，…同时发生. 2．样本空间中样本点的求法 (1)列举法 列举法也称枚举法.对于一些情境比较简单，样本点个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举，即可得出随机事件所包含的样本点.注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏. (2)列表法 对于样本点个数不是太多的情况，可以采用列表法.通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以便更直接地得到样本点个数.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法. (3)树状图法 树状图法适用于按顺序排列的较复杂问题中样本点个数的求解，是一种常用的方法. 3．用集合观点看事件间的关系 符号 概率角度 集合角度 Ω 必然事件 全集 ∅ 不可能事件 空集 ω 试验的可能结果 Ω中的元素 A 事件 Ω的子集 A的对立事件 A的补集 事件A包含于事件B 集合A是集合B的子集 事件A等于事件B 集合A等于集合B 或 事件A与事件B的并（和）事件 集合A与B的并集 或 事件A与事件B的交（积）事件 集合A与B的交集 事件A与事件B互斥 集合A与B的交集为空集 ，且 事件A与事件B对立 集合A与B互为补集 【知识清单3 古典概型】 1．古典概型 (1)事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. (2)古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. (3)古典概型的判断标准 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所 有的试验都是古典概型. 下列三类试验都不是古典概型： ①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能； ②样本点(基本事件)个数无限，但等可能； ③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能. 2．古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率，其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 3．求样本空间中样本点个数的方法 (1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同. 【知识清单4 概率的基本性质】 1．概率的基本性质 性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)= 1，P(∅)=0. 性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)＋P(B). 推广：如果事件A1，A2，…，Am．两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P()=P(A1)+P(A2)+…+P(Am). 性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B). 性质5 如果，那么P(A)≤P(B). 性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 2．复杂事件概率的求解策略 (1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和. (2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题. 【知识清单5 事件的相互独立性】 1．事件的相互独立性 (1)定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质 若事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立. 性质：若事件A与B相互独立，则 则与B，A与，与也相互独立 (3)应用 因为“A与B相互独立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立. (4)推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈N*)个事件的相互独立性，即若事件A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An). 2．互斥事件与相互独立事件的辨析 (1)互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.用表格表示如下： 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 两个事件不可能同时发生，即AB=∅. 概率公式 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B). 若事件A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)，反之不成立. (2)已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论： 事件 表示 概率（A，B互斥） 概率（A，B相互独立） A，B中至少有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) 或 P(A)+P(B) A，B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B) A，B都不发生 [P(A)+P(B)] A，B恰有一个发生 P(A)+P(B) A，B中至多有一个发生 1 P(A)P(B) 3．求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 【知识清单6 频率的稳定性】 1．频率与概率 (1)频率与概率的区别 频率 本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率也可能会不同. 概率 本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变. 举例辨析 例如，在相同条件下掷一枚质地均匀的硬币1000次，出现正面向上的次数是521，则正面向上的频率f1000（正面向上），而正面向上的概率P（正面向上），它是一个客观常数， (2)频率的特点 随机事件在一次试验中是否发生具有不确定性，但是，在相同条件下的大量重复试验中，它发生的频率有以下特点. ①在某次随机试验中，事件A发生的频率是一个变量，事先是无法确定的.但在大量重复试验后，它又具有稳定性，即频率在某个“常数”附近摆动，并且随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势. ②有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情况，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的可能性会减小. ③个别随机事件在一次试验中可能出现也可能不出现，但在大量试验中，它出现的次数与总试验次数之比常常是比较稳定的.这种现象称为频率的稳定性，是随机事件内在规律性的反映. (3)频率的稳定性(用频率估计概率) 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率P(A). 2．生活中的概率 (1)游戏的公平性 在各类游戏中，如果每个游戏参与者获胜的概率相等，那么游戏是公平的.例如，在体育比赛中，裁判员用抽签器决定两个运动员谁先发球，两个运动员获得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的. (2)天气预报的概率解释 天气预报是气象专家依据气象观测资料和气象学理论以及专家们的实际经验，经过分析推断得到的.天气预报的概率属于主观概率，这是因为在现有的条件下，不能对“天气”做多次重复试验，进行规律的总结，因此，在天气预报中所提及的概率和我们前面通过频率稳定性来定义的概率并不一样. 另外，天气预报中降水概率的大小只能说明降水的可能性大小，概率值越大，表示降水的可能性越大.在一次试验中“降水”这个事件是否发生仍然是随机的.例如，天气预报说“明天降水的概率为90%”，尽管明天下雨的可能性很大，但由于“明天下雨”是随机事件，因此明天仍然有可能不下雨. 【知识清单7 随机模拟】 1．随机数的产生 (1)随机数的定义 随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会相等. (2)产生随机数的方法 ①利用抽签法产生随机数 要产生1~n(n∈N*)之间的随机整数，把n个大小、形状相同的小球分别标上1，2，3，…，n放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个球，这个球上的数就称为随机数. ②利用计算机或计算器产生伪随机数 计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质.因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数. (3)用随机模拟法估计概率 ①随机模拟法产生的必要性 用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法进行，因而随机模拟试验就成为一种重要的方法，它可以在短时间内多次重复. ②随机模拟法估计概率的思想 随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每次试验的结果.其基本思想是，用产生整数值的随机数的频率估计事件发生的概率. ③随机模拟法的优点 不需要对试验进行具体操作，是一种简单、实用的科研方法，可以广泛地应用到生产生活的各个领域中去. ④随机模拟法的步骤 建立概率模型；进行模拟试验(可用计算器或计算机进行)；统计试验结果. 【题型1 事件的分类】 【例1】（24-25高一下·全国·期末）以下事件是随机事件的是（    ） A．下雨屋顶湿 B．秋后柳叶黄 C．有水就有鱼 D．水结冰体积变大 【答案】C 【解题思路】利用随机事件的定义求解即可. 【解答过程】由题意得A，B，D的概率为1，所以是必然事件， C的概率不为0，也不为1，所以它是随机事件，故C正确. 故选：C. 【变式1-1】（24-25高一下·云南玉溪·期末）下面的事件：①实数的绝对值大于等于0；②车辆到达十字路口，遇到红灯；③当时，关于x的方程在实数集内有解，其中是必然事件的有（   ） A．① B．② C．③ D．①② 【答案】A 【解题思路】根据必然事件，随机事件和不可能事件的定义得到答案. 【解答过程】①是必然事件；②是随机事件； ③时，，无解，故③是不可能事件． 故选：A． 【变式1-2】（24-25高一下·安徽六安·期末）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【解题思路】根据必然事件，不可能事件和随机事件的定义逐个分析判断即可. 【解答过程】对于①，从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件，所以①正确， 对于②，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件，所以②正确， 对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误， 对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确. 故选：C. 【变式1-3】（24-25高二上·上海·课后作业）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【解题思路】根据必然事件，不可能事件和随机事件的定义逐个分析判断 【解答过程】对于①，三个球全部放入两个盒子，就是将3个分成两部分，其中一部分1个球，另一部分2个球，所以必有一个盒子有一个以上的球，所以①正确， 对于②，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件，所以②正确， 对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误， 对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确， 故选：C. 【题型2 事件的关系和运算】 【例2】（25-26高一上·安徽·期末）连续抛掷一枚硬币4次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（    ） A．有3次或4次出现反面 B．只有3次出现反面 C．有3次或4次出现正面 D．只有1次出现正面 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用对立事件的定义判断即可. 【解答过程】连续抛掷一枚硬币4次，共有5种结果：4正0反，3正1反，2正2反，1正3反，0正4反， 事件“至少2次出现正面”包含了4正0反，3正1反，2正2反， 则其对立事件包含1正3反，0正4反，即有3次或4次出现反面. 故选：A. 【变式2-1】（25-26高二上·广东江门·期末）某人打靶连续射击3次，设“共中靶次”，，则的对立事件是（   ） A．“全部中靶” B．“至少中靶1次” C．“至少中靶2次” D．“至多中靶1次” 【答案】C 【解题思路】根据对立事件的定义判断即可. 【解答过程】某人打靶连续射击3次，设“共中靶次”，， 则表示共中靶0次，表示共中靶1次， 所以表示共中靶0次或1次，所以其对立事件表示共中靶至少2次. 故选：C. 【变式2-2】（24-25高一下·广西百色·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A=“点数不大于3”，B=“点数大于4”，C=“点数为奇数”，D=“点数为偶数”，下列结论正确的是（    ） A．B，C为对立事件 B．A，C为互斥事件 C．C，D为对立事件 D．A，D为互斥事件 【答案】C 【解题思路】根据互斥事件、对立事件的定义逐一判断各个选项即可求解． 【解答过程】样本空间为，，，，， 对于A，，所以B，C不互斥，更不可能对立，故A错误； 对于B，由于，所以A，C不互斥，故B错误； 对于C，因为，，所以C，D为对立事件，故C正确； 对于D，，所以A，D不互斥，故D错误． 故选：C． 【变式2-3】（24-25高一下·贵州贵阳·期末）一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支.记事件A=“恰有1支一等品”，事件B=“2支都是二等品”，事件C=“没有三等品”，下列说法正确的是（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件B与事件C互斥 C．事件A与事件C对立 D．事件B 与事件C对立 【答案】A 【解题思路】利用互斥事件与对立事件的概念逐项判断即可. 【解答过程】对于A，事件A与事件B不会同时发生，所以事件A与事件B互斥，故A正确； 对于B，若取到的两支笔都是二等品，则事件B与事件C同时发生， 所以事件B与事件C不是互斥事件，故B错误； 对于C，若取到的两支笔是一支二等品，一支三等品，则事件A与事件C都没有发生， 所以事件A与事件C不是对立事件，故C错误； 对于D，若取到的两支笔是一支一等品，一支三等品，则事件B与事件C都没有发生， 所以事件B与事件C不是对立事件，故D错误； 故选：A. 【题型3 计算古典概型问题的概率】 【例3】（25-26高一上·江西南昌·期末）连续抛掷一枚均匀的骰子2次，则至少有1次掷出1点的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求出一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次可能出现的情况和至少出现一次1点的情况，再由古典概率求解即可. 【解答过程】一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，可能出现的情况为：， ，， ，， 共种， 其中至少出现一次1点的情况有：，共种， 故至少出现一次1点的概率是. 故选：B. 【变式3-1】（25-26高二上·浙江舟山·期末）一个袋中有大小和质地都相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，现从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则“摸出的2个球颜色相同”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用列举法结合古典概率公式即可求解. 【解答过程】对2个红色球，2个绿色球依次编号为， 从袋中不放回地依次随机摸两个球， 共有共12种， 两个球颜色相同的情况共有4种， 则两个球颜色相同的概率. 故选：D. 【变式3-2】（24-25高三下·贵州遵义·阶段检测）从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】应用列举法求古典概型的概率即可. 【解答过程】从中随机选取三个不同的数有、、、、、、、、、，共10种情况， 其中三个数之积为偶数的有、、、、、、、、，共9种情况， 在上述的9种情况中，它们之和大于8的有、、、、，共5种情况， 所以这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为. 故选：D. 【变式3-3】（25-26高二上·浙江杭州·期中）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出试验的样本空间和事件（“从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球”）的样本点个数，由古典概型计算即可. 【解答过程】记2个红球和3个黄球分别为和， 记为随机试验的样本点，分别表示第一次和第二次摸到的球， 则从中不放回地依次随机摸出两个球的试验的样本空间为 ，共20个样本点， 记事件“从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球”， 则共6个样本点. 所以. 故选：C. 【题型4 概率的基本性质】 【例4】（25-26高二上·山东淄博·阶段检测）已知，则下列结果正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据事件的互斥，对立关系逐个分析选项. 【解答过程】对于A， ， ，A选项错误； 对于B，，B选项正确； 对于C，，C选项错误； 对于D，，D选项错误； 故选：B. 【变式4-1】（25-26高一下·全国·课后作业）掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为．事件表示“小于5的奇数点出现”，事件表示“不大于5的点数出现”，则一次试验中，事件（表示事件的对立事件）发生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据对立事件概率公式及互斥事件概率加法公式计算求解. 【解答过程】由题意知，表示“大于5的点数出现”，事件与事件互斥， 由概率的加法计算公式可得 故选：B. 【变式4-2】（24-25高一下·福建福州·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据对立事件与互斥事件的概率公式及概率的性质求解即可. 【解答过程】由和对立，可得，则. 又随机事件和互斥， 所以. 故选：A. 【变式4-3】（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为，摸出的球是红球或黑球的概率为，则摸出的球是红球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为，由互斥事件的概率性质建立关于的等式，求解即可． 【解答过程】根据题意，设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为， 所以，，且， 所以，， ， 解得：， 故选：C． 【题型5 相互独立事件与互斥事件】 【例5】（24-25高一下·云南·期末）已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（    ） A．事件A和相等 B．事件A和互相对立 C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥 【答案】D 【解题思路】列举出样本空间、事件和事件，即可判断A；对于BD：根据互斥事件、对立事件的概念分析判断；对于C：根据事件概率乘法公式分析判断. 【解答过程】用每次取球的结果，分别表示甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球的标号， 由题意可知：样本空间； 事件；事件，； 对于选项A：因为，所以事件A和不相等，故A错误； 对于选项BD：因为事件， 所以事件A和互斥，事件A和不互相对立，故B错误，D正确； 对于选项C：因为， 则， 显然，所以事件A和不相互独立，故C错误； 故选：D. 【变式5-1】（24-25高一下·河北沧州·期末）投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（    ） A．A与B是互斥事件 B．A与B是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C是独立事件 【答案】C 【解题思路】根据互斥事件，对立事件，独立事件概率公式和定义，即可判断选项. 【解答过程】和有公共事件：点数为3，所以不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误； 事件表示点数为4或6，，，，所以，所以与是独立事件，故C正确； 事件表示点数为2，则，，，所以，所以与不是独立事件，故D错误 故选：C. 【变式5-2】（24-25高一上·河南焦作·期末）某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 【答案】D 【解题思路】A选项，根据甲乙项目的参加情况得到，即可得到参与甲项目与参与乙项目互斥；B选项，根据甲丁项目的参加情况得到，即可得到参与甲项目与参与丁项目互斥且对立；C选项，根据参与甲项目与参与丁项目对立和得到，然后得到，，，最后利用乘法公式判断；D选项，利用乘法公式判断即可. 【解答过程】设总人数为，记参与甲，乙，丙，丁项目分别为事件， 由题意可得，故， 故参与甲项目与参与乙项目互斥，故A错误； 由题意可得，，故， 故参与甲项目与参与丁项目互斥且对立，故B错误； 由题意得， 故，， 故，故参与丙项目与参与丁项目相互独立，故C错误； ， 故参与甲项目与参与丙项目相互独立，故D正确． 故选：D． 【变式5-3】（24-25高一下·河南安阳·阶段检测）袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中随机取出两个球，设事件A=“取出的球的数字之积为奇数”，事件B=“取出的球的数字之积为偶数”，事件C=“取出的球的数字之和为偶数”，事件D=“取出的球的数字之和大于5”，则下列说法错误的是（    ） A．事件A与B是互斥事件 B．事件A与B是对立事件 C．事件C与D相互独立 D．事件C与D不是互斥事件 【答案】C 【解题思路】首先列举样本空间，利用样本空间法，结合互斥，对立事件的定义，判断ABD，根据与的关系，判断C. 【解答过程】袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5， 从中随机取出两个球的试验样本空间包含的样本点为：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共10个， 其中事件A包含的样本点为：（1,3），（1,5），（3,5）共3个，故， 事件B包含的样本点为：（1,2），（1,4），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（4,5）共7个，故； 事件C包含的样本点为：（1,3），（1,5），（2,4），（3,5）共4个，故， 事件D包含的样本为：（1,5），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共6个，故， 因为事件，，故事件A与B互斥且对立，故A，B正确； 因为,所以C与D不相互独立，故C错误. 因为,所以C与D不互斥，故D正确. 故选:C. 【题型6 独立事件的乘法公式】 【例6】（2025高二下·湖南·学业考试）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】密码不能被成功破译，即甲不能破译且乙不能破译，利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式计算即可. 【解答过程】已知甲能破译密码的概率为，则甲不能破译密码的概率为， 已知乙能破译密码的概率为，则乙不能破译密码的概率为， 密码不能被成功破译，即甲不能破译且乙不能破译， 所以密码不能被成功破译的概率为. 故选：C. 【变式6-1】（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知事件与事件相互独立，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据条件，利用相互独立事件的概率公式，即可求解. 【解答过程】因为事件A，B是相互独立事件，所以事件也是相互独立事件， 又 ，所以 ， 故. 故选：A. 【变式6-2】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的．若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中恰有1人投中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据独立事件概率公式，计算即可得答案. 【解答过程】设甲、乙、丙投中分别记为事件， 由题意得，， 所以 . 故选：B. 【变式6-3】（24-25高一下·湖南衡阳·期末）如图，已知电路中4个开关每个断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据相互独立的概率乘法公式，以及互斥事件与对立是事件的概率公式，即可求解. 【解答过程】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，丙丁2个都开且甲乙2个中有一个开另一个闭， 这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件都是相互独立的， 所以灯泡不亮的概率为， 所以灯泡亮的概率为. 故选：C. 【题型7 频率与概率】 【例7】（25-26高二上·四川资阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人进行象棋比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场 B．某商场一次抽奖活动的中奖率为10%，若前9人均未中奖，则第10个人一定中奖 C．随机试验的频率与概率相等 D．天气预报播报明天降水概率为90%，是指降水的可能性约为90% 【答案】D 【解题思路】利用频率与概率的概念分析选项即可. 【解答过程】对于A，此概率只表示事件发生的可能性大小，具有随机性，不能代表比赛5场必胜3场，所以A错误； 对于B，此中奖率只表示中奖的可能性，也具有随机性，不能代表10人必中奖1人，所以B错误； 对于C，随机试验的频率可以估计概率，并不等于概率，所以C错误； 对于D，预报播报明天降水概率为90%，是指降水的可能性约为90%，正确. 故选：D. 【变式7-1】（24-25高一下·甘肃·期末）下列说法中正确的是（    ） A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B．在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有确定性 C．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 D．随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率 【答案】D 【解题思路】根据已知条件，结合频率，概率的定义，即可逐一判断. 【解答过程】对于A，一般而言，频率是试验值，而概率是估计值，故不是同一个概念，故A错误； 对于B，在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性，故B错误； 对于C，在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，故C错误； 对于D，根据随机事件发生的概率定义，随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率，故D正确. 故选:D. 【变式7-2】（24-25高一下·江西景德镇·期中）《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送米1805石（古代容量单位），验得米内夹谷，抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒，则这批米内夹谷约为（   ） A．361石 B．341石 C．314石 D．360石 【答案】A 【解题思路】根据抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒，可计算出夹谷的频率，从而可解． 【解答过程】根据题意，抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒， 则样本中夹谷的频率为， 则这批米内夹谷约为（石. 故选：A. 【变式7-3】（2025高一·全国·专题练习）小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了5次，每次朝上的点数都是2，则下列说法正确的是（    ） A．朝上的点数是2的概率和频率均为1 B．若抛掷30000次，则朝上的点数是2的概率为1 C．抛掷第6次，朝上的点数一定不是2 D．抛掷60000次，朝上的点数为2的次数大约为10000次 【答案】D 【解题思路】根据频率与概率的概念判断A，由频率与概率的关系判断BD，由概率的概念判断C. 【解答过程】A：由题意知朝上的点数是2的频率为1，概率为，故A错误； B：当抛掷次数很多时，朝上的点数是2的频率在附近摆动，故B错误； C：抛掷第6次，朝上的点数可能是2，也可能不是2，故C错误； D：每次抛掷朝上的点数是2的概率为，所以抛掷60000次朝上的点数为2的次数大约为10000，理论和实际会有一定的出入，故D正确． 故选：D． 【题型8 随机模拟问题】 【例8】（24-25高一下·河南漯河·期末）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1～5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示天下雨，利用计算产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245．则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可知：共20个随机数，其中随机数1，3，5出现2次的有9次，结合古典概型运算求解. 【解答过程】由题意可知：共20个随机数， 其中随机数1，3，5出现2次的有123，453，332，152，534，521，541，125，314，共9次， 所以这三天中恰有两天下雨的概率近似为. 故选：C. 【变式8-1】（24-25高一下·河南·阶段检测）为加强学生身体健康，某校对学生进行了体能测试．已知同学甲在立定跳远项目中每次及格的概率均为0.6，现采用随机模拟的方法估计甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率：先由计算器产生0到9范围内的整数随机数，指定0，1，2，3表示没有及格，4，5，6，7，8，9表示及格，再以每3个随机数为一组，代表3次立定跳远的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 759   421   113   215   345   257   704   066   186   203 037   624   616   045   601   366   959   742   710   428 据随机模拟试验估计，甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】找到20组数据中符合题意的数据个数，然后利用古典概型概率公式求解即可. 【解答过程】依题意，在每组随机数中，至少有2个数字在4，5，6，7，8，9中， 即代表甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次， 经统计，20组中一共有13组符合要求， 有：759，345，257，704，066，186，624，616，045，366，959，742，428， 故概率为． 故选：D． 【变式8-2】（25-26高一下·全国·课后作业）某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生10组随机数：812，832，569，684，271，989，730，537，925，907．由此估计3例心脏手术全部成功的概率为（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】B 【解题思路】利用古典概型的概率求解. 【解答过程】随机模拟产生10组随机数中，有3组随机数表示手术成功， 故3例心脏手术全部成功的概率为：． 故选：B. 【变式8-3】（24-25高二上·广东佛山·阶段检测）在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，用计算机产生之间的随机数，当出现、、时表示一局比赛甲获胜，当出现4、5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，现产生20组随机数，结果如下： 423  123  423  344  114  453  525  332  152  342 534  443  512  541  125  432  334  151  314  354 则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是（   ） A．0.35 B．0.55 C．0.6 D．0.65 【答案】D 【解题思路】根据题意，由随机数组来确定胜负情况，根据20组数据中满足条件的数组个数，除以总数即可得解. 【解答过程】表示甲获得冠军的数有423，123，423，114，332，152，342，512，125，432， 334，151，314共13组数，故估计该场比赛甲获胜的概率为. 故选：D. 【题型9 概率综合】 【例9】（24-25高一下·福建三明·期末）甲、乙两人组成的“龙队”参加数学解题比赛，比赛中每个队均有一张通行卡且仅限使用一次.每轮比赛由甲、乙各自独立解答同一道题，若两人都答对则直接进入下一轮；若两人都答错则直接被淘汰；若两人中恰有一人答对则可使用通行卡进入下一轮.已知在每轮比赛中甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，则“龙队”恰在参加三轮比赛后被淘汰的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意知，还原情境，由互斥加法、独立乘法以及对立事件概率公式求解即可. 【解答过程】由题意“龙队”恰在参加三轮比赛后被淘汰， ①前两轮没有用通行卡，且第三轮都答错了， 概率为； ②前两轮有一轮使用通行卡，第三轮两人均答错或只有一人答对， 概率为； 故所求概率为. 故选：C. 【变式9-1】（24-25高一下·重庆·期末）如图，一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数大于4”，记事件“得到的点数为3的倍数”，则下列说法正确的是（    ） A．事件B与C互斥，A与C相互对立 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对于A：根据互斥事件的概念分析判断；对于B：先求，结合古典概型分析判断；对于C、D根据独立事件概率乘法公式计算即可. 【解答过程】事件“得到的点数为偶数”，即， 记事件“得到的点数大于4”，即， 记事件“得到的点数为3的倍数”，即， 则，，， 对于A：，，故事件B与C不互斥，A与C不相互对立，A错误； 对于B：，，故B错误； 对于C：，，，，故，C正确； 对于D：，，故，D错误. 故选：C. 【变式9-2】（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，在金融、医疗健康、智能制造、教育等多个领域都有广泛的应用场景.为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织两部门的员工参加培训. (1)已知该公司部门分别有3名领导，此次培训需要从这6名部门领导中随机选取2人负责，假设每人被抽到的可能性都相同，试写出其样本空间，并求出事件“选取的2人全部来自部门领导”的概率； (2)此次培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格，求每位员工经过培训合格的概率； (3)从（1）中的6名领导中，随机选两名领导分别负责第一天和第二天的工作，求第一天选到部门领导且第二天选到部门领导的概率.（无需过程，直接作答） 【答案】(1)样本空间见解析， (2) (3) 【解题思路】（1）利用组合计数方法求出基本事件数，再利用古典概率列式求解. （2）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），由此可得关系，结合概率公式即可求解. （3）利用（1）中结果求得基本事件的个数，记事件：第一天选到部门领导且第二天选到部门领导，直接求出事件包含的基本事件的个数，利用古典概率公式，即可求解. 【解答过程】（1）记部门的3名领导为，部门的3名领导为， 从6名部门领导中随机选取2人负责，样本空间为： ，共15种， 选取2人全部来自部门领导的事件，不同结果有：，共3种， 所以全部来自A部门领导的概率为. （2）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（）， 则，， 依题意， ， 所以每位员工经过培训合格的概率为. （3）由（1）知，随机选两名领导分别负责第一天和第二天的工作，共有种， 记事件：第一天选到部门领导且第二天选到部门领导， 则事件包含：，共种， 所以. 【变式9-3】（24-25高一下·广东肇庆·期末）为了鼓励社会力量参与科技创新拔尖人才贯通式培育工作，提高青少年对人工智能的整体认知和应用水平，某地区面向该区青少年举办了“算法设计”科普公益大赛． (1)若A，B，C三个赛区进入决赛的分别有1人、2人、3人，现需从这6人中随机选择2人组成一队进行模拟测试，求这两人来自同一个赛区的概率； (2)某个算法编程题，若甲同学能解决的概率为0.8，乙同学能解决的概率为0.9，且甲、乙能否解决问题相互独立，求甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决该题的概率； (3)对甲、乙两位同学进行两轮测试，若每轮测试中甲、乙同学各解决一道题，每一轮中的每一道题甲、乙能解决的概率分别为0.8和0.9，且在每轮测试中甲、乙能否解决问题互不影响，每一轮的结果也互相不影响，求两轮测试中甲、乙共能解决三道题的概率． 【答案】(1) (2)0.26 (3)0.3744 【解题思路】（1）根据古典概型概率公式即可求解； （2）根据独立事件的乘法公式与互斥事件的概率加法公式即可求解； （3）根据独立事件的乘法公式与互斥事件的概率加法公式即可求解. 【解答过程】（1）记来自A赛区的同学为，来自B赛区的同学为，，来自C赛区的同学为，，．设“从6人中随机选择2人”；“选择的两人来自同一个赛区”. 则 ，有15种可能的结果. ，有4种可能的结果. 所以，所以这两人来自同一个赛区的概率为. （2）设“甲能解决问题”，“乙能解决问题”，“甲不能解决问题”，“乙不能解决问题”，“甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决问题”， 显然，，，. 因为事件，互斥，事件D，E相互独立， 所以 ， 所以甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决该题的概率为0.26. （3）设“两轮测试中甲解决一道题”，“两轮测试中甲解决两道题”， “两轮测试中乙解决一道题”，“两轮测试中乙解决两道题”， “两轮测试中甲、乙共解决三道题”． ；； ；． 因为，互斥，事件与，与相互独立， 所以， 所以两轮测试中甲、乙共能解决三道题的概率为0.3744． 【题型10 概率与统计的交汇问题】 【例10】（25-26高二下·上海·阶段检测）某高中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）． (1)求身高在区间的学生人数； (2)将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人． ①求从这三个组分别抽取的学生人数； ②若要从6名学生中抽取2人，求B组中至少有1人被抽中的概率． 【答案】(1)30人 (2)①3人，2人，1人；② 【解题思路】（1）根据频率分布直方图的概念，求出身高在区间的频率。进而根据总人数，求出这一区间的学生人数； （2）根据分层抽样的概念和方法，分别求出这三组的人数，根据比例求出各组抽取的人数，再根据古典概率公式，求出事件的概率； 【解答过程】（1）设的频率为， 由频率分布直方图可知，解得． 所以身高在区间的学生人数为（人）． （2）①，，三组的人数分别为30人，20人，10人． 因此三组中每组各抽取（人），（人），（人）． ②设组的3位同学为，，，组的2位同学为，，组的1位同学为， 则从6名学生中抽取2人有15种可能： ，，，，， ，，，，，，，，，． 其中组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能： ，，，，，，，，． 所以组中至少有1人被抽中的概率为． 【变式10-1】（25-26高二上·山东青岛·期中）在数学学科周中，举行数学素养选拔赛（满分分），为了了解本次比赛成绩的情况，随机抽取了名参赛学生的成绩，并分成了五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同． (1)求出频率分布直方图中、的值，并估计此次比赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (2)用分层随机抽样的方法从、两个区间共抽取出名学生，再从这名学生中随机抽取名进行交流分享，求两人至少一人在的概率； (3)甲、乙、丙名同学同时做试卷中同一道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为，假设他们三人是否解出该题互不影响．求甲、乙、丙人中至少有人解出该题的概率． 【答案】(1)，，比赛成绩的平均值为分 (2) (3) 【解题思路】（1）联立求出，再用平均数公式计算即可； （2）求出人中成绩分别在、的人数，利用列举法结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （3）先求出甲乙丙分别解出该题事件对应概率，再结合相互独立事件乘法公式和对立事件概率公式计算即可. 【解答过程】（1）由题意可知，解得， 可知每组的频率依次为、、、、， 所以此次比赛成绩的平均值为（分 ）； （2）用分层随机抽样的方法从、两个区间共抽取出名学生， 其中成绩在内的学生人数为，分别记为、、、， 成绩在的学生人数为，记为， 则从这名学生中随机抽取名进行交流分享的总体样本空间为，共个样本点， 记事件从这名学生中随机抽取名进行交流分享，两人至少一人在内， 则，共个样本点，故. （3）设“甲解出该题”为事件，“乙解出该题”为事件，“丙解出该题”为事件， “甲、乙、丙人中至少有人解出该题”为事件， 由题意得，解得， 所以. 【变式10-2】（25-26高二上·四川成都·期末）为了解高二年级学生在期末考试中的数学成绩情况，某校调查了该年级500名同学的数学成绩并绘制成频率分布直方图． (1)求的值： (2)求这500名同学数学成绩的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值表示）； (3)现拟在区间，用分层抽样的方法抽取6人，然后在这6人中随机选取2人举行座谈，求选取的2人均位于区间的概率． 【答案】(1) (2)中位数为，平均数 (3) 【解题思路】（1）根据频率分布直方图中的频率和为1求解即可； （2）先根据图求出每个区间的频率，分析出中位数所在的区间，设为，建立方程解出即可，然后根据频率分布直方图的平均数计算方法求解即可； （3）先利用分层抽样方法在区间，分别抽取相应的人数，按照选取办法写出样本空间和满足条件的样本，然后根据古典概型概率求解即可. 【解答过程】（1）由， 解得. （2）由图可知，成绩在区间的频率分别为， 因为， 所以中位数位于区间内，设中位数为， 则有，解得中位数分， 这500名同学数学成绩的平均数为： 分； （3）由区间的人数为：人 区间的人数为：人 人数比为，所以在区间应抽取2人，设为， 在区间应抽取4人，设为， 设事件“这6人中选取2人，选取的2人均位于区间”， 由样本空间， ，得， 由事件，得， 所以． 【变式10-3】（25-26高一上·贵州遵义·期末）为了了解某校高二年级学生的体育成绩（满分100分）选取40名学生参加考核，考核成绩的频率分布直方图如图所示： (1)求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的40名学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)为了提升同学们的体育成绩，校方准备招聘高水平的教练进行授课．现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求至少有一人分数不低于80的概率； (3)现有体育成绩在90分以上的甲、乙两名同学要参加文旅部门组织的国庆营考试，已知考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考两门学科，每科笔试成绩从高到低依次有共四个等级，若两科笔试成绩均为，则直接参加国庆营；若一科成绩为．另一科成绩不是但不低于，则要参加第二轮面试，面试通过参加国庆营，否则不能参加．若两人考试互不影响，且甲在每科笔试中取得四个等级的概率分别是；乙在每科笔试中取得四个等级的概率分别是，甲、乙面试通过的概率都为，求甲、乙能同时参加国庆营的概率．（结果用分数表示） 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由概率之和为1即可计算求解t，由频率分布直方图的平均数计算方法直接计算即可求解平均数； （2）求出两组各的人数即可由古典概型计算求解； （3）分别求出甲、乙能参加国庆营的概率即可求甲、乙能同时参加国庆营的概率. 【解答过程】（1）由题可得， 所以所抽取的40名学生成绩的平均数约为. （2）由题可得两组各抽2人和3人，分别记为和， 则从5人中挑出两人进行试课，则样本空间为，共有10个样本点， 记事件“至少有一人分数不低于80”，则 ，共有9个样本点， 所以至少有一人分数不低于80的概率为； （3）由题可得甲能参加国庆营情况有以下三种情况： 第一种情况是甲笔试两科成绩均为A； 第二种情况是甲两科笔试成绩分别为A和B且第二轮面试通过； 第三种情况是甲两科笔试成绩分别为A和C且第二轮面试通过. 所以甲能参加国庆营的概率为， 同理乙能参加国庆营的概率， 所以甲、乙能同时参加国庆营的概率为. 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·单元测试）下列事件中，随机事件的个数是（   ） ①过马路时，恰好遇到红灯；②短跑运动员1s跑完100m；③任意三条线段，组成三角形；④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据随机事件、必然事件、不可能事件的概念判断. 【解答过程】①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件． 故选：B. 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法正确的是（   ） ①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小； ②做次随机试验，事件发生了次，则事件发生的概率； ③含百分比的数是频率，但不是概率； ④频率是不能脱离次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值； ⑤概率是频率的稳定值． A．①④⑤ B．①② C．②③ D．②③⑤ 【答案】A 【解题思路】根据频率与概率的概念逐个判断即可. 【解答过程】根据频率与概率的定义，可知①正确； 概率不是频率，而②中所给的是事件A发生的频率，因此②错误； 概率是一个数值，可以是百分数也可以是小数，因此③错误； 根据概率的定义可知，概率是一个客观值，频率是一个试验值，因此④正确，⑤正确． 故选：A. 3．（25-26高一下·全国·单元测试）至少3个人站成一排，其中为互斥事件的是（   ） A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙不站排尾” C．“甲站排头”与“乙站排尾” D．“甲不站排头”与“乙不站排尾” 【答案】A 【解题思路】根据互斥事件的定义判断. 【解答过程】由互斥事件的定义知，“甲站排头”与“乙站排头”不能同时发生，是互斥事件． 其他选项对应的事件均可同时发生， 故选：A. 4．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）把一个正四面体的四个面按如下方案涂色：第一个面涂红色，第二个面涂黄色，第三个面涂蓝色，第四个面分成三块区域分别涂上述三种颜色，将该四面体抛掷在一个平面上，记事件“四面体有红色的面落在平面上”，记事件“四面体有黄色的面落在平面上”，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将积事件所代表的事件表示出来，利用古典概型的概率计算公式计算概率． 【解答过程】根据题意，正四面体的四个面中，有红色的面有2个，有黄色的面有2个， 所代表的事既有红色的面也有黄色的面落在平面上，仅有一个， 故． 故选：D. 5．（25-26高一上·河南驻马店·期末）袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 232  321  230  023  123  021  132  220  001 231  130  133  231  013  320  122  103  233 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用频率估计概率的方法求解. 【解答过程】因为随机模拟产生了以下18组随机数： ， 其中恰好第三次就停止包含的基本事件有：023,123,132共3个， 所以由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为， 故选：B. 6．（25-26高一上·江西吉安·期末）班上有5名数学爱好者，其中3人是男生.若从这5人中随机选出2人，则恰好2人都是男生的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出样本空间的样本数和恰好2人都是男生的样本个数，再利用古典概率公式，即可求解. 【解答过程】由题知班上有5名数学爱好者，其中3人是男生， 记这3人为，其余2人为， 从5人中选取人有：，共有10种情况， 恰好2人都是男生有，共3种情况， 所以从这5人中随机选出2人，则恰好2人都是男生的概率为. 故选：A. 7．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，是相互独立事件，若，，则（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】A 【解题思路】根据独立事件、互斥事件、对立事件的概率公式计算. 【解答过程】因为，是相互独立事件，所以，和，均相互独立， 因为两两互斥， 所以， 因为，所以， 则，得． 故选：A. 8．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项不正确的是（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 【答案】B 【解题思路】根据题意列出两次取球所有可能情况，并分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件、互斥事件的定义判断即可. 【解答过程】由题意可得两次取球所有可能情况为，，，，，，，，，，，共种情况； 第一次取出的球的数字是1，所有可能为，，共3种情况； 第二次取出的球的数字是2，所有可能为，，共3种情况； 则两次取出球的数字之和为的所有可能为，，，共种情况； 两次取出球的数字之和为的所有可能为，共种情况； 记“第一次取出的球的数字是1”为，“第二次取出的球的数字是2”为， “两次取出的球的数字之和是5”为，“两次取出的球的数字之和是4”为， 则，，，. A：当甲丙同时发生时，取出的恰是，此时， 故甲丙相互独立，故A正确； B：当甲乙同时发生时，取出的恰是，此时，， 故甲乙不相互独立，故B错误； C：由不可能同时发生，故丙与丁互斥，故C正确； D：当第二次取出的球的数字是2时，第一次不可能取2，即两次取出的数字之和不能为4，故乙丁不能同时发生，则乙与丁互斥，故D正确； 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高二上·湖北·期末）下列对于概率的说法正确的有（    ） A．若事件与事件互斥，则事件与事件对立 B．若事件、满足，则 C．若事件与事件相互独立，且，则 D．小明将一枚质地均匀的硬币掷了100次，经统计有51次正面向上，则将这枚硬币再掷一次，出现正面朝上的概率是 【答案】BC 【解题思路】根据互斥事件与对立事件的定义可判断A错误，由概率基本性质可得B正确，结合独立事件性质直接计算可得C正确，由概率和频率的关系可知D错误. 【解答过程】选项A：若事件互斥，则， 若事件对立，则，且，所以互斥事件不一定是对立事件，A错误； 选项B：因为，所以，又，所以，B正确； 选项C：事件与事件相互独立，所以与也相互独立，则，C正确； 选项D：频率是概率的估计值，概率是频率的固定值，是历史统计结果， 单次试验的结果不受之前频率的影响所以再掷一次出现正面朝上的概率仍然是，而不是，D错误. 故选：BC. 10．（25-26高一上·河南南阳·期末）（改编自北师大必修一 P197例1）袋中有白球个（编号为、、）、黑球个（编号为、），这个球除颜色、编号外完全相同．现在从中不放回地依次摸取出个，每次摸个，记事件为“第一次取到的球编号为”，事件为“第一次取到的球是黑球”，事件为“取到的两个球都是白球”．则（   ） A．与互斥 B． C． D．与独立 【答案】BC 【解题思路】利用互斥事件的定义可判断A选项；利用对立事件的概率公式可判断B选项；利用古典概型的概率公式可判断C选项；利用独立事件的定义可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，事件“第一次摸到编号为的黑球”，故与不互斥，A错； 对于B选项，将个编号为、、的白球分别记为、、， 将个编号为、的黑球分别记为、，基本事件总数为， ， 所以，B对； 对于C选项，，所以，C对； 对于D选项，， ， ， 所以，，， 所以，故、不独立，D错. 故选：BC. 11．（25-26高一上·湖南衡阳·阶段检测）某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对一个选项得2分，选错得0分，已知某小题的标准答案为ABD，甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法正确的是（   ） A．甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为 B．乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为 C．丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高 D．丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同 【答案】BD 【解题思路】A选项，列举得到共有4种情况，有3种情况满足要求，故能得2分的概率为；B选项，列举得到共有6种情况，有3种情况满足要求，能得4分的概率为；C选项，列举得到共有11种情况，有4种情况满足要求，故得分的概率为，由于，C错误；D选项，列举得到共有15种情况，能得2分的情况为A，B，D，能得4分的情况为AB，AD，BD，故得2分的概率与得4分的概率相同，D正确. 【解答过程】A选项，甲同学仅仅随机选择一个选项，共有4种情况，分别为A，B，C，D， 其中有3种情况满足要求，分别为A，B，D，故能得2分的概率为，A错误； B选项，乙同学仅随机选择两个选项，共有6种情况， 分别为AB，AC，AD，BC，BD，CD，其中能得4分的情况有3种，为AB，AD，BD， 故乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为，B正确； C选项，丙同学可以选择两个选项，三个选项和四个选项，共有11种情况， 分别为AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD， 其中得分的情况有4种，为AB，AD，BD，ABD，故得分的概率为， 由B可知，乙同学仅随机选择两个选项，能得分的概率为， ，故丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率低，C错误； D选项，丁同学选择至少一个选项，共有15种情况， 分别为A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD， 能得2分的情况为A，B，D，故能得2分的概率为， 能得4分的情况为AB，AD，BD，故能得4分的概率为， 丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同，D正确. 故选：BD. 三、填空题 12．（24-25高一下·安徽宿州·期中）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机选取了该地区100名九年级男生进行测量，他们的身高x（cm）统计如下表： 组别     人数 13 43 36 8 根据上表，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是__________． 【答案】0.44 【解题思路】由频率估计概率，得出所求概率. 【解答过程】因为身高高于170cm的频率为， 抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是0.44. 故答案为：0.44. 13．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，，，则__________. 【答案】 【解题思路】由题意结合概率运算性质可得答案. 【解答过程】由概率的性质知，因此， . 故答案为：. 14．（24-25高一下·黑龙江·期末）甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为__________. 【答案】 【解题思路】根据已知确定所有可能情况，再列举出的对应情况，应用古典概型的概率求法求概率. 【解答过程】由题设，所有可能的有序数对共有个， 而的情况有 ，共有16个， 所以任意找两人玩这个游戏，他们“心有灵犀”的概率为. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·云南昭通·期末）对200个电子元件的寿命（单位：）进行追踪调查，情况如下： 寿命 个数 20 30 80 40 30 (1)如果按照使用寿命大于或等于300h的记为耐用型，小于300h的记为合格型，现按分层抽样，要抽取一个容量为8的样本，那么耐用型、合格型各应抽取多少个？ (2)估计元件的寿命在400h及以上的概率． 【答案】(1)耐用型抽取6个，合格型抽取2个 (2) 【解题思路】（1）根据分层抽样的概念确定各层抽取的个数； （2）利用频率对概率进行估计. 【解答过程】（1）因为耐用型总共有个，合格型总共有个， 抽取一个容量为8的样本，每个电子元件被抽到的可能性相同为. 所以耐用型抽取个，合格型抽取个． （2）因表中200个电子元件的寿命在400h及以上的频率为， 故由此估计元件的寿命在400h及以上的概率为． 16．（24-25高二上·上海·随堂练习）掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件：“出现奇数点”，事件：“出现偶数点”，事件：“点数小于”，事件：“点数大于”，事件：“点数是的倍数”.求： (1)，； (2)，； (3)，，，. 【答案】(1)， (2)， (3)，，， 【解题思路】（1）根据交事件（积事件）的概念求解即可； （2）根据并事件（和事件）的概念求解即可； （3）根据对立事件与交事件、并事件运算求解即可. 【解答过程】（1）掷一枚质地均匀的正方体骰子，样本空间为， 事件包含的样本点为,. 故,. （2）由（1）知，. （3）由（1）知，, 故. 17．（25-26高一下·北京·期末）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： (1)该应聘者用方案一考试通过的概率； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用相互独立事件概率乘法公式及互斥事件的加法公式直接计算即可； （2）分情况结合乘法公式即互斥事件加法公式即可得解． 【解答过程】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，，， 则，，， 应聘者用方案一考试通过的概率： ； （2）应聘者用方案二选择任意两科的概率为， 考试通过的概率： . 18．（25-26高二上·云南文山·期末）从某次测试中随机抽取100份测试卷进行成绩调查，发现抽取的测试卷的成绩都在40~100之间，将抽取的测试卷按成绩分成六组：，，，，，，画出如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值和抽取测试卷的成绩的中位数（精确到0.1）； (2)采用比例分配的分层随机抽样方法从成绩在和的测试卷中抽取5份，再从这5份测试卷中随机抽取3份了解答题情况，求这3份测试卷成绩至少有一份在的概率． 【答案】(1)，中位数为 (2) 【解题思路】（1）利用频率分布直方图的性质建立方程求解，利用频率分布直方图中位数定义求解即可. （2）利用分层抽样的性质求解抽取的人数，再求出整体样本空间和符合条件的事件，最后利用古典概型概率公式求解概率即可. 【解答过程】（1）由频率分布直方图可得，解得． 又由频率分布直方图可得， ，，的频率依次为， 所以前3组的频率为， 前4组的频率为， 故中位数在区间上，因此中位数为． （2）采用比例分配的分层抽样从和抽取5份测试卷， 由于，故成绩在的测试卷中抽取份数为，记作； 成绩在的测试卷中抽取份数为，记作， 则从抽取的5份测试卷中随机抽取3份测试卷的所有可能样本点构成的样本空间为： ， 共有10个样本点，即． 设事件“这3份测试卷成绩至少有一份在”， 则， 共有9个样本点，故， 则． 这3份测试卷成绩至少有一份在的概率为. 19．（25-26高二上·河南南阳·期末）甲、乙、丙、丁4名选手进行羽毛球比赛，比赛规则如下：比赛共分为四轮，第一轮，甲、丙比赛，乙、丁比赛；第二轮，第一轮中的两名胜者进行比赛，两名负者进行比赛；第三轮，第二轮胜者组的胜者直接晋级第四轮，第二轮胜者组的负者与第二轮负者组的胜者进行比赛；第四轮，由第三轮的胜者与第二轮胜者组的胜者进行比赛，最终的胜者获得比赛的冠军．已知甲、乙的水平相当（两人比赛，每人获胜的概率均为），丙、丁的水平相当，且甲胜丙、甲胜丁、乙胜丙、乙胜丁的概率都是，任意两人之间的比赛均无平局． (1)求甲不参加第三轮比赛的概率； (2)求甲、乙进行第四轮比赛的概率； (3)求甲获得冠军的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）甲不参加第三轮比赛的情况有两种：甲第一轮和第二轮比赛均获胜、甲第一轮和第二轮比赛均不胜，由相互独立事件的乘法公式求解即可； （2）甲、乙进行第四轮比赛的情况有两种：甲、乙在第四轮比赛前相遇和甲、乙在第四轮比赛前不相遇，由相互独立事件的乘法公式求解即可； （3）甲获得冠军，需进入第四轮并战胜对手，分决赛对手为乙、丙、丁三种情况讨论计算概率并求和. 【解答过程】（1）甲不参加第三轮比赛的情况有以下两种： 第一种，甲第一轮和第二轮比赛均获胜，其概率为 第二种，甲第一轮和第二轮比赛均不胜，其概率为 故甲不参加第三轮比赛的概率为． （2）甲、乙进行第四轮比赛的情况有以下两种： 第一种，甲、乙在第四轮比赛前相遇，其概率为； 第二种，甲、乙在第四轮比赛前不相遇，其概率为． 故甲、乙进行第四轮比赛的概率为． （3）甲获得冠军的情况有以下三种： 第一种，甲、乙进行第四轮比赛，由（2）可知其概率为； 第二种，甲、丙进行第四轮比赛，其概率为 ； 第三种，甲、丁进行第四轮比赛，其概率为 ． 故甲获得冠军的概率为． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 概率（暑假复习讲义） 【人教A版】 【知识清单1 有限样本空间与随机事件】 1．有限样本空间 (1)随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. (2)有限样本空间 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间. 一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果， 则称样本空间Ω={}为有限样本空间. 2．事件 (1)随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，···表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. (2)必然事件 A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件. (3)不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件. 【知识清单2 事件的关系和运算】 1．事件的关系和运算 (1)两个事件的关系和运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示 包含 A发生导致B发生 并事件 （和事件） A与B至少一个发生 或 交事件 （积事件） A与B同时发生 或 互斥 （互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ， (2)多个事件的和事件、积事件 类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，…，A∪B∪C∪… (或A+B+C+…)发生当且仅当A，B，C，…中至少一个发生，A∩B∩C∩… (或ABC…)发生当且仅当A，B，C，…同时发生. 2．样本空间中样本点的求法 (1)列举法 列举法也称枚举法.对于一些情境比较简单，样本点个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举，即可得出随机事件所包含的样本点.注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏. (2)列表法 对于样本点个数不是太多的情况，可以采用列表法.通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以便更直接地得到样本点个数.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法. (3)树状图法 树状图法适用于按顺序排列的较复杂问题中样本点个数的求解，是一种常用的方法. 3．用集合观点看事件间的关系 符号 概率角度 集合角度 Ω 必然事件 全集 ∅ 不可能事件 空集 ω 试验的可能结果 Ω中的元素 A 事件 Ω的子集 A的对立事件 A的补集 事件A包含于事件B 集合A是集合B的子集 事件A等于事件B 集合A等于集合B 或 事件A与事件B的并（和）事件 集合A与B的并集 或 事件A与事件B的交（积）事件 集合A与B的交集 事件A与事件B互斥 集合A与B的交集为空集 ，且 事件A与事件B对立 集合A与B互为补集 【知识清单3 古典概型】 1．古典概型 (1)事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. (2)古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. (3)古典概型的判断标准 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所 有的试验都是古典概型. 下列三类试验都不是古典概型： ①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能； ②样本点(基本事件)个数无限，但等可能； ③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能. 2．古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率，其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 3．求样本空间中样本点个数的方法 (1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同. 【知识清单4 概率的基本性质】 1．概率的基本性质 性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)= 1，P(∅)=0. 性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)＋P(B). 推广：如果事件A1，A2，…，Am．两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P()=P(A1)+P(A2)+…+P(Am). 性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B). 性质5 如果，那么P(A)≤P(B). 性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 2．复杂事件概率的求解策略 (1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和. (2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题. 【知识清单5 事件的相互独立性】 1．事件的相互独立性 (1)定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质 若事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立. 性质：若事件A与B相互独立，则 则与B，A与，与也相互独立 (3)应用 因为“A与B相互独立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立. (4)推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈N*)个事件的相互独立性，即若事件A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An). 2．互斥事件与相互独立事件的辨析 (1)互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.用表格表示如下： 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 两个事件不可能同时发生，即AB=∅. 概率公式 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B). 若事件A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)，反之不成立. (2)已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论： 事件 表示 概率（A，B互斥） 概率（A，B相互独立） A，B中至少有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) 或 P(A)+P(B) A，B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B) A，B都不发生 [P(A)+P(B)] A，B恰有一个发生 P(A)+P(B) A，B中至多有一个发生 1 P(A)P(B) 3．求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 【知识清单6 频率的稳定性】 1．频率与概率 (1)频率与概率的区别 频率 本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率也可能会不同. 概率 本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变. 举例辨析 例如，在相同条件下掷一枚质地均匀的硬币1000次，出现正面向上的次数是521，则正面向上的频率f1000（正面向上），而正面向上的概率P（正面向上），它是一个客观常数， (2)频率的特点 随机事件在一次试验中是否发生具有不确定性，但是，在相同条件下的大量重复试验中，它发生的频率有以下特点. ①在某次随机试验中，事件A发生的频率是一个变量，事先是无法确定的.但在大量重复试验后，它又具有稳定性，即频率在某个“常数”附近摆动，并且随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势. ②有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情况，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的可能性会减小. ③个别随机事件在一次试验中可能出现也可能不出现，但在大量试验中，它出现的次数与总试验次数之比常常是比较稳定的.这种现象称为频率的稳定性，是随机事件内在规律性的反映. (3)频率的稳定性(用频率估计概率) 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率P(A). 2．生活中的概率 (1)游戏的公平性 在各类游戏中，如果每个游戏参与者获胜的概率相等，那么游戏是公平的.例如，在体育比赛中，裁判员用抽签器决定两个运动员谁先发球，两个运动员获得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的. (2)天气预报的概率解释 天气预报是气象专家依据气象观测资料和气象学理论以及专家们的实际经验，经过分析推断得到的.天气预报的概率属于主观概率，这是因为在现有的条件下，不能对“天气”做多次重复试验，进行规律的总结，因此，在天气预报中所提及的概率和我们前面通过频率稳定性来定义的概率并不一样. 另外，天气预报中降水概率的大小只能说明降水的可能性大小，概率值越大，表示降水的可能性越大.在一次试验中“降水”这个事件是否发生仍然是随机的.例如，天气预报说“明天降水的概率为90%”，尽管明天下雨的可能性很大，但由于“明天下雨”是随机事件，因此明天仍然有可能不下雨. 【知识清单7 随机模拟】 1．随机数的产生 (1)随机数的定义 随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会相等. (2)产生随机数的方法 ①利用抽签法产生随机数 要产生1~n(n∈N*)之间的随机整数，把n个大小、形状相同的小球分别标上1，2，3，…，n放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个球，这个球上的数就称为随机数. ②利用计算机或计算器产生伪随机数 计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质.因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数. (3)用随机模拟法估计概率 ①随机模拟法产生的必要性 用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法进行，因而随机模拟试验就成为一种重要的方法，它可以在短时间内多次重复. ②随机模拟法估计概率的思想 随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每次试验的结果.其基本思想是，用产生整数值的随机数的频率估计事件发生的概率. ③随机模拟法的优点 不需要对试验进行具体操作，是一种简单、实用的科研方法，可以广泛地应用到生产生活的各个领域中去. ④随机模拟法的步骤 建立概率模型；进行模拟试验(可用计算器或计算机进行)；统计试验结果. 【题型1 事件的分类】 【例1】（24-25高一下·全国·期末）以下事件是随机事件的是（    ） A．下雨屋顶湿 B．秋后柳叶黄 C．有水就有鱼 D．水结冰体积变大 【变式1-1】（24-25高一下·云南玉溪·期末）下面的事件：①实数的绝对值大于等于0；②车辆到达十字路口，遇到红灯；③当时，关于x的方程在实数集内有解，其中是必然事件的有（   ） A．① B．② C．③ D．①② 【变式1-2】（24-25高一下·安徽六安·期末）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【变式1-3】（24-25高二上·上海·课后作业）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【题型2 事件的关系和运算】 【例2】（25-26高一上·安徽·期末）连续抛掷一枚硬币4次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（    ） A．有3次或4次出现反面 B．只有3次出现反面 C．有3次或4次出现正面 D．只有1次出现正面 【变式2-1】（25-26高二上·广东江门·期末）某人打靶连续射击3次，设“共中靶次”，，则的对立事件是（   ） A．“全部中靶” B．“至少中靶1次” C．“至少中靶2次” D．“至多中靶1次” 【变式2-2】（24-25高一下·广西百色·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A=“点数不大于3”，B=“点数大于4”，C=“点数为奇数”，D=“点数为偶数”，下列结论正确的是（    ） A．B，C为对立事件 B．A，C为互斥事件 C．C，D为对立事件 D．A，D为互斥事件 【变式2-3】（24-25高一下·贵州贵阳·期末）一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支.记事件A=“恰有1支一等品”，事件B=“2支都是二等品”，事件C=“没有三等品”，下列说法正确的是（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件B与事件C互斥 C．事件A与事件C对立 D．事件B 与事件C对立 【题型3 计算古典概型问题的概率】 【例3】（25-26高一上·江西南昌·期末）连续抛掷一枚均匀的骰子2次，则至少有1次掷出1点的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·浙江舟山·期末）一个袋中有大小和质地都相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，现从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则“摸出的2个球颜色相同”的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高三下·贵州遵义·阶段检测）从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高二上·浙江杭州·期中）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 【题型4 概率的基本性质】 【例4】（25-26高二上·山东淄博·阶段检测）已知，则下列结果正确的是（） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一下·全国·课后作业）掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为．事件表示“小于5的奇数点出现”，事件表示“不大于5的点数出现”，则一次试验中，事件（表示事件的对立事件）发生的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·福建福州·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为，摸出的球是红球或黑球的概率为，则摸出的球是红球的概率为（　　） A． B． C． D． 【题型5 相互独立事件与互斥事件】 【例5】（24-25高一下·云南·期末）已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（    ） A．事件A和相等 B．事件A和互相对立 C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥 【变式5-1】（24-25高一下·河北沧州·期末）投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（    ） A．A与B是互斥事件 B．A与B是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C是独立事件 【变式5-2】（24-25高一上·河南焦作·期末）某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 【变式5-3】（24-25高一下·河南安阳·阶段检测）袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中随机取出两个球，设事件A=“取出的球的数字之积为奇数”，事件B=“取出的球的数字之积为偶数”，事件C=“取出的球的数字之和为偶数”，事件D=“取出的球的数字之和大于5”，则下列说法错误的是（    ） A．事件A与B是互斥事件 B．事件A与B是对立事件 C．事件C与D相互独立 D．事件C与D不是互斥事件 【题型6 独立事件的乘法公式】 【例6】（2025高二下·湖南·学业考试）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为（  ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知事件与事件相互独立，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的．若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中恰有1人投中的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高一下·湖南衡阳·期末）如图，已知电路中4个开关每个断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（    ） A． B． C． D． 【题型7 频率与概率】 【例7】（25-26高二上·四川资阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人进行象棋比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场 B．某商场一次抽奖活动的中奖率为10%，若前9人均未中奖，则第10个人一定中奖 C．随机试验的频率与概率相等 D．天气预报播报明天降水概率为90%，是指降水的可能性约为90% 【变式7-1】（24-25高一下·甘肃·期末）下列说法中正确的是（    ） A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B．在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有确定性 C．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 D．随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率 【变式7-2】（24-25高一下·江西景德镇·期中）《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送米1805石（古代容量单位），验得米内夹谷，抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒，则这批米内夹谷约为（   ） A．361石 B．341石 C．314石 D．360石 【变式7-3】（2025高一·全国·专题练习）小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了5次，每次朝上的点数都是2，则下列说法正确的是（    ） A．朝上的点数是2的概率和频率均为1 B．若抛掷30000次，则朝上的点数是2的概率为1 C．抛掷第6次，朝上的点数一定不是2 D．抛掷60000次，朝上的点数为2的次数大约为10000次 【题型8 随机模拟问题】 【例8】（24-25高一下·河南漯河·期末）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1～5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示天下雨，利用计算产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245．则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高一下·河南·阶段检测）为加强学生身体健康，某校对学生进行了体能测试．已知同学甲在立定跳远项目中每次及格的概率均为0.6，现采用随机模拟的方法估计甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率：先由计算器产生0到9范围内的整数随机数，指定0，1，2，3表示没有及格，4，5，6，7，8，9表示及格，再以每3个随机数为一组，代表3次立定跳远的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 759   421   113   215   345   257   704   066   186   203 037   624   616   045   601   366   959   742   710   428 据随机模拟试验估计，甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高一下·全国·课后作业）某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生10组随机数：812，832，569，684，271，989，730，537，925，907．由此估计3例心脏手术全部成功的概率为（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【变式8-3】（24-25高二上·广东佛山·阶段检测）在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，用计算机产生之间的随机数，当出现、、时表示一局比赛甲获胜，当出现4、5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，现产生20组随机数，结果如下： 423  123  423  344  114  453  525  332  152  342 534  443  512  541  125  432  334  151  314  354 则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是（   ） A．0.35 B．0.55 C．0.6 D．0.65 【题型9 概率综合】 【例9】（24-25高一下·福建三明·期末）甲、乙两人组成的“龙队”参加数学解题比赛，比赛中每个队均有一张通行卡且仅限使用一次.每轮比赛由甲、乙各自独立解答同一道题，若两人都答对则直接进入下一轮；若两人都答错则直接被淘汰；若两人中恰有一人答对则可使用通行卡进入下一轮.已知在每轮比赛中甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，则“龙队”恰在参加三轮比赛后被淘汰的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高一下·重庆·期末）如图，一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数大于4”，记事件“得到的点数为3的倍数”，则下列说法正确的是（    ） A．事件B与C互斥，A与C相互对立 B． C． D． 【变式9-2】（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，在金融、医疗健康、智能制造、教育等多个领域都有广泛的应用场景.为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织两部门的员工参加培训. (1)已知该公司部门分别有3名领导，此次培训需要从这6名部门领导中随机选取2人负责，假设每人被抽到的可能性都相同，试写出其样本空间，并求出事件“选取的2人全部来自部门领导”的概率； (2)此次培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格，求每位员工经过培训合格的概率； (3)从（1）中的6名领导中，随机选两名领导分别负责第一天和第二天的工作，求第一天选到部门领导且第二天选到部门领导的概率.（无需过程，直接作答） 【变式9-3】（24-25高一下·广东肇庆·期末）为了鼓励社会力量参与科技创新拔尖人才贯通式培育工作，提高青少年对人工智能的整体认知和应用水平，某地区面向该区青少年举办了“算法设计”科普公益大赛． (1)若A，B，C三个赛区进入决赛的分别有1人、2人、3人，现需从这6人中随机选择2人组成一队进行模拟测试，求这两人来自同一个赛区的概率； (2)某个算法编程题，若甲同学能解决的概率为0.8，乙同学能解决的概率为0.9，且甲、乙能否解决问题相互独立，求甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决该题的概率； (3)对甲、乙两位同学进行两轮测试，若每轮测试中甲、乙同学各解决一道题，每一轮中的每一道题甲、乙能解决的概率分别为0.8和0.9，且在每轮测试中甲、乙能否解决问题互不影响，每一轮的结果也互相不影响，求两轮测试中甲、乙共能解决三道题的概率． 【题型10 概率与统计的交汇问题】 【例10】（25-26高二下·上海·阶段检测）某高中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）． (1)求身高在区间的学生人数； (2)将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人． ①求从这三个组分别抽取的学生人数； ②若要从6名学生中抽取2人，求B组中至少有1人被抽中的概率． 【变式10-1】（25-26高二上·山东青岛·期中）在数学学科周中，举行数学素养选拔赛（满分分），为了了解本次比赛成绩的情况，随机抽取了名参赛学生的成绩，并分成了五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同． (1)求出频率分布直方图中、的值，并估计此次比赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (2)用分层随机抽样的方法从、两个区间共抽取出名学生，再从这名学生中随机抽取名进行交流分享，求两人至少一人在的概率； (3)甲、乙、丙名同学同时做试卷中同一道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为，假设他们三人是否解出该题互不影响．求甲、乙、丙人中至少有人解出该题的概率． 【变式10-2】（25-26高二上·四川成都·期末）为了解高二年级学生在期末考试中的数学成绩情况，某校调查了该年级500名同学的数学成绩并绘制成频率分布直方图． (1)求的值： (2)求这500名同学数学成绩的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值表示）； (3)现拟在区间，用分层抽样的方法抽取6人，然后在这6人中随机选取2人举行座谈，求选取的2人均位于区间的概率． 【变式10-3】（25-26高一上·贵州遵义·期末）为了了解某校高二年级学生的体育成绩（满分100分）选取40名学生参加考核，考核成绩的频率分布直方图如图所示： (1)求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的40名学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)为了提升同学们的体育成绩，校方准备招聘高水平的教练进行授课．现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求至少有一人分数不低于80的概率； (3)现有体育成绩在90分以上的甲、乙两名同学要参加文旅部门组织的国庆营考试，已知考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考两门学科，每科笔试成绩从高到低依次有共四个等级，若两科笔试成绩均为，则直接参加国庆营；若一科成绩为．另一科成绩不是但不低于，则要参加第二轮面试，面试通过参加国庆营，否则不能参加．若两人考试互不影响，且甲在每科笔试中取得四个等级的概率分别是；乙在每科笔试中取得四个等级的概率分别是，甲、乙面试通过的概率都为，求甲、乙能同时参加国庆营的概率．（结果用分数表示） 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·单元测试）下列事件中，随机事件的个数是（   ） ①过马路时，恰好遇到红灯；②短跑运动员1s跑完100m；③任意三条线段，组成三角形；④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法正确的是（   ） ①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小； ②做次随机试验，事件发生了次，则事件发生的概率； ③含百分比的数是频率，但不是概率； ④频率是不能脱离次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值； ⑤概率是频率的稳定值． A．①④⑤ B．①② C．②③ D．②③⑤ 3．（25-26高一下·全国·单元测试）至少3个人站成一排，其中为互斥事件的是（   ） A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙不站排尾” C．“甲站排头”与“乙站排尾” D．“甲不站排头”与“乙不站排尾” 4．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）把一个正四面体的四个面按如下方案涂色：第一个面涂红色，第二个面涂黄色，第三个面涂蓝色，第四个面分成三块区域分别涂上述三种颜色，将该四面体抛掷在一个平面上，记事件“四面体有红色的面落在平面上”，记事件“四面体有黄色的面落在平面上”，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·河南驻马店·期末）袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 232  321  230  023  123  021  132  220  001 231  130  133  231  013  320  122  103  233 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江西吉安·期末）班上有5名数学爱好者，其中3人是男生.若从这5人中随机选出2人，则恰好2人都是男生的概率是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，是相互独立事件，若，，则（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 8．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项不正确的是（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 二、多选题 9．（25-26高二上·湖北·期末）下列对于概率的说法正确的有（    ） A．若事件与事件互斥，则事件与事件对立 B．若事件、满足，则 C．若事件与事件相互独立，且，则 D．小明将一枚质地均匀的硬币掷了100次，经统计有51次正面向上，则将这枚硬币再掷一次，出现正面朝上的概率是 10．（25-26高一上·河南南阳·期末）（改编自北师大必修一 P197例1）袋中有白球个（编号为、、）、黑球个（编号为、），这个球除颜色、编号外完全相同．现在从中不放回地依次摸取出个，每次摸个，记事件为“第一次取到的球编号为”，事件为“第一次取到的球是黑球”，事件为“取到的两个球都是白球”．则（   ） A．与互斥 B． C． D．与独立 11．（25-26高一上·湖南衡阳·阶段检测）某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对一个选项得2分，选错得0分，已知某小题的标准答案为ABD，甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法正确的是（   ） A．甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为 B．乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为 C．丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高 D．丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同 三、填空题 12．（24-25高一下·安徽宿州·期中）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机选取了该地区100名九年级男生进行测量，他们的身高x（cm）统计如下表： 组别     人数 13 43 36 8 根据上表，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是__________． 13．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，，，则__________. 14．（24-25高一下·黑龙江·期末）甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为__________. 四、解答题 15．（25-26高二上·云南昭通·期末）对200个电子元件的寿命（单位：）进行追踪调查，情况如下： 寿命 个数 20 30 80 40 30 (1)如果按照使用寿命大于或等于300h的记为耐用型，小于300h的记为合格型，现按分层抽样，要抽取一个容量为8的样本，那么耐用型、合格型各应抽取多少个？ (2)估计元件的寿命在400h及以上的概率． 16．（24-25高二上·上海·随堂练习）掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件：“出现奇数点”，事件：“出现偶数点”，事件：“点数小于”，事件：“点数大于”，事件：“点数是的倍数”.求： (1)，； (2)，； (3)，，，. 17．（25-26高一下·北京·期末）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： (1)该应聘者用方案一考试通过的概率； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率． 18．（25-26高二上·云南文山·期末）从某次测试中随机抽取100份测试卷进行成绩调查，发现抽取的测试卷的成绩都在40~100之间，将抽取的测试卷按成绩分成六组：，，，，，，画出如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值和抽取测试卷的成绩的中位数（精确到0.1）； (2)采用比例分配的分层随机抽样方法从成绩在和的测试卷中抽取5份，再从这5份测试卷中随机抽取3份了解答题情况，求这3份测试卷成绩至少有一份在的概率． 19．（25-26高二上·河南南阳·期末）甲、乙、丙、丁4名选手进行羽毛球比赛，比赛规则如下：比赛共分为四轮，第一轮，甲、丙比赛，乙、丁比赛；第二轮，第一轮中的两名胜者进行比赛，两名负者进行比赛；第三轮，第二轮胜者组的胜者直接晋级第四轮，第二轮胜者组的负者与第二轮负者组的胜者进行比赛；第四轮，由第三轮的胜者与第二轮胜者组的胜者进行比赛，最终的胜者获得比赛的冠军．已知甲、乙的水平相当（两人比赛，每人获胜的概率均为），丙、丁的水平相当，且甲胜丙、甲胜丁、乙胜丙、乙胜丁的概率都是，任意两人之间的比赛均无平局． (1)求甲不参加第三轮比赛的概率； (2)求甲、乙进行第四轮比赛的概率； (3)求甲获得冠军的概率． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $