新教材素材变式卷-【众相原创】2025年陕西中考数学方向卷

２２　 　 新 教 材 素 材 坐标为（ ｎ ２ ， ５ ２ －１ ２ ｎ２＋２ｎ＋ ５ ２ ２ ）， ∴ ｎ ２ ＝７ ２ ，解得ｎ＝７，此时－ １ ２ ｎ２＋２ｎ＋ ５ ２ ＝－８， 故Ｎ（７，－８）； （６分）………………………………… 当ＢＮ为一条对角线时，ＣＭ为另一条对角线． ∵线段 ＢＮ的中点坐标为（ ｎ＋５ ２ ， －１ ２ ｎ２＋２ｎ＋ ５ ２ ２ ），线 段ＣＭ的中点坐标为（１， ｍ＋ ５ ２ ２ ）， ∴ ｎ＋５ ２ ＝１，解得ｎ＝－３，此时－ １ ２ ｎ２＋２ｎ＋ ５ ２ ＝－８， 故Ｎ（－３，－８）． （７分）……………………………… 综上所述，点Ｎ的坐标为（３，４）或（７，－８）或（－３，－８）． （８分）…………………………………………… ２６．【命题立意】本题考查四边形综合题，涉及矩形的判 定与性质、正方形的性质、菱形的性质、平行四边形 的判定与性质、二次函数的性质、全等三角形的判定 与性质、勾股定理等知识． 解：（１）２；５． （３分）………………………………… （２）如解图１，连接ＦＮ，过点Ｍ作ＭＱ⊥ＦＢ于点Ｑ，则 ∠ＭＱＦ＝９０°， 第２６题解图１ ∴∠ＭＱＦ＝∠Ａ．∵ 四边形 ＥＦＭＮ是菱形，∴ＥＮ＝ＦＭ，ＥＮ ∥ＦＭ，∴∠ＥＮＦ＝∠ＮＦＭ． ∵矩形ＡＢＣＤ中，ＤＣ∥ＡＢ， ∴∠ＤＮＦ＝∠ＮＦＱ， ∴∠ＤＮＦ－∠ＥＮＦ＝∠ＮＦＱ－∠ＮＦＭ， 即∠ＤＮＥ＝∠ＱＦＭ． ∵∠Ｄ＝∠ＦＱＭ＝９０°，∠ＤＮＥ＝∠ＱＦＭ，ＮＥ＝ＦＭ， ∴△ＤＮＥ≌△ＱＦＭ（ＡＡＳ），∴ＭＱ＝ＤＥ＝２． ∵ＡＢ＝７，ＡＦ＝ｘ，∴Ｓ△ＢＦＭ＝ １ ２ ＦＢ·ＭＱ＝ １ ２ ×（７－ｘ）×２＝ ７－ｘ，∴Ｓ与ｘ之间的函数关系式为Ｓ＝７－ｘ． （７分）… 第２６题解图２ （３）存在．如解图 ２，分别延长 ＡＤ，ＮＭ 交于点 Ｋ，则四边形 ＡＢＮＫ是矩形． ∵四边形ＡＢＣＤ为正方形， ∴ＡＢ＝ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ． ∵ＢＦ∥ＤＥ，∴四边形ＢＥＤＦ为平行四边形， ∴ＢＥ＝ＤＦ，∴ＡＥ＝ＣＦ． 设ＢＥ＝ｘ，则ＣＮ＝ＣＦ＝ＡＥ＝１００－ｘ， ＢＮ＝ＢＣ＋ＣＮ＝２００－ｘ， 则Ｓ△ＥＤＭ＝Ｓ矩形ＡＢＮＫ－Ｓ△ＡＤＥ－Ｓ△ＤＫＭ－Ｓ梯形ＥＢＮＭ＝（２００－ｘ）· １００－ １ ２ （１００－ｘ）·１００－ １ ２ ｘ·（１００－ｘ）－ １ ２ （１００－ｘ＋ ｘ）（２００－ｘ）＝ １ ２ ｘ２－５０ｘ＋５０００＝ １ ２ （ｘ－５０）２＋３７５０． ∵ １ ２ ＞０，∴当 ｘ＝５０时，Ｓ△ＥＤＭ 有最小值 ３７５０，此时 ＤＥ＝ ＡＤ２＋ＡＥ槡 ２＝ 槡５０５， ∴△ＥＤＭ面积的最小值为３７５０平方米，这时点Ｄ到 点Ｅ的距离为 槡５０５米． （１０分）…………………… 新教材素材变式卷 １．Ｂ　２．－２２；－３０７　３．Ｂ　４．Ｄ　５．３；５　６．Ｃ　７．Ｃ ８．【命题立意】本题考查一元一次方程的应用． 解：（１）根据题意得：月历中，横行上相邻两数之差为 １，竖列上相邻两数之差为７． （２）设最小的数是ｘ，则另外两个数分别是ｘ＋７，ｘ＋１４， 根据题意得ｘ＋ｘ＋７＋ｘ＋１４＝４８，解得ｘ＝９， ∴ｘ＋７＝９＋７＝１６，ｘ＋１４＝９＋１４＝２３． ∴这三个数分别是９，１６，２３． （３）这四个数的和不能等于６０．理由如下： 假设这四个数的和能等于６０，设最小的数为ｙ，则另外 三个数分别是ｙ＋１，ｙ＋７，ｙ＋８， 根据题意得ｙ＋ｙ＋１＋ｙ＋７＋ｙ＋８＝６０，解得ｙ＝１１． ∵１１在第七列，∴ｙ＝１１不符合题意，∴假设不成立， 即这四个数的和不能等于６０． ９．【命题立意】本题考查进位制、有理数的混合运算． 解：（１）（１１１）２． （２）（０１１）２＝１×２ ０＋１×２１＋０×２２＝３， （１１１）２＝１×２ ０＋１×２１＋１×２２＝７， （１００）２＝０×２ ０＋０×２１＋１×２２＝４， （１０１）２＝１×２ ０＋０×２１＋１×２２＝５， ∴这个四位数字是３７４５． （３）（２０２５）８＝５×８ ０＋２×８１＋０×８２＋２×８３＝１０４５． １０．【命题立意】本题考查新方法“割尾法”的应用． （１）解：６０５－５×２＝５９５，５９－５×２＝４９， ∵４９可以被７整除， ∴６０５５可以被７整除． （２）证明：∵ａｂ－２ｃ是７的倍数， ∴设ａｂ－２ｃ＝７ｋ（ｋ为整数）， 即 １０ａ＋ｂ－２ｃ＝７ｋ（ｋ为整数）， ∵ａｂｃ＝１００ａ＋１０ｂ＋ｃ ＝１０（１０ａ＋ｂ－２ｃ）＋２１ｃ ＝１０×７ｋ＋２１ｃ ＝７（１０ｋ＋３ｃ）， ∵ｋ，ｃ为整数， ∴７（１０ｋ＋３ｃ）能被７整除， ∴ａｂｃ能被７整除．                                                                       众相原创· 陕西数学 ３７　　 众相原创·新教材素材变式卷 众相原创·新教材素材变式卷 新教材素材变式卷 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 １．检查四个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果 如表： 篮球编号 １号 ２号 ３号 ４号 与标准质量的差（ｇ） ＋４ －３ ＋７ －８ 其中最接近标准质量的球是 （Ｂ ） Ａ．１号 Ｂ．２号 Ｃ．３号 Ｄ．４号 《新人教七上Ｐ６·用正负数表示允许偏差》 ２．中国人很早就开始使用负数．在古代商业活动中，以收入为正，支出为负；以盈余为正，亏损为负．我国 古代数学家刘徽给出了用算筹区分正、负的方法，即“正算赤，负算黑”，就是用红色算筹表示正数，黑 色算筹表示负数．到了１３世纪，数学家创造了在数字上画斜杠的方法来表示负数（如图１），按照这样 的规则，下面的两个数（如图２）分别是　　　　，　　　　． 图１ 　 图２ 第２题图 《新北师七上Ｐ２６·阅读欣赏———负数小史》 第３题图 ３．如图，将－３，－２，－１，３分别填入没有数字的圈内，使横、竖以及内、外两圈上的４个 数字之和都相等，则ｍ，ｎ所在位置的两个数字之和是 （Ｂ ） Ａ．－５或２ Ｂ．－３或２ Ｃ．－４或１ Ｄ．－４或－１ 《新人教七上Ｐ５８·数学活动———填幻方》 ４．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨 多十二，每人六梨恰齐足．”其大意为：孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分４个梨，多１２个 梨；每人分６个梨，恰好分完．设孩童有ｘ人，则可列方程为 （Ｄ ） Ａ． ｘ＋１２ ４ ＝ｘ ６ Ｂ． ｘ－１２ ４ ＝ｘ ６ Ｃ．４ｘ－１２＝６ｘ Ｄ．４ｘ＋１２＝６ｘ ５．我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十 八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？”其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了８只船，大船每 只坐６人，小船每只坐４人，３８人刚好坐满．那么大船有　　　　只，小船有　　　　只． 《新人教七下Ｐ１１４·阅读与思考———中国古代著名的一次不定方程组问题》 ６．下面的“蜂窝图”是由正六边形按一定规律组成的，其中第１个图形中有４个正六边形，第２个图形中 有７个正六边形，第３个图形中有１０个正六边形，…，按此规律，第１０个图形中正六边形的个数是 （Ｃ ） 第６题图 Ａ．２８ Ｂ．３０ Ｃ．３１ Ｄ．３４ 《新北师七上Ｐ１００·问题解决策略：归纳》 第７题图 ７．我国南宋数学家杨辉发现了如图所示的三角形数表，我们称之为“杨辉三角”，图 中两线之间的一列数：１，３，６，１０，１５，…，我们把该列数中第１个数记为ａ１，第２个 数记为ａ２，第３个数记为ａ３，…，第ｎ个数记为ａｎ，则ａ７＋ａ８的值是 （Ｃ ） Ａ．２８ Ｂ．４９ Ｃ．６４ Ｄ．３６ 《新北师七下Ｐ２２·阅读思考———杨辉三角》 ８．生活中常见的月历中存在许多奥秘，你想知道吗？如图是２０２５年１月的月历． （１）它的横行、竖列上的相邻两数之间分别有什么关系？ （２）如果一竖列上连续三个数的和为４８，你能知道这三个数分别是多少吗？ （３）如果用一个正方形圈出四个数，这四个数的和能等于６０吗？若能，请求出圈出的四个数分别是多 少；若不能，请说明理由． 日 一 二 三 四 五 六 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ １３ １４ １５ １６ １７ １８ １９ ２０ ２１ ２２ ２３ ２４ ２５ ２６ ２７ ２８ ２９ ３０ ３１ 第８题图 《新人教七上Ｐ１０５·数学活动———月历中的奥秘》 【命题立意】本题考查一元一次方程的应用． 解：（１）根据题意得：月历中，横行上相邻两数之差为１，竖列上相邻两数之差为７． （２）设最小的数是ｘ，则另外两个数分别是ｘ＋７，ｘ＋１４，根据题意得ｘ＋ｘ＋７＋ｘ＋１４＝４８，解得ｘ＝９， ∴ｘ＋７＝９＋７＝１６，ｘ＋１４＝９＋１４＝２３．∴这三个数分别是９，１６，２３． （３）这四个数的和不能等于６０．理由如下： 假设这四个数的和能等于６０，设最小的数为ｙ，则另外三个数分别是ｙ＋１，ｙ＋７，ｙ＋８， 根据题意得ｙ＋ｙ＋１＋ｙ＋７＋ｙ＋８＝６０，解得ｙ＝１１． ∵１１在第七列，∴ｙ＝１１不符合题意，∴假设不成立，即这四个数的和不能等于６０． ３８　 众相原创·新教材素材变式卷 众相原创·新教材素材变式卷 ９．【问题背景】 国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，ＩＣＭＥ－１４于２０２１ 年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办，大会标识（图１）中蕴含着很多数学文化元 素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传 统文化的博大精深，其中八卦符号（图２）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数． 提示：八卦中 称为阳爻，对应数字１； 称为阴爻，对应数字０，这是二进制记数法，每卦均由三 个阳爻或阴爻组成，如图２，从左起第一个符号表示的二进制数为（０１１）２． 图１ 　　 图２ 第９题图 【观察发现】 （１）图２从左起第二个符号表示的二进制数为　　　　； 【拓展延伸】 二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以２的相应次方（从右往左依次为２０， ２１，２２，２３，…，依此类推），然后相加． 例如：（１１０１）２＝１×２ ３＋１×２２＋０×２１＋１×２０＝８＋４＋０＋１＝１３． （２）图２中的记数符号由四个二进制数组成，将它们从左往右依次转换为十进制数，得到一个四位数 字，求出这个四位数字； 【类比迁移】 （３）仿照二进制的说明与算法，将八进制数（２０２５）８转化成十进制数． 《新人教七上Ｐ６３·综合与实践———进位制的认识与探究》 【命题立意】本题考查进位制、有理数的混合运算． 解：（１）∵八卦中，阳爻对应数字１，阴爻对应数字０， ∴题图２从左起第二个符号表示的二进制数为（１１１）２． 故答案为（１１１）２． （２）（０１１）２＝１×２ ０＋１×２１＋０×２２＝３， （１１１）２＝１×２ ０＋１×２１＋１×２２＝７， （１００）２＝０×２ ０＋０×２１＋１×２２＝４， （１０１）２＝１×２ ０＋０×２１＋１×２２＝５， １０．在课堂中，同学们学习了自然数被３整除的规律，即如果一个自然数所有数位的数字之和能被３整 除，那么这个自然数就可以被３整除．并且完成了两位数被３整除规律的证明： 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为ａ和ｂ，通常记这个两位数为ａｂ，于是ａｂ＝１０ａ＋ｂ＝９ａ＋（ａ＋ｂ）． 由题目条件知，ａ＋ｂ可以被３整除，显然９ａ能被３整除，则９ａ＋（ａ＋ｂ）可以被３整除， 故ａｂ可以被３整除，即可完成以上结论的证明． 在学习后，同学们继续展开关于整除问题的思考，在查阅资料后，同学们发现了自然数被７整除的 规律： 一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的２倍，这样一次次减下去，如果最后的结 果是７的倍数（包括０），那么，原来的这个数就一定能被７整除． 例如，判断１３３是否为７的倍数的过程如下：１３－３×２＝７，因为７可以被７整除，所以１３３是７的倍数； 又例如，判断６１４０是否为７的倍数的过程如下： ６１４－０×２＝６１４，６１－４×２＝５３，因为５３不可以被７整除，所以６１４０不是７的倍数． 其余类似地进行推理． （１）基于以上阅读材料，仿造上述判断过程，判断６０５５是否可以被７整除（要求写出判断过程）； （２）以三位数ａｂｃ为例，说明“若ａｂ－２ｃ是７为倍数，则ａｂｃ能被７整除．” 《新人教七上Ｐ１０６·数学活动———自然数被３整除的规律》 【命题立意】本题考查新方法“割尾法”的应用． （１）解：６０５－５×２＝５９５，５９－５×２＝４９， ∵４９可以被７整除， ∴６０５５可以被７整除． （２）证明：∵ａｂ－２ｃ是７的倍数， ∴设ａｂ－２ｃ＝７ｋ（ｋ为整数）， 即 １０ａ＋ｂ－２ｃ＝７ｋ（ｋ为整数）， ∵ａｂｃ＝１００ａ＋１０ｂ＋ｃ ＝１０（１０ａ＋ｂ－２ｃ）＋２１ｃ ＝１０×７ｋ＋２１ｃ ＝７（１０ｋ＋３ｃ）， ∵ｋ，ｃ为整数， ∴７（１０ｋ＋３ｃ）能被７整除， ∴ａｂｃ能被７整除．