2025年陕西省初中学业水平考试数学方向卷(一)-【众相原创】2025年陕西中考数学方向卷

书 方向卷 ２　 　 方 向 卷 ︵ 一 ︶ ２０２５年陕西省初中学业水平考试 数学 方向卷（一） 选择题快速对答案 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｃ Ｂ Ｂ Ｄ Ｂ Ｂ Ａ ９．３ａ（１＋２ｙ）（１－２ｙ）　１０．３０°　１１．５２５　１２．０ １３ 槡．１２３　【命题立意】本题考查菱形的性质、全等三角 形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含 ３０° 角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练 掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 【解析】∵四边形 ＡＢＣＤ是菱形，∴ＡＢ＝ＡＤ．∵∠ＤＡＢ ＝６０°，∴△ＡＢＤ是等边三角形，∴ＢＤ＝ＡＢ＝８．如解 图，过点Ｇ分别作ＧＭ⊥ＡＢ于点Ｍ，ＧＮ⊥ＡＤ于点 Ｎ， 则∠ＧＭＡ＝∠ＧＭＢ＝∠ＧＮＤ＝∠ＧＮＡ＝９０°，∴∠ＭＧＮ＋ ∠ＤＡＢ＝３６０°－９０°－９０°＝１８０°，∴∠ＭＧＮ＝１８０°－ ∠ＤＡＢ＝１２０°．∵∠ＥＧＦ＝１２０°，∴∠ＥＧＦ－∠ＥＧＭ＝ ∠ＭＧＮ－∠ＥＧＭ，即∠ＭＧＦ＝∠ＮＧＥ．∵四边形 ＡＢＣＤ 是菱形，∴ＢＧ＝ＤＧ＝ １ ２ ＢＤ＝４，∠ＢＡＧ＝∠ＤＡＧ，∴ＧＭ ＝ＧＮ，∴△ＭＧＦ≌△ＮＧＥ（ＡＳＡ），∴Ｓ△ＭＧＦ＝Ｓ△ＮＧＥ， ∴Ｓ四边形ＡＥＧＦ＝Ｓ四边形ＡＮＧＭ．∵ＡＧ＝ＡＧ，ＧＭ＝ＧＮ，∴Ｒｔ △ＡＧＭ≌Ｒｔ△ＡＧＮ（ＨＬ），∴Ｓ△ＡＧＭ＝Ｓ△ＡＧＮ．∵△ＡＢＤ是 等边三角形，∴∠ＡＢＧ＝６０°，∴∠ＢＧＭ＝９０°－∠ＡＢＧ＝ ３０°，∴ＢＭ＝ １ ２ ＢＧ＝２，∴ＡＭ＝ＡＢ－ＢＭ＝８－２＝６，ＧＭ＝ ＢＧ２－ＢＭ槡 ２＝ ４２－２槡 ２＝槡２３，∴Ｓ四边形ＡＥＧＦ＝Ｓ四边形ＡＮＧＭ＝ ２Ｓ△ＡＧＭ＝２× １ ２ ＡＭ·ＧＭ＝６× 槡２３＝ 槡１２３．故答案为 槡１２３． 第１３题解图 １４．【命题立意】本题考查算术平方根、零指数幂、有理数 的乘法运算． 解：原式＝槡２３－１＋５ （４分）………………………… ＝槡２３＋４． （５分）…………………………… １５．【命题立意】本题考查整式的混合运算———化简 求值． 解：原式＝２（ｘ２－ｙ２）－２ｘ２＋３ｘｙ （２分）……………… ＝２ｘ２－２ｙ２－２ｘ２＋３ｘｙ （３分）………………… ＝－２ｙ２＋３ｘｙ， （４分）………………………… 当ｘ＝－１，ｙ＝－２时，原式＝－２×（－２）２＋３×（－１）×（－２） ＝－２． （５分）………………………………………… １６．【命题立意】本题考查解分式方程，掌握转化的思想， 注意要检验是关键． 解：方程可化为 １ ｘ － ２ ｘ（ｘ－２） ＝ ３ ｘ－２ ， （２分）………… 方程两边同乘ｘ（ｘ－２），得ｘ－２－２＝３ｘ，解得ｘ＝－２， （４分）…………………………………………… 检验：当ｘ＝－２时，ｘ（ｘ－２）≠０， ∴原分式方程的解为ｘ＝－２． （５分）……………… １７．【命题立意】本题考查尺规作图———复杂作图（作等 角）、相似三角形的判定． 解：如解图，点Ｅ即为所求．（答案不唯一） （５分） ………… …………………………………………… 第１７题解图 １８．【命题立意】本题考查全等三角形的判定与性质、等 腰三角形的性质． 证明：∵∠ＢＣＥ＝∠ＡＣＤ， ∴∠ＢＣＥ＋∠ＡＣＥ＝∠ＡＣＤ＋∠ＡＣＥ，即∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ． （２分）…………………………………………… 在△ＡＢＣ和△ＤＥＣ中， ∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ， ＣＡ＝ＣＤ， ∠ＢＡＣ＝∠ＥＤＣ， { ∴△ＡＢＣ≌△ＤＥＣ（ＡＳＡ）， ∴∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＣ，ＣＢ＝ＣＥ， （３分）………………… ∴∠ＡＢＣ＝∠ＢＥＣ， ∴∠ＤＥＣ＝∠ＢＥＣ． （５分）…………………………… １９．【命题立意】本题考查一元一次方程的实际应用，掌 握“单个完成的工作量＋合作完成的工作量＝工作总 量”是解题的关键． 解：设这项工程一共用了ｘ天， 根据题意得 ｘ ２０ ＋ｘ －４ １２ ＝１， （３分）…………………… 解得ｘ＝１０， 答：这项工程一共用了１０天． （５分）……………… ２０．【命题立意】本题考查列表法与画树状图法、概率公 式，注意“放回型”与“不放回型”的区别． 解：（１） ２ ５ ． （２分）……………………………………                                                                 众相原创· 陕西数学 ３　 　 方 向 卷 ︵ 一 ︶ （２）列表如下： －３ －１ ０ １ ２ －３ ９ ３ ０ －３ －６ －１ ３ １ ０ －１ －２ ０ ０ ０ ０ ０ ０ １ －３ －１ ０ １ ２ ２ －６ －２ ０ ２ ４ （４分）………………………………………………… 由表知共有２５种等可能的结果，其中两次取得的数 的积为偶数的结果有１６种， ∴两次取得的数的积为偶数的概率为 １６ ２５ ． （５分） ………… …………………………………………… ２１．【命题立意】本题考查解直角三角形的应用———仰角 俯角、坡度坡比问题． 解：如解图，过点Ｄ作ＤＦ⊥ＡＢ于点Ｆ，作ＤＨ⊥ＢＥ于 点Ｈ． 由题意得ＣＤ＝２０ｍ，∠ＤＣＨ＝６０°， 在Ｒｔ△ＤＣＨ中，∵ｃｏｓ６０°＝ ＣＨ ＣＤ ，ｓｉｎ６０°＝ ＤＨ ＣＤ ， ∴ＣＨ＝ＣＤ·ｃｏｓ６０°＝１０ｍ，ＤＨ＝ＣＤ·ｓｉｎ６０°＝ 槡１０３ｍ ≈１７．３ｍ． （２分）…………………………………… ∵∠ＤＦＢ＝∠Ｂ＝∠ＤＨＢ＝９０°， ∴四边形ＤＦＢＨ为矩形， ∴ＢＨ＝ＦＤ，ＢＦ＝ＤＨ． ∵ＢＨ＝ＢＣ＋ＣＨ＝３０＋１０＝４０（ｍ）， ∴ＦＤ＝４０ｍ． （４分）………………………………… 在Ｒｔ△ＡＦＤ中，∵ｔａｎ∠ＡＤＦ＝ｔａｎ２０°＝ ＡＦ ＦＤ ， ∴ＡＦ＝ＦＤ·ｔａｎ２０°≈４０×０．３６＝１４．４（ｍ）， ∴ＡＢ＝ＡＦ＋ＢＦ＝１４．４＋１７．３＝３１．７（ｍ）≈３２ｍ． 答：该风力发电机塔杆ＡＢ的高度约为３２ｍ． （６分） ……… …………………………………………… 第２１题解图 ２２．【命题立意】本题考查一次函数的应用，掌握一次函 数的判断及待定系数法求函数关系式是解题的关键． 解：（１）一次． （２分）………………………………… （２）设 ｙ关于 ｘ的函数表达式为 ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ，ｂ为常 数，且ｋ≠０）． 将ｘ＝１２，ｙ＝２０８和ｘ＝１７，ｙ＝２０３分别代入ｙ＝ｋｘ＋ｂ， 得 １２ｋ＋ｂ＝２０８， １７ｋ＋ｂ＝２０３，{ 解得 ｋ＝－１，ｂ＝２２０，{ ∴ｙ关于ｘ的函数表达式为ｙ＝－ｘ＋２２０． （４分）…… （３）１４０；１６０；１１４；１３３． （７分）……………………… 【解法提示】当ｘ＝２０时，ｙ＝－２０＋２２０＝２００，２００×７０％ ＝１４０（次／分），２００×８０％＝１６０（次／分），∴小李的运 动心率应该控制在１４０次／分至 １６０次／分；当 ｘ＝３０ 时，ｙ＝－３０＋２２０＝１９０，１９０×６０％＝１１４（次／分），１９０× ７０％＝１３３（次／分），∴小美的运动心率应该控制在 １１４次／分至１３３次／分．故答案为１４０，１６０，１１４，１３３． ２３．【命题立意】本题考查折线统计图、平均数、中位数及 方差的概念及意义，熟练掌握平均数、中位数及方差 的定义是解题的关键． 解：（１）由折线统计图可知，甲组成绩从小到大排列 为：３，６，６，６，６，６，７，９，９，１０， ∴中位数ａ＝６． 乙组学生成绩的平均分ｂ＝ ５×２＋６×１＋７×２＋８×３＋９×２ １０ ＝７．２． （３分）………………………………………… （２）∵甲组的中位数为６，乙组的中位数为７．５，而小 英的成绩位于小组中上游， ∴小英是甲组学生． （５分）………………………… （３）①乙组的平均分高于甲组，即乙组的总体平均水 平高于甲组的总体平均水平； ②乙组的方差比甲组小，即乙组的成绩比甲组的成 绩稳定．（答案不唯一，合理即可） （７分）………… ２４．【命题立意】本题考查切线的判定、等腰三角形的性 质、与圆有关的位置关系、圆周角定理、相似三角形的 判定和性质． （１）证明：如解图１，连接ＡＥ． ∵ＡＣ为⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＥＣ＝９０°， ∵ＡＢ＝ＡＣ，∴∠ＢＡＣ＝２∠ＥＡＣ． ∵∠ＢＡＣ＝２∠ＢＣＦ，∴∠ＥＡＣ＝∠ＢＣＦ． ∵∠ＥＡＣ＋∠ＥＣＡ＝９０°， ∴∠ＢＣＦ＋∠ＥＣＡ＝９０°，∴∠ＡＣＦ＝９０°． ∵ＡＣ为⊙Ｏ的直径，∴ＣＦ是⊙Ｏ的切线． （３分） ………… …………………………………………… 图１ 　　　 图２ 第２４题解图 （２）解：如解图２，连接ＣＤ． ∵ＡＣ为⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＤＣ＝９０°，ＡＣ＝２ＯＡ＝５， ∴ＡＢ＝ＡＣ＝５． ∵∠ＡＤＣ＝∠ＡＣＦ＝９０°，∠ＦＡＣ＝∠ＣＡＤ， ∴△ＡＣＤ∽△ＡＦＣ，∴ ＡＤ ＡＣ ＝ＡＣ ＡＦ ．                                                                      众相原创· 陕西数学 ４　 　 方 向 卷 ︵ 一 ︶ ∵ＡＤ＝３，ＡＦ＝ＡＢ＋ＢＦ＝５＋ＢＦ，∴ ３ ５ ＝ ５ ５＋ＢＦ ， ∴ＢＦ＝ １０ ３ ． （８分）…………………………………… ２５．【命题立意】本题主要考查了二次函数的应用，解题 时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质． 解：（１）由题意得，Ａ（０，２），Ｂ（４，１）， 将Ａ（０，２），Ｂ（４，１）代入ｙ＝－ １ ８ ｘ２＋ｂｘ＋ｃ， ∴ ０＋０＋ｃ＝２， －１ ８ ×４２＋４ｂ＋ｃ＝１，{ ∴ ｂ＝１４，ｃ＝２，{ ∴该抛物线的函数表达式为ｙ＝－ １ ８ ｘ２＋ １ ４ ｘ＋２． （３分） …… …………………………………………… （２）方式一： 根据题意可得ＯＣ＝４米，ＣＤ＝１米，∠ＥＤＯ＝９０°， ∴ＯＤ＝ＯＣ－ＤＣ＝４－１＝３（米）． ∵∠ＤＥＦ＝９０°，∠ＦＯＤ＝９０°， ∴四边形ＯＤＥＦ是矩形，∴ＥＦ＝ＯＤ＝３米． 令ｘ＝３，则ｙ＝－ １ ８ ×３２＋ １ ４ ×３＋２＝ １３ ８ ， ∴Ｅ（３， １３ ８ ），∴ＤＥ＝ １３ ８ 米， ∴所使用的管材长度为ＤＥ＋ＥＦ＝ １３ ８ ＋３＝ ３７ ８ （米）； （５分） … …………………………………………… 方式二： ∵ＯＣ＝４米，点Ｇ是ＯＣ的中点，∴ＯＧ＝ １ ２ ＯＣ＝２米． 同理可证四边形ＯＧＨＫ是矩形，∴ＨＫ＝ＯＧ＝２米． 令ｘ＝２，则ｙ＝－ １ ８ ×２２＋ １ ４ ×２＋２＝２， ∴Ｈ（２，２），∴ＧＨ＝２米， ∴所使用的管材长度为ＧＨ＋ＨＫ＝２＋２＝４（米）． （７分） …… …………………………………………… ∵ ３７ ８ ＞４，∴方式二所使用的管材更少． （８分）…… ２６．【命题立意】此题属于几何综合题，涉及平行线分线 段成比例定理、解直角三角形、三角形中位线定理、 平行四边形的判定和性质、勾股定理、轴对称的性 质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质等知识， 添加适当的辅助线是解题的关键． 解：（１）１１． （３分）…………………………………… 【解法提示】∵ＡＤ＝８，点Ｅ为ＡＤ的中点，∴ＤＥ＝ １ ２ ＡＤ ＝４．∵ＡＤ∥ＢＣ，ＥＦ∥ＣＤ，∴四边形 ＣＤＥＦ是平行四边 形，∴ＣＦ＝ＤＥ＝４，∴ＢＦ＝ＢＣ－ＣＦ＝１５－４＝１１．故答案 为１１． （２）∵菱形ＡＢＣＤ的边长为８，点Ｅ为ＣＤ的中点， ∴ＣＥ＝ＤＥ＝ １ ２ ＣＤ＝４， ∴当ＤＦ＋ＥＦ最小时，△ＤＥＦ的周长最小． （４分）…… 如解图１，连接ＢＦ，ＢＥ，ＢＥ交ＡＣ于点Ｆ′． ∵四边形ＡＢＣＤ为菱形，∴∠ＢＡＦ＝∠ＤＡＦ，ＡＢ＝ＡＤ． 第２６题解图１ 在△ＡＢＦ和△ＡＤＦ中，ＡＢ＝ＡＤ， ∠ＢＡＦ＝∠ＤＡＦ，ＡＦ＝ＡＦ， ∴△ＡＢＦ≌△ＡＤＦ（ＳＡＳ）， ∴ＢＦ＝ＤＦ，∴ＤＦ＋ＥＦ＝ＢＦ＋ＥＦ， ∴当Ｂ，Ｆ，Ｅ三点共线，即点Ｆ在点Ｆ′的位置时，ＢＦ＋ ＥＦ取得最小值，最小值为ＢＥ的长． 过点Ｅ作ＥＨ⊥ＢＣ交ＢＣ的延长线于点Ｈ． ∵四边形ＡＢＣＤ为菱形，∴ＣＤ∥ＡＢ， ∴∠ＥＣＨ＝∠ＡＢＣ＝６０°． ∵ＣＥ＝４，∴ＣＨ＝ １ ２ ＣＥ＝２，ＥＨ＝ＣＥ·ｓｉｎ６０°＝槡２３， ∴ＢＨ＝ＢＣ＋ＣＨ＝８＋２＝１０， ∴ＢＥ＝ ＢＨ２＋ＥＨ槡 ２＝槡４７，即ＤＦ＋ＥＦ的最小值为 槡４７， ∴△ＤＥＦ周长的最小值为 槡４７＋４． （７分）………… （３）ＰＥ＋ＤＦ的值存在最小值， 如解图２，过点Ｐ作ＰＨ⊥ＣＤ于点Ｈ． ∵∠ＢＣＤ＝９０°，ＰＨ⊥ＣＤ于点Ｈ，∴ＰＨ∥ＢＣ． ∵点Ｐ为ＢＤ的中点，即ＤＰ＝ＢＰ，∴点Ｈ为ＣＤ的中 点，即ＣＨ＝ＤＨ＝ １ ２ ＣＤ＝８米． 第２６题解图２ 在ＰＨ上取一点 Ｎ，使得 ＰＮ＝ＥＦ ＝５米，连接ＮＦ． ∵ＰＮ∥ＥＦ，∴四边形 ＰＥＦＮ为平 行四边形，∴ＮＦ＝ＰＥ， ∴ＰＥ＋ＤＦ＝ＮＦ＋ＤＦ． 作点Ｎ关于 ＢＣ的对称点 Ｎ′，连 接Ｎ′Ｆ，ＤＮ′，ＤＮ′交ＢＣ于点Ｆ′，连接Ｎ′Ｎ交ＢＣ于点 Ｇ，则ＢＣ垂直平分 Ｎ′Ｎ，ＮＧ＝Ｎ′Ｇ，ＮＦ＝Ｎ′Ｆ，即 ＰＥ＋ ＤＦ＝ＮＦ＋ＤＦ＝Ｎ′Ｆ＋ＤＦ≥ＤＮ′， ∴当点Ｄ，Ｆ，Ｎ′三点共线，即点 Ｆ在点 Ｆ′处时，ＰＥ＋ ＤＦ取得最小值，最小值为ＤＮ′的长． 过点Ｎ′作Ｎ′Ｍ⊥ＣＤ交ＤＣ的延长线于点Ｍ，则ＢＣ∥ ＭＮ′，∴ＰＨ∥ＢＣ∥ＭＮ′． ∴ ＮＧ Ｎ′Ｇ ＝ＨＣ ＣＭ ＝１，∴ＣＭ＝ＣＨ＝８米， ∴ＤＭ＝ＣＤ＋ＣＭ＝２４米． ∵点Ｐ，Ｈ分别为ＢＤ，ＣＤ的中点， ∴ＰＨ为△ＢＣＤ的中位线， ∴ＰＨ＝ １ ２ ＢＣ＝１２米， ∴ＮＨ＝ＰＨ－ＰＮ＝７米，∴ＭＮ′＝７米， ∴ＤＮ′＝ ＤＭ２＋ＭＮ′槡 ２＝２５米，即ＰＥ＋ＤＦ的值存在最 小值，最小值为２５米． （１０分）………………………                                                                       众相原创· 陕西数学 书 １　　 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（一） 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（一） ２０２５年陕西省初中学业水平考试 数学 方向卷（一）·《例析与指导》示例一变式 （总分：１２０分　考试时间：１２０分钟） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第一部分（选择题 共 ２４分） 一、选择题（共８小题，每小题３分，计２４分．每小题只有一个选项是符合题意的） １．－ ２ ７ 的相反数是 （Ａ ） Ａ． ２ ７ Ｂ．－ ２ ７ Ｃ． ７ ２ Ｄ．－ ７ ２ ２．如果一个几何体的侧面展开图如图所示，则它是下列哪个几何体 （Ｃ ） 第２题图 　　 ３．如图，已知∠１＝∠２，∠３＝６０°，则∠４的度数是 （Ｂ ） Ａ．６０° Ｂ．１２０° Ｃ．１３０° Ｄ．８０° 第３题图 　　　 第６题图 　　 第７题图 ４．不等式－２ｘ＋３≥１的解集在数轴上表示为 （Ｂ ） ５．将一次函数ｙ＝－２ｘ＋４的图象向左平移２个单位长度，若平移后函数图象经过点（ａ，－６），则ａ的值为 （Ｄ ） Ａ．１２ Ｂ．－３ Ｃ．－１２ Ｄ．３ ６．２０２５例析与指导方向 旋转 如图，Ｅ为正方形ＡＢＣＤ内一点，∠ＣＥＢ＝９０°，ＣＥ＝３，ＣＢ＝５，将Ｒｔ△ＣＢＥ 绕点Ｃ按顺时针方向旋转９０°得到△ＣＤＦ，延长ＢＥ交ＤＦ于点Ｈ，连接ＤＥ，则ＤＥ的长为 （Ｂ ） Ａ．２槡２ Ｂ．槡１０ Ｃ．槡１５ Ｄ．槡１７ ７．如图，四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ．若∠ＢＯＤ＝１６０°，则∠ＢＣＤ的度数是 （Ｂ ） Ａ．１１０° Ｂ．１００° Ｃ．９０° Ｄ．８０° ８．二次函数ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ｂ，ｃ为常数）的图象与ｘ轴交于Ａ（ｍ－２，０），Ｂ（ｍ＋２，０）两点，则该二次函数的最 小值为 （Ａ ） Ａ．－４ Ｂ．４ Ｃ．２ Ｄ．－２ 第二部分（非选择题　共 ９６分） 二、填空题（共５小题，每小题３分，计１５分） ９．因式分解：３ａ－１２ａｙ２＝　　　　． １０．如图，以正六边形ＡＢＣＤＥＦ的边ＥＦ为边向内作正方形ＥＦＧＨ，则∠ＡＦＧ的度数为　　　　． 第１０题图 　　　 第１１题图 　　　 第１３题图 １１．砌砖墙是墙体建筑的一种方式，盖房子过程中，黏土多孔砖墙在砌合时，应满足砂浆饱满、横平竖直、 上下错缝、内外搭砌等最基本的砌墙要求，以此来保证墙体的强度和稳定性及固定性．如图是由截面 相同的长方形墙砖粘贴的部分墙面，则每块墙砖的截面面积是　　　　ｃｍ２． １２．在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，若函数 ｙ＝ ｋ ｘ （ｋ≠０）的图象经过点 Ａ（ａ，２）和 Ｂ（ｂ，－２），则 ａ＋ｂ的值 为　　　　． １３．如图，在菱形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝８，∠ＤＡＢ＝６０°，在ＡＤ边上任取一点Ｅ，连接ＥＧ，在ＡＢ边上取一点Ｆ，使 ∠ＥＧＦ＝１２０°，则四边形ＡＥＧＦ的面积是　　　　． 三、解答题（共１３小题，计８１分．解答题应写出过程） １４．（本题满分５分）计算：槡１２－（３－π） ０＋（－１０）×（－ １ ２ ）． １５．（本题满分５分）先化简，再求值：２（ｘ－ｙ）（ｘ＋ｙ）＋（－４ｘ３ｙ＋６ｘ２ｙ２）÷２ｘｙ，其中ｘ＝－１，ｙ＝－２． １６．（本题满分５分）解方程： １ ｘ － ２ ｘ２－２ｘ ＝３ ｘ－２ ． １７．（本题满分５分）２０２４陕西中考方向 解题策略开放 如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ为边 ＡＣ上一点，请用 尺规作图的方法在ＡＢ边上求作一点Ｅ，连接ＤＥ，使得△ＡＢＣ和△ＡＥＤ相似．（作出符合题意的一个 三角形即可，保留作图痕迹，不写作法） 第１７题图 ２　 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（一） 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（一） １８．（本题满分５分）如图，Ｅ是ＡＢ上一点，ＣＡ＝ＣＤ，∠ＥＤＣ＝∠ＢＡＣ，∠ＢＣＥ＝∠ＡＣＤ．求证：∠ＤＥＣ＝∠ＢＥＣ． 第１８题图 【命题立意】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质． 证明：∵∠ＢＣＥ＝∠ＡＣＤ， ∴∠ＢＣＥ＋∠ＡＣＥ＝∠ＡＣＤ＋∠ＡＣＥ，即∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ． （２分）……………………………… 在△ＡＢＣ和△ＤＥＣ中， ∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ， ＣＡ＝ＣＤ， ∠ＢＡＣ＝∠ＥＤＣ， { ∴△ＡＢＣ≌△ＤＥＣ（ＡＳＡ）， ∴∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＣ，ＣＢ＝ＣＥ， （３分）……………………………………………………………………………… ∴∠ＡＢＣ＝∠ＢＥＣ， ∴∠ＤＥＣ＝∠ＢＥＣ． （５分）………………………………………………………………………………… １９．（本题满分５分）某市为了提升城市形象，决定对市中心的一条主干道进行改造．该工程如果由甲工 程队单独完成需要２０天，如果由乙工程队单独完成需要１２天，现在先由甲工程队单独做４天后，为 了尽快完成工程，减少人们出行不便，剩下的部分由甲、乙两工程队合作完成．问这项工程一共用了 多少天？ 【命题立意】本题考查一元一次方程的实际应用，掌握“单个完成的工作量＋合作完成的工作量＝工作总量”是 解题的关键． 解：设这项工程一共用了ｘ天， 根据题意得 ｘ ２０ ＋ｘ －４ １２ ＝１， （３分）…………………………………………………………………………………… 解得ｘ＝１０， 答：这项工程一共用了１０天． （５分）………………………………………………………………………… ２０．（本题满分５分）在一个不透明的布袋中装有质地、大小均相同的五个小球，小球上分别标有数－３， －１，０，１，２，将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下小球上的数后放回，记作随机摸球一次． （１）随机摸球一次，摸出小球上的数为负数的概率是　　　　； （２）随机摸球两次，用画树状图或列表的方法，求两次取得的数的积为偶数的概率． 【命题立意】本题考查列表法与画树状图法、概率公式，注意“放回型”与“不放回型”的区别． 解：（１）由题意得，随机摸球一次，摸出小球上的数为负数的概率是 ２ ５ ． 故答案为 ２ ５ ． （２分）………………………………………………………………………………………………… （２）列表如下： ２１．（本题满分６分）新课标方向 科技发展情境 学科实践：风力发电是一种利用风能转化为电能的技 术，它通过风力发电机将风的动能转换为机械能，进而通过发电机将机械能转换为电能．某校实践活 动小组到当地的电力部门安装的一批风力发电机场地进行实地调研，并对其中一架风力发电机的塔 杆高度进行了测量． 数据采集：如图１是要测量的风力发电机，图２为测量示意图，已知斜坡ＣＤ长为２０ｍ，斜坡ＣＤ的坡 角为６０°，在斜坡顶部Ｄ处测得风力发电机塔杆顶端Ａ点的仰角为２０°，坡底与塔杆底的距离ＢＣ＝ ３０ｍ． 数据应用：已知图中点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ均在同一平面内，ＡＢ⊥ＢＣ．请根据上述数据，求该风力发电机塔杆 ＡＢ的高度．（结果精确到１ｍ；参考数据：ｓｉｎ２０°≈０．３４，ｃｏｓ２０°≈０．９４，ｔａｎ２０°≈０．３６，槡３≈１．７３） 图１ 　　　 图２ 　　　　　第２１题图 【命题立意】本题考查解直角三角形的应用———仰角俯角、坡度坡比问题． 解：如解图，过点Ｄ作ＤＦ⊥ＡＢ于点Ｆ，作ＤＨ⊥ＢＥ于点Ｈ． 由题意得ＣＤ＝２０ｍ，∠ＤＣＨ＝６０°， 在Ｒｔ△ＤＣＨ中，∵ｃｏｓ６０°＝ ＣＨ ＣＤ ，ｓｉｎ６０°＝ ＤＨ ＣＤ ， ∴ＣＨ＝ＣＤ·ｃｏｓ６０°＝１０ｍ，ＤＨ＝ＣＤ·ｓｉｎ６０°＝１０槡３ｍ≈１７．３ｍ． （２分）……………………………………… ∵∠ＤＦＢ＝∠Ｂ＝∠ＤＨＢ＝９０°，∴四边形ＤＦＢＨ为矩形， ∴ＢＨ＝ＦＤ，ＢＦ＝ＤＨ． ３　　 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（一） 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（一） ２２．（本题满分７分）２０２５例析与指导方向 判断函数类型 项目化学习 项目主题：确定不同运动效果的心率范围． 项目背景：最大心率指人体在进行运动时心脏每分钟跳动的最大次数．某校综合与实践小组的同学 以“探究不同运动效果的心率范围”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究最大心率与年龄的关系． 收集数据：综合与实践小组的同学通过某医学杂志收集到不同年龄最大心率数据如下： 年龄ｘ／周岁 １２ １７ ２２ ２７ ３２ ３７ ４２ ４７ 最大心率ｙ／（次／分） ２０８ ２０３ １９８ １９３ １８８ １８３ １７８ １７３ 问题解决： （１）根据表中的信息，可以推断最大心率ｙ（次／分）是年龄ｘ（周岁）的　　　　函数关系（填“一次” “二次”或“反比例”）； （２）求ｙ关于ｘ的函数表达式； （３）已知不同运动效果时的心率如下： 运动效果 运动心率占最大心率的百分比 燃烧脂肪 ６０％～７０％ 提升耐力 ７０％～８０％ ２０周岁的小李想要达到提升耐力的效果，他的运动心率应该控制在　　　　次／分至　　　　次／ 分；３０周岁的小美想要达到燃烧脂肪的效果，她的运动心率应该控制在　　　　次／分至　　　　 次／分． ２３．（本题满分７分）２０２５例析与指导方向 开放性设问 某校举办了一次数学知识竞赛，满分１０分，学 生得分均为整数，成绩达到６分及６分以上为合格，达到９分或１０分为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组 学生成绩分布的折线统计图和成绩统计分析表如下所示． 第２３题图 　　　 组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率 甲组 ６．８ ａ ３．７６ ９０％ ３０％ 乙组 ｂ ７．５ １．９６ ８０％ ２０％ （１）求出成绩统计分析表中ａ，ｂ的值； （２）小英同学说：“这次竞赛我得了７分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察上面表格判断，小 英是甲、乙哪个组的学生； （３）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组．但乙组同学不同 意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组．请你写出两条支持乙组同学观点的理由． ２４．（本题满分８分）２０２５例析与指导方向 切线判定 如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，以 ＡＣ为直径的⊙Ｏ 分别交ＡＢ，ＢＣ于点Ｄ，Ｅ，延长ＡＢ到点Ｆ，连接ＣＦ，若∠ＢＡＣ＝２∠ＢＣＦ． （１）求证：ＣＦ是⊙Ｏ的切线； （２）若ＡＤ＝３，ＯＡ＝ ５ ２ ，求ＦＢ的长． 第２４题图 【命题立意】本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、与圆有关的位置关系、圆周角定理、相似三角形的判定 和性质． （１）证明：如解图１，连接ＡＥ． ∵ＡＣ为⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＥＣ＝９０°， ∵ＡＢ＝ＡＣ，∴∠ＢＡＣ＝２∠ＥＡＣ． ∵∠ＢＡＣ＝２∠ＢＣＦ，∴∠ＥＡＣ＝∠ＢＣＦ． ∵∠ＥＡＣ＋∠ＥＣＡ＝９０°， ∴∠ＢＣＦ＋∠ＥＣＡ＝９０°，∴∠ＡＣＦ＝９０°． ４　 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（一） 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（一） ２５．（本题满分８分）２０２５例析与指导方向 方案决策问题“昔日荔枝进长安，今朝草莓遍三秦．”行走在 秦岭脚下的长安区，随处可见成片的草莓种植大棚．其中一种植户借助现有地势，将大棚的一端固定 在离地面２米高的墙体ＯＡ的端点 Ａ外，另一端固定在离地面１米高的墙体 ＢＣ的端点 Ｂ处，墙体 ＯＡ，ＢＣ均垂直于水平面ＯＣ．测得ＯＡ、ＢＣ两墙体之间的水平距离为４米，且大棚横截面顶部为抛物 线型，建立如图所示的平面直角坐标系，已知大棚上某处离地面的高度ｙ（米）与其离墙体ＯＡ的水平 距离ｘ（米）之间的关系满足：ｙ＝－ １ ８ ｘ２＋ｂｘ＋ｃ． 　　　 第２５题图 请根据以上信息解决下列问题： （１）求该抛物线的函数表达式； （２）现要对入口处进行加固，如图所示： 方式一：在距离墙体ＢＣ左侧１米处垂直地面放置一根管材ＤＥ，管材一端Ｄ固定在地面ＯＣ上，另一 端点Ｅ刚好能支撑在大棚主体钢架（抛物线ＡＢ段）上，用角铁固定另一根管材ＥＦ，使∠ＤＥＦ＝９０°， 且管材ＥＦ的另一端Ｆ固定在墙体ＯＡ上； 方式二：在距离墙体ＯＡ，ＢＣ等距（即ＯＣ的中点Ｇ）处以相同的方式放置管材ＧＨ，ＨＫ．已知两种方式 都等起到加固的作用，请通过计算说明，哪种方式所使用的管材更少？ 【命题立意】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质． 解：（１）由题意得，Ａ（０，２），Ｂ（４，１）， 将Ａ（０，２），Ｂ（４，１）代入ｙ＝－ １ ８ ｘ２＋ｂｘ＋ｃ， ∴ ０＋０＋ｃ＝２， －１ ８ ×４２＋４ｂ＋ｃ＝１，{ ∴ ｂ＝１４，ｃ＝２，{ ∴该抛物线的函数表达式为ｙ＝－ １ ８ ｘ２＋ １ ４ ｘ＋２． （３分）…………………………………………………………… （２）方式一： 根据题意可得ＯＣ＝４米，ＣＤ＝１米，∠ＥＤＯ＝９０°， ∴ＯＤ＝ＯＣ－ＤＣ＝４－１＝３（米）． ∵∠ＤＥＦ＝９０°，∠ＦＯＤ＝９０°， ∴四边形ＯＤＥＦ是矩形，∴ＥＦ＝ＯＤ＝３米． 令ｘ＝３，则ｙ＝－ １ ８ ×３２＋ １ ４ ×３＋２＝ １３ ８ ， ∴Ｅ（３， １３ ８ ），∴ＤＥ＝ １３ ８ 米， ∴所使用的管材长度为ＤＥ＋ＥＦ＝ １３ ８ ＋３＝ ３７ ８ （米）； （５分）……………………………………………………… ２６．（本题满分１０分）【问题提出】 （１）如图１，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝８，ＢＣ＝１５，点Ｅ为ＡＤ的中点，点Ｆ为ＢＣ上一点，连接 ＥＦ，ＥＦ∥ＣＤ，则ＢＦ的长为　　　　； 【问题探究】 （２）如图２，菱形ＡＢＣＤ的边长为８，且∠ＡＢＣ＝６０°，Ｅ是 ＣＤ的中点，Ｆ为对角线 ＡＣ上一动点，连接 ＤＦ、ＥＦ，求△ＤＥＦ周长的最小值； 【问题解决】 （３）某校为了开展劳动教育，开辟出一块四边形空地，其平面示意图如图３中四边形ＡＢＣＤ所示，经 测量，ＢＣ＝２４米，ＣＤ＝１６米，∠ＢＣＤ＝９０°，并沿着对角线ＢＤ修建一条隔墙（厚度不计）将该空地分成 △ＡＢＤ和△ＢＣＤ两个区域，其中△ＡＢＤ区域为幼苗培育区，△ＢＣＤ区域为作物观察区，ＢＤ的中点Ｐ 处有一扇门，现计划在 ＢＣ上取点 Ｅ，Ｆ（点 Ｅ在点 Ｆ左侧），并沿 ＥＦ修建一面结果记录墙（厚度不 计），根据规划要求，ＥＦ＝５米，且ＰＥ与ＤＦ的长度之和最小，请问ＰＥ＋ＤＦ的值是否存在最小值？若 存在，求出ＰＥ＋ＤＦ的最小值；若不存在，请说明理由． 图１ 　　 图２ 　　 图３ 第２６题图 【命题立意】此题属于几何综合题，涉及平行线分线段成比例定理、解直角三角形、三角形中位线定理、平行四 边形的判定和性质、勾股定理、轴对称的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，添加适当的辅助 线是解题的关键． 解：（１）∵ＡＤ＝８，点Ｅ为ＡＤ的中点，∴ＤＥ＝ １ ２ ＡＤ＝４．∵ＡＤ∥ＢＣ，ＥＦ∥ＣＤ，∴四边形ＣＤＥＦ是平行四边形， ∴ＣＦ＝ＤＥ＝４，∴ＢＦ＝ＢＣ－ＣＦ＝１５－４＝１１．故答案为１１． （３分）……………………………………………… （２）∵菱形ＡＢＣＤ的边长为８，点Ｅ为ＣＤ的中点，∴ＣＥ＝ＤＥ＝ １ ２ ＣＤ＝４， ∴当ＤＦ＋ＥＦ最小时，△ＤＥＦ的周长最小． （４分）……………………………………………………………… 如解图１，连接ＢＦ，ＢＥ，ＢＥ交ＡＣ于点Ｆ′．∵四边形ＡＢＣＤ为菱形，∴∠ＢＡＦ＝∠ＤＡＦ，ＡＢ＝ＡＤ． 在△ＡＢＦ和△ＡＤＦ中，ＡＢ＝ＡＤ，∠ＢＡＦ＝∠ＤＡＦ，ＡＦ＝ＡＦ， ∴△ＡＢＦ≌△ＡＤＦ（ＳＡＳ），∴ＢＦ＝ＤＦ，∴ＤＦ＋ＥＦ＝ＢＦ＋ＥＦ， ∴当Ｂ，Ｆ，Ｅ三点共线，即点Ｆ在点Ｆ′的位置时，ＢＦ＋ＥＦ取得最小值，最小值为ＢＥ的长． 过点Ｅ作ＥＨ⊥ＢＣ交ＢＣ的延长线于点Ｈ． ∵四边形ＡＢＣＤ为菱形，∴ＣＤ∥ＡＢ，∴∠ＥＣＨ＝∠ＡＢＣ＝６０°． ∵ＣＥ＝４，∴ＣＨ＝ １ ２ ＣＥ＝２，ＥＨ＝ＣＥ·ｓｉｎ６０°＝２槡３，∴ＢＨ＝ＢＣ＋ＣＨ＝８＋２＝１０， ∴ＢＥ＝ ＢＨ２＋ＥＨ槡 ２＝４槡７，即ＤＦ＋ＥＦ的最小值为４槡７， ∴△ＤＥＦ周长的最小值为４槡７＋４． （７分）………………………………………………………………………… （３）ＰＥ＋ＤＦ的值存在最小值， 如解图２，过点Ｐ作ＰＨ⊥ＣＤ于点Ｈ． ∵∠ＢＣＤ＝９０°，ＰＨ⊥ＣＤ于点Ｈ，∴ＰＨ∥ＢＣ． ∵点Ｐ为ＢＤ的中点，即ＤＰ＝ＢＰ，∴点Ｈ为ＣＤ的中点，即ＣＨ＝ＤＨ＝ １ ２ ＣＤ＝８米．