2025年陕西省初中学业水平考试数学方向卷(五)-【众相原创】2025年陕西中考数学方向卷

１７　　 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（五） 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（五） ２０２５年陕西省初中学业水平考试 数学 方向卷（五） （总分：１２０分　考试时间：１２０分钟） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第一部分（选择题 共 ２４分） 一、选择题（共８小题，每小题３分，计２４分．每小题只有一个选项是符合题意的） １．计算槡１２÷槡３的结果正确的是 （Ｃ ） Ａ．４ Ｂ．３ Ｃ．２ Ｄ．槡２ ２．２０２４陕西中考方向 面动成体 如图所示的直角三角形绕直线ｌ旋转一周，得到的立体图形是 （Ｄ ） 　　 第２题图 　　　　 ３．如图，已知直线ｌ１∥ｌ２，若∠１＝∠２＝３５°，则∠３的度数为 （Ｃ ） Ａ．５０° Ｂ．６０° Ｃ．７０° Ｄ．８０° 第３题图 　　　 第５题图 　　　 第６题图 　　　 第７题图 ４．在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ｔａｎＡ＝ ２ ３ ，则ｓｉｎＡ＝ （　 ） Ａ． ２槡１０ １０ Ｂ． ３槡１０ １０ Ｃ． ２槡１３ １３ Ｄ． ３槡１３ １３ ５．如图，菱形ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｏ，过点 Ａ作 ＡＥ⊥ＢＣ于点 Ｅ，连接 ＯＥ．若 ＯＢ＝６，菱形 ＡＢＣＤ的面积为５４，则ＯＥ的长为 （Ｂ ） Ａ．４ Ｂ．４．５ Ｃ．５ Ｄ．５．５ ６．如图，一次函数 ｙ＝ ３ ４ ｘ＋ ９ ２ 的图象与 ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象相交于点 Ｐ（－２，ｎ），则关于 ｘ，ｙ的方程组 ３ｘ－４ｙ＋１８＝０， ｋｘ－ｙ＋ｂ＝０{ 的解是 （Ｂ ） Ａ． ｘ＝－２， ｙ＝２{ Ｂ．ｘ＝－２，ｙ＝３{ Ｃ．ｘ＝３，ｙ＝－２{ Ｄ．ｘ＝２，ｙ＝－２{ ７．如图，在等边△ＡＢＣ中，延长ＢＣ到点Ｅ，连接ＡＥ．若ＡＥ＝３槡２，∠ＣＡＥ＝１５°，则ＡＢ的长为 （Ｃ ） Ａ．２槡２ Ｂ．３槡２ Ｃ．２槡３ Ｄ．３ ８．将抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－２（ａ，ｂ是常数，ａ≠０）向下平移２个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线 ｙ＝ １ ２ ｘ２＋ｘ－４关于ｙ轴对称，则ａ，ｂ的值为 （Ｃ ） Ａ．ａ＝－１，ｂ＝－２ Ｂ．ａ＝－ １ ２ ，ｂ＝－１ Ｃ．ａ＝ １ ２ ，ｂ＝－１ Ｄ．ａ＝１，ｂ＝２ 第二部分（非选择题　共 ９６分） 二、填空题（共５小题，每小题３分，计１５分） ９．因式分解：ａ２ｂ－５ａｂ２＝　　　　． １０．某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 １０ ５０ １００ ５００ １０００２０００５０００ 钉尖朝上次数 ５ １５ ３６ ２００ ４０３ ８０１ ２００１ 估计任意抛掷一枚图钉，钉尖朝上的概率约为　　　　（结果精确到０．１）． １１．如图所示，圆的周长为４个单位长度．在该圆的４等分点处分别标上字母ｍ，ｎ，ｐ，ｑ．先将圆周上表示 ｍ的点与数轴上的－２重合，然后将该圆沿着数轴的正方向滚动，则数轴上表示２０２５的点与圆周上 重合的点对应的字母是　　　　． 第１１题图 　　　 第１２题图 　　　 第１３题图 １２．如图，在平面直角坐标系中，Ｒｔ△ＡＢＣ的顶点 Ａ，Ｂ的坐标分别是（０，３），（３，０），∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＣ＝ ２槡５，则函数ｙ＝ ｋ ｘ （ｘ＞０）的图象经过点Ｃ，则ｋ的值为　　　　． １３．如图，在正方形ＡＢＣＤ中，将边ＡＢ绕点Ａ逆时针旋转得到线段ＡＰ，旋转角为α，０°＜α＜９０°，连接ＰＤ， ＰＣ．若△ＰＣＤ是等腰三角形，则旋转角α的度数是　　　　． 三、解答题（共１３小题，计８１分．解答题应写出过程） １４．（本题满分５分）计算：槡８－６ｃｏｓ４５°＋（槡２０２５－π） ０． 【命题立意】本题考查算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂． 解：原式＝槡８－６× 槡２ ２ ＋１ （３分）……………………………………………………………………………………… ＝２槡２－３槡２＋１ （４分）……………………………………………………………………………………… ＝１－槡２． （５分）…………………………………………………………………………………… １５．（本题满分５分）先化简，再求值：［（ｘ＋ｙ）２－（３ｘ２－２ｘｙ＋ｙ２）］÷２ｘ，其中ｘ＝－２，ｙ＝ １ ２ ． 【命题立意】本题考查整式的混合运算———化简求值． 解：原式＝（ｘ２＋２ｘｙ＋ｙ２－３ｘ２＋２ｘｙ－ｙ２）÷２ｘ （２分）………………………………………………………………… ＝（－２ｘ２＋４ｘｙ）÷２ｘ （３分）………………………………………………………………………………… ＝－ｘ＋２ｙ， （４分）…………………………………………………………………………………………… 当ｘ＝－２，ｙ＝ １ ２ 时，原式＝－（－２）＋２× １ ２ ＝３． （５分）………………………………………………………… １８　 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（五） 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（五） １６．（本题满分５分）解方程： １－２ｘ ２ｘ－４ ＝２＋ ３ ２－ｘ ． 【命题立意】本题考查解分式方程． 解： １－２ｘ ２（ｘ－２） ＝２－ ３ ｘ－２ ，１－２ｘ＝２×２（ｘ－２）－６， （２分）………………………………………………………………… １－２ｘ＝４ｘ－８－６，４ｘ＋２ｘ＝１＋８＋６， ６ｘ＝１５，ｘ＝２．５， （３分）……………………………………………………………………………………………… 检验：当ｘ＝２．５时，２（ｘ－２）≠０， （４分）…………………………………………………………………………… ∴ｘ＝２．５是原分式方程的解． （５分）……………………………………………………………………… １７．（本题满分５分）如图，ＡＣ是平行四边形 ＡＢＣＤ的对角线，请用尺规作图的方法在边 ＡＢ，ＣＤ上分别 求作一点Ｅ，Ｆ，连接ＥＣ，ＡＦ，使得四边形ＡＥＣＦ是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 第１７题图 【命题立意】本题考查尺规作图———复杂作图、平行四边形的性质、菱形的判定． 解：如解图，四边形ＡＥＣＦ即为所求． （５分）………………………………………………………………… １８．（本题满分５分）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＣＢ，∠ＡＢＣ＝９０°，Ｄ为ＡＢ延长线上一点，点Ｅ在ＢＣ边上，且 ＢＥ＝ＢＤ，连接ＡＥ，ＤＥ，ＤＣ，求证：ＡＥ⊥ＣＤ． 第１８题图 【命题立意】本题考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质． 证明：在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，Ｄ为ＡＢ延长线上一点， ∴∠ＡＢＣ＝∠ＣＢＤ＝９０°． （２分）………………………………………………………………… 在△ＡＢＥ和△ＣＢＤ中， ＡＢ＝ＣＢ， ∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＤ， ＢＥ＝ＢＤ， { ∴△ＡＢＥ≌△ＣＢＤ（ＳＡＳ），∴∠ＢＡＥ＝∠ＢＣＤ， （３分）…………………………………………………………… ∴∠ＥＡＣ＋∠ＡＣＤ＝∠ＥＡＣ＋∠ＡＣＢ＋∠ＢＣＤ＝∠ＥＡＣ＋∠ＡＣＢ＋∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＣ＋∠ＡＣＢ＝９０°， （４分）……… ∴ＡＥ⊥ＣＤ． （５分）………………………………………………………………………………………… １９．（本题满分５分）新课标方向 现实生活情境 “学习生活两不误，劳逸结合更健康”，某个周末勤奋 好学的小峰和爸爸下棋，爸爸赢一盘记２分，小峰赢一盘记６分，一共下了８盘，每盘都分出了胜负． 若两人得分相等，请应用方程求出两人各赢了多少盘． 【命题立意】本题考查一元一次方程的实际应用． 解：设小峰赢了ｘ盘，则爸爸赢了（８－ｘ）盘， 依据题意可以列方程，得６ｘ＝２（８－ｘ）， （３分）…………………………………………………………………… 解得ｘ＝２． 当ｘ＝２时，８－ｘ＝６． ２０．（本题满分５分）新课标方向 教材改编 自然界大部分彩色的光都可以通过红、黄、蓝三种颜色的光 按照不同比例混合而成，所以这三种色光又被称为光的“三原色”．在一次数学课上，老师利用光的三 原色设计了一个“配紫色”游戏，如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个 扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出 了蓝色，那么转出的两种颜色就可以配成紫色．（若指针指向扇形的分界线，则需要重新转动） （１）若转动一次Ｂ盘，则转出红色是　　　　事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）； （２）用列表或画树状图的方法，求同时转动Ａ盘和Ｂ盘，转出的两种颜色恰好可以配成紫色的概率． 第２０题图 【命题立意】本题考查随机事件、用列表法和画树状图法求随机事件发生的概率． 解：（１）转动一次Ｂ盘，则可能转出红色或蓝色或黄色，∴转出红色是随机事件．故答案为随机． （２分）…… （２）用列表法将所有可能出现的结果表示如下： 　Ｂ Ａ　 红 蓝 黄 红 （红，红） （蓝，红） （黄，红） 蓝 （红，蓝） （蓝，蓝） （黄，蓝） 红 （红，红） （蓝，红） （黄，红） 黄 （红，黄） （蓝，黄） （黄，黄） ２１．（本题满分６分）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也使节能环保的举措得以落实． 某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，在测点Ａ处安置测倾器， 测倾器（ＡＢ）的高度为１．２米，测得点Ｍ的仰角∠ＭＢＣ＝３３°，在与点Ａ相距３．５米的点Ｄ处安置测倾 器，测得点Ｍ的仰角∠ＭＥＣ＝４５°（点Ａ，Ｄ与Ｎ在一条直线上），求电池板离地面的高度ＭＮ（结果保 留整数，参考数据：ｔａｎ３３°≈０．６５，ｓｉｎ３３°≈０．５４，ｃｏｓ３３°≈０．８４）． 第２１题图 【命题立意】本题考查解直角三角形的应用———仰角俯角问题． 解：如解图，延长ＢＣ交ＭＮ于点Ｆ，由题意得ＤＥ＝ＦＮ＝ＡＢ＝１．２米，ＢＥ＝ＡＤ＝３．５米，∠ＭＦＢ＝９０°． 设ＭＦ＝ｘ米，在Ｒｔ△ＭＦＥ中，∠ＭＥＦ＝４５°，∴ＥＦ＝ ＭＦ ｔａｎ４５° ＝ｘ（米），∴ＢＦ＝ＢＥ＋ＥＦ＝（ｘ＋３．５）米． （２分）… 在Ｒｔ△ＢＦＭ中，∠ＭＢＦ＝３３°，∴ｔａｎ３３°＝ ＭＦ ＢＦ ＝ ｘ ｘ＋３．５≈ ０．６５，解得ｘ＝６．５， 经检验，ｘ＝６．５是原方程的根，且符合题意， （４分）……………………………………………………………… １９　　 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（五） 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（五） ２２．（本题满分７分）新课标方向 中华优秀传统文化 扎染文化是我国传统文化的重要组成部分，扎染 文化的发展带动了旅游相关产业的发展，电视剧《去有风的地方》的热映不仅推动了云南大理旅游业 的热潮，也增进了人们对扎染文化的了解．某扎染坊第一次用３７００元购进甲、乙两种布料共１００件， 设购进甲种布料ｘ件，销售完甲、乙两种布料后获得的利润为Ｗ元．甲、乙两种布料的成本价和销售 价如下表： 单价类别 成本价（元／件） 销售价（元／件） 甲种布料 ６０ １００ 乙种布料 ４０ ７０ （１）请写出Ｗ关于ｘ的表达式； （２）若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料的数量的１．５倍，试问以何种方案进货，才能使销售 完甲、乙两种布料后获得的利润最大？最大利润是多少元？ ２３．（本题满分７分）２０２５例析与指导方向 开放性设问某市旅游资源丰富，每年都有大量游客前来旅 游．该市实验中学数学兴趣社团开展社会实践活动，在国庆节当天随机选取１００名游客进行满意度 调查．每名游客分别对该市的历史文化、自然景观、地域特色、旅游产品、旅游服务五个项目打分，每 个项目２０分，共１００分．将各项打分进行了整理，下面给出了部分信息． 信息一　每名游客对五个项目打分之和记为满意度分数，满意度分数用ｘ表示（ｘ≥６０），将满意度分 数数据分成如下四组：第一组６０≤ｘ＜７０，第二组７０≤ｘ＜８０，第三组８０≤ｘ＜９０，第四组９０≤ｘ≤１００．以 下是满意度分数的频数分布直方图和扇形统计图的部分信息． 图１ 　　　 图２ 　　　　　　　　　　　　第２３题图 信息二　１００名游客对本市历史文化、自然景观、地域特色、旅游产品、旅游服务打分的平均分和方差 如下表： 项目统计量 历史文化 自然景观 地域特色 旅游产品 旅游服务 平均分 １８．３ １７．６ １６．１ １５．１ １６．８ 方差 ２．１ ２．３ １．８ １．９ ３．４ 结合所给信息解决下列问题： （１）将频数分布直方图补全，并判断这１００个满意度分数的中位数位于第　　　　组； （２）在扇形统计图中，第四组所对应的圆心角度数是　　　　； （３）据统计，当天本市游客人数达到６．８万．请估计这６．８万人中满意度分数不低于８０分的人数； （４）为了更好地服务游客，提升本市旅游形象，请结合信息二，写出合理建议供主管部门参考． ２４．（本题满分８分）如图，⊙Ｏ是△ＡＢＣ的外接圆，点Ｄ在⊙Ｏ上，且ＡＤ为⊙Ｏ的直径，Ｈ在ＢＣ上，连接 ＡＨ，ＢＤ，且∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＨ． （１）求证：ＡＨ⊥ＢＣ； （２）若ＡＣ＝１５，ＡＢ＝２４，ＡＨ＝１２，求⊙Ｏ的半径． 第２４题图 【命题立意】本题考查圆周角定理、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和 性质定理是关键． （１）证明：∵∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢ（同弧所对圆周角相等），∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＨ， ∠ＡＢＤ＝１８０°－（∠ＡＤＢ＋∠ＢＡＤ），∠ＡＨＣ＝１８０°－（∠ＡＣＨ＋∠ＣＡＨ），∴∠ＡＢＤ ＝∠ＡＨＣ． ∵ＡＤ为⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＢＤ＝９０°，∴∠ＡＨＣ＝∠ＡＢＤ＝９０°，∴ＡＨ⊥ＢＣ． （３分）…………………………… （２）解：由（１）知∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢ（同弧所对圆周角相等），∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＨ， ∴△ＡＨＣ∽△ＡＢＤ，∴ ＡＣ ＡＤ ＝ＡＨ ＡＢ ． （６分）…………………………………………………………………………… ∵ＡＣ＝１５，ＡＢ＝２４，ＡＨ＝１２，∴ＡＤ＝ ＡＢ·ＡＣ ＡＨ ＝２４ ×１５ １２ ＝３０， ２０　 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（五） 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（五） ２５．（本题满分８分）新课标方向 现实生活情境 赛龙舟是中国端午节最重要的一种节日民俗活动，一 场赛龙舟活动中，图１是比赛途中经过的一座拱桥，图２是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作 抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系ｘＯｙ，桥拱上的点到水面的竖直高度 ｙ（单位：ｍ） 与到点Ｏ的水平距离ｘ（单位：ｍ）近似满足二次函数关系，水面的宽度ＯＡ为６０ｍ，拱桥最高处到水 面的距离ＢＣ为９ｍ． （１）求桥拱上的点到水面的竖直高度ｙ（单位：ｍ）与到点Ｏ的水平距离ｘ（单位：ｍ）满足的二次函数 表达式； （２）据调查，龙舟最高处距离水面２ｍ，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少 ３ｍ．要设计通过拱桥的龙舟赛道方案．若每条龙舟赛道宽度为９ｍ，求最多可设计龙舟赛道的数量． 图１ 　　　 图２ 第２５题图 【命题立意】本题考查二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 解：（１）由题意知，抛物线的顶点Ｃ（３０，９），点Ａ（６０，０）， 设二次函数表达式为ｙ＝ａ（ｘ－３０）２＋９， （２分）…………………………………………………………………… 将点Ａ（６０，０）代入得０＝ａ（６０－３０）２＋９，解得ａ＝－０．０１， ∴二次函数表达式为ｙ＝－０．０１（ｘ－３０）２＋９． （４分）……………………………………………………………… （２）由题意，得当ｙ＝５时，－０．０１（ｘ－３０）２＋９＝５， ∴ｘ＝１０或ｘ＝５０， （６分）…………………………………………………………………………………………… ∴可设计赛道的宽度为５０－１０＝４０（ｍ）． ∵ ４０ ９ ＝４ ４ ９ ＜５，∴最多可设计龙舟赛道的数量为４条． （８分）……………………………………………… ２６．（本题满分１０分）问题提出 （１）如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝３０°，∠Ｃ＝９０°，点Ｄ为ＡＣ上一点，连接ＢＤ，将△ＡＢＤ绕点Ｂ顺时 针旋转６０°得到△Ａ′ＢＤ′，连接Ｄ′Ｄ，Ｄ′Ａ，求证：Ｄ′Ｄ＝Ｄ′Ａ； 问题解决 （２）如图２，某同学在参加编程社团后设计了一款动点程序：在矩形边框ＡＢＣＤ中，已知ＡＢ＝２ＢＣ＝６０ （单位长度）．点Ｑ是矩形ＡＢＣＤ内部的一个动点，且始终保持∠ＡＱＢ＝１２０°，点Ｐ是边ＣＤ上的一个 动点．一只电子蚂蚁从点Ｑ的位置沿着直线ＱＰ匀速向边ＣＤ爬去，其中点Ｐ在ＣＤ上，当电子蚂蚁 爬到点Ｐ时，再从点Ｐ沿着矩形边ＣＤ向点Ｄ爬去．已知电子蚂蚁在线段ＱＰ上的移动速度为１个单 位长度／秒，在线段ＰＤ上的移动速度为２个单位长度／秒，请你求出电子蚂蚁从点Ｑ爬行到点Ｐ再 到点Ｄ的最快时间是多少？ 图１ 　　　 图２ 第２６题图 【命题立意】本题考查隐形圆问题，涉及全等三角形的判定与性质、解直角三角形、圆周角定理等知识点，正确 作出辅助线解决问题是解题的关键． 由∠ＡＱＢ＝１２０°，易得∠ＡＯＢ＝１２０°，∴∠ＯＡＢ＝３０°． 根据题意可知ＡＦ＝ＢＦ＝ＤＥ＝ＥＣ＝３０． 在Ｒｔ△ＡＯＦ中，ＯＱ＝ＯＱ′＝ＡＯ＝ ＡＦ ｃｏｓ３０° ＝２０槡３，∴ＯＦ＝ １ ２ ＡＯ＝１０槡３＝ＮＥ， ∴ＮＯ＝ＮＥ＋ＥＦ＋ＯＦ＝２０槡３＋３０． 在Ｒｔ△Ｇ′ＮＯ中，Ｇ′Ｏ＝ＮＯ·ｓｉｎ６０°＝１５槡３＋３０． （７分）………………………………………………………… 又由题意可知，在ＰＱ段上的时间ｔ１＝ＰＱ，在ＤＰ段上的时间ｔ２＝ １ ２ ＰＤ， ∴ｔ１＋ｔ２＝ＰＱ＋ １ ２ ＰＤ＝ＰＱ＋ＰＧ≥ＱＨ≥Ｇ′Ｑ′， ∴当点Ｐ在点Ｐ′处，点Ｑ在点Ｑ′处时，满足ＰＱ＋ １ ２ ＰＤ最小，即ｔ１＋ｔ２最小， （８分）…………………………… 此时ｔ１＋ｔ２＝Ｇ′Ｑ′＝Ｇ′Ｏ－ＯＱ′＝１５槡３＋３０－２０槡３＝３０－５槡３， ∴电子蚂蚁从点Ｑ爬行到点Ｐ再到点Ｄ的最快时间是（３０－５槡３）ｓ． （１０分）……………………………… １１　 　 方 向 卷 ︵ 五 ︶ ∵∠Ａ＝∠ＦＣＤ＝４５°，∴△ＡＤＥ≌△ＣＤＦ（ＡＳＡ）， ∴ＤＥ＝ＤＦ． （６分）…………………………………… 图１ 　　　 图２ 第２６题解图 （３）解：存在，如解图２，过点 Ｑ分别作 ＱＧ⊥ＢＰ于点 Ｇ，ＱＨ⊥ＰＣ于点Ｈ． ∵∠ＢＰＣ＝６０°，∴∠ＧＱＨ＝１２０°．∵∠ＥＱＦ＝１２０°， ∴∠ＥＱＧ＝∠ＦＱＨ． ∵ＱＥ＝ＱＦ，∴△ＥＱＧ≌△ＦＱＨ（ＡＡＳ），∴ＱＧ＝ＱＨ． ∵ＱＧ⊥ＢＰ，ＱＨ⊥ＰＣ，∴ＰＱ是∠ＢＰＣ的平分线， ∴∠ＢＰＱ＝∠ＣＰＱ＝３０°，∴∠ＰＱＧ＝∠ＰＱＨ＝６０°． ∵Ｓ四边形ＱＧＰＨ＝Ｓ四边形ＱＥＰＦ＝ 槡６４３， ∴ １ ２ ＧＱ·ＰＧ＝ 槡３２３，即 １ ２ ＧＰ·槡 ３ ３ ＧＰ＝ 槡３２３，解得 ＧＰ＝槡８３（负值已舍去），∴ＧＱ＝８，ＰＱ＝１６． 将△ＱＣＨ绕点 Ｑ逆时针旋转 １２０°得到△ＱＣ′Ｇ，则 ∠ＢＱＣ′＝６０°． Ｓ矩形ＡＢＣＤ＝２Ｓ△ＢＣＰ＝２（Ｓ△四边形ＧＱＨＰ＋Ｓ△ＢＱＣ′）＝２（ 槡６４３ ＋Ｓ△ＢＱＣ′）， 设△ＢＣ′Ｑ的外接圆半径为ｒ， ∵∠ＢＱＣ′＝６０°，ＧＱ＝８， ∴外接圆的圆心Ｏ在ＧＱ上时，ＢＣ′的长最小， ∴ｒ＝２（８－ｒ），解得ｒ＝ １６ ３ ，∴ＢＣ′＝ 槡 １６３ ３ ， ∴Ｓ△ＢＱＣ′的最小值＝ １ ２ ×８× 槡 １６３ ３ ＝ 槡６４３ ３ ， ∴Ｓ矩形ＡＢＣＤ的最小值为２（ 槡６４３＋ 槡６４３ ３ ）＝ 槡 ５１２３ ３ ｍ２． （１０分）…………………………………………… ２０２５年陕西省初中学业水平考试 数学 方向卷（五） 选择题快速对答案 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｄ Ｃ Ｃ Ｂ Ｂ Ｃ Ｃ ９．ａｂ（ａ－５ｂ）　１０．０．４　１１．ｑ　１２．４ １３．３０°或６０°　【命题立意】本题考查旋转的性质、正方 形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的 性质，解答本题的关键是进行分类讨论． 【解析】在正方形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＡＤ＝ＣＤ，∠ＢＡＤ＝ ９０°，如解图 １，当∠ＢＡＰ＝α＝３０°时，∠ＰＡＤ＝６０°．由 旋转可知 ＡＰ＝ＡＢ，∴ＡＰ＝ＡＤ，∴△ＡＰＤ是等边三角 形，∴ＰＤ＝ＡＤ，∴ＰＤ＝ＣＤ，∴△ＰＣＤ是等腰三角形； 如解图２，连接 ＢＰ，当∠ＢＡＰ＝α＝６０°时，由旋转可知 ＡＰ＝ＡＢ，∴△ＡＢＰ是等边三角形，∴ＡＰ＝ＢＰ，∠ＡＢＰ＝ ６０°，∴ ∠ＰＡＤ ＝∠ＰＢＣ ＝ ３０°．∵ ＡＤ ＝ＢＣ， ∴△ＡＰＤ≌△ＢＰＣ（ＳＡＳ），∴ＰＤ＝ＰＣ，∴△ＰＣＤ是等 腰三角形．综上所述，α的度数为 ３０°或 ６０°．故答案 为３０°或６０°． 图１ 　　 图２ 第１３题解图 １４．【命题立意】本题考查算术平方根、特殊角的三角函 数值、零指数幂． 解：原式＝１－槡２． （５分）…………………………… １５．【命题立意】本题考查整式的混合运算———化简 求值． 解：原式＝－ｘ＋２ｙ， （４分）…………………………… 当ｘ＝－２，ｙ＝ １ ２ 时，原式＝－（－２）＋２× １ ２ ＝３． （５分） ……… …………………………………………… １６．【命题立意】本题考查解分式方程． 解：ｘ＝２．５是原分式方程的解． （５分）……………… １７．【命题立意】本题考查尺规作图———复杂作图、平行 四边形的性质、菱形的判定． 解：如解图，四边形ＡＥＣＦ即为所求． （５分）……… 第１７题解图 １８．【命题立意】本题考查全等三角形的性质与判定、等 腰直角三角形的性质． 证明略． １９．【命题立意】本题考查一元一次方程的实际应用． 解：设小峰赢了ｘ盘，则爸爸赢了（８－ｘ）盘， 依据题意可以列方程，得６ｘ＝２（８－ｘ）， （３分）…… 解得ｘ＝２． 当ｘ＝２时，８－ｘ＝６． 答：若两人得分相等时，小峰赢了 ２盘，爸爸赢了 ６ 盘． （５分）…………………………………………… ２０．【命题立意】本题考查随机事件、用列表法和画树状 图法求随机事件发生的概率． 解：（１）随机． （２分）………………………………… （２）列表略． （４分）………………………………… 由表知，共有１２种等可能出现的结果，其中转出的两 种颜色恰好可以配成紫色的结果有３种，                                                                      众相原创· 陕西数学 １２　 　 方 向 卷 ︵ 五 ︶ ∴转出的两种颜色恰好可以配成紫色的概率为 ３ １２ ＝ １ ４ ． （５分）…………………………………………… ２１．【命题立意】本题考查解直角三角形的应用———仰角 俯角问题． 解：如解图，延长ＢＣ交ＭＮ于点Ｆ，由题意得ＤＥ＝ＦＮ ＝ＡＢ＝１．２米，ＢＥ＝ＡＤ＝３．５米，∠ＭＦＢ＝９０°． 设ＭＦ＝ｘ米，在Ｒｔ△ＭＦＥ中，∠ＭＥＦ＝４５°， ∴ＥＦ＝ ＭＦ ｔａｎ４５° ＝ｘ（米），∴ＢＦ＝ＢＥ＋ＥＦ＝（ｘ＋３．５）米． （２分）…………………………………………… 在Ｒｔ△ＢＦＭ中，∠ＭＢＦ＝３３°， ∴ｔａｎ３３°＝ ＭＦ ＢＦ ＝ ｘ ｘ＋３．５≈ ０．６５，解得ｘ＝６．５， 经检验，ｘ＝６．５是原方程的根，且符合题意， （４分） ……… …………………………………………… ∴ＭＦ＝６．５米，∴ＭＮ＝ＭＦ＋ＦＮ＝６．５＋１．２≈８（米）． 答：电池板离地面的高度ＭＮ约为８米． （６分）…… 第２１题解图 ２２．【命题立意】本题考查一次函数的应用、一元一次不 等式的应用、一次函数的性质． 解：（１）由题意可知，购进甲种布料 ｘ件，购进乙种布 料 １００－ｘ( ) 件， 则Ｗ＝（１００－６０）ｘ＋（７０－４０）（１００－ｘ）＝１０ｘ＋３０００． ∵０＜ｘ＜１００，∴Ｗ关于ｘ的表达式为 Ｗ＝１０ｘ＋３０００（０ ＜ｘ＜１００）． （３分）…………………………………… （２）∵此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料的 数量的１．５倍， ∴ｘ≤１．５（１００－ｘ），∴ｘ≤６０． （４分）………………… 由（１）可知，Ｗ＝１０ｘ＋３０００（０＜ｘ＜１００）．由一次函数的 性质可知，在０＜ｘ≤６０内，Ｗ随ｘ的增大而增大， ∴当ｘ＝６０时，Ｗ取得最大值，最大值为１０×６０＋３０００ ＝３６００，此时１００－ｘ＝１００－６０＝４０． （６分）………… 答：购进甲种布料６０件，购进乙种布料 ４０件才能使 销售完甲、乙两种布料后获得的利润最大，最大利润 是３６００元． （７分）…………………………………… ２３．【命题立意】本题考查频数分布直方图、中位数的定 义、用样本估计总体、方差等知识点，从统计图中获 取所需信息是解题的关键． 解：（１）补全频数分布直方图略． （１分）…………… 三． （２分）…………………………………………… （２）７２°． （４分）……………………………………… （３）６．８× ３２＋２０ １００ ＝３．５３６（万人）， ∴这６．８万人中满意度分数不低于８０分的人数约为 ３．５３６万人． （６分）………………………………… （４）旅游产品的平均分最低，应进一步开发旅游产品 以满足游客需求；旅游服务的满意度打分的方差大， 所以服务质量良莠不齐，应加大监督力度，切实提升 游客的体验感．（答案不唯一） （７分）……………… ２４．【命题立意】本题考查圆周角定理、相似三角形的判 定和性质，掌握相似三角形的判定和性质定理是 关键． （１）证明略． （３分）………………………………… （２）解：由（１）知∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢ（同弧所对圆周角相 等），∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＨ， ∴△ＡＨＣ∽△ＡＢＤ，∴ ＡＣ ＡＤ ＝ＡＨ ＡＢ ． （６分）……………… ∵ＡＣ＝１５，ＡＢ＝２４，ＡＨ＝１２， ∴ＡＤ＝ ＡＢ·ＡＣ ＡＨ ＝２４ ×１５ １２ ＝３０， ∴ＯＡ＝ １ ２ ＡＤ＝１５，∴⊙Ｏ的半径为１５． （８分）…… ２５．【命题立意】本题考查二次函数的应用，解题时要熟 练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 解：（１）二次函数表达式为ｙ＝－０．０１（ｘ－３０）２＋９． （４分） … …………………………………………… （２）由题意，得当ｙ＝５时，－０．０１（ｘ－３０）２＋９＝５， ∴ｘ＝１０或ｘ＝５０， （６分）…………………………… ∴可设计赛道的宽度为５０－１０＝４０（ｍ）． ∵ ４０ ９ ＝４ ４ ９ ＜５， ∴最多可设计龙舟赛道的数量为４条． （８分）…… ２６．【命题立意】本题考查隐形圆问题，涉及全等三角形 的判定与性质、解直角三角形、圆周角定理等知识点， 正确作出辅助线解决问题是解题的关键． （１）证明：根据题意可知△Ａ′ＢＤ′≌△ＡＢＤ，连接 ＡＡ′， 则△Ａ′ＡＢ与△Ｄ′ＤＢ都为等边三角形． 第２６题解图 ∵∠ＢＡ′Ｄ′＝∠ＢＡＤ＝３０°， ∠ＢＡ′Ａ＝６０°， ∴∠ＡＡ′Ｄ′＝∠ＢＡ′Ａ－∠ＢＡ′Ｄ′ ＝３０°． 又∵ＡＡ′＝Ａ′Ｂ，Ａ′Ｄ′＝Ａ′Ｄ′， ∴△Ａ′ＢＤ′≌△Ａ′ＡＤ′， ∴ＢＤ′＝ＡＤ′， ∵ＢＤ′＝ＤＤ′，∴Ｄ′Ｄ＝Ｄ′Ａ． （４分）………………… （２）解：如解图，记过 Ａ，Ｑ，Ｂ三点的圆弧所在圆心为 点Ｏ，∴初始位置Ｑ在ＡＢ) 上． 将ＤＣ绕点Ｄ逆时针旋转３０°，得到ＤＭ，过点Ｐ作ＰＧ ⊥ＤＭ于点Ｇ，过点Ｏ作ＯＮ⊥ＡＢ并延长，与ＡＢ交于 点Ｆ，与ＣＤ交于点Ｅ，与ＤＭ交于点Ｎ，过点Ｏ作ＯＧ′                                                                       众相原创· 陕西数学 １３　 　 方 向 卷 ︵ 六 ︶ ⊥ＤＭ，与 ＣＤ交于点 Ｐ′，与弧 ＡＢ交于点 Ｑ′，过点 Ｑ 作ＱＨ⊥ＤＭ于点Ｈ． 由∠ＡＱＢ＝１２０°，易得∠ＡＯＢ＝１２０°，∴∠ＯＡＢ＝３０°． 根据题意可知ＡＦ＝ＢＦ＝ＤＥ＝ＥＣ＝３０． 在Ｒｔ△ＡＯＦ中，ＯＱ＝ＯＱ′＝ＡＯ＝ ＡＦ ｃｏｓ３０° ＝ 槡２０３， ∴ＯＦ＝ １ ２ ＡＯ＝ 槡１０３＝ＮＥ， ∴ＮＯ＝ＮＥ＋ＥＦ＋ＯＦ＝ 槡２０３＋３０． 在Ｒｔ△Ｇ′ＮＯ中，Ｇ′Ｏ＝ＮＯ·ｓｉｎ６０°＝ 槡１５３＋３０． （７分） …… …………………………………………… 又由题意可知，在ＰＱ段上的时间ｔ１＝ＰＱ，在ＤＰ段上 的时间ｔ２＝ １ ２ ＰＤ， ∴ｔ１＋ｔ２＝ＰＱ＋ １ ２ ＰＤ＝ＰＱ＋ＰＧ≥ＱＨ≥Ｇ′Ｑ′， ∴当点 Ｐ在点 Ｐ′处，点 Ｑ在点 Ｑ′处时，满足 ＰＱ＋ １ ２ ＰＤ最小，即ｔ１＋ｔ２最小， （８分）…………………… 此时ｔ１＋ｔ２＝Ｇ′Ｑ′＝Ｇ′Ｏ－ＯＱ′＝ 槡１５３＋３０－ 槡２０３＝３０－ 槡５３， ∴电子蚂蚁从点Ｑ爬行到点Ｐ再到点Ｄ的最快时间 是（３０－槡５３）ｓ． （１０分）……………………………… ２０２５年陕西省初中学业水平考试 数学 方向卷（六） 选择题快速对答案 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｂ Ｂ Ｂ Ｂ Ｂ Ｂ Ｃ ９．＜　１０．－１　１１．４８°　１２．８ １３．１　【命题立意】本题考查旋转的性质、垂线段最短、 全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性 质、菱形的性质． 【解析】如解图，在ＡＢ上取点Ｅ，使ＢＥ＝ＯＢ，连接ＰＥ． 由旋转得 ＢＱ＝ＢＰ，∠ＰＢＱ＝６０°，∴∠ＯＢＱ＋∠ＤＢＰ＝ ６０°．∵四边形ＡＢＣＤ为菱形，∴ＢＤ⊥ＡＣ，ＡＢ＝ＡＤ＝４， ＯＢ＝ １ ２ ＢＤ．∵∠ＢＡＤ＝６０°，∴△ＡＢＤ为等边三角形， ∴ＢＤ＝ＡＢ＝ＡＤ＝４，∠ＡＢＤ＝６０°，∴ＯＢ＝２，∠ＥＢＰ＋ ∠ＤＢＰ＝６０°，∴∠ＯＢＱ＝∠ＥＢＰ．在△ＯＢＱ和△ＥＢＰ 中， ＢＱ＝ＢＰ， ∠ＯＢＱ＝∠ＥＢＰ， ＯＢ＝ＥＢ，{ ∴△ＯＢＱ≌△ＥＢＰ（ＳＡＳ），∴ＯＱ ＝ＥＰ．∵ＢＥ＝ＯＢ＝２，∴ＡＥ＝ＡＢ－ＢＥ＝２，∴点 Ｅ为 ＡＢ 的中点．当ＰＥ⊥ＯＡ时，ＰＥ的长取得最小值．∵ＰＥ⊥ ＯＡ，ＢＤ⊥ＡＣ，∴ＰＥ∥ＢＤ，∴ＰＥ＝ １ ２ ＯＢ＝１，∴ＯＱ＝１， 即线段ＯＱ长的最小值为１．故答案为１． 第１３题解图 １４．【命题立意】本题考查算术平方根、有理数的乘法、绝 对值． 解：原式＝２８． （５分）………………………………… １５．【命题立意】本题考查解一元一次不等式组，熟知“同 大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不 到”的原则是解答此题的关键． 解：不等式组的解集为ｘ≥３， （４分）……………… 解集在数轴上表示如解图． （５分）………………… 第１５题解图 １６．【命题立意】本题考查分式的混合运算． 解：原式＝ ａ－１ ａ＋１ ． （５分）……………………………… １７．【命题立意】本题考查尺规作图———基本作图、角平 分线的性质． 解：如解图，点Ｆ即为所求． （５分）………………… 第１７题解图 １８．【命题立意】本题考查全等三角形的判定与性质、平 行线的判定与性质． 证明略． １９．【命题立意】本题考查用列表或画树状图的方法求 概率． 解：（１） １ ２ ． （２分）…………………………………… （２）列表略． （４分）………………………………… 由表可知，共有１２种等可能的结果，其中两瓶溶液恰 好都变红色的结果有（Ｃ，Ｄ）（Ｄ，Ｃ），共２种， ∴两瓶溶液恰好都变红色的概率为 ２ １２ ＝１ ６ ． （５分） ……… …………………………………………… ２０．【命题立意】本题考查一元一次方程的应用． 解：设１副乒乓球拍的价格是 ｘ元，则 １副羽毛球拍 的价格是（ｘ＋３０）元， 根据题意得３ｘ＋２（ｘ＋３０）＝４３５， （３分）…………… 解得ｘ＝７５，∴ｘ＋３０＝７５＋３０＝１０５． 答：１副乒乓球拍的价格是 ７５元，１副羽毛球拍的价 格是１０５元． （５分）………………………………… ２１．【命题立意】本题考查解直角三角形的应用、等腰三 角形的性质、三角形内角和定理． 解：如解图，过点Ｅ作ＥＦ⊥ＢＣ，垂足为Ｆ，连接ＣＤ．                                                                       众相原创· 陕西数学