2025年陕西省初中学业水平考试数学方向卷(四)-【众相原创】2025年陕西中考数学方向卷

９　 　 方 向 卷 ︵ 四 ︶ 第２６题解图１ ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴∠ＤＡＢ＝９０°，∠ＥＡＤ＝∠ＥＡＢ． ∵ＥＭ⊥ＡＤ，ＥＮ⊥ＡＢ，∴ＥＭ＝ＥＮ． ∵∠ＥＭＡ＝∠ＥＮＡ＝∠ＤＡＢ＝９０°， ∴四边形ＡＮＥＭ是矩形． ∵ＥＦ⊥ＤＥ，∴∠ＭＥＮ＝∠ＤＥＦ＝９０°， ∴∠ＤＥＭ＝∠ＦＥＮ． ∵∠ＥＭＤ＝∠ＥＮＦ＝９０°，∴△ＥＭＤ≌△ＥＮＦ（ＡＳＡ）， ∴ＥＤ＝ＥＦ． ∵四边形ＤＥＦＧ是矩形，∴四边形ＤＥＦＧ是正方形． （５分）…………………………………………… （３）解：裁得的△ＢＣＤ型部件符合要求．证明如下： 如解图２，过点Ａ作ＡＧ⊥ＢＣ于点Ｇ，过点Ｄ作ＤＭ⊥ ＡＧ于点Ｍ，ＤＮ⊥ＢＣ于点Ｎ，连接ＡＤ． ∵ＥＦ是线段ＡＣ的垂直平分线，ＦＤ＝ＦＣ， 第２６题解图２ ∴ＤＡ＝ＤＣ，∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＤ＝ ∠ＣＤＦ＝４５°，∴∠ＡＤＣ＝９０°． ∵ＡＢ＝ＡＣ，ＡＧ⊥ＢＣ， ∴ＢＧ＝ＣＧ＝ １ ２ ＢＣ＝１ｄｍ， ∴ＡＧ＝ ＡＢ２－ＢＧ槡 ２＝２ｄｍ． ∵ＡＧ⊥ＢＣ，ＤＭ⊥ＡＧ，ＤＮ⊥ＢＣ， ∴∠ＭＧＮ＝∠ＤＭＧ＝∠ＤＮＧ＝９０°， ∴四边形ＤＮＧＭ是矩形，∴∠ＮＤＭ＝９０°＝∠ＡＤＣ， ∴∠ＡＤＭ＝∠ＣＤＮ． （７分）………………………… 在△ＡＤＭ和△ＣＤＮ中， ∠ＡＭＤ＝∠ＣＮＤ， ∠ＡＤＭ＝∠ＣＤＮ， ＡＤ＝ＣＤ，{ ∴△ＡＤＭ≌△ＣＤＮ（ＡＡＳ），∴ＤＮ＝ＤＭ，ＡＭ＝ＮＣ， ∴四边形ＤＮＧＭ是正方形，∴ＤＭ＝ＤＮ＝ＮＧ＝ＭＧ． （８分） … …………………………………………… 设ＤＭ＝ＤＮ＝ＮＧ＝ＭＧ＝ｘｄｍ， 则ＡＭ＝ＮＣ＝ＮＧ＋ＧＣ＝（ｘ＋１）ｄｍ， ∴ＡＧ＝ＡＭ＋ＭＧ＝ｘ＋１＋ｘ＝（２ｘ＋１）ｄｍ， ∴２ｘ＋１＝２，∴ｘ＝ １ ２ ， ∴ＤＮ＝ＮＧ＝ １ ２ ｄｍ， ∴ＢＮ＝ＢＧ－ＮＧ＝１－ １ ２ ＝１ ２ ｄｍ＝ＤＮ， ∴△ＤＮＢ是等腰直角三角形， ∴∠ＮＢＤ＝４５°，即∠ＣＢＤ＝４５°， ∴裁得的△ＢＣＤ型部件符合要求． （１０分）……… ２０２５年陕西省初中学业水平考试 数学 方向卷（四） 选择题快速对答案 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｂ Ａ Ｃ Ｃ Ｃ Ａ Ａ ９．０　１０．（４，－１）　１１．６　 １２．ｙ＝－ ２ ｘ （答案不唯一，只要系数ｋ＜０即可） １３ 槡．２３　【命题立意】本题考查旋转的性质、平行四边形 的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性 质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【解析】如解图，延长 ＡＢ至点 Ｈ，使 ＢＨ＝ＢＣ，连接 ＣＨ，过点 Ｃ作 ＣＮ⊥ＢＨ于点 Ｎ，连接 ＥＨ．∵∠ＡＢＣ＝ １２０°，∴∠ＣＢＨ＝６０°．∵∠ＣＮＢ＝９０°，ＢＣ＝ＢＨ＝４，∴ＢＮ ＝１ ２ ＣＢ＝２，∴ＣＮ＝槡３ＢＮ＝ 槡２３．∵△ＢＥＦ是等边三 角形，∴ＦＢ＝ＥＢ，∠ＦＢＥ＝６０°＝∠ＣＢＨ，∴∠ＥＢＨ＝ ∠ＦＢＣ，∴△ＦＣＢ≌△ＥＨＢ（ＳＡＳ），∴ＣＦ＝ＥＨ，∴当 ＥＨ有最小值时，ＦＣ有最小值，∴当 ＥＨ⊥ＡＢ时，ＥＨ 有最小值为 ＣＮ的长，∴ＦＣ的最小值为 槡２３．故答案 为 槡２３． 第１３题解图 １４．【命题立意】本题考查解一元一次不等式． 解：ｘ＞２． （５分）……………………………………… １５．【命题立意】本题考查有理数的乘方、负整数指数幂、 平方差公式． 解：原式＝－５． （５分）………………………………… １６．【命题立意】本题考查分式的混合运算及求值． 解：原式＝ １ ａ（ａ＋２） ， （３分）………………………… ∵（ａ＋２）（ａ－２）≠０，且４ａ（ａ－２）≠０， ∴ａ≠±２且ａ≠０，∴ａ只能取１． ∴当ａ＝１时，原式＝ １ １×（１＋２） ＝１ ３ ． （５分）………… １７．【命题立意】本题考查尺规作图———复杂作图、角平 分线性质、三角形的面积． 解：如解图，直线ＡＤ即为所求． （５分）…………… 第１７题解图 １８．【命题立意】本题考查全等三角形的判定与性质、三 角形外角性质、平行线性质． 证明略． １９．【命题立意】本题考查利用频率估计概率、列表法与 画树状图法求概率． 解：（１）１． （２分）…………………………………… （２）画树状图略． （４分）…………………………… 由图知共有１６种等可能的结果，其中两次摸出的小 球颜色恰好不同的结果有６种， ∴两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为 ６ １６ ＝３ ８ ． （５分）……………………………………………                                                                      众相原创· 陕西数学 １０　 　 方 向 卷 ︵ 四 ︶ ２０．【命题立意】本题考查一次方程的实际应用，掌握“相 遇问题：ｖ甲×相遇时甲的行驶时间＋ｖ乙×相遇时乙的行 驶时间＝两地距离”是解题的关键． 解：设第一辆车出发 ｔ小时后两车第一次相距 ９０ 千米． 根据题意得６０ｔ＋８０（ｔ－１）＋９０＝４３０， （３分）……… 解得ｔ＝３， 答：第一辆车出发３小时后两车第一次相距９０千米． （５分）…………………………………………… ２１．【命题立意】本题考查解直角三角形的应用———仰角 俯角问题． 解：在Ｒｔ△ＡＲＬ中， ＲＬ＝ＡＲ·ｃｏｓ４０°≈６×０．７７＝４．６２（ｋｍ）， ＡＬ＝ＡＲ·ｓｉｎ４０°≈６×０．６４＝３．８４（ｋｍ）． （２分）…… 在Ｒｔ△ＢＲＬ中，ＢＬ＝ＲＬ·ｔａｎ４８°≈５．１２８２≈５．１３（ｋｍ）， ∴ＡＢ＝ＢＬ－ＡＬ＝５．１３－３．８４≈１．２９（ｋｍ）， （４分）…… ∴速度为１．２９÷２．５＝０．５１６≈０．５（ｋｍ／ｓ）． 答：这枚火箭从Ａ处到Ｂ处的平均速度为０．５ｋｍ／ｓ． （６分）…………………………………………… ２２．【命题立意】本题主要考查一次函数的实际应用． 解：（１）ｙ与ｔ的函数表达式为ｙ＝－０．２ｔ＋２０． （３分） ……… …………………………………………… （２）将ｔ＝０代入ｙ＝－０．２ｔ＋２０，得ｙ＝２０， ∴这根蜡烛的长度为２０ｃｍ， 将ｙ＝ ２０ ２ ＝１０代入ｙ＝－０．２ｔ＋２０，得ｔ＝５０． （５分）… ∵７：１５到８：１５有６０ｍｉｎ，６０－５０＝１０（ｍｉｎ）， ∴其间蜡烛熄灭了１０ｍｉｎ． （７分）………………… ２３．【命题立意】本题考查平均数、中位数和众数、扇形统 计图、用样本估计总体，掌握题意读懂统计图是解题 的关键． 解：（１）３０；１００；９７．５． （３分）………………………… （２）七年级学生掌握礼仪知识较好．理由如下：因为 七年级、八年级学生的竞答成绩的平均数相等，但是 七年级的中位数和众数比八年级的中位数和众数都 高，因此我认为七年级学生掌握礼仪知识较好（答案 不唯一，合理即可）． （５分）………………………… （３）９００× １４ ２０ ＋８００×（４０％＋３０％）＝１１９０（人）， 答：估计七、八年级学生参加此次竞答活动成绩高于 ９６分的学生人数共有１１９０人． （７分）…………… ２４．【命题立意】本题考查圆周角定理、等腰直角三角形 的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线 是解题的关键． （１）证明：如解图，连接ＡＤ． 第２４题解图 ∵ＡＣ为⊙Ｏ的直径， ∴∠ＡＤＣ＝９０°，∴∠ＡＤＢ＝９０°． ∵ＢＨ⊥ＡＣ，∴∠ＢＧＣ＝９０°． ∵∠ＤＡＣ＋∠ＡＣＤ＝∠ＧＢＣ＋∠ＡＣＤ＝９０°， ∴∠ＤＡＣ＝∠ＧＢＣ． 又∵∠ＤＡＣ＝∠ＤＥＣ，∴∠ＧＢＣ＝∠ＤＥＣ． （３分）…… （２）解：由（１）得∠ＡＤＢ＝９０°， ∵∠ＡＢＣ＝４５°，∴△ＡＢＤ是等腰直角三角形， ∴ＢＤ＝ＡＤ，∴ＡＤ＋ＤＣ＝ＢＤ＋ＤＣ＝ＢＣ＝７． （６分）…… ∵∠ＡＤＣ＝９０°，ＡＣ＝５， ∴ＡＤ２＋ＤＣ２＝ＡＣ２，即（７－ＤＣ）２＋ＤＣ２＝５２， 解得ＤＣ＝４或ＤＣ＝３． ∵ＢＤ＞ＣＤ，∴ＤＣ＝３． （８分）………………………… ２５．【命题立意】本题考查二次函数的应用，正确掌握相 关性质是解题的关键． 解：（１）如解图１，以线段 ＡＢ的中点为原点建立平面 直角坐标系． （１分）………………………………… 帐篷支架对应的抛物线的函数表达式为 ｙ＝－ ４ ５ （ｘ＋ ３ ２ ）（ｘ－ ３ ２ ）． （４分）………………………………… 图１ 　　　 图２ 第２５题解图 （２）如解图２，依题意，设抛物线的函数表达式为 ｙ＝ ａｘ２＋２．５， （５分）……………………………………… ∵帐篷一排能容纳５张高为１ｍ，宽为０．６ｍ的椅子， 且ａ要最小， ∴抛物线刚好经过点Ｄ点，∴ｙＤ＝１，ｘＤ＝ ５×０．６ ２ ＝３ ２ ． ∵抛物线ｙ＝ａｘ２＋２．５经过点Ｄ（ ３ ２ ，１）， ∴１＝ａ×（ ３ ２ ）２＋２．５，解得ａ＝－ ２ ３ ， （７分）………… ∴ａ的最小值为－ ２ ３ ． （８分）………………………… ２６．【命题立意】本题考查四边形的综合应用，涉及矩形 的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、三角 形全等的判定及性质等，掌握角平分线定理是解题 的关键． （１）解：４． （３分）…………………………………… （２）证明：如解图１，连接ＣＤ． ∵△ＡＢＣ是等腰直角三角形，Ｄ是ＡＢ的中点， ∴ＣＤ⊥ＡＢ，ＣＤ＝ＡＤ，ＣＤ平分∠ＡＣＢ． ∵∠ＥＤＦ＝９０°，∴∠ＡＤＥ＋∠ＢＤＦ＝∠ＢＤＦ＋∠ＣＤＦ＝ ９０°，∴∠ＡＤＥ＝∠ＣＤＦ．                                                                       众相原创· 陕西数学 １１　 　 方 向 卷 ︵ 五 ︶ ∵∠Ａ＝∠ＦＣＤ＝４５°，∴△ＡＤＥ≌△ＣＤＦ（ＡＳＡ）， ∴ＤＥ＝ＤＦ． （６分）…………………………………… 图１ 　　　 图２ 第２６题解图 （３）解：存在，如解图２，过点 Ｑ分别作 ＱＧ⊥ＢＰ于点 Ｇ，ＱＨ⊥ＰＣ于点Ｈ． ∵∠ＢＰＣ＝６０°，∴∠ＧＱＨ＝１２０°．∵∠ＥＱＦ＝１２０°， ∴∠ＥＱＧ＝∠ＦＱＨ． ∵ＱＥ＝ＱＦ，∴△ＥＱＧ≌△ＦＱＨ（ＡＡＳ），∴ＱＧ＝ＱＨ． ∵ＱＧ⊥ＢＰ，ＱＨ⊥ＰＣ，∴ＰＱ是∠ＢＰＣ的平分线， ∴∠ＢＰＱ＝∠ＣＰＱ＝３０°，∴∠ＰＱＧ＝∠ＰＱＨ＝６０°． ∵Ｓ四边形ＱＧＰＨ＝Ｓ四边形ＱＥＰＦ＝ 槡６４３， ∴ １ ２ ＧＱ·ＰＧ＝ 槡３２３，即 １ ２ ＧＰ·槡 ３ ３ ＧＰ＝ 槡３２３，解得 ＧＰ＝槡８３（负值已舍去），∴ＧＱ＝８，ＰＱ＝１６． 将△ＱＣＨ绕点 Ｑ逆时针旋转 １２０°得到△ＱＣ′Ｇ，则 ∠ＢＱＣ′＝６０°． Ｓ矩形ＡＢＣＤ＝２Ｓ△ＢＣＰ＝２（Ｓ△四边形ＧＱＨＰ＋Ｓ△ＢＱＣ′）＝２（ 槡６４３ ＋Ｓ△ＢＱＣ′）， 设△ＢＣ′Ｑ的外接圆半径为ｒ， ∵∠ＢＱＣ′＝６０°，ＧＱ＝８， ∴外接圆的圆心Ｏ在ＧＱ上时，ＢＣ′的长最小， ∴ｒ＝２（８－ｒ），解得ｒ＝ １６ ３ ，∴ＢＣ′＝ 槡 １６３ ３ ， ∴Ｓ△ＢＱＣ′的最小值＝ １ ２ ×８× 槡 １６３ ３ ＝ 槡６４３ ３ ， ∴Ｓ矩形ＡＢＣＤ的最小值为２（ 槡６４３＋ 槡６４３ ３ ）＝ 槡 ５１２３ ３ ｍ２． （１０分）…………………………………………… ２０２５年陕西省初中学业水平考试 数学 方向卷（五） 选择题快速对答案 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｄ Ｃ Ｃ Ｂ Ｂ Ｃ Ｃ ９．ａｂ（ａ－５ｂ）　１０．０．４　１１．ｑ　１２．４ １３．３０°或６０°　【命题立意】本题考查旋转的性质、正方 形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的 性质，解答本题的关键是进行分类讨论． 【解析】在正方形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＡＤ＝ＣＤ，∠ＢＡＤ＝ ９０°，如解图 １，当∠ＢＡＰ＝α＝３０°时，∠ＰＡＤ＝６０°．由 旋转可知 ＡＰ＝ＡＢ，∴ＡＰ＝ＡＤ，∴△ＡＰＤ是等边三角 形，∴ＰＤ＝ＡＤ，∴ＰＤ＝ＣＤ，∴△ＰＣＤ是等腰三角形； 如解图２，连接 ＢＰ，当∠ＢＡＰ＝α＝６０°时，由旋转可知 ＡＰ＝ＡＢ，∴△ＡＢＰ是等边三角形，∴ＡＰ＝ＢＰ，∠ＡＢＰ＝ ６０°，∴ ∠ＰＡＤ ＝∠ＰＢＣ ＝ ３０°．∵ ＡＤ ＝ＢＣ， ∴△ＡＰＤ≌△ＢＰＣ（ＳＡＳ），∴ＰＤ＝ＰＣ，∴△ＰＣＤ是等 腰三角形．综上所述，α的度数为 ３０°或 ６０°．故答案 为３０°或６０°． 图１ 　　 图２ 第１３题解图 １４．【命题立意】本题考查算术平方根、特殊角的三角函 数值、零指数幂． 解：原式＝１－槡２． （５分）…………………………… １５．【命题立意】本题考查整式的混合运算———化简 求值． 解：原式＝－ｘ＋２ｙ， （４分）…………………………… 当ｘ＝－２，ｙ＝ １ ２ 时，原式＝－（－２）＋２× １ ２ ＝３． （５分） ……… …………………………………………… １６．【命题立意】本题考查解分式方程． 解：ｘ＝２．５是原分式方程的解． （５分）……………… １７．【命题立意】本题考查尺规作图———复杂作图、平行 四边形的性质、菱形的判定． 解：如解图，四边形ＡＥＣＦ即为所求． （５分）……… 第１７题解图 １８．【命题立意】本题考查全等三角形的性质与判定、等 腰直角三角形的性质． 证明略． １９．【命题立意】本题考查一元一次方程的实际应用． 解：设小峰赢了ｘ盘，则爸爸赢了（８－ｘ）盘， 依据题意可以列方程，得６ｘ＝２（８－ｘ）， （３分）…… 解得ｘ＝２． 当ｘ＝２时，８－ｘ＝６． 答：若两人得分相等时，小峰赢了 ２盘，爸爸赢了 ６ 盘． （５分）…………………………………………… ２０．【命题立意】本题考查随机事件、用列表法和画树状 图法求随机事件发生的概率． 解：（１）随机． （２分）………………………………… （２）列表略． （４分）………………………………… 由表知，共有１２种等可能出现的结果，其中转出的两 种颜色恰好可以配成紫色的结果有３种，                                                                      众相原创· 陕西数学 １３　　 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（四） 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（四） ２０２５年陕西省初中学业水平考试 数学 方向卷（四） （总分：１２０分　考试时间：１２０分钟） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第一部分（选择题 共 ２４分） 一、选择题（共８小题，每小题３分，计２４分．每小题只有一个选项是符合题意的） １．计算４×（－２）的结果是 （Ｂ ） Ａ．８ Ｂ．－８ Ｃ．２ Ｄ．－６ ２．新课标方向 中华传统优秀文化 小官同学在历史课上学习了青铜器与甲骨文，了解了汉字与甲骨 文的联系．下面四个选项分别是用甲骨文书写的虎、牛、龙、兔，其中是轴对称图形的是 （Ｂ ） ３．计算：６ｘ２ｙ３·（－ｘｙ）２＝ （Ａ ） Ａ．６ｘ４ｙ５ Ｂ．－６ｘ４ｙ３ Ｃ．６ｘ４ｙ６ Ｄ．－６ｘ４ｙ６ ４．如图，ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，ＤＥ∥ＡＢ交ＡＣ于点Ｅ，ＤＦ∥ＡＣ交ＡＢ于点Ｆ，则四边形ＡＥＤＦ为 （Ｃ ） Ａ．矩形 Ｂ．正方形 Ｃ．菱形 Ｄ．不是平行四边形 第４题图 　　　 图１ 　　　 图２ 　　　　　　第６题图 　　　 第７题图 ５．已知一个一次函数的图象与直线ｙ＝－２ｘ平行，且与函数ｙ＝ｘ＋３的图象交ｙ轴于同一点，那么这个一 次函数的解析式为 （Ｃ ） Ａ．ｙ＝２ｘ＋３ Ｂ．ｙ＝２ｘ－３ Ｃ．ｙ＝－２ｘ＋３ Ｄ．ｙ＝－２ｘ－３ ６．新课标方向 中华优秀传统文化 在源远流长的岁月中，小小的扇子除日用外，还孕育着中华文化艺 术的智慧，凝聚了古今工艺美术之精华．将如图１所示的扇子完全打开后可近似看成如图２所示的几 何图形，外侧两根竹条ＯＡ，ＯＢ的夹角∠ＡＯＢ＝１２０°，点 Ｏ为 ＡＢ ) 和 ＣＤ ) 所在圆的圆心，点 Ｃ，Ｄ分别在 ＯＡ，ＯＢ上，经测量，ＯＡ＝２７ｃｍ，ＡＣ＝１８ｃｍ，则贴纸部分（即图２中阴影部分）的面积为 （Ｃ ） Ａ．２４３πｃｍ２ Ｂ．２４０πｃｍ２ Ｃ．２１６πｃｍ２ Ｄ．１０８πｃｍ２ ７．如图，将矩形ＡＢＣＤ对折，使ＡＢ与ＣＤ边重合，得到折痕ＭＮ后展开，再将点Ａ沿过点Ｄ的直线折叠到 ＭＮ上，对应点为Ａ′，折痕为ＤＥ，ＡＢ＝１０，ＢＣ＝６，则Ａ′Ｎ的长度为 （Ａ ） Ａ．１０－３槡３ Ｂ．４ Ｃ．１０－２槡３ Ｄ．３ ８．已知二次函数ｙ＝（ｘ－１）２＋３，其中－２≤ｘ≤ｔ＋２，当且仅当ｘ＝－２时，函数取得最大值；当ｘ＝１时，函数 取得最小值，则ｔ的取值范围是 （Ａ ） Ａ．－１≤ｔ＜２ Ｂ．－１≤ｔ＜０ Ｃ．２≤ｔ＜４ Ｄ．ｔ≥－１ 第二部分（非选择题　共 ９６分） 二、填空题（共５小题，每小题３分，计１５分） ９．已知有理数ａ，ｂ，ｃ在数轴上的位置如图所示，化简：｜ａ－ｂ｜＋｜ｂ－ｃ｜－｜ｃ－ａ｜＝　　　　． 第９题图 　　　 第１１题图 　　　 第１３题图 １０．在平面直角坐标系ｘＯｙ中，点Ａ（－４，１）关于原点对称的点Ａ′的坐标为　　　　． １１．如图，正六边形ＡＢＣＤＥＦ的顶点Ｂ，Ｃ分别在正方形ＡＧＨＩ的边ＡＧ，ＧＨ上，若ＡＢ＝４，则ＡＧ的长度为 　　　　． １２．新课标方向 结论开放性 已知点Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）都在反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ （ｋ≠０）的图象上，当ｘ１ ＜ｘ２＜０时，０＜ｙ１＜ｙ２，则该反比例函数的表达式可以为　　　　． １３．如图，在ＡＢＤＣ中，连接ＢＣ，ＢＣ＝４，∠ＡＢＣ＝１２０°，Ｅ是边ＣＤ上一动点，连接ＢＥ，以ＢＥ为边向左侧 作等边△ＢＥＦ，连接ＦＣ，则ＦＣ的最小值是　　　　． 三、解答题（共１３小题，计８１分．解答题应写出过程） １４．（本题满分５分）解不等式：５ｘ－１＞３（ｘ＋１）． １５．（本题满分５分）计算：（－１）２０２５－（ １ ５ ） －１－（２＋槡５）（２－槡５）． 【命题立意】本题考查有理数的乘方、负整数指数幂、平方差公式． 解：原式＝－１－５－（４－５） （３分）……………………………………………………………………………………… ＝－１－５－４＋５ （４分）……………………………………………………………………………………… ＝－５． （５分）………………………………………………………………………………………… １６．（本题满分５分）２０２５例析与指导方向 分式化简求值先化简，再求值：（ １ ａ－２ －１ ａ＋２ ）÷ ４ａ２－８ａ ａ２－４ａ＋４ ，请从 －２，０，１，２中选取合适的ａ值代入． 【命题立意】本题考查分式的混合运算及求值． 解：原式＝ ａ＋２－ａ＋２ （ａ＋２）（ａ－２） ÷４ａ（ａ －２） （ａ－２）２ （２分）………………………………………………………………………… ＝ ４ （ａ＋２）（ａ－２） · （ａ－２）２ ４ａ（ａ－２） ＝ １ ａ（ａ＋２） ， （３分）………………………………………………………………………………………… ∵（ａ＋２）（ａ－２）≠０，且４ａ（ａ－２）≠０，∴ａ≠±２且ａ≠０，∴ａ只能取１． １４　 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（四） 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（四） １７．（本题满分５分）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝６，ＡＣ＝４，点Ｄ为ＢＣ边上一点，请用尺规过点Ａ作一条直线 ＡＤ，使Ｓ△ＡＢＤ∶Ｓ△ＡＤＣ＝３∶２．（保留作图痕迹，不写作法） 第１７题图 【命题立意】本题考查尺规作图———复杂作图、角平分线性质、三角形的面积． 解：如解图，直线ＡＤ即为所求． （５分）…………………………………………………………………… １８．（本题满分５分）如图，已知点Ｂ，Ｆ，Ｃ，Ｅ在直线ｌ上，点Ａ，Ｄ在ｌ异侧，连接ＡＥ，ＢＤ且ＡＣ∥ＤＦ，ＡＢ＝ ＤＥ，∠ＢＡＣ＝∠ＥＤＦ．求证：ＡＥ＝ＢＤ． 第１８题图 【命题立意】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形外角性质、平行线性质． 证明：∵ＡＣ∥ＤＦ，∴∠ＡＣＢ＝∠ＤＦＥ． （１分）…………………………………………… 又∵∠ＢＡＣ＝∠ＥＤＦ，∴∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＦ． （２分）……………………………………… 在△ＡＢＥ和△ＤＥＢ中， ＡＢ＝ＤＥ， ∠ＡＢＥ＝∠ＤＥＢ， ＢＥ＝ＥＢ， { ∴△ＡＢＥ≌△ＤＥＢ（ＳＡＳ）， （４分）……… ∴ＡＥ＝ＢＤ． （５分）………………………………………………………………………………………… １９．（本题满分５分）一个不透明的箱子里装有３个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他 完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复 试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于０．７５左右． （１）请你估计箱子里白色小球的个数是　　　　； （２）现从该箱子里摸出１个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出１个小球，求两次摸出的小 球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）． 【命题立意】本题考查利用频率估计概率、列表法与画树状图法求概率． 解：（１）∵通过多次摸球试验后发现，摸到红色小球的频率稳定在０．７５左右，∴估计摸到红色小球的概率为 ０．７５．设白色小球有ｘ个，根据题意，得 ３ ３＋ｘ ＝０．７５，解得ｘ＝１，经检验，ｘ＝１是分式方程的解，且符合题意，∴估 计箱子里白色小球的个数为１．故答案为１． （２分）……………………………………………………………… （２）画树状图如解图： ２０．（本题满分５分）在某物流公司的一次配送任务中，两辆卡车分别从甲地和乙地出发，相向而行．已知 两地相距４３０千米，第一辆卡车以６０千米／小时的速度提前１小时从甲地出发，第二辆卡车以８０千 米／小时的速度从乙地出发，问第一辆车出发多少小时后两车第一次相距９０千米？ 【命题立意】本题考查一次方程的实际应用，掌握“相遇问题：ｖ甲×相遇时甲的行驶时间＋ｖ乙×相遇时乙的行驶 时间＝两地距离”是解题的关键． 解：设第一辆车出发ｔ小时后两车第一次相距９０千米． 根据题意得６０ｔ＋８０（ｔ－１）＋９０＝４３０， （３分）……………………………………………………………………… 解得ｔ＝３， 答：第一辆车出发３小时后两车第一次相距９０千米． （５分）……………………………………………… ２１．（本题满分６分）新课标方向 科技发展情境 ２０２４年１０月３０日４时２７分，搭载神舟十九号载人 飞船的长征二号Ｆ遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，蔡旭哲、宋令东、王浩泽３名航天 员顺利进入太空．如图，这是某同学绘制的模拟火箭发射装置示意图，一枚运载火箭从地面 Ｌ处发 射，当火箭到达Ａ点时，从位于地面Ｒ处的雷达站测得ＡＲ的距离是６ｋｍ，仰角为４０°，２．５ｓ后火箭 到达Ｂ点，此时测得仰角为４８°．问：这枚火箭从Ａ处到Ｂ处的平均速度是多少？（结果精确到０．１， 参考数据：ｓｉｎ４０°≈０．６４，ｃｏｓ４０°≈０．７７，ｔａｎ４０°≈０．８４，ｓｉｎ４８°≈０．７４，ｃｏｓ４８°≈０．６７，ｔａｎ４８°≈１．１１） 第２１题图 【命题立意】本题考查解直角三角形的应用———仰角俯角问题． 解：在Ｒｔ△ＡＲＬ中，ＲＬ＝ＡＲ·ｃｏｓ４０°≈６×０．７７＝４．６２（ｋｍ）， ＡＬ＝ＡＲ·ｓｉｎ４０°≈６×０．６４＝３．８４（ｋｍ）． （２分）………………………………… 在Ｒｔ△ＢＲＬ中，ＢＬ＝ＲＬ·ｔａｎ４８°≈４．６２×１．１１＝５．１２８２≈５．１３（ｋｍ）， ∴ＡＢ＝ＢＬ－ＡＬ＝５．１３－３．８４≈１．２９（ｋｍ）， （４分）……………………………… ∴速度为１．２９÷２．５＝０．５１６≈０．５（ｋｍ／ｓ）． 答：这枚火箭从Ａ处到Ｂ处的平均速度为０．５ｋｍ／ｓ． （６分）……………………………………………… ２２．（本题满分７分）新课标方向 跨物理学科 物理实验技能考核前，小亮对“探究凸透镜成像规律”的 实验进行了反复练习，在练习的过程中，他惊喜地发现“蜡烛在燃烧过程中，其剩余高度ｙ（ｃｍ）与燃 烧时间ｔ（ｍｉｎ）之间呈一次函数关系”，已知蜡烛燃烧５ｍｉｎ后，蜡烛剩余高度１９ｃｍ；蜡烛燃烧１５ｍｉｎ 后，蜡烛剩余高度１７ｃｍ． （１）求ｙ与ｔ的函数表达式； （２）小亮晚上７时１５分点亮一支新蜡烛，但有一段时间风把蜡烛吹灭了，后又点亮蜡烛，至晚上８时 １５分蜡烛燃烧了一半，问其间蜡烛熄灭了几分钟？ 【命题立意】本题主要考查一次函数的实际应用． 解：（１）设ｙ与ｔ的函数表达式为ｙ＝ｋｔ＋ｂ， ∵蜡烛燃烧５ｍｉｎ后，蜡烛剩余高度１９ｃｍ；蜡烛燃烧１５ｍｉｎ后，蜡烛剩余高度１７ｃｍ， ∴ ５ｋ＋ｂ＝１９， １５ｋ＋ｂ＝１７，{ 解得 ｋ ＝－０．２， ｂ＝２０，{ ∴ｙ与ｔ的函数表达式为ｙ＝－０．２ｔ＋２０． （３分）………………………………… （２）将ｔ＝０代入ｙ＝－０．２ｔ＋２０，得ｙ＝２０，∴这根蜡烛的长度为２０ｃｍ， 将ｙ＝ ２０ ２ ＝１０代入ｙ＝－０．２ｔ＋２０，得ｔ＝５０． （５分）………………………………………………………………… ∵７：１５到８：１５有６０ｍｉｎ，６０－５０＝１０（ｍｉｎ），∴其间蜡烛熄灭了１０ｍｉｎ． （７分）…………………………… １５　　 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（四） 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（四） ２３．（本题满分７分）２０２５例析与指导方向 开放性设问为全面落实立德树人根本任务，某中学开展了 “点滴成就文明，细节彰显风采”礼仪知识竞答活动．现从七、八年级学生中各随机抽取２０名学生的 竞答成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于９０分（成绩得分用ｘ表示，共 分为五组：Ａ：９８＜ｘ≤１００；Ｂ：９６＜ｘ≤９８；Ｃ：９４＜ｘ≤９６；Ｄ：９２＜ｘ≤９４；Ｅ：９０＜ｘ≤９２），下面给出了部分 信息： 七年级２０名学生竞答成绩为： ９２，９４，９４，９４，９５，９５，９７，９７，９７，９８，９９，９９，９９，１００，１００，１００，１００，１００，１００，１００． 八年级２０名学生的竞答成绩在Ｂ等级的数据是：９７，９７，９８，９８，９８，９８． 　　七、八年级抽取的学生竞答成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 七年级 ９７．５ ｂ ９８．５ 八年级 ９７．５ ９９ ｃ 　　　 第２３题图 根据以上信息，解答下列问题： （１）上述表中ａ＝　　　　，ｂ＝　　　　，ｃ＝　　　　； （２）根据以上数据，你认为七、八年级中哪个年级学生掌握礼仪知识较好？请说明理由（写出一条理 由即可）； （３）七年级有９００名学生、八年级有８００名学生参加了此次礼仪知识竞答活动，估计七、八年级学生 参加此次竞答活动成绩高于９６分的学生人数共有多少人？ 【命题立意】本题考查平均数、中位数和众数、扇形统计图、用样本估计总体，掌握题意读懂统计图是解题的 关键． 解：（１）∵ａ％＝ ６ ２０ ×１００％＝３０％，∴ａ＝３０． 七年级２０名学生的竞答成绩出现次数最多的是１００分，因此众数是１００，即ｂ＝１００． 八年级Ａ等级的共有２０×４０％＝８（人）， 将八年级２０名学生的竟答成绩从大到小排列处在中间位置的两个数的平均数为 ９７＋９８ ２ ＝９７．５（分）， 因此中位数是９７．５分，即ｃ＝９７．５． 故答案为３０，１００，９７．５． （３分）…………………………………………………………………………………… （２）七年级学生掌握礼仪知识较好．理由如下：因为七年级、八年级学生的竞答成绩的平均数相等，但是七年 级的中位数和众数比八年级的中位数和众数都高，因此我认为七年级学生掌握礼仪知识较好（答案不唯一， 合理即可）． （５分）………………………………………………………………………………………………… （３）９００× １４ ２０ ＋８００×（４０％＋３０％）＝１１９０（人）， 答：估计七、八年级学生参加此次竞答活动成绩高于９６分的学生人数共有１１９０人． （７分）………………… ２４．（本题满分８分）如图，在锐角△ＡＢＣ中，以ＡＣ边为直径的⊙Ｏ交ＢＣ于点Ｄ（ＢＤ＞ＣＤ），作ＢＨ⊥ＡＣ， 依次交⊙Ｏ于点Ｅ，Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，连接ＣＥ，ＤＥ． （１）求证：∠ＧＢＣ＝∠ＤＥＣ； （２）若∠ＡＢＣ＝４５°，ＡＣ＝５，ＢＣ＝７，求ＤＣ的长． 第２４题图 １６　 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（四） 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（四） ２５．（本题满分８分）新课标方向 现实生活情境 用脚去丈量世界，用眼睛去记录风景．“五一”黄金周 期间，露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图１） 支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． （１）如图２，该款帐篷搭建时张开的宽度ＡＢ＝３ｍ，顶部高度ｈ＝１．８ｍ．请在图２中建立合适的平面直 角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线的函数表达式； （２）现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为２．５ｍ，且一排能容纳５张高为１ｍ，宽为０．６ｍ的 椅子．设其抛物线型支架的形状值为ａ（ａ＜０），请求出ａ的最小值． 图１ 　　　 图２ 第２５题图 【命题立意】本题考查二次函数的应用，正确掌握相关性质是解题的关键． 解：（１）如解图１，以线段ＡＢ的中点为原点建立平面直角坐标系． （１分）……………………………………… ∵帐篷搭建时张开的宽度ＡＢ＝３ｍ，顶部高度ｈ＝１．８ｍ， ∴Ａ（－ ３ ２ ，０），Ｂ（ ３ ２ ，０），∴设抛物线函数关系式为ｙ＝ａ１（ｘ＋ ３ ２ ）（ｘ－ ３ ２ ）． （２分）……………………………… ∵抛物线经过点（０，１．８），∴１．８＝ａ１（０＋ ３ ２ ）（０－ ３ ２ ），解得ａ１＝－ ４ ５ ， （３分）…………………………………… ∴帐篷支架对应的抛物线的函数表达式为ｙ＝－ ４ ５ （ｘ＋ ３ ２ ）（ｘ－ ３ ２ ）． （４分）……………………………………… （２）如解图２，依题意，设抛物线的函数表达式为ｙ＝ａｘ２＋２．５， （５分）…………………………………………… ∵帐篷一排能容纳５张高为１ｍ，宽为０．６ｍ的椅子，且ａ要最小， ∴抛物线刚好经过点Ｄ点，∴ｙＤ＝１，ｘＤ＝ ５×０．６ ２ ＝３ ２ ． ∵抛物线ｙ＝ａｘ２＋２．５经过点Ｄ（ ３ ２ ，１），∴１＝ａ×（ ３ ２ ）２＋２．５，解得ａ＝－ ２ ３ ， （７分）……………………………… ∴ａ的最小值为－ ２ ３ ． （８分）………………………………………………………………………………… ２６．（本题满分１０分）问题提出： （１）如图１，已知△ＡＢＣ是面积为４槡３的等边三角形，ＡＤ是∠ＢＡＣ的平分线，则ＡＢ的长为　　　　； 问题探究： （２）如图２，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ，ＡＢ＝４，点Ｄ为ＡＢ的中点，点Ｅ，Ｆ分别在边ＡＣ，ＢＣ上，且 ∠ＥＤＦ＝９０°．证明：ＤＥ＝ＤＦ； 问题解决： （３）如图３，李叔叔准备在一块空地上修建一个矩形花园ＡＢＣＤ，然后将其分割种植三种不同的花卉． 按照他的分割方案，点Ｐ，Ｑ分别在ＡＤ，ＢＣ上，连接ＰＱ，ＰＢ，ＰＣ，∠ＢＰＣ＝６０°，Ｅ，Ｆ分别在ＰＢ，ＰＣ上， 连接ＱＥ，ＱＦ，ＱＥ＝ＱＦ，∠ＥＱＦ＝１２０°，其中四边形 ＰＥＱＦ种植玫瑰，△ＡＢＰ和△ＰＣＤ种植郁金香，剩 下的区域种植康乃馨，根据实际需要，要求种植玫瑰的四边形ＰＥＱＦ的面积为６４槡３ｍ ２，为了节约成 本，矩形花园ＡＢＣＤ的面积是否存在最小值？若存在，请求出矩形ＡＢＣＤ的最小面积；若不存在，请说 明理由． 图１ 　　　 图２ 　　　 图３ 第２６题图 【命题立意】本题考查四边形的综合应用，涉及矩形的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、三角形全 等的判定及性质等，掌握角平分线定理是解题的关键． （１）解：∵△ＡＢＣ是等边三角形，ＡＤ是∠ＢＡＣ的平分线，∴ＡＤ⊥ＢＣ，ＢＤ＝ＣＤ，∠ＢＡＤ＝３０°，∴ＡＤ＝槡 ３ ２ ＡＢ， ∴Ｓ＝ １ ２ ×ＡＢ×槡 ３ ２ ＡＢ＝４槡３，解得ＡＢ＝４（负值已舍去），故答案为４． （３分）…………………………………… （２）证明：如解图１，连接ＣＤ． ∵△ＡＢＣ是等腰直角三角形，Ｄ是ＡＢ的中点，∴ＣＤ⊥ＡＢ，ＣＤ＝ＡＤ，ＣＤ平分∠ＡＣＢ． ∵∠ＥＤＦ＝９０°，∴∠ＡＤＥ＋∠ＢＤＦ＝∠ＢＤＦ＋∠ＣＤＦ＝９０°，∴∠ＡＤＥ＝∠ＣＤＦ． ∵∠Ａ＝∠ＦＣＤ＝４５°，∴△ＡＤＥ≌△ＣＤＦ（ＡＳＡ），∴ＤＥ＝ＤＦ． （６分）…………………………………………… （３）解：存在，如解图２，过点Ｑ分别作ＱＧ⊥ＢＰ于点Ｇ，ＱＨ⊥ＰＣ于点Ｈ． ∵∠ＢＰＣ＝６０°，∴∠ＧＱＨ＝１２０°．∵∠ＥＱＦ＝１２０°，∴∠ＥＱＧ＝∠ＦＱＨ． ∵ＱＥ＝ＱＦ，∴△ＥＱＧ≌△ＦＱＨ（ＡＡＳ），∴ＱＧ＝ＱＨ． ∵ＱＧ⊥ＢＰ，ＱＨ⊥ＰＣ，∴ＰＱ是∠ＢＰＣ的平分线， ∴∠ＢＰＱ＝∠ＣＰＱ＝３０°，∴∠ＰＱＧ＝∠ＰＱＨ＝６０°． ∵Ｓ四边形ＱＧＰＨ＝Ｓ四边形ＱＥＰＦ＝６４槡３， ∴ １ ２ ＧＱ·ＰＧ＝３２槡３，即 １ ２ ＧＰ·槡 ３ ３ ＧＰ＝３２槡３，解得ＧＰ＝８槡３（负值已舍去），∴ＧＱ＝８，ＰＱ＝１６． 将△ＱＣＨ绕点Ｑ逆时针旋转１２０°得到△ＱＣ′Ｇ，则∠ＢＱＣ′＝６０°． Ｓ矩形ＡＢＣＤ＝２Ｓ△ＢＣＰ＝２（Ｓ△四边形ＧＱＨＰ＋Ｓ△ＢＱＣ′）＝２（６４槡３＋Ｓ△ＢＱＣ′）， 设△ＢＣ′Ｑ的外接圆半径为ｒ， ∵∠ＢＱＣ′＝６０°，ＧＱ＝８，∴外接圆的圆心Ｏ在ＧＱ上时，ＢＣ′的长最小， ∴ｒ＝２（８－ｒ），解得ｒ＝ １６ ３ ，∴ＢＣ′＝ １６槡３ ３ ， ∴Ｓ△ＢＱＣ′的最小值＝ １ ２ ×８× １６槡３ ３ ＝６４槡３ ３ ， ∴Ｓ矩形ＡＢＣＤ的最小值为２（６４槡３＋ ６４槡３ ３ ）＝ ５１２槡３ ３ ｍ２． （１０分）………………………………………………