2025年陕西省初中学业水平考试数学方向卷(六)-【众相原创】2025年陕西中考数学方向卷

２１　　 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（六） 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（六） ２０２５年陕西省初中学业水平考试 数学 方向卷（六） （总分：１２０分　考试时间：１２０分钟） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第一部分（选择题 共 ２４分） 一、选择题（共８小题，每小题３分，计２４分．每小题只有一个选项是符合题意的） １．温度由－３℃上升８℃后是 （Ａ ） Ａ．５℃ Ｂ．－５℃ Ｃ．１１℃ Ｄ．－１１℃ ２．已知∠１＝５０°，则∠１的补角的度数是 （Ｂ ） Ａ．１４０° Ｂ．１３０° Ｃ．４０° Ｄ．６０° ３．把一个立体图形展开成平面图形，其形状如图所示，则这个立体图形是 （Ｂ ） 第３题图 　　 ４．如图，ＡＢ∥ＣＤ，ＢＣ为∠ＡＣＤ的平分线，∠１＝１５５°，则∠２为 （Ｂ ） Ａ．１５５° Ｂ．１３０° Ｃ．１５０° Ｄ．１３５° 第４题图 　　　 第５题图 　　　 第６题图 　　　 第７题图 ５．一次函数ｙ１＝ａｘ＋ｂ与ｙ２＝ｍｘ＋ｎ的图象如图所示，下列结论错误的是 （Ｂ ） Ａ．ａｂ＞ｍｎ Ｂ．函数ｙ＝ｂｘ＋ｎ的图象不经过第二象限 Ｃ．关于ｘ的不等式（ｍ－ａ）ｘ＜ｂ－ｎ的解集是ｘ＞２ Ｄ．关于ｘ，ｙ的方程组 ｙ－ｍｘ＝ｎ， ｙ－ａｘ＝ｂ{ 的解为 ｘ＝２，ｙ＝３{ ６．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝６０°，∠Ｃ＝４５°，ＡＤ是边ＢＣ上的高线，∠ＡＢＣ的平分线 ＢＥ分别交 ＡＤ，ＡＣ 于点Ｆ，Ｅ，则图中等腰三角形共有 （Ｂ ） Ａ．２个 Ｂ．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个 ７．如图，已知 ＣＤ为⊙Ｏ的直径，ＣＤ⊥ＡＢ于点 Ｆ，ＡＥ⊥ＢＣ于点 Ｅ．若 ＡＥ过圆心 Ｏ，ＯＡ＝１，则四边形 ＢＥＯＦ的面积为 （Ｂ ） Ａ．槡 ３ ８ Ｂ．槡 ３ ４ Ｃ．槡 ３ ２ Ｄ．槡３ ８．已知一次函数ｙ１＝ｋｘ＋ｍ（ｋ≠０）和二次函数ｙ２＝ａｘ ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）部分自变量和对应的函数值如下表： 当ｙ２＞ｙ１时，自变量ｘ的取值范围是 （Ｃ ） ｘ … －１ ０ ２ ４ ５ … ｙ１ … ０ １ ３ ５ ６ … ｙ２ … ０ －１ ０ ５ ９ … Ａ．－１＜ｘ＜２ Ｂ．４＜ｘ＜５ Ｃ．ｘ＜－１或ｘ＞４ Ｄ．ｘ＜－１或ｘ＞５ 第二部分（非选择题　共 ９６分） 二、填空题（共５小题，每小题３分，计１５分） ９．比较大小：２槡３　　　　３槡２．（填“＞”“＜”或“＝”） １０．幻方最早源于我国，古人称之为纵横图，如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字 之和均相等，则图中ａ的值为　　　　． －１ －６ －ａ ０ ２ａ ４ａ －５ －２ａ －３ 第１０题图 １１．如图，剪纸社团的同学们要在一张正五边形的彩纸上剪下一个等边三角形，且等边三角形的边长与 正五边形的边长相等，则∠α的度数为　　　　． 第１１题图 　　　　 第１３题图 １２．已知反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ ，当自变量ｘ满足－４≤ｘ≤－ １ ２ 时，对应的函数值ｘ满足－１６≤ｙ≤－２，则ｋ的值 为　　　　． １３．如图，菱形ＡＢＣＤ的边长为４，∠ＢＡＤ＝６０°，对角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ，点Ｐ为线段ＡＯ上的一个动点， 连接ＰＢ，将线段ＰＢ绕点Ｂ顺时针旋转６０°至ＱＢ，连接ＯＱ，则线段ＯＱ长的最小值为　　　　． 三、解答题（共１３小题，计８１分．解答题应写出过程） １４．（本题满分５分）计算：槡１６－３×（－５）＋｜－３ ２｜． １５．（本题满分５分）２０２５例析与指导方向 数轴表示解集解不等式组： ４ｘ≥３ｘ＋３， ２ｘ－１ ３ ＜ｘ－１，{ 并在数轴上表示它 的解集． 第１５题图 【命题立意】本题考查解一元一次不等式组，熟知“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的 原则是解答此题的关键． 解： ４ｘ≥３ｘ＋３，① ２ｘ－１ ３ ＜ｘ－１，②{ 解不等式①，得ｘ≥３， （２分）……………………………………………………………………………………… 解不等式②，得ｘ＞２， （３分）………………………………………………………………………………………… 故不等式组的解集为ｘ≥３， （４分）………………………………………………………………………………… ２２　 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（六） 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（六） １６．（本题满分５分）化简：（１＋ １ ａ－１ ）÷ ａ２＋ａ ａ２－２ａ＋１ ． 【命题立意】本题考查分式的混合运算． 解：原式＝ ａ－１＋１ ａ－１ · （ａ－１）２ ａ（ａ＋１） （３分）………………………………………………………………………………… ＝ａ ａ－１ · （ａ－１）２ ａ（ａ＋１） （４分）…………………………………………………………………………………… ＝ａ －１ ａ＋１ ． （５分）……………………………………………………………………………………… １７．（本题满分５分）如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＤＥ⊥ＢＣ．请用尺规作图法，在边ＢＣ上求作一点Ｆ，使 点Ｆ到直线ＡＢ的距离等于线段ＤＥ的长．（保留作图痕迹，不写作法） 第１７题图 【命题立意】本题考查尺规作图———基本作图、角平分线的性质． 解：如解图，点Ｆ即为所求． （５分）………………………………………………………………………… １８．（本题满分５分）如图，点Ｍ是线段ＡＢ中点，ＥＤ是过点Ｍ的一条线段，ＡＥ⊥ＥＤ于点Ｅ，ＢＦ⊥ＥＤ于 点Ｆ，ＡＣ＝ＢＤ．求证：ＣＤ＝ＥＦ． 　　第１８题图 【命题立意】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质． 证明：∵ＡＥ⊥ＥＤ，ＢＦ⊥ＥＤ， ∴ＡＥ∥ＢＦ，∠ＡＥＭ＝∠ＢＦＭ＝∠ＢＦＤ＝９０°， ∴∠ＥＡＭ＝∠ＦＢＭ． 又∵Ｍ是线段ＡＢ中点，∴ＡＭ＝ＢＭ． （２分）…………………………………………… 在△ＡＥＭ和△ＢＦＭ中， ∠ＡＥＭ＝∠ＢＦＭ， ∠ＥＡＭ＝∠ＦＢＭ， ＡＭ＝ＢＭ，{ ∴△ＡＥＭ≌△ＢＦＭ（ＡＡＳ），∴ＡＥ＝ＢＦ． （３分）…………………………………………………………………… 在Ｒｔ△ＡＥＣ和Ｒｔ△ＢＦＤ中， ＡＣ＝ＢＤ， ＡＥ＝ＢＦ，{ ∴Ｒｔ△ＡＥＣ≌Ｒｔ△ＢＦＤ（ＨＬ），∴ＣＥ＝ＤＦ， （４分）……………………………………………………………… ∴ＣＥ－ＣＦ＝ＤＦ－ＣＦ，∴ＣＤ＝ＥＦ． （５分）…………………………………………………………………… １９．（本题满分５分）新课标方向 跨化学学科 酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛 应用于酸碱滴定过程中，通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课 上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是Ａ：盐 酸（呈酸性），Ｂ：硝酸钾溶液（呈中性），Ｃ：氢氧化钠溶液（呈碱性），Ｄ：氢氧化钾溶液（呈碱性）． （１）小明将酚酞试液随机滴入其中１瓶溶液里，结果变红的概率是　　　　； （２）小明向随机选择的两瓶溶液中同时滴入酚酞溶液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求两 瓶溶液恰好都变红色的概率（可用Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ表示）． 【命题立意】本题考查用列表或画树状图的方法求概率． 解：（１）∵酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色， ∴小明将酚酞试液随机滴入其中１瓶溶液里，盐酸（呈酸性）和 硝酸钾溶液（呈中性）不变色，氢氧化钠溶液 （呈碱性）和氢氧化钾溶液（呈碱性）变红， ∴结果变红的概率为 ２ ４ ＝１ ２ ．故答案为 １ ２ ． （２分）………………………………………………………………… （２）列表如下： ２０．（本题满分５分）某校运动会后，为了激励更多的学生热爱体育运动，该校购买了若干副乒乓球拍和 羽毛球拍，对表现优异的学生进行奖励．若每副羽毛球拍比每副乒乓球拍贵３０元，且购买３副乒乓 球拍和２副羽毛球拍共需４３５元．求１副乒乓球拍和１副羽毛球拍各是多少元？ 【命题立意】本题考查一元一次方程的应用． 解：设１副乒乓球拍的价格是ｘ元，则１副羽毛球拍的价格是（ｘ＋３０）元， 根据题意得３ｘ＋２（ｘ＋３０）＝４３５， （３分）…………………………………………………………………………… 解得ｘ＝７５，∴ｘ＋３０＝７５＋３０＝１０５． 答：１副乒乓球拍的价格是７５元，１副羽毛球拍的价格是１０５元． （５分）…………………………………… ２１．（本题满分６分）新课标方向 现实生活情境 如图１是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成 如图２所示的示意图．已知点Ｂ，Ａ，Ｄ，Ｅ均在同一直线上，ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ，测得∠Ｂ＝５５°，ＢＣ＝１．８ｍ， ＤＥ＝２ｍ．求雕塑的高（即点 Ｅ到直线 ＢＣ的距离）．（结果保留小数点后一位，参考数据：ｓｉｎ５５°≈ ０．８２，ｃｏｓ５５°≈０．５７，ｔａｎ５５°≈１．４３） 图１ 　　　 图２ 　　　　　第２１题图 ２３　　 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（六） 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（六） ２２．（本题满分７分）新课标方向 现实生活情境 蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听 蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》 精神，需要购买Ａ，Ｂ两种型号的帐篷．已知购买Ａ种型号帐篷２顶和Ｂ种型号帐篷４顶，共需５２００ 元；购买Ａ种型号帐篷３顶和Ｂ种型号帐篷１顶，共需２８００元． （１）求Ａ种型号帐篷和Ｂ种型号帐篷的单价各是多少元？ （２）若该景区需要购买Ａ，Ｂ两种型号的帐篷共２０顶（两种型号的帐篷均需购买），其中Ｂ种型号帐 篷数量不少于１６顶，为使购买帐篷的总费用最低，应购买Ａ种型号帐篷和Ｂ种型号帐篷各多少顶？ 购买帐篷的总费用最低为多少元？ 【命题立意】本题考查二元一次方程应用、一次函数的应用———费用最少问题． 解：（１）设每顶Ａ种型号帐篷ｍ元，每顶Ｂ种型号帐篷ｎ元， 根据题意得 ２ｍ＋４ｎ＝５２００， ３ｍ＋ｎ＝２８００，{ 解得 ｍ＝６００，ｎ＝１０００，{ ∴每顶Ａ种型号帐篷６００元，每顶Ｂ种型号帐篷１０００元． （３分）……………………………………………… （２）设购买Ａ种型号帐篷ｘ顶，总费用为ｗ元，则购买Ｂ种型号帐篷（２０－ｘ）顶， ∵Ｂ种型号帐篷数量不少于１６顶， ∴２０－ｘ≥１６，解得ｘ≤４． （４分）…………………………………………………………………………………… 根据题意得ｗ＝６００ｘ＋１０００（２０－ｘ）＝－４００ｘ＋２００００， ∵－４００＜０，∴ｗ随ｘ的增大而减小， ∴当ｘ＝４时，ｗ取最小值，最小值为－４００×４＋２００００＝１８４００， ∴２０－ｘ＝２０－４＝１６． （６分）………………………………………………………………………………………… 答：购买Ａ种型号帐篷４顶，Ｂ种型号帐篷１６顶时，总费用最低，总费用最低为１８４００元． （７分）………… ２３．（本题满分７分）２０２５例析与指导方向 折线统计图从文本生成到语音识别，从绘画到编程，ＡＩ的应 用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革．为了解甲、乙两款ＡＩ软件的使用效果， 数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取２０名，记录使用者对两款软件的相关评价，并 进行整理、描述和分析如下： 第２３题图 信息处理速度和信息识别准确度得分统计表 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 ７．３ ７ ｂ ５．６ ｓ２甲 乙 ７．６５ ａ ７ ４．９ ｓ２乙 根据以上信息，解答下列问题： （１）表格中ａ＝　　　　，ｂ＝　　　　，ｓ２甲　　　　ｓ ２ 乙（填“＞”“＝”或“＜”）； （２）若某市共有２０．４万人使用甲款ＡＩ软件，请你估计对本款软件信息识别准确度打分超过７分的 人数； （３）综合表中的统计量，你认为哪款ＡＩ软件使用效果更好？请说明理由．（列出２条理由即可） 【命题立意】本题考查平均数、中位数、众数、方差以及用样本估计总体． 解：（１）∵乙软件信息处理速度得分由小到大排序后最中间的两个数为７，８，∴ａ＝ ７＋８ ２ ＝７．５． ∵甲软件信息处理速度得分中９出现的次数最多，∴ｂ＝９． 由信息识别准确度得分的折线统计图可得甲得分的波动小，∴ｓ２甲＜ｓ ２ 乙． 故答案为７．５，９，＜． （３分）………………………………………………………………………………………… （２）２０．４× ５ ２０ ＝５．１（万人）， ∴估计对本款软件信息识别准确度打分超过７分的人数为５．１万人． （５分）………………………………… （３）乙款ＡＩ软件使用效果更好．理由如下： ∵乙款ＡＩ软件信息处理速度得分的平均数和中位数均高于甲款， ∴乙款ＡＩ软件使用效果更好．（答案不唯一） （７分）……………………………………………………… ２４．（本题满分８分）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝ＢＣ，以ＢＣ为直径作⊙Ｏ，交ＡＣ于点Ｍ，作ＣＤ⊥ＡＣ交ＡＢ延 长线于点Ｄ，过点Ｂ作⊙Ｏ的切线ＢＥ，交ＣＤ于点Ｅ． （１）证明：ＢＥ＝ＤＥ； （２）若⊙Ｏ的半径为５，ＡＭ＝４，求ＣＤ的长． 第２４题图 ２４　 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（六） 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（六） ２５．（本题满分８分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线Ｌ的顶点Ｅ的坐标为（－２，８），且过点Ｂ（０，６）， 与ｘ轴交于Ｍ，Ｎ两点． （１）求抛物线Ｌ的表达式； （２）设抛物线Ｌ关于ｙ轴对称后的抛物线记为Ｌ′，其顶点记为点Ｄ，连接ＭＤ，在抛物线Ｌ′对称轴上是 否存在点Ｑ，使得以点Ｍ，Ｄ，Ｑ为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点Ｑ的坐标；若不存在， 请说明理由． 第２５题图 【命题立意】本题考查二次函数综合运用，涉及到函数的平移、等腰三角形的性质等，分类 讨论是解题的关键． 解：（１）由题意设抛物线Ｌ的表达式为ｙ＝ａ（ｘ＋２）２＋８（ａ≠０）， （２分）………………… 将点Ｂ的坐标代入上式得６＝ａ（０＋２）２＋８，解得ａ＝－ １ ２ ， ∴抛物线Ｌ的表达式为ｙ＝－ １ ２ （ｘ＋２）２＋８． （４分）……………………………………… （２）存在， 由（１）中抛物线Ｌ的表达式得，点Ｍ（－６，０）． 由题意得，抛物线Ｌ′的对称轴为直线ｘ＝２，顶点Ｄ的坐标为（２，８），设点Ｑ的坐标为（２，ｍ）． 由Ｄ，Ｑ，Ｍ的坐标得，ＤＱ２＝（８－ｍ）２，ＱＭ２＝６４＋ｍ２，ＤＭ２＝１２８． （５分）………………………………………… 当ＤＱ＝ＱＭ时，则（８－ｍ）２＝６４＋ｍ２，解得ｍ＝０，则点Ｑ的坐标为（２，０）； 当ＤＱ＝ＤＭ时，则（８－ｍ）２＝１２８，解得ｍ＝８±８槡２，则点Ｑ的坐标为（２，８＋８槡２）或（２，８－８槡２）； 当ＱＭ＝ＤＭ时，则６４＋ｍ２＝１２８，解得ｍ＝８（舍去）或ｍ＝－８，则点Ｑ的坐标为（２，－８）． 综上所述，点Ｑ的坐标为（２，０）或（２，８＋８槡２）或（２，８－８槡２）或（２，－８）． （８分）…………………………… ２６．（本题满分１０分）【问题提出】 （１）如图１，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝３，ＢＣ＝６，∠Ｂ＝９０°，ＢＣ上有一点Ｐ，ＡＰ平分△ＡＢＣ的面积，求ＡＰ的长； 【问题探究】 （２）如图２，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＢＣ＝５，点Ｄ是ＡＢ上一点，ＡＤ＝２，ＢＣ上有一点Ｐ，ＤＰ平分△ＡＢＣ的面 积，求ＢＰ的长； 【问题解决】 （３）如图３，某公园计划建一个形状为四边形ＡＢＣＤ的游乐场，其中ＡＢ＝ＡＤ＝８０米，∠Ａ＝∠Ｄ＝１２０°， ∠Ｂ＝９０°，Ｅ为ＡＢ中点，Ｆ为ＢＣ上一点，△ＥＢＦ与△ＥＭＦ为游乐场纪念品购物区，关于街区ＥＦ对 称．为方便工作人员管理购物区与整个游乐场，沿ＢＭ方向修一条快速通道交ＣＤ于点Ｐ，问是否存 在点Ｐ使ＢＰ恰好平分四边形ＡＢＣＤ的面积？若存在，请求出线段ＣＰ和ＢＭ的长；若不存在，请说明 理由． 图１ 　　　 图２ 　　　 图３ 第２６题图 【命题立意】本题主要考查了几何综合题，熟练掌握勾股定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知 识点是解题的关键． 解：（１）∵ＡＰ平分△ＡＢＣ的面积， ∴Ｓ△ＡＢＰ＝Ｓ△ＡＣＰ，∴ＢＰ＝ＣＰ＝ １ ２ ＢＣ＝３， ∴ＡＰ＝ ＡＢ２＋ＢＰ槡 ２＝３槡２． （２分）…………………………………………………………………………………… （２）如解图１，作ＰＥ⊥ＡＢ，ＣＦ⊥ＡＢ，垂足分别为Ｅ，Ｆ． ∵ＡＢ＝ＢＣ＝５，ＡＤ＝２，∴ＢＤ＝３， ∴Ｓ△ＢＰＤ＝ １ ２ ＢＤ·ＰＥ＝ ３ ２ ＰＥ，Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ ＡＢ·ＣＦ＝ ５ ２ ＣＦ． （３分）………………………………………………… ∵ＤＰ平分△ＡＢＣ的面积， ∴Ｓ△ＡＢＣ＝２Ｓ△ＢＰＤ，即 ５ ２ ＣＦ＝３ＰＥ，∴ ＰＥ ＣＦ ＝５ ６ ． （４分）……………………………………………………………… ∵∠Ｂ＝∠Ｂ，∠ＢＥＰ＝∠ＢＦＣ， ∴△ＢＰＥ∽△ＢＣＦ，∴ ＢＰ ＢＣ ＝ＰＥ ＣＦ ＝５ ６ ． ∵ＢＣ＝５，∴ＢＰ＝ ２５ ６ ． （５分）……………………………………………………………………………………… （３）存在点Ｐ使ＢＰ恰好平分四边形ＡＢＣＤ的面积． 如解图２，作ＤＧ⊥ＢＣ，垂足为Ｇ，作ＡＮ⊥ＤＧ，垂足为Ｎ，则四边形ＡＢＧＮ为矩形，过点Ｐ作ＰＨ⊥ＢＣ，垂足为 Ｈ． ∵∠ＢＡＤ＝∠ＡＤＣ＝１２０°，∠ＡＢＣ＝９０°，∴∠Ｃ＝３０°． ∵∠ＢＡＮ＝９０°，∴∠ＤＡＮ＝３０°． ∵ＡＤ＝８０ｍ，∴ＤＮ＝ １ ２ ＡＤ＝４０ｍ，ＡＮ＝ ＡＤ２－ＤＮ槡 ２＝４０槡３ｍ． ∵ＡＢ＝ＧＮ＝８０ｍ，∴ＧＤ＝ＤＮ＋ＧＮ＝１２０ｍ． １３　 　 方 向 卷 ︵ 六 ︶ ⊥ＤＭ，与 ＣＤ交于点 Ｐ′，与弧 ＡＢ交于点 Ｑ′，过点 Ｑ 作ＱＨ⊥ＤＭ于点Ｈ． 由∠ＡＱＢ＝１２０°，易得∠ＡＯＢ＝１２０°，∴∠ＯＡＢ＝３０°． 根据题意可知ＡＦ＝ＢＦ＝ＤＥ＝ＥＣ＝３０． 在Ｒｔ△ＡＯＦ中，ＯＱ＝ＯＱ′＝ＡＯ＝ ＡＦ ｃｏｓ３０° ＝ 槡２０３， ∴ＯＦ＝ １ ２ ＡＯ＝ 槡１０３＝ＮＥ， ∴ＮＯ＝ＮＥ＋ＥＦ＋ＯＦ＝ 槡２０３＋３０． 在Ｒｔ△Ｇ′ＮＯ中，Ｇ′Ｏ＝ＮＯ·ｓｉｎ６０°＝ 槡１５３＋３０． （７分） …… …………………………………………… 又由题意可知，在ＰＱ段上的时间ｔ１＝ＰＱ，在ＤＰ段上 的时间ｔ２＝ １ ２ ＰＤ， ∴ｔ１＋ｔ２＝ＰＱ＋ １ ２ ＰＤ＝ＰＱ＋ＰＧ≥ＱＨ≥Ｇ′Ｑ′， ∴当点 Ｐ在点 Ｐ′处，点 Ｑ在点 Ｑ′处时，满足 ＰＱ＋ １ ２ ＰＤ最小，即ｔ１＋ｔ２最小， （８分）…………………… 此时ｔ１＋ｔ２＝Ｇ′Ｑ′＝Ｇ′Ｏ－ＯＱ′＝ 槡１５３＋３０－ 槡２０３＝３０－ 槡５３， ∴电子蚂蚁从点Ｑ爬行到点Ｐ再到点Ｄ的最快时间 是（３０－槡５３）ｓ． （１０分）……………………………… ２０２５年陕西省初中学业水平考试 数学 方向卷（六） 选择题快速对答案 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｂ Ｂ Ｂ Ｂ Ｂ Ｂ Ｃ ９．＜　１０．－１　１１．４８°　１２．８ １３．１　【命题立意】本题考查旋转的性质、垂线段最短、 全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性 质、菱形的性质． 【解析】如解图，在ＡＢ上取点Ｅ，使ＢＥ＝ＯＢ，连接ＰＥ． 由旋转得 ＢＱ＝ＢＰ，∠ＰＢＱ＝６０°，∴∠ＯＢＱ＋∠ＤＢＰ＝ ６０°．∵四边形ＡＢＣＤ为菱形，∴ＢＤ⊥ＡＣ，ＡＢ＝ＡＤ＝４， ＯＢ＝ １ ２ ＢＤ．∵∠ＢＡＤ＝６０°，∴△ＡＢＤ为等边三角形， ∴ＢＤ＝ＡＢ＝ＡＤ＝４，∠ＡＢＤ＝６０°，∴ＯＢ＝２，∠ＥＢＰ＋ ∠ＤＢＰ＝６０°，∴∠ＯＢＱ＝∠ＥＢＰ．在△ＯＢＱ和△ＥＢＰ 中， ＢＱ＝ＢＰ， ∠ＯＢＱ＝∠ＥＢＰ， ＯＢ＝ＥＢ，{ ∴△ＯＢＱ≌△ＥＢＰ（ＳＡＳ），∴ＯＱ ＝ＥＰ．∵ＢＥ＝ＯＢ＝２，∴ＡＥ＝ＡＢ－ＢＥ＝２，∴点 Ｅ为 ＡＢ 的中点．当ＰＥ⊥ＯＡ时，ＰＥ的长取得最小值．∵ＰＥ⊥ ＯＡ，ＢＤ⊥ＡＣ，∴ＰＥ∥ＢＤ，∴ＰＥ＝ １ ２ ＯＢ＝１，∴ＯＱ＝１， 即线段ＯＱ长的最小值为１．故答案为１． 第１３题解图 １４．【命题立意】本题考查算术平方根、有理数的乘法、绝 对值． 解：原式＝２８． （５分）………………………………… １５．【命题立意】本题考查解一元一次不等式组，熟知“同 大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不 到”的原则是解答此题的关键． 解：不等式组的解集为ｘ≥３， （４分）……………… 解集在数轴上表示如解图． （５分）………………… 第１５题解图 １６．【命题立意】本题考查分式的混合运算． 解：原式＝ ａ－１ ａ＋１ ． （５分）……………………………… １７．【命题立意】本题考查尺规作图———基本作图、角平 分线的性质． 解：如解图，点Ｆ即为所求． （５分）………………… 第１７题解图 １８．【命题立意】本题考查全等三角形的判定与性质、平 行线的判定与性质． 证明略． １９．【命题立意】本题考查用列表或画树状图的方法求 概率． 解：（１） １ ２ ． （２分）…………………………………… （２）列表略． （４分）………………………………… 由表可知，共有１２种等可能的结果，其中两瓶溶液恰 好都变红色的结果有（Ｃ，Ｄ）（Ｄ，Ｃ），共２种， ∴两瓶溶液恰好都变红色的概率为 ２ １２ ＝１ ６ ． （５分） ……… …………………………………………… ２０．【命题立意】本题考查一元一次方程的应用． 解：设１副乒乓球拍的价格是 ｘ元，则 １副羽毛球拍 的价格是（ｘ＋３０）元， 根据题意得３ｘ＋２（ｘ＋３０）＝４３５， （３分）…………… 解得ｘ＝７５，∴ｘ＋３０＝７５＋３０＝１０５． 答：１副乒乓球拍的价格是 ７５元，１副羽毛球拍的价 格是１０５元． （５分）………………………………… ２１．【命题立意】本题考查解直角三角形的应用、等腰三 角形的性质、三角形内角和定理． 解：如解图，过点Ｅ作ＥＦ⊥ＢＣ，垂足为Ｆ，连接ＣＤ．                                                                       众相原创· 陕西数学 １４　 　 方 向 卷 ︵ 六 ︶ ∵ＡＢ＝ＡＣ，∴∠Ｂ＝∠ＡＣＢ． ∵ＡＤ＝ＡＣ，∴∠ＡＤＣ＝∠ＡＣＤ． ∵∠Ｂ＋∠ＡＣＢ＋∠ＡＤＣ＋∠ＡＣＤ＝１８０°， ∴２∠ＡＣＢ＋２∠ＡＣＤ＝１８０°， ∴∠ＡＣＢ＋∠ＡＣＤ＝９０°，∴∠ＢＣＤ＝９０°， 即ＤＣ⊥ＢＣ． （２分）………………………………… 在Ｒｔ△ＤＣＢ中，∠Ｂ＝５５°，ＢＣ＝１．８ｍ， ∴ＢＤ＝ ＢＣ ｃｏｓ５５°≈ １．８ ０．５７ ＝６０ １９ （ｍ）． （４分）……………… ∵ＤＥ＝２ｍ，∴ＢＥ＝ＢＤ＋ＤＥ＝ ９８ １９ （ｍ）． 在Ｒｔ△ＢＥＦ中，ＥＦ＝ＢＥ·ｓｉｎ５５°≈４．２（ｍ）， ∴雕塑的高约为４．２ｍ． （６分）…………………… 第２１题解图 ２２．【命题立意】本题考查二元一次方程组的应用、一次 函数的应用———费用最少问题． 解：（１）设每顶 Ａ种型号帐篷 ｍ元，每顶 Ｂ种型号帐 篷ｎ元， 根据题意得 ２ｍ＋４ｎ＝５２００， ３ｍ＋ｎ＝２８００，{ 解得 ｍ＝６００，ｎ＝１０００，{ ∴每顶 Ａ种型号帐篷 ６００元，每顶 Ｂ种型号帐篷 １０００元． （３分）……………………………………… （２）设购买 Ａ种型号帐篷 ｘ顶，总费用为 ｗ元，则购 买Ｂ种型号帐篷（２０－ｘ）顶， ∵Ｂ种型号帐篷数量不少于１６顶， ∴２０－ｘ≥１６，解得ｘ≤４． （４分）…………………… 根据题意得ｗ＝６００ｘ＋１０００（２０－ｘ）＝－４００ｘ＋２００００， ∵－４００＜０，∴ｗ随ｘ的增大而减小， ∴当ｘ＝４时，ｗ取最小值，最小值为－４００×４＋２００００ ＝１８４００， ∴２０－ｘ＝２０－４＝１６． （６分）………………………… 答：购买Ａ种型号帐篷４顶，Ｂ种型号帐篷 １６顶时， 总费用最低，总费用最低为１８４００元． （７分）……… ２３．【命题立意】本题考查平均数、中位数、众数、方差以 及用样本估计总体． 解：（１）７．５；９；＜ （３分）……………………………… （２）２０．４× ５ ２０ ＝５．１（万人）， ∴估计对本款软件信息识别准确度打分超过７分的 人数为５．１万人． （５分）…………………………… （３）乙款ＡＩ软件使用效果更好．理由如下： ∵乙款ＡＩ软件信息处理速度得分的平均数和中位数 均高于甲款， ∴乙款ＡＩ软件使用效果更好．（答案不唯一） （７分） …… …………………………………………… ２４．【命题立意】本题考查切线的性质、等腰三角形的性 质、相似三角形的判定与性质，掌握切线的性质，勾股 定理，相似三角形的判定方法是解决问题的关键． （１）证明略． （３分）………………………………… （２）解：如解图，连接ＭＢ． ∵ＢＣ是⊙Ｏ的直径，⊙Ｏ的半径为５， ∴ＢＭ⊥ＡＣ，ＡＣ＝ＢＣ＝２×５＝１０． ∵ＡＭ＝４，∴ＭＣ＝ＡＣ－ＡＭ＝１０－４＝６， ∴ＢＭ＝ ＢＣ２－ＭＣ槡 ２＝ １０２－６槡 ２＝８． （４分）……… ∵ＡＣ⊥ＣＤ，∴ＢＭ∥ＤＣ， ∴∠ＭＢＣ＝∠ＢＣＥ， ∵∠ＢＭＣ＝∠ＣＢＥ＝９０°，∴△ＢＭＣ∽△ＣＢＥ， ∴ ＭＣ ＢＥ ＝ＢＭ ＢＣ ，∴ ６ ＢＥ ＝８ １０ ，∴ＢＥ＝ １５ ２ ， ∴ＤＥ＝ＢＥ＝ １５ ２ ． （６分）……………………………… ∵ＣＥ＝ ＢＣ２＋ＢＥ槡 ２＝ １０２＋（ １５ ２ ）槡 ２＝２５ ２ ， ∴ＣＤ＝ＣＥ＋ＤＥ＝ ２５ ２ ＋１５ ２ ＝２０． （８分）………………… 第２４题解图 ２５．【命题立意】本题考查二次函数综合运用，涉及到函 数的平移、等腰三角形的性质等，分类讨论是解题的 关键． 解：（１）抛物线Ｌ的表达式为ｙ＝－ １ ２ （ｘ＋２）２＋８． （４分） … …………………………………………… （２）存在， 由（１）中抛物线Ｌ的表达式得，点Ｍ（－６，０）． 由题意得，抛物线Ｌ′的对称轴为直线 ｘ＝２，顶点 Ｄ的 坐标为（２，８），设点Ｑ的坐标为（２，ｍ）． 由Ｄ，Ｑ，Ｍ的坐标得，ＤＱ２＝（８－ｍ）２，ＱＭ２＝６４＋ｍ２， ＤＭ２＝１２８． （５分）…………………………………… 当ＤＱ＝ＱＭ时，则（８－ｍ）２＝６４＋ｍ２， 解得ｍ＝０，则点Ｑ的坐标为（２，０）； 当ＤＱ＝ＤＭ时，则（８－ｍ）２＝１２８，解得 ｍ＝ 槡８±８２，则 点Ｑ的坐标为（２，８＋槡８２）或（２，８－槡８２）； 当ＱＭ＝ＤＭ时，则６４＋ｍ２＝１２８，解得 ｍ＝８（舍去）或 ｍ＝－８，则点Ｑ的坐标为（２，－８）．                                                                      众相原创· 陕西数学 １５　 　 方 向 卷 ︵ 七 ︶ 综上所述，点Ｑ的坐标为（２，０）或（２，８＋槡８２）或（２，８ －槡８２）或（２，－８）． （８分）…………………………… ２６．【命题立意】本题主要考查了几何综合题，熟练掌握 勾股定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形 等知识点是解题的关键． 解：（１）∵ＡＰ平分△ＡＢＣ的面积， ∴Ｓ△ＡＢＰ＝Ｓ△ＡＣＰ，∴ＢＰ＝ＣＰ＝ １ ２ ＢＣ＝３， ∴ＡＰ＝ ＡＢ２＋ＢＰ槡 ２＝槡３２． （２分）…………………… （２）如解图１，作ＰＥ⊥ＡＢ，ＣＦ⊥ＡＢ，垂足分别为Ｅ，Ｆ． ∵ＡＢ＝ＢＣ＝５，ＡＤ＝２，∴ＢＤ＝３， ∴Ｓ△ＢＰＤ＝ １ ２ ＢＤ·ＰＥ＝ ３ ２ ＰＥ， Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ ＡＢ·ＣＦ＝ ５ ２ ＣＦ． （３分）…………………… ∵ＤＰ平分△ＡＢＣ的面积， ∴Ｓ△ＡＢＣ＝２Ｓ△ＢＰＤ，即 ５ ２ ＣＦ＝３ＰＥ， ∴ ＰＥ ＣＦ ＝５ ６ ． （４分）…………………………………… ∵∠Ｂ＝∠Ｂ，∠ＢＥＰ＝∠ＢＦＣ， ∴△ＢＰＥ∽△ＢＣＦ，∴ ＢＰ ＢＣ ＝ＰＥ ＣＦ ＝５ ６ ． ∵ＢＣ＝５，∴ＢＰ＝ ２５ ６ ． （５分）………………………… 图１ 图２ 第２６题解图 （３）存在点Ｐ使ＢＰ恰好平分四边形ＡＢＣＤ的面积． 如解图２，作ＤＧ⊥ＢＣ，垂足为 Ｇ，作 ＡＮ⊥ＤＧ，垂足为 Ｎ，则四边形 ＡＢＧＮ为矩形，过点 Ｐ作 ＰＨ⊥ＢＣ，垂足 为Ｈ． ∵∠ＢＡＤ＝∠ＡＤＣ＝１２０°，∠ＡＢＣ＝９０°，∴∠Ｃ＝３０°． ∵∠ＢＡＮ＝９０°，∴∠ＤＡＮ＝３０°． ∵ＡＤ＝８０ｍ， ∴ＤＮ＝ １ ２ ＡＤ＝４０ｍ，ＡＮ＝ ＡＤ２－ＤＮ槡 ２＝ 槡４０３ｍ． ∵ＡＢ＝ＧＮ＝８０ｍ，∴ＧＤ＝ＤＮ＋ＧＮ＝１２０ｍ． ∵∠Ｃ＝３０°，ＢＧ＝ＡＮ＝ 槡４０３ｍ，∴ＣＤ＝２４０ｍ，ＣＧ＝ 槡１２０３ｍ，∴ＢＣ＝ＢＧ＋ＣＧ＝ 槡１６０３ｍ， ∴Ｓ四边形ＡＢＣＤ＝Ｓ△ＡＤＮ＋Ｓ△ＣＤＧ＋Ｓ矩形ＡＢＧＮ＝ 槡８００３＋ 槡７２００３＋ 槡３２００３＝ 槡１１２００３ｍ ２． （７分）……………………… ∵ＢＰ平分四边形ＡＢＣＤ的面积， ∴Ｓ△ＢＣＰ＝ １ ２ Ｓ四边形ＡＢＣＤ＝ 槡５６００３＝ １ ２ ＢＣ·ＰＨ， ∴ＰＨ＝７０ｍ， ∴ＣＰ＝２ＰＨ＝１４０＜２４０，即点Ｐ在线段ＣＤ上， ∴存在点Ｐ，使ＢＰ恰好平分四边形ＡＢＣＤ的面积． （８分）…………………………………………… ∵ＰＨ＝７０ｍ，ＣＰ＝１４０ｍ， ∴ＣＨ＝ 槡７０３ｍ，∴ＢＨ＝ＢＣ－ＣＨ＝ 槡９０３ｍ， ∴ＢＰ＝ ＰＨ２＋ＢＨ槡 ２＝ 槡２０ ７３ｍ． ∵△ＥＢＦ与△ＥＭＦ关于ＥＦ对称，且点Ｍ在ＢＰ上， ∴ＥＦ垂直平分ＢＭ． 设ＥＦ与ＢＭ交于点Ｏ， ∵∠ＰＢＨ＋∠ＥＢＭ＝９０°，∠ＢＥＯ＋∠ＥＢＭ＝９０°， ∴∠ＰＢＨ＝∠ＢＥＯ，∴ｓｉｎ∠ＰＢＨ＝ｓｉｎ∠ＢＥＯ， 即 ＰＨ ＢＰ ＝ＢＯ ＢＥ ． （９分）…………………………………… ∵Ｅ是ＡＢ中点，∴ＢＥ＝ １ ２ ＡＢ＝４０ｍ，∴ ７０ 槡２０ ７３ ＝ＢＯ ４０ ， 解得ＢＯ＝ 槡 １４０ ７３ ７３ ， ∴ＢＭ＝２ＢＯ＝ 槡 ２８０ ７３ ７３ ｍ． 综上所述，存在点Ｐ，使ＢＰ恰好平分四边形ＡＢＣＤ的面 积，此时ＣＰ＝１４０ｍ，ＢＭ＝ 槡 ２８０ ７３ ７３ ｍ． （１０分）……… ２０２５年陕西省初中学业水平考试 数学 方向卷（七） 选择题快速对答案 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ａ Ａ Ｂ Ｂ Ｃ Ｃ Ａ ７．Ｃ　【命题立意】本题考查三角形重心的性质、相似三 角形的判定与性质． 【解析】如解图，连接 ＢＤ．∵点 Ｐ是△ＡＢＣ的重心，点 Ｄ是边ＡＣ的中点，∴Ｐ在 ＢＤ上，Ｓ△ＡＢＣ＝２Ｓ△ＢＤＣ，ＢＰ∶                                                                       众相原创· 陕西数学