2025年陕西省初中学业水平考试数学方向卷(九)-【众相原创】2025年陕西中考数学方向卷

３３　　 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（九） 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（九） ２０２５年陕西省初中学业水平考试 数学 方向卷（九） （总分：１２０分　考试时间：１２０分钟） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第一部分（选择题 共 ２４分） 一、选择题（共８小题，每小题３分，计２４分．每小题只有一个选项是符合题意的） １．－ １ ３ 的倒数是 （Ｃ ） Ａ．３ Ｂ．－ １ ３ Ｃ．－３ Ｄ． １ ３ ２．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （Ｄ ） 　　 ３．新课标方向 跨音乐学科 音乐五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同时值 的音符及其他记号来记载音乐．如图，ＡＢ和ＣＤ是五线谱上的两条线段，点Ｅ在ＡＢ，ＣＤ之间的一条平 行线上，若∠１＝１２０°，∠２＝３０°，则∠ＢＥＣ的度数是 （Ａ ） Ａ．９０° Ｂ．１００° Ｃ．１２０° Ｄ．１１０° 第３题图 　　　 第６题图 　　　 第７题图 ４．已知ａｍ＝５，ａｎ＝７，则ａ２ｍ－ｎ的值为 （Ｄ ） Ａ．３ Ｂ．１８ Ｃ． １０ ７ Ｄ． ２５ ７ ５．已知函数ｙ＝（２ｍ－１）ｘ是正比例函数，且ｙ随ｘ的增大而增大，那么ｍ的取值范围是 （Ａ ） Ａ．ｍ＞ １ ２ Ｂ．ｍ＜ １ ２ Ｃ．ｍ＞０ Ｄ．ｍ＜０ ６．２０２５例析与指导方向 旋转 如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ａ＝３０°，∠ＡＢＣ＝９０°．将Ｒｔ△ＡＢＣ绕点Ｂ按逆时 针方向旋转得到△Ａ′ＢＣ′，此时恰好点Ｃ在Ａ′Ｃ′上，Ａ′Ｂ交ＡＣ于点Ｅ，则∠Ｃ′ＣＢ的度数为 （Ｄ ） Ａ．３０° Ｂ．４５° Ｃ．７５° Ｄ．６０° ７．如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个 大正方形．若小正方形的面积为１，大正方形的面积为２５，直角三角形中较小的锐角为α，则ｃｏｓα的值 为 （Ｄ ） Ａ． ３ ４ Ｂ． ４ ３ Ｃ． ３ ５ Ｄ． ４ ５ ８．２０２５例析与指导方向 二次函数图象判断 在平面直角坐标系中，二次函数 ｙ１，ｙ２的图象如图所示， 则函数ｙ＝ｙ１－ｙ２的图象可能是 （Ａ ） 第８题图 　　　 第二部分（非选择题　共 ９６分） 二、填空题（共５小题，每小题３分，计１５分） ９．若 ３＋槡 ａ＋｜ｂ－２｜＝０，则（ａ＋ｂ） ２０２５的值为　　　　． １０．圆锥的底面半径为３ｃｍ，高为３ｃｍ，则该圆锥侧面展开图的面积为　　　　ｃｍ２．（计算结果保留π） １１．如图，在边长为３的菱形ＡＢＣＤ中，点Ｅ在边ＣＤ上，点Ｆ为ＢＥ延长线与ＡＤ延长线的交点，若ＤＥ＝ １，则ＤＦ的长为　　　　． 第１１题图 　　　 第１２题图 　　　 第１３题图 １２．如图，在平面直角坐标系中，点Ａ的坐标为（２，１），连接ＯＡ，过点Ｏ作ＯＡ的垂线，交反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ （ｋ为常数，ｋ≠０，ｘ＜０）的图象于点Ｂ，连接ＡＢ，交ｙ轴于点Ｃ．若ＡＣ＝ＢＣ，则ｋ的值为　　　　． １３．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝６，∠ＢＡＣ＝１２０°，点 Ｄ是 ＡＢ边上的一个动点，以 ＣＤ为边作正方形 ＣＤＥＦ，连接ＢＥ，则△ＢＤＥ面积的最大值是　　　　． 三、解答题（共１３小题，计８１分．解答题应写出过程） １４．（本题满分５分）计算：｜－２｜＋（槡５） ０－槡３×槡６． １５．（本题满分５分）解不等式组： ２ｘ－１＜－９， １－ｘ≥ ｘ＋２ ３ ．{ 【命题立意】本题考查解一元一次不等式组． 解： ２ｘ－１＜－９，① １－ｘ≥ ｘ＋２ ３ ，②{ 解不等式①，得ｘ＜－４， （２分）……………………………………………………………………………………… 解不等式②，得ｘ≤ １ ４ ， （４分）……………………………………………………………………………… １６．（本题满分５分）化简：（１－ ３ ｍ＋２ ）÷ ３ｍ－３ ｍ２－４ ． ３４　 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（九） 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（九） １７．（本题满分 ５分）如图，已知△ＡＢＣ，∠ＢＡＣ＝９０°．请用尺规作图法，在 ＢＣ边上求作一点 Ｐ，使得 ∠ＰＡＣ＝∠Ｂ．（保留作图痕迹，不写作法） 第１７题图 解：如解图，点Ｐ即为所求． （５分）………………………………………………………………………… １８．（本题满分５分）如图，四边形ＡＢＣＤ为菱形，Ｅ为对角线ＡＣ上的一个点，连接ＤＥ并延长交ＡＢ的延 长线于点Ｆ，连接ＢＥ．求证：∠ＡＦＤ＝∠ＥＢＣ． 第１８题图 【命题立意】本题考查全等三角形的判定与性质、菱形的性质． 证明：∵四边形ＡＢＣＤ为菱形， ∴ＤＣ＝ＢＣ，∠ＤＣＥ＝∠ＢＣＥ，ＡＢ∥ＣＤ， ∴∠ＡＦＤ＝∠ＥＤＣ． （２分）………………………………………………………………… 在△ＤＣＥ和△ＢＣＥ中， ＤＣ＝ＢＣ， ∠ＤＣＥ＝∠ＢＣＥ， ＥＣ＝ＥＣ， { ∴△ＤＣＥ≌△ＢＣＥ（ＳＡＳ），∴∠ＥＤＣ＝∠ＥＢＣ． 又∵∠ＡＦＤ＝∠ＥＤＣ，∴∠ＡＦＤ＝∠ＥＢＣ． （５分）…………………………………………………………… １９．（本题满分５分）甲口袋中装有２个相同的小球，它们分别写有字母Ａ和Ｂ；乙口袋中装有３个相同 的小球，它们分别写有字母Ｃ，Ｄ和Ｅ；丙口袋中装有２个相同的小球，它们分别写有字母Ｈ和Ｉ． （１）从乙口袋中随机取出一个小球，上面恰好是元音字母的概率是　　　　； （２）从三个口袋中各随机取出一个小球，用画树状图的方法求取出的３个小球上全是辅音字母的 概率． 【命题立意】本题考查列表法与画树状图法、概率公式． 解：（１）由题意知，共有３种等可能的结果，其中上面恰好是元音字母的结果有１种， ∴从乙口袋中随机取出一个小球，上面恰好是元音字母的概率是 １ ３ ．故答案为 １ ３ ． （２分）…………………… （２）画树状图如解图： （４分）………………………………………………………………………………………………………………… 由树状图可知，共有１２种等可能的结果，其中取出的３个小球上全是辅音字母的结果有：（Ｂ，Ｃ，Ｈ），（Ｂ，Ｄ， Ｈ），共２种， ∴取出的３个小球上全是辅音字母的概率为 ２ １２ ＝１ ６ ． （５分）………………………………………………… ２０．（本题满分５分）甲、乙两车分别从Ａ，Ｂ两地出发沿同一公路相向而行，已知乙车的速度是甲车速度 的１．５倍，Ａ，Ｂ两地相距１８０公里，若甲车比乙车先出发１小时，则乙车出发２小时恰好与甲车相遇， 求甲车的速度． 【命题立意】本题考查一元一次方程的应用． 解：设甲车的速度为ｘ公里／小时，则乙车的速度为１．５ｘ公里／小时， 由题意，得ｘ＋２ｘ＋２×１．５ｘ＝１８０， （３分）…………………………………………………………………………… 解得ｘ＝３０， ∴甲车的速度是３０公里／小时． （５分）……………………………………………………………………… ２１．（本题满分６分）新课标方向 跨物理学科 在物理课中我们学过《光的反射定律》，小天想利用光的 反射定律测量某湖对面美术馆的高度．首先，小天在地面上的点Ｃ处放置了一块平面镜，随后，站在 ＮＣ的延长线上，当小天从平面镜中刚好看到美术馆顶端Ｍ时，测得小天到平面镜的距离ＢＣ为１．５ 米，小天的眼睛到地面的距离ＡＢ也为１．５米．将平面镜从点Ｃ沿ＮＣ的延长线向后移动８米到点Ｄ 处，小天继续向后移动，眼睛又恰好看到美术馆顶端Ｍ，这时测得小天到平面镜的距离ＤＦ是２．５米， 求美术馆ＭＮ的高度． 第２１题图 【命题立意】本题考查相似三角形的应用． 解：设ＭＮ＝ｘ米，ＣＮ＝ｙ米， 由题意得，∠ＡＢＣ＝∠ＭＮＣ＝９０°，∠ＡＣＢ＝∠ＭＣＮ， ∴△ＡＢＣ∽△ＭＮＣ，∴ ＭＮ ＡＢ ＝ＣＮ ＢＣ ，∴ ｘ １．５ ＝ｙ １．５ ，∴ｘ＝ｙ． （２分）………………………… ∵∠ＥＦＤ＝∠ＭＮＤ，∠ＥＤＦ＝∠ＭＤＮ， ∴△ＥＦＤ∽△ＭＮＤ，∴ ＥＦ ＭＮ ＝ＤＦ ＤＮ ， （４分）………………………………………………………………………… ∴ １．５ ｘ ＝２．５ ８＋ｙ ，∴ １．５ ｘ ＝２．５ ８＋ｘ ，∴ｘ＝１２， 经检验，ｘ＝１２是原分式方程的解，且符合题意， ∴美术馆ＭＮ的高度为１２米． （６分）……………………………………………………………………… ３５　　 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（九） 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（九） ２２．（本题满分７分）新课标方向 现实生活情境 某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如 果按规定剂量服用，每毫升血液中含药量ｙ（微克）随时间ｘ（时）的变化情况如图所示，那么当按规定 剂量服药后，根据图象回答下列问题： （１）求ｙ关于ｘ的函数关系式； （２）如果每毫升血液中含药量为３微克或３微克以上时治疗疾病最有效，求这个有效时间的范围． 第２２题图 【命题立意】本题考查一次函数的应用． 解：（１）当０≤ｘ≤２时，设ｙ关于ｘ的函数关系式为ｙ＝ｋｘ， 代入（１，３）得，ｋ＝３，∴ｙ＝３ｘ，∴当ｘ＝２时，ｙ＝３×２＝６． 当２＜ｘ≤８时，设ｙ关于ｘ的函数关系式为ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１，代入（２，６），（８，０）得， ６＝２ｋ１＋ｂ１， ０＝８ｋ１＋ｂ１，{ 解得 ｋ１＝－１， ｂ１＝８，{ ∴ｙ＝－ｘ＋８． 综上所述，ｙ关于ｘ的函数关系式为ｙ＝ ３ｘ（０≤ｘ≤２）， －ｘ＋８（２＜ｘ≤８）．{ （４分）……………………………………………… （２）当０≤ｘ≤２时，ｙ＝３ｘ，当ｙ＝３时，ｘ＝１；当２＜ｘ≤８时，ｙ＝－ｘ＋８，当ｙ＝３时，ｘ＝５． ∵每毫升血液中含药量为３微克或３微克以上时治疗疾病最有效， ∴这个有效时间的范围是服药后第１小时至第５小时． （７分）…………………………………………… ２３．（本题满分７分）水是生命之源，每一滴水都来之不易，节约用水已成为全民共识．某校举行了水资源 保护知识竞赛，为了解九年级８００名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整 理并绘制出如下不完整的统计图表． 　　　　　　　　　　　　成绩频数分布表 组别 分数／分 频数 组内学生的平均成绩／分 Ａ ６０≤ｘ＜７０ ａ ６５ Ｂ ７０≤ｘ＜８０ １０ ７５ Ｃ ８０≤ｘ＜９０ １４ ８５ Ｄ ９０≤ｘ≤１００ １８ ９５ 　　 第２３题图 请根据图表信息，解答下列问题： （１）一共抽取了　　　　名学生的成绩，表中 ａ＝　　　　，所抽取参赛学生成绩的中位数落在“组 别”　　　　； （２）求所抽取的这些学生的平均成绩； （３）请你估计该校九年级竞赛成绩达到８０分及以上的学生有多少人？ 【命题立意】本题考查统计表和扇形统计图的综合运用．读懂统计图表，从中得到必要的信息是解决问题的 关键． 解：（１）样本容量为１８÷３６％＝５０，则Ａ组的频数ａ＝５０×１６％＝８，本次调查一共随机抽取５０名学生的成绩，将 成绩按从小到大的顺序排列后，第２５、２６位数都在Ｃ组，则中位数落在Ｃ组．故答案为５０，８，Ｃ． （３分）…… （２）所抽取的这些学生的平均成绩为 ８×６５＋１０×７５＋１４×８５＋１８×９５ ５０ ＝８３．４（分）． （５分）………………………… （３）８００× １４＋１８ ５０ ＝５１２（人），∴估计该校九年级竞赛成绩达到８０分及以上的学生有５１２人． （７分）………… ２４．（本题满分８分）如图，四边形ＡＣＢＤ是⊙Ｏ的内接四边形，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ ) ＝ＣＤ ) ，连接ＡＢ，ＣＤ，过点Ｃ 的切线与ＤＢ的延长线交于点Ｅ． （１）求证：ＢＣ平分∠ＡＢＥ； （２）若ＡＣ＝８，ＢＣ＝６，求ＣＥ的长． 第２４题图 ３６　 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（九） 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（九） ２５．（本题满分８分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ ５ ２ （ａ≠０）与ｘ轴交于Ａ（－１，０）， Ｂ（５，０）两点，与ｙ轴交于点Ｃ，连接ＢＣ． （１）求该抛物线的解析式； （２）若点Ｍ在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点Ｎ，使得以Ｂ、Ｃ、Ｍ、Ｎ为顶点的四边形是平行 四边形？若存在，请求出所有符合条件的点Ｎ的坐标；若不存在，请说明理由． 第２５题图 【命题立意】本题考查二次函数的综合，涉及抛物线的解析式、平行四边形的存在问题、中点 坐标公式、分类思想，熟练掌握待定系数法、平行四边形的判断方法是解题的关键． 解：（１）∵抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ ５ ２ （ａ≠０）与ｘ轴交于Ａ（－１，０），Ｂ（５，０）两点， ∴ ａ－ｂ＋ ５ ２ ＝０， ２５ａ＋５ｂ＋ ５ ２ ＝０，      解得 ａ＝－ １ ２ ， ｂ＝２， { ∴该抛物线的解析式为ｙ＝－ １ ２ ｘ２＋２ｘ＋ ５ ２ ． （３分）………………………………………………………………… （２）存在． （４分）…………………………………………………………………………………………………… ∵ｙ＝－ １ ２ ｘ２＋２ｘ＋ ５ ２ ＝－１ ２ （ｘ－２）２＋ ９ ２ ，∴抛物线的对称轴为直线ｘ＝２，令ｘ＝０，则ｙ＝ ５ ２ ，∴Ｃ（０， ５ ２ ）． 设Ｍ（２，ｍ），Ｎ（ｎ，－ １ ２ ｎ２＋２ｎ＋ ５ ２ ），∵Ｂ（５，０），∴当ＢＣ为一条对角线时，ＭＮ为另一条对角线． ∵线段ＢＣ的中点坐标为（ ５ ２ ， ５ ４ ），线段ＭＮ的中点坐标为（ ２＋ｎ ２ ， ｍ－ １ ２ ｎ２＋２ｎ＋ ５ ２ ２ ）， ∴ ２＋ｎ ２ ＝５ ２ ，解得ｎ＝３，此时－ １ ２ ｎ２＋２ｎ＋ ５ ２ ＝４，故Ｎ（３，４）； （５分）……………………………………………… 当ＢＭ为一条对角线时，ＣＮ为另一条对角线． ∵线段ＢＭ的中点坐标为（ ７ ２ ， ｍ ２ ），线段ＣＮ的中点坐标为（ ｎ ２ ， ５ ２ －１ ２ ｎ２＋２ｎ＋ ５ ２ ２ ）， ∴ ｎ ２ ＝７ ２ ，解得ｎ＝７，此时－ １ ２ ｎ２＋２ｎ＋ ５ ２ ＝－８，故Ｎ（７，－８）； （６分）……………………………………………… 当ＢＮ为一条对角线时，ＣＭ为另一条对角线． ∵线段ＢＮ的中点坐标为（ ｎ＋５ ２ ， －１ ２ ｎ２＋２ｎ＋ ５ ２ ２ ），线段ＣＭ的中点坐标为（１， ｍ＋ ５ ２ ２ ）， ２６．（本题满分１０分）【问题提出】 如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝７，ＢＣ＝３．在ＡＤ上取一点Ｅ，ＡＥ＝１，点Ｆ是ＡＢ边上的一个动点，以ＥＦ为 一边作四边形ＥＦＭＮ，使点Ｎ落在ＣＤ边上，点Ｍ落在矩形ＡＢＣＤ内或其边上． （１）如图１，当四边形ＥＦＭＮ是正方形时，ＡＦ的长为　　　　，△ＢＦＭ的面积为　　　　； （２）如图２，当四边形ＥＦＭＮ是菱形时，若ＡＦ＝ｘ，△ＢＦＭ的面积为Ｓ，求Ｓ与ｘ之间的函数关系式； 【问题解决】 （３）如图３，正方形ＡＢＣＤ是某小区旁一块边长为１００米的空地，为了提升附近居民的生活环境，现要 把这块空地及其周边打造成一个生态公园．按设计要求，△ＥＤＭ为广场区域，正方形 ＣＦＭＮ是休息 区，△ＢＣＦ是儿童娱乐区，ＢＦ∥ＤＥ，点Ｎ在ＢＣ边的延长线上，为满足各区域及绿化用地，想让广场的 面积尽可能小．请问是否存在符合设计要求的面积最小的三角形广场ＥＤＭ？若存在，求△ＥＤＭ面积 的最小值及这时点Ｄ到点Ｅ的距离；若不存在，请说明理由． 图１ 　　 图２ 　　 图３ 第２６题图 【命题立意】本题考查四边形综合题，涉及矩形的判定与性质、正方形的性质、菱形的性质、平行四边形的判定 与性质、二次函数的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识． 解：（１）∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，∴∠Ｄ＝∠Ａ＝９０°，ＡＤ＝ＢＣ＝３．∵ＡＥ＝１，∴ＤＥ＝２．∵四边形ＥＦＭＮ是正方 形，∴∠ＮＥＦ＝９０°，ＥＮ＝ＥＦ，∴∠ＤＥＮ＋∠ＡＥＦ＝９０°，∵∠ＡＥＦ＋∠ＡＦＥ＝９０°，∴∠ＤＥＮ＝∠ＡＦＥ，∴△ＡＦＥ≌ △ＤＥＮ（ＡＡＳ），∴ＡＦ＝ＤＥ＝２，∴ＢＦ＝ＡＢ－ＡＦ＝５，ＥＦ＝ＭＦ＝ ＡＥ２＋ＡＦ槡 ２＝槡５．易得Ｎ，Ｍ，Ｂ三点共线，∴ＢＭ＝ ＢＦ２－ＭＦ槡 ２＝２槡５，∴Ｓ△ＢＦＭ＝ １ ２ ＢＭ·ＭＦ＝ １ ２ ×２槡５×槡５＝５．故答案为２，５． （３分）……………………………… （２）如解图１，连接ＦＮ，过点Ｍ作ＭＱ⊥ＦＢ于点Ｑ，则∠ＭＱＦ＝９０°， ∴∠ＭＱＦ＝∠Ａ．∵四边形ＥＦＭＮ是菱形，∴ＥＮ＝ＦＭ，ＥＮ∥ＦＭ，∴∠ＥＮＦ＝∠ＮＦＭ． ∵矩形ＡＢＣＤ中，ＤＣ∥ＡＢ，∴∠ＤＮＦ＝∠ＮＦＱ， ∴∠ＤＮＦ－∠ＥＮＦ＝∠ＮＦＱ－∠ＮＦＭ，即∠ＤＮＥ＝∠ＱＦＭ． ∵∠Ｄ＝∠ＦＱＭ＝９０°，∠ＤＮＥ＝∠ＱＦＭ，ＮＥ＝ＦＭ， ∴△ＤＮＥ≌△ＱＦＭ（ＡＡＳ），∴ＭＱ＝ＤＥ＝２． ∵ＡＢ＝７，ＡＦ＝ｘ，∴Ｓ△ＢＦＭ＝ １ ２ ＦＢ·ＭＱ＝ １ ２ ×（７－ｘ）×２＝７－ｘ，∴Ｓ与ｘ之间的函数关系式为Ｓ＝７－ｘ． （７分）…… （３）存在．如解图２，分别延长ＡＤ，ＮＭ交于点Ｋ，则四边形ＡＢＮＫ是矩形． ∵四边形ＡＢＣＤ为正方形，∴ＡＢ＝ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ． ∵ＢＦ∥ＤＥ，∴四边形ＢＥＤＦ为平行四边形，∴ＢＥ＝ＤＦ，∴ＡＥ＝ＣＦ． 设ＢＥ＝ｘ，则ＣＮ＝ＣＦ＝ＡＥ＝１００－ｘ，ＢＮ＝ＢＣ＋ＣＮ＝２００－ｘ， 则Ｓ△ＥＤＭ＝Ｓ矩形ＡＢＮＫ－Ｓ△ＡＤＥ－Ｓ△ＤＫＭ－Ｓ梯形ＥＢＮＭ＝（２００－ｘ）·１００－ １ ２ （１００－ｘ）·１００－ １ ２ ｘ·（１００－ｘ）－ １ ２ （１００－ｘ＋ｘ） （２００－ｘ）＝ １ ２ ｘ２－５０ｘ＋５０００＝ １ ２ （ｘ－５０）２＋３７５０． ∵ １ ２ ＞０，∴当ｘ＝５０时，Ｓ△ＥＤＭ有最小值３７５０，此时ＤＥ＝ ＡＤ ２＋ＡＥ槡 ２＝５０槡５， ∴△ＥＤＭ面积的最小值为３７５０平方米，这时点Ｄ到点Ｅ的距离为５０槡５米． （１０分）……………………… ２０　 　 方 向 卷 ︵ 九 ︶ 在△ＡＢＭ和△ＡＤＦ中， 第２６题解图１ ＡＢ＝ＡＤ， ∠１＝∠Ｄ， ＢＭ＝ＤＦ，{ ∴ △ＡＢＭ ≌ △ＡＤＦ （ＳＡＳ）， ∴ＡＭ＝ＡＦ，∠２＝∠３． ∵∠ＥＡＦ＝ １ ２∠ ＢＡＤ，∴∠２＋∠４＝ １ ２∠ ＢＡＤ＝∠ＥＡＦ， ∴∠３＋∠４＝∠ＥＡＦ，即∠ＥＡＭ＝∠ＥＡＦ． 在△ＡＭＥ和△ＡＦＥ中， ＡＭ＝ＡＦ， ∠ＥＡＭ＝∠ＥＡＦ， ＡＥ＝ＡＥ，{ ∴△ＡＭＥ≌△ＡＦＥ（ＳＡＳ）， ∴ＥＦ＝ＭＥ，即ＥＦ＝ＢＥ＋ＢＭ， ∴ＥＦ＝ＢＥ＋ＤＦ． （６分）……………………………… （３）结论：ＥＦ＝ＢＥ－ＤＦ．证明如下： 如解图２，在ＢＥ上截取ＢＧ，使ＢＧ＝ＤＦ，连接ＡＧ． 第２６题解图２ ∵∠Ｂ＋∠ＡＤＣ＝１８０°，∠ＡＤＦ＋ ∠ＡＤＣ＝１８０°，∴∠Ｂ＝∠ＡＤＦ． 在△ＡＢＧ和△ＡＤＦ中， ＡＢ＝ＡＤ， ∠ＡＢＧ＝∠ＡＤＦ， ＢＧ＝ＤＦ，{ ∴△ＡＢＧ≌△ＡＤＦ（ＳＡＳ）， ∴∠ＢＡＧ＝∠ＤＡＦ，ＡＧ＝ＡＦ， ∴∠ＢＡＧ＋∠ＥＡＤ＝∠ＤＡＦ＋∠ＥＡＤ＝∠ＥＡＦ＝ １ ２∠ ＢＡＤ， ∴∠ＧＡＥ＝∠ＥＡＦ． 又∵ＡＥ＝ＡＥ，∴△ＡＥＧ≌△ＡＥＦ（ＳＡＳ），∴ＥＧ＝ＥＦ． ∵ＥＧ＝ＢＥ－ＢＧ，∴ＥＦ＝ＢＥ－ＤＦ． （１０分）…………… ２０２５年陕西省初中学业水平考试 数学 方向卷（九） 选择题快速对答案 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｄ Ａ Ｄ Ａ Ｄ Ｄ Ａ ９．－１　１０ 槡．９２π　１１． ３ ２ １２．－８　【命题立意】本题考查反比例函数图象上点的坐 标特征． 【解析】如解图，过点Ａ作ＡＭ⊥ｘ轴于点Ｍ，过点Ｂ作 ＢＮ⊥ｘ轴于点 Ｎ，可得∠ＯＭＡ＝∠ＢＮＯ＝９０°，∴ ∠ＮＢＯ＋∠ＮＯＢ＝９０°．∵ＯＡ⊥ＯＢ，∴∠ＡＯＭ＋∠ＮＯＢ＝ ９０°，∴∠ＡＯＭ＝∠ＮＢＯ，∴△ＢＮＯ∽△ＯＭＡ，∴ ＯＭ ＢＮ ＝ ＡＭ ＯＮ ．∵点Ａ的坐标为（２，１），∴ＯＭ＝２，ＡＭ＝１，∴ ＢＮ ＯＮ ＝２．可设Ｂ（－ｔ，２ｔ），∵ＡＣ＝ＢＣ，∴点Ｃ是Ｒｔ△ＡＯＢ斜 边上的中点，∴Ｃ（ －ｔ＋２ ２ ， ２ｔ＋１ ２ ）．∵点 Ｃ在 ｙ轴上，∴ －ｔ＋２ ２ ＝０，解得ｔ＝２，∴Ｂ（－２，４），将Ｂ（－２，４）代入ｙ＝ ｋ ｘ 得ｋ＝－８．故答案为－８． 第１２题解图 　　　 第１３题解图 １３． ８１ ８ 　【命题立意】本题考查正方形的性质、解直角三 角形、二次函数的性质，解题的关键是学会利用参数 构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题． 【解析】如解图，过点Ｅ作ＥＭ⊥ＢＡ交ＢＡ的延长线于 点Ｍ，过点Ｃ作 ＣＮ⊥ＭＡ于点 Ｎ，过点 Ａ作 ＡＨ⊥ＢＣ 于点 Ｈ．在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝６，∠ＢＡＣ＝１２０°，∴ ∠ＣＡＮ＝６０°，∴ＣＮ＝槡 ３ ２ ＡＣ＝槡３３，ＡＮ＝ １ ２ ＡＣ＝３，∴ＢＮ ＝ＡＢ＋ＡＮ＝６＋３＝９．设 ＢＤ＝ｘ，则 ＤＮ＝９－ｘ．∵四边形 ＣＤＥＦ是正方形，∴ＤＥ＝ＤＣ，∠ＥＤＣ＝∠ＥＭＤ＝∠ＤＮＣ ＝９０°，∴∠ＥＤＭ＋∠ＡＤＣ＝９０°，∠ＡＤＣ＋∠ＤＣＮ＝９０°， ∴∠ＥＤＭ＝∠ＤＣＮ，∴△ＥＭＤ≌△ＤＮＣ（ＡＡＳ），∴ＥＭ ＝ＤＮ＝９－ｘ，∴Ｓ△ＢＤＥ＝ １ ２ ＢＤ·ＥＭ＝ １ ２ ｘ（９－ｘ）＝－ １ ２ ｘ２ ＋９ ２ ｘ＝－ １ ２ （ｘ－ ９ ２ ）２＋ ８１ ８ ．∵－ １ ２ ＜０，∴当 ｘ＝ ９ ２ 时， △ＢＤＥ的面积最大，最大值为 ８１ ８ ．故答案为 ８１ ８ ． １４．【命题立意】本题考查绝对值、零指数幂、二次根式的 乘法运算． 解：原式＝３－槡３２． （５分）…………………………… １５．【命题立意】本题考查解一元一次不等式组． 解：不等式组的解集为ｘ＜－４． （５分）……………… １６．【命题立意】本题考查分式的混合运算． 解：原式＝ ｍ－２ ３ ． （５分）……………………………… １７．【命题立意】本题考查尺规作图———基本作图． 解：如解图，点Ｐ即为所求． （５分）………………… 第１７题解图 １８．【命题立意】本题考查全等三角形的判定与性质、菱 形的性质． 证明略．                                                                       众相原创· 陕西数学 ２１　 　 方 向 卷 ︵ 九 ︶ １９．【命题立意】本题考查列表法与画树状图法、概率公式． 解：（１） １ ３ ． （２分）…………………………………… （２）画树状图略． （４分）…………………………… 由树状图可知，共有１２种等可能的结果，其中取出的 ３个小球上全是辅音字母的结果有：（Ｂ，Ｃ，Ｈ），（Ｂ， Ｄ，Ｈ），共２种， ∴取出的３个小球上全是辅音字母的概率为 ２ １２ ＝１ ６ ． （５分）…………………………………………… ２０．【命题立意】本题考查一元一次方程的应用． 解：设甲车的速度为 ｘ公里／小时，则乙车的速度为 １．５ｘ公里／小时， 由题意，得ｘ＋２ｘ＋２×１．５ｘ＝１８０， （３分）…………… 解得ｘ＝３０， ∴甲车的速度是３０公里／小时． （５分）…………… ２１．【命题立意】本题考查相似三角形的应用． 解：设ＭＮ＝ｘ米，ＣＮ＝ｙ米， 由题意得，∠ＡＢＣ＝∠ＭＮＣ＝９０°，∠ＡＣＢ＝∠ＭＣＮ， ∴△ＡＢＣ∽△ＭＮＣ，∴ ＭＮ ＡＢ ＝ＣＮ ＢＣ ，∴ ｘ １．５ ＝ｙ １．５ ，∴ｘ＝ｙ． （２分）…………………………………………… ∵∠ＥＦＤ＝∠ＭＮＤ，∠ＥＤＦ＝∠ＭＤＮ， ∴△ＥＦＤ∽△ＭＮＤ，∴ ＥＦ ＭＮ ＝ＤＦ ＤＮ ， （４分）…………… ∴ １．５ ｘ ＝２．５ ８＋ｙ ，∴ １．５ ｘ ＝２．５ ８＋ｘ ，∴ｘ＝１２， 经检验，ｘ＝１２是原分式方程的解，且符合题意， ∴美术馆ＭＮ的高度为１２米． （６分）……………… ２２．【命题立意】本题考查一次函数的应用． 解：（１）ｙ关于ｘ的函数关系式为 ｙ＝ ３ｘ（０≤ｘ≤２）， －ｘ＋８（２＜ｘ≤８）．{ （４分）………………………… （２）当０≤ｘ≤２时，ｙ＝３ｘ，当ｙ＝３时，ｘ＝１；当２＜ｘ≤８ 时，ｙ＝－ｘ＋８，当ｙ＝３时，ｘ＝５． ∵每毫升血液中含药量为３微克或３微克以上时治 疗疾病最有效， ∴这个有效时间的范围是服药后第１小时至第５小 时． （７分）…………………………………………… ２３．【命题立意】本题考查统计表和扇形统计图的综合运 用．读懂统计图表，从中得到必要的信息是解决问题 的关键． 解：（１）５０；８；Ｃ． （３分）……………………………… （２）所 抽 取 的 这 些 学 生 的 平 均 成 绩 为 ８×６５＋１０×７５＋１４×８５＋１８×９５ ５０ ＝８３．４（分）． （５分）… （３）８００× １４＋１８ ５０ ＝５１２（人），∴估计该校九年级竞赛成 绩达到８０分及以上的学生有５１２人． （７分）……… ２４．【命题立意】本题考查切线的性质、圆周角定理、圆内 接四边形的性质，根据题目的已知条件并结合图形 添加适当的辅助线是解题的关键． （１）证明略． （３分）………………………………… （２）解：如解图，连接ＯＣ． ∵∠ＡＣＢ＝９０°，∴ＡＢ是⊙Ｏ的直径． ∵ＡＣ＝８，ＢＣ＝６， ∴ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２＝ ８２＋６槡 ２＝１０． （４分）………… ∵ＣＥ与⊙Ｏ相切于点Ｃ，∴∠ＯＣＥ＝９０°， ∴∠ＡＣＢ＝∠ＯＣＥ＝９０°， ∴∠ＡＣＢ－∠ＯＣＢ＝∠ＯＣＥ－∠ＯＣＢ， ∴∠ＡＣＯ＝∠ＢＣＥ． （６分）…………………………… ∵ＯＡ＝ＯＣ，∴∠ＯＡＣ＝∠ＯＣＡ， ∴∠ＯＡＣ＝∠ＢＣＥ． 又∵∠ＡＢＣ＝∠ＣＢＥ，∴△ＡＢＣ∽△ＣＢＥ， ∴ ＣＥ ＣＡ ＝ＣＢ ＡＢ ，∴ ＣＥ ８ ＝６ １０ ，∴ＣＥ＝４．８． （８分）………… 第２４题解图 ２５．【命题立意】本题考查二次函数的综合，涉及抛物线 的解析式、平行四边形的存在问题、中点坐标公式、分 类思想，熟练掌握待定系数法、平行四边形的判断方 法是解题的关键． 解：（１）该抛物线的解析式为ｙ＝－ １ ２ ｘ２＋２ｘ＋ ５ ２ ． （３分） … …………………………………………… （２）存在． （４分）…………………………………… ∵ｙ＝－ １ ２ ｘ２＋２ｘ＋ ５ ２ ＝－１ ２ （ｘ－２）２＋ ９ ２ ，∴抛物线的对 称轴为直线ｘ＝２，令ｘ＝０，则ｙ＝ ５ ２ ，∴Ｃ（０， ５ ２ ）． 设Ｍ（２，ｍ），Ｎ（ｎ，－ １ ２ ｎ２＋２ｎ＋ ５ ２ ），∵Ｂ（５，０）， ∴当ＢＣ为一条对角线时，ＭＮ为另一条对角线． ∵线段ＢＣ的中点坐标为（ ５ ２ ， ５ ４ ），线段 ＭＮ的中点 坐标为（ ２＋ｎ ２ ， ｍ－ １ ２ ｎ２＋２ｎ＋ ５ ２ ２ ）， ∴ ２＋ｎ ２ ＝５ ２ ，解得ｎ＝３，此时－ １ ２ ｎ２＋２ｎ＋ ５ ２ ＝４， 故Ｎ（３，４）； （５分）…………………………………… 当ＢＭ为一条对角线时，ＣＮ为另一条对角线． ∵线段ＢＭ的中点坐标为（ ７ ２ ， ｍ ２ ），线段 ＣＮ的中点                                                                      众相原创· 陕西数学 ２２　 　 新 教 材 素 材 坐标为（ ｎ ２ ， ５ ２ －１ ２ ｎ２＋２ｎ＋ ５ ２ ２ ）， ∴ ｎ ２ ＝７ ２ ，解得ｎ＝７，此时－ １ ２ ｎ２＋２ｎ＋ ５ ２ ＝－８， 故Ｎ（７，－８）； （６分）………………………………… 当ＢＮ为一条对角线时，ＣＭ为另一条对角线． ∵线段 ＢＮ的中点坐标为（ ｎ＋５ ２ ， －１ ２ ｎ２＋２ｎ＋ ５ ２ ２ ），线 段ＣＭ的中点坐标为（１， ｍ＋ ５ ２ ２ ）， ∴ ｎ＋５ ２ ＝１，解得ｎ＝－３，此时－ １ ２ ｎ２＋２ｎ＋ ５ ２ ＝－８， 故Ｎ（－３，－８）． （７分）……………………………… 综上所述，点Ｎ的坐标为（３，４）或（７，－８）或（－３，－８）． （８分）…………………………………………… ２６．【命题立意】本题考查四边形综合题，涉及矩形的判 定与性质、正方形的性质、菱形的性质、平行四边形 的判定与性质、二次函数的性质、全等三角形的判定 与性质、勾股定理等知识． 解：（１）２；５． （３分）………………………………… （２）如解图１，连接ＦＮ，过点Ｍ作ＭＱ⊥ＦＢ于点Ｑ，则 ∠ＭＱＦ＝９０°， 第２６题解图１ ∴∠ＭＱＦ＝∠Ａ．∵ 四边形 ＥＦＭＮ是菱形，∴ＥＮ＝ＦＭ，ＥＮ ∥ＦＭ，∴∠ＥＮＦ＝∠ＮＦＭ． ∵矩形ＡＢＣＤ中，ＤＣ∥ＡＢ， ∴∠ＤＮＦ＝∠ＮＦＱ， ∴∠ＤＮＦ－∠ＥＮＦ＝∠ＮＦＱ－∠ＮＦＭ， 即∠ＤＮＥ＝∠ＱＦＭ． ∵∠Ｄ＝∠ＦＱＭ＝９０°，∠ＤＮＥ＝∠ＱＦＭ，ＮＥ＝ＦＭ， ∴△ＤＮＥ≌△ＱＦＭ（ＡＡＳ），∴ＭＱ＝ＤＥ＝２． ∵ＡＢ＝７，ＡＦ＝ｘ，∴Ｓ△ＢＦＭ＝ １ ２ ＦＢ·ＭＱ＝ １ ２ ×（７－ｘ）×２＝ ７－ｘ，∴Ｓ与ｘ之间的函数关系式为Ｓ＝７－ｘ． （７分）… 第２６题解图２ （３）存在．如解图 ２，分别延长 ＡＤ，ＮＭ 交于点 Ｋ，则四边形 ＡＢＮＫ是矩形． ∵四边形ＡＢＣＤ为正方形， ∴ＡＢ＝ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ． ∵ＢＦ∥ＤＥ，∴四边形ＢＥＤＦ为平行四边形， ∴ＢＥ＝ＤＦ，∴ＡＥ＝ＣＦ． 设ＢＥ＝ｘ，则ＣＮ＝ＣＦ＝ＡＥ＝１００－ｘ， ＢＮ＝ＢＣ＋ＣＮ＝２００－ｘ， 则Ｓ△ＥＤＭ＝Ｓ矩形ＡＢＮＫ－Ｓ△ＡＤＥ－Ｓ△ＤＫＭ－Ｓ梯形ＥＢＮＭ＝（２００－ｘ）· １００－ １ ２ （１００－ｘ）·１００－ １ ２ ｘ·（１００－ｘ）－ １ ２ （１００－ｘ＋ ｘ）（２００－ｘ）＝ １ ２ ｘ２－５０ｘ＋５０００＝ １ ２ （ｘ－５０）２＋３７５０． ∵ １ ２ ＞０，∴当 ｘ＝５０时，Ｓ△ＥＤＭ 有最小值 ３７５０，此时 ＤＥ＝ ＡＤ２＋ＡＥ槡 ２＝ 槡５０５， ∴△ＥＤＭ面积的最小值为３７５０平方米，这时点Ｄ到 点Ｅ的距离为 槡５０５米． （１０分）…………………… 新教材素材变式卷 １．Ｂ　２．－２２；－３０７　３．Ｂ　４．Ｄ　５．３；５　６．Ｃ　７．Ｃ ８．【命题立意】本题考查一元一次方程的应用． 解：（１）根据题意得：月历中，横行上相邻两数之差为 １，竖列上相邻两数之差为７． （２）设最小的数是ｘ，则另外两个数分别是ｘ＋７，ｘ＋１４， 根据题意得ｘ＋ｘ＋７＋ｘ＋１４＝４８，解得ｘ＝９， ∴ｘ＋７＝９＋７＝１６，ｘ＋１４＝９＋１４＝２３． ∴这三个数分别是９，１６，２３． （３）这四个数的和不能等于６０．理由如下： 假设这四个数的和能等于６０，设最小的数为ｙ，则另外 三个数分别是ｙ＋１，ｙ＋７，ｙ＋８， 根据题意得ｙ＋ｙ＋１＋ｙ＋７＋ｙ＋８＝６０，解得ｙ＝１１． ∵１１在第七列，∴ｙ＝１１不符合题意，∴假设不成立， 即这四个数的和不能等于６０． ９．【命题立意】本题考查进位制、有理数的混合运算． 解：（１）（１１１）２． （２）（０１１）２＝１×２ ０＋１×２１＋０×２２＝３， （１１１）２＝１×２ ０＋１×２１＋１×２２＝７， （１００）２＝０×２ ０＋０×２１＋１×２２＝４， （１０１）２＝１×２ ０＋０×２１＋１×２２＝５， ∴这个四位数字是３７４５． （３）（２０２５）８＝５×８ ０＋２×８１＋０×８２＋２×８３＝１０４５． １０．【命题立意】本题考查新方法“割尾法”的应用． （１）解：６０５－５×２＝５９５，５９－５×２＝４９， ∵４９可以被７整除， ∴６０５５可以被７整除． （２）证明：∵ａｂ－２ｃ是７的倍数， ∴设ａｂ－２ｃ＝７ｋ（ｋ为整数）， 即 １０ａ＋ｂ－２ｃ＝７ｋ（ｋ为整数）， ∵ａｂｃ＝１００ａ＋１０ｂ＋ｃ ＝１０（１０ａ＋ｂ－２ｃ）＋２１ｃ ＝１０×７ｋ＋２１ｃ ＝７（１０ｋ＋３ｃ）， ∵ｋ，ｃ为整数， ∴７（１０ｋ＋３ｃ）能被７整除， ∴ａｂｃ能被７整除．                                                                       众相原创· 陕西数学