2025年陕西省初中学业水平考试数学方向卷(八)-【众相原创】2025年陕西中考数学方向卷

２９　　 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（八） 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（八） ２０２５年陕西省初中学业水平考试 数学 方向卷（八） （总分：１２０分　考试时间：１２０分钟） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第一部分（选择题 共 ２４分） 一、选择题（共８小题，每小题３分，计２４分．每小题只有一个选项是符合题意的） １．下列四个数中，绝对值最大的是 （Ｄ ） Ａ．２ Ｂ．－ １ ３ Ｃ．０ Ｄ．－３ ２．２０２４陕西中考方向 面动成体 如图，正方形ＡＢＣＤ的边长为２，将正方形ＡＢＣＤ绕ＡＢ所在直线旋转 一周，所得圆柱的主视图的面积为 （Ａ ） Ａ．８ Ｂ．４ Ｃ．８π Ｄ．４π 第２题图 　　　 第６题图 　　　 第７题图 　　　 第８题图 ３．下列计算正确的是 （　 ） Ａ．ｂ２＋ｂ３＝ｂ５ Ｂ．２ａ３ｂ÷ｂ＝２ａ３ Ｃ．（２ａ２）３＝６ａ６ Ｄ．（ａ－ｂ）２＝ａ２－ｂ２ ４．不等式２ｘ－１≤－７的解集为 （　 ） Ａ．ｘ＜－３ Ｂ．ｘ≤－３ Ｃ．ｘ＞－３ Ｄ．ｘ≥－３ ５．在平面直角坐标系中，若将直线ｙ＝－２ｘ＋ｍ向下平移３个单位长度后，恰好经过原点，则直线ｙ＝－２ｘ＋ ｍ与ｘ轴的交点坐标为 （Ａ ） Ａ．（１．５，０） Ｂ．（－１，０） Ｃ．（－１．５，０） Ｄ．（１，０） ６．２０２５例析与指导方向 旋转 如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝６０°，ＡＢ＝２，ＢＣ＝３，以点 Ａ为旋转中心，将 △ＡＢＣ按逆时针方向旋转，得到△ＡＤＥ，点Ｄ恰好落在边ＢＣ上，ＤＥ与ＡＣ交于点Ｆ，则ＤＦ的长为 （Ｃ ） Ａ． １ ２ Ｂ． １ ３ Ｃ． ２ ３ Ｄ． ３ ４ ７．如图，正五边形ＡＢＣＤＥ的外接圆为⊙Ｏ，Ｐ为劣弧ＡＢ ) 上一点，则∠ＡＰＢ＝ （Ｄ ） Ａ．１３６° Ｂ．１６２° Ｃ．１０８° Ｄ．１４４° ８．二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象如图所示，给出下列结论：①ｃ＞０；②－ ｂ ２ａ ＜０；③ａ＋ｂ＋ｃ＜０；④当－３＜ｘ＜２时， ｙ＞０．其中所有正确结论的序号是 （Ｂ ） Ａ．①②③ Ｂ．①②④ Ｃ．①③④ Ｄ．②③④ 第二部分（非选择题　共 ９６分） 二、填空题（共５小题，每小题３分，计１５分） ９．分解因式：２ｘ２－８ｘ＋８＝　　　　． １０．若ｘ＜ｙ，则－ ｘ ２ 　　　　－ ｙ ２ （填“＞”或“＜”）． １１．如图，正方形ＡＢＣＤ的面积为４，点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别为边ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＡＤ的中点，则四边形ＥＦＧＨ的面 积为　　　　． 第１１题图 　　　 第１２题图 　　　 第１３题图 １２．新课标方向 跨物理学科 根据物理学实验研究可知，在定量定温条件下，气体的体积与气体的压 强成反比．如图是某潜艇沉浮箱的示意图，将压强为１．０×１０５Ｐａ，体积为６００ｍ３的空气压入气舱．若 温度保持不变，气舱容积为１２ｍ３，则气舱内的压强为　　　　Ｐａ． １３．如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，∠Ｃ＝９０°，ＣＤ＝３，ｔａｎ∠ＤＢＣ＝ １ ２ ，点 Ｍ，Ｎ在 ＢＤ上运动，且 ＭＮ＝ １ ３ ＢＤ，点Ｅ，Ｆ分别在ＢＣ，ＡＤ上，连接ＥＭ，ＮＦ，若∠ＭＥＣ＝４５°，ＭＥ∥ＮＦ，则ＭＥ＋ＮＦ的值为　　　　． 三、解答题（共１３小题，计８１分．解答题应写出过程） １４．（本题满分５分）计算：（－２）２＋３－槡 ８＋（－３）×２． 【命题立意】本题考查乘方、立方根、有理数的乘法． 解：原式＝４－２－６ （３分）…………………………………………………………………………………………… ＝－４． （５分）………………………………………………………………………………………… １５．（本题满分５分）解方程： ｘ ｘ－２ －１＝ ８ ｘ２－４ ． 【命题立意】本题考查解分式方程． 解：方程可化为 ｘ ｘ－２ －１＝ ８ （ｘ＋２）（ｘ－２） ， （２分）…………………………………………………………………… 方程两边同乘（ｘ＋２）（ｘ－２），得ｘ（ｘ＋２）－（ｘ＋２）（ｘ－２）＝８， （３分）……………………………………………… ∴原分式方程无解． （５分）………………………………………………………………………………… １６．（本题满分５分）先化简，再求值：（２ｍ＋ｎ）２－（ｍ＋５ｎ）（ｍ－ｎ），其中ｍ＝２，ｎ＝－１． ３０　 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（八） 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（八） １７．（本题满分５分）如图，已知△ＡＢＣ，请用尺规作图法，在ＡＣ边上作一点Ｄ，使点Ｄ到ＡＢ，ＢＣ两边所 在的直线的距离相等，在ＡＢ边上作一点Ｅ，使ＤＥ∥ＢＣ．（保留作图痕迹，不写作法） 第１７题图 【命题立意】本题考查尺规作图———复杂作图、平行线的判定、角平分线的性质． １８．（本题满分５分）如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＣＤ，ＡＣ＝ＡＤ，Ｅ为 ＣＤ上一点，且 ＥＤ＝ＡＢ．求证：ＢＣ ＝ＡＥ． 第１８题图 【命题立意】本题考查全等三角形的判定与性质． 证明：∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠ＢＡＣ＝∠ＡＣＤ． ∵ＡＣ＝ＡＤ，∴∠ＡＣＤ＝∠ＡＤＣ， ∴∠ＢＡＣ＝∠ＡＤＣ． （３分）…………………………………………………………………… 在△ＡＢＣ和△ＤＥＡ中， ＡＢ＝ＥＤ， ∠ＢＡＣ＝∠ＡＤＥ， ＡＣ＝ＡＤ， { ∴△ＡＢＣ≌△ＤＥＡ（ＳＡＳ）， ∴ＢＣ＝ＡＥ． （５分）………………………………………………………………………………………… １９．（本题满分５分）在诺贝尔奖历史上，诺贝尔物理学奖是华人获奖最多的领域，共有６位华人科学家 获奖，分别是杨振宁、李政道、丁肇中、朱棣文、崔琦、高锟．小轩家刚好有《杨振宁传》《李政道传》《丁 肇中传》《高锟传》四本传记书，小轩阅读完后任选一本写读后感． （１）小轩选到《朱棣文传》是　　　　事件；（填“随机”“必然”或“不可能”） （２）小轩的妹妹也从这四本传记书中任选一本写读后感，请用列表或画树状图的方法，求他们恰好选 到同一本书写读后感的概率． 【命题立意】本题考查随机事件、列表法与画树状图法、概率公式． 解：（１）由题意得，小轩选到《朱棣文传》是不可能事件．故答案为不可能． （２分）……………………………… （２）将《杨振宁传》《李政道传》《丁肇中传》《高锟传》四本传记书分别记为Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ， 列表如下： Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ （Ａ，Ａ） （Ａ，Ｂ） （Ａ，Ｃ） （Ａ，Ｄ） Ｂ （Ｂ，Ａ） （Ｂ，Ｂ） （Ｂ，Ｃ） （Ｂ，Ｄ） Ｃ （Ｃ，Ａ） （Ｃ，Ｂ） （Ｃ，Ｃ） （Ｃ，Ｄ） Ｄ （Ｄ，Ａ） （Ｄ，Ｂ） （Ｄ，Ｃ） （Ｄ，Ｄ） ２０．（本题满分５分）新课标方向 现实生活情境 春节来临之际，某工艺品店用红纸制作春联和福字两 种装饰品，一副春联和两个福字配成一套销售．该工艺品店共有红纸７０张，一张红纸能制作２副春 联或制作１０个福字．应该怎样分配红纸才能使制作的春联和福字刚好配套？ 【命题立意】本题考查一元一次方程的应用． 解：设应分配ｘ张红纸制作春联，则分配（７０－ｘ）张红纸制作福字． 根据题意得２×２ｘ＝１０（７０－ｘ）， （３分）……………………………………………………………………………… 解得ｘ＝５０， ∴７０－ｘ＝７０－５０＝２０． 答：应分配５０张红纸制作春联，２０张红纸制作福字，才能使制作的春联和福字刚好配套． （５分）………… ２１．（本题满分６分）新课标方向 现实生活情境 超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道 内的Ｃ，Ｅ两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且Ａ， Ｄ，Ｂ，Ｆ在同一直线上．点Ｃ，点Ｅ到ＡＢ的距离分别为ＣＤ，ＥＦ，且ＣＤ＝ＥＦ＝７ｍ，ＣＥ＝８９５ｍ，在Ｃ处 测得Ａ点的俯角为３０°，在Ｅ处测得Ｂ点的俯角为４５°，小型汽车从点Ａ行驶到点Ｂ所用时间为４５ｓ． 若该隧道限速８０ｋｍ／ｈ，判断该小型汽车从点Ａ行驶到点Ｂ是否超速？并通过计算说明理由．（参考 数据：槡２≈１．４，槡３≈１．７） 第２１题图 【命题立意】本题考查解直角三角形的应用———仰角俯角问题． 解：该小型汽车从点Ａ行驶到点Ｂ没有超速．理由如下： 根据题意得，四边形ＣＤＦＥ是矩形，∠ＣＡＤ＝３０°，∠ＥＢＦ＝４５°， ∴ＤＦ＝ＣＥ＝８９５ｍ． 在Ｒｔ△ＥＢＦ中，ＢＦ＝ ＥＦ ｔａｎ∠ＥＢＦ ＝７ １ ＝７（ｍ）， ∴ＤＢ＝ＤＦ－ＢＦ＝８９５－７＝８８８（ｍ）． （２分）………………………………………………………………………… 在Ｒｔ△ＡＣＤ中，ＡＤ＝ ＣＤ ｔａｎ∠ＣＡＤ ＝７ 槡３ ３ ＝７槡３≈１２（ｍ）， ∴ＡＢ＝ＡＤ＋ＤＢ≈１２＋８８８＝９００（ｍ）． （４分）……………………………………………………………………… ∵９００÷４５＝２０（ｍ／ｓ）＝７２（ｋｍ／ｈ），７２＜８０， ∴该小型汽车从点Ａ行驶到点Ｂ没有超速． （６分）………………………………………………………… ３１　　 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（八） 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（八） ２２．（本题满分７分）新课标方向 现实生活情境 在一个长２０ｄｍ，宽１５ｄｍ，深１０ｄｍ的长方体水槽中 已有深３ｄｍ的水，现在往水槽中注水，注水后水槽中的水位每分钟上升０．２ｄｍ． （１）设水槽中的总水量为ｙ（ｄｍ３），注水时间为ｘ（ｍｉｎ），求ｙ与ｘ的函数表达式； （２）出于安全原因，当水深达到９ｄｍ就停止注水，那么需往水槽注水几分钟？注水多少？（单位：ｄｍ３） 【命题立意】本题考查一次函数的应用． 解：（１）根据题意，得ｙ＝２０×１５（０．２ｘ＋３）＝６０ｘ＋９００， ∴ｙ与ｘ的函数表达式为ｙ＝６０ｘ＋９００． （４分）…………………………………………………………………… （２）（９－３）÷０．２＝３０（ｍｉｎ）， ２０×１５×（９－３）＝１８００（ｄｍ３）． 答：需往水槽注水３０ｍｉｎ，注水１８００ｄｍ３． （７分）…………………………………………………………… ２３．（本题满分７分）国家利益高于一切，国家安全人人有责，４月１５日是全民国家安全教育日，某校开 展了“树牢总体国家安全观，感悟新时代国家安全成就”的国安知识竞赛，随机抽取ｍ名学生进行测 试，对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，成绩划分为Ａ（９０≤ｘ≤１００），Ｂ（８０≤ｘ＜９０），Ｃ（７０≤ｘ＜ ８０），Ｄ（６０≤ｘ＜７０）四个等级，并制作出不完整的统计图如图所示： 第２３题图 Ｂ等级数据（单位：分）：８０，８０，８０，８１，８２，８５，８６，８６，８８，８９． 根据以上信息，解答下列问题： （１）补全条形统计图，并填空：ｍ＝　　　　，ｎ＝　　　　； （２）抽取的ｍ名学生中，Ｂ等级成绩的中位数是　　　　分，众数是　　　　分； （３）这所学校共有１８００名学生，若全部参加这次竞赛，请你估计成绩能达到Ａ等级的学生人数． 【命题立意】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、众数和用样本估计总体，解答本题的关键是明确题 意，利用数形结合的思想解答． 解：（１）补全条形统计图如图． （１分）……………………………………………………………………………… ｍ＝５÷１０％＝５０，∴ｎ％＝ １０ ５０ ×１００％＝２０％，∴ｎ＝２０．故答案为５０，２０． （３分）…………………………………… （２）Ｂ等级成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数是８２和８５，因此中位数是 ８２＋８５ ２ ＝８３．５（分）， 成绩出现次数最多的是８０，因此众数是８０分．故答案为８３．５，８０． （５分）……………………………………… （３）１８００× ２０ ５０ ＝７２０（人）， ∴估计成绩能达到Ａ等级的学生人数有７２０人． （７分）…………………………………………………… ２４．（本题满分８分）如图，以ＡＢ为直径的⊙Ｏ上有Ｃ，Ｄ两点，过点Ｃ作⊙Ｏ的切线ＣＥ，连接ＡＤ并延长 交ＣＥ于点Ｅ，连接ＡＣ，ＡＣ平分∠ＢＡＤ． （１）求证：∠ＡＥＣ＝９０°； （２）若ＡＤ＝６，ＣＥ＝２，求⊙Ｏ的半径． 第２４题图 ３２　 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（八） 众相原创·２０２５陕西中考方向卷（八） ２５．（本题满分８分）某游乐园有一个直径为１６米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水 柱为抛物线，在距水池中心３米处达到最高，高度为５米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的 装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为ｘ轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系． （１）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； （２）请求出在距离水池中心５米处，水柱距地面的高度为多少米？ （３）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高１．８米的王师傅站立时 必须在离水池中心多少米以内？ 第２５题图 【命题立意】本题考查二次函数的应用．根据得到的抛物线 的顶点坐标，用待定系数法求得抛物线的解析式是解决本 题的关键． 解：（１）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式 为ｙ＝ａ（ｘ－３）２＋５（ａ≠０）． ∵经过点（８，０），∴０＝ａ（８－３）２＋５，解得ａ＝－ １ ５ ， ∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为ｙ＝－ １ ５ （ｘ－３）２＋５（０＜ｘ＜８）． （３分）……………………… （２）当ｘ＝５时，ｙ＝－ １ ５ ×（５－３）２＋５＝４．２， ∴在距离水池中心５米处，水柱距地面的高度为４．２米． （５分）………………………………………………… （３）当ｙ＝１．８时，１．８＝－ １ ５ （ｘ－３）２＋５．解得ｘ１＝７，ｘ２＝－１（不合题意，舍去）． 答：为了不被淋湿，身高１．８米的王师傅站立时必须在离水池中心７米以内． （８分）……………………… ２６．（本题满分１０分）２０２５例析与指导方向 几何探究 问题背景 如图１，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＡＤ，∠ＢＡＤ＝１２０°，∠Ｂ＝∠ＡＤＣ＝９０°，点Ｅ，Ｆ分别是边ＢＣ，ＣＤ上的 点，且∠ＥＡＦ＝６０°，连接ＥＦ，探究线段ＢＥ，ＥＦ，ＤＦ之间的数量关系． 图１ 　　　 图２ 　　　 图３ 第２６题图 探究发现 （１）小明同学的方法是延长ＦＤ到点Ｇ，使ＤＧ＝ＢＥ，连接ＡＧ．先证明△ＡＢＥ≌△ＡＤＧ，再证明△ＡＥＦ≌ △ＡＧＦ，从而得出结论：　　　　； 拓展延伸 （２）如图２，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＡＤ，∠Ｂ＋∠Ｄ＝１８０°，Ｅ，Ｆ分别是边 ＢＣ，ＣＤ上的点，且∠ＥＡＦ＝ １ ２∠ ＢＡＤ，请问（１）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 尝试应用 （３）如图３，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＡＤ，∠Ｂ＋∠ＡＤＣ＝１８０°，Ｅ，Ｆ分别是边ＢＣ，ＣＤ延长线上的点，且 ∠ＥＡＦ＝ １ ２∠ ＢＡＤ，请探究线段ＢＥ，ＥＦ，ＤＦ具有怎样的数量关系，并证明． 【命题立意】本题是三角形综合探究题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线， 构造全等三角形解决问题． 解：（１）∵ＢＥ＝ＤＧ，∠ＡＢＥ＝∠ＡＤＧ＝∠ＡＤＣ＝９０°，ＡＢ＝ＡＤ，∴△ＡＢＥ≌△ＡＤＧ（ＳＡＳ），∴ＡＥ＝ＡＧ，∠ＢＡＥ＝ ∠ＤＡＧ，∴∠ＢＡＥ＋∠ＤＡＦ＝∠ＤＡＧ＋∠ＤＡＦ＝∠ＧＡＦ＝６０°，∴∠ＧＡＦ＝∠ＥＡＦ＝６０°．又∵ＡＦ＝ＡＦ，∴△ＡＧＦ ≌△ＡＥＦ（ＳＡＳ），∴ＦＧ＝ＥＦ．∵ＦＧ＝ＤＦ＋ＤＧ，∴ＥＦ＝ＢＥ＋ＤＦ．故答案为ＥＦ＝ＢＥ＋ＤＦ． （３分）……………… （２）（１）中的结论仍然成立．理由如下： 如解图１，延长ＣＢ至点Ｍ，使ＢＭ＝ＤＦ，连接ＡＭ． ∵∠ＡＢＣ＋∠Ｄ＝１８０°，∠１＋∠ＡＢＣ＝１８０°，∴∠１＝∠Ｄ． 在△ＡＢＭ和△ＡＤＦ中， ＡＢ＝ＡＤ， ∠１＝∠Ｄ， ＢＭ＝ＤＦ， { ∴△ＡＢＭ≌△ＡＤＦ（ＳＡＳ），∴ＡＭ＝ＡＦ，∠２＝∠３． ∵∠ＥＡＦ＝ １ ２∠ ＢＡＤ，∴∠２＋∠４＝ １ ２∠ ＢＡＤ＝∠ＥＡＦ， ∴∠３＋∠４＝∠ＥＡＦ，即∠ＥＡＭ＝∠ＥＡＦ． 在△ＡＭＥ和△ＡＦＥ中， ＡＭ＝ＡＦ， ∠ＥＡＭ＝∠ＥＡＦ， ＡＥ＝ＡＥ， { ∴△ＡＭＥ≌△ＡＦＥ（ＳＡＳ），∴ＥＦ＝ＭＥ，即ＥＦ＝ＢＥ＋ＢＭ， ∴ＥＦ＝ＢＥ＋ＤＦ． （６分）……………………………………………………………………………………………… （３）结论：ＥＦ＝ＢＥ－ＤＦ．证明如下： 如解图２，在ＢＥ上截取ＢＧ，使ＢＧ＝ＤＦ，连接ＡＧ． ∵∠Ｂ＋∠ＡＤＣ＝１８０°，∠ＡＤＦ＋∠ＡＤＣ＝１８０°，∴∠Ｂ＝∠ＡＤＦ． 在△ＡＢＧ和△ＡＤＦ中， ＡＢ＝ＡＤ， ∠ＡＢＧ＝∠ＡＤＦ， ＢＧ＝ＤＦ， { ∴△ＡＢＧ≌△ＡＤＦ（ＳＡＳ），∴∠ＢＡＧ＝∠ＤＡＦ，ＡＧ＝ＡＦ， １８　 　 方 向 卷 ︵ 八 ︶ 槡２ ２ ＡＣ． （７分）………………………………………… 结合矩形的性质可得 ＰＮ＝ＣＤ＝ＢＣ＝ＭＱ＝槡 ２ ２ ＡＣ， ＢＭ＝ＣＱ＝ＣＰ＝ＤＮ＝槡 ２ ２ ＣＧ， ∴ＭＦ＝ＮＨ＝ＧＦ－ＧＱ－ＭＱ＝槡 ２ ２ （ＡＥ＋ＡＣ＋ＣＧ）－槡 ２ ２ ＣＧ－ 槡２ ２ ＡＣ＝槡 ２ ２ ＡＥ， ∴ＢＦ２＝ＭＦ２＋ＢＭ２＝ １ ２ ＡＥ２＋ １ ２ ＣＧ２． ∵以ＡＣ，ＡＥ，ＣＧ为边的三角形是一个直角三角形 （ＡＣ＞ＡＥ≥ＣＧ）， ∴ＡＣ２＝ＡＥ２＋ＣＧ２，∴ＦＢ＝ １ ２ ＡＣ槡 ２＝槡２ ２ ＡＣ． 同理可得 ＤＨ＝槡 ２ ２ ＡＣ，∴ＦＢ＋ＢＤ＋ＤＨ＝槡 ２ ２ ＡＣ＋ＡＣ＋ 槡２ ２ ＡＣ＝（槡２＋１）ＡＣ， （９分）………………………… ∵正方形ＡＢＣＤ，ＡＢ＝ＢＣ＝２０ｍ，∴ＡＣ＝ 槡２０２ｍ， ∴ＦＢ＋ＢＤ＋ＤＨ＝（槡２＋１）× 槡２０２＝（４０＋ 槡２０２）ｍ，是定 值． （１０分）…………………………………………… ２０２５年陕西省初中学业水平考试 数学 方向卷（八） 选择题快速对答案 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ａ Ｂ Ｂ Ａ Ｃ Ｄ Ｂ ６．Ｃ　【命题立意】本题考查旋转的性质、勾股定理和相 似三角形的判定与性质． 【解析】如解图，过点Ａ作ＡＨ⊥ＢＣ于点Ｈ．∵将△ＡＢＣ 按逆时针方向旋转，得到△ＡＤＥ，点 Ｄ恰好落在边 ＢＣ 上，∴ＡＢ＝ＡＤ＝２，∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ，ＡＥ＝ＡＣ，∠ＡＤＥ＝ ∠Ｂ＝６０°，ＤＥ＝ＢＣ＝３，∴△ＡＢＤ为等边三角形，∴ＢＤ＝ ＡＢ＝２，∠ＢＡＤ＝６０°，∴∠ＣＡＥ＝６０°．∵ＡＨ⊥ＢＤ，∴ＢＨ＝ ＤＨ＝ １ ２ ＢＤ＝１．在 Ｒｔ△ＡＤＨ中，ＡＨ＝ ２２－１槡 ２＝槡３．在 Ｒｔ△ＡＣＨ中，∵ＡＨ＝槡３，ＣＨ＝ＢＣ－ＢＨ＝３－１＝２，∴ＡＣ＝ （槡３） ２＋２槡 ２ ＝槡７，∴ ＡＥ＝槡７．∵∠ＡＥＦ＝∠ＤＥＡ， ∠ＥＡＦ＝∠ＡＤＥ，∴△ＥＡＦ∽△ＥＤＡ，∴ＥＦ∶ＡＥ＝ＡＥ∶ ＥＤ，即ＥＦ 槡∶７＝槡７∶３，解得 ＥＦ＝ ７ ３ ，∴ＤＦ＝ＤＥ－ＥＦ ＝３－ ７ ３ ＝２ ３ ．故选Ｃ． 第６题解图 ９．２（ｘ－２）２　１０．＞　１１．２　１２．５×１０６ １３ 槡．２２　【命题立意】本题考查等腰直角三角形的判定 与性质、解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方 法与技巧是解决问题的关键． 【解析】如解图，过点Ｍ作ＭＨ⊥ＢＣ于点Ｈ，过点Ｎ作 ＮＫ⊥ＡＤ于点Ｋ．设ＭＨ＝ａ，ＮＫ＝ｂ．在△ＢＣＤ中，∠Ｃ＝ ９０°，ＣＤ＝３，ｔａｎ∠ＤＢＣ＝ １ ２ ，∴ｔａｎ∠ＤＢＣ＝ ＣＤ ＢＣ ＝１ ２ ， ∴ＢＣ＝２ＣＤ＝６．由勾股定理得ＢＤ＝ ＢＣ２＋ＣＤ槡 ２＝槡３５． ∵ＭＮ＝ １ ３ ＢＤ，∴ＢＭ＋ＤＮ＝ ２ ３ ＢＤ＝ ２ ３ × 槡３５＝ 槡２５． ∵∠ＭＥＣ＝４５°，ＭＨ⊥ＢＣ，∴△ＭＥＨ为等腰直角三角 形，∴ＥＨ＝ＭＨ＝ａ，∠ＨＭＥ＝∠ＨＥＭ＝４５°，由勾股定理 得ＭＥ＝ ＭＨ２＋ＥＨ槡 ２＝槡２ａ．在 Ｒｔ△ＢＭＨ中，ｔａｎ∠ＤＢＣ ＝ＭＨ ＢＨ ＝１ ２ ，∴ＢＨ＝２ＭＨ＝２ａ，由勾股定理得 ＢＭ＝ ＭＨ２＋ＢＨ槡 ２＝槡５ａ．∵ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＡＤＢ＝∠ＤＢＣ， ∴ｔａｎ∠ＡＤＢ＝ｔａｎ∠ＤＢＣ＝ １ ２ ．在 Ｒｔ△ＤＮＫ中， ｔａｎ∠ＡＤＢ＝ ＮＫ ＤＫ ＝１ ２ ，∴ＤＫ＝２ＮＫ＝２ｂ，由勾股定理得 ＤＮ＝ ＤＫ２＋ＮＫ槡 ２＝槡５ｂ，∴ＢＭ＋ＤＮ＝槡５ａ＋槡５ｂ＝槡２５， ∴ａ＋ｂ＝２．∵ＭＨ⊥ＢＣ，ＮＫ⊥ＡＤ，ＡＤ∥ＢＣ，∴ＭＨ∥ＮＫ． 又∵ＭＥ∥ＮＦ，∴∠ＨＭＥ＝∠ＫＮＦ＝４５°，∴△ＫＮＦ为等 腰直角三角形，∴ＮＫ＝ＦＫ＝ｂ，由勾股定理得 ＮＦ＝ ＮＫ２＋ＦＫ槡 ２＝槡２ｂ，∴ＭＥ＋ＮＦ＝槡２ａ＋槡２ｂ＝ 槡２２．故答 案为 槡２２． 第１３题解图 １４．【命题立意】本题考查乘方、立方根、有理数的乘法． 解：原式＝－４． （５分）………………………………… １５．【命题立意】本题考查解分式方程． 解：原分式方程无解． （５分）………………………… １６．【命题立意】本题考查整式的化简求值． 解：原式＝３ｍ２＋６ｎ２， （４分）………………………… 当ｍ＝２，ｎ＝－１时，原式＝１８． （５分）……………… １７．【命题立意】本题考查尺规作图———复杂作图、平行 线的判定、角平分线的性质． 解：如解图，点Ｄ，Ｅ即为所求． （５分）……………… 第１７题解图 １８．【命题立意】本题考查全等三角形的判定与性质． 证明略．                                                                       众相原创· 陕西数学 １９　 　 方 向 卷 ︵ 八 ︶ １９．【命题立意】本题考查随机事件、列表法与画树状图 法、概率公式． 解：（１）不可能． （２分）……………………………… （２）将《杨振宁传》《李政道传》《丁肇中传》《高锟传》 四本传记书分别记为Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ， 列表略． （４分）……………………………………… 由表可知，共有１６种等可能的结果，其中他们恰好选 到同一本书写读后感的结果有４种， ∴他们恰好选到同一本书写读后感的概率为 ４ １６ ＝ １ ４ ． （５分）…………………………………………… ２０．【命题立意】本题考查一元一次方程的应用． 解：设应分配ｘ张红纸制作春联，则分配（７０－ｘ）张红 纸制作福字． 根据题意得２×２ｘ＝１０（７０－ｘ）， （３分）……………… 解得ｘ＝５０， ∴７０－ｘ＝７０－５０＝２０． 答：应分配５０张红纸制作春联，２０张红纸制作福字， 才能使制作的春联和福字刚好配套． （５分）……… ２１．【命题立意】本题考查解直角三角形的应用———仰角 俯角问题． 解：该小型汽车从点 Ａ行驶到点 Ｂ没有超速．理由 如下： 根据题意得，四边形 ＣＤＦＥ是矩形，∠ＣＡＤ＝３０°， ∠ＥＢＦ＝４５°，∴ＤＦ＝ＣＥ＝８９５ｍ． 在Ｒｔ△ＥＢＦ中，ＢＦ＝ ＥＦ ｔａｎ∠ＥＢＦ ＝７ １ ＝７（ｍ）， ∴ＤＢ＝ＤＦ－ＢＦ＝８９５－７＝８８８（ｍ）． （２分）………… 在Ｒｔ△ＡＣＤ中，ＡＤ＝ ＣＤ ｔａｎ∠ＣＡＤ ＝７ 槡３ ３ ＝槡７３≈１２（ｍ）， ∴ＡＢ＝ＡＤ＋ＤＢ≈１２＋８８８＝９００（ｍ）． （４分）………… ∵９００÷４５＝２０（ｍ／ｓ）＝７２（ｋｍ／ｈ），７２＜８０， ∴该小型汽车从点Ａ行驶到点Ｂ没有超速． （６分） ……… …………………………………………… ２２．【命题立意】本题考查一次函数的应用． 解：（１）根据题意，得ｙ＝２０×１５（０．２ｘ＋３）＝６０ｘ＋９００， ∴ｙ与ｘ的函数表达式为ｙ＝６０ｘ＋９００． （４分）…… （２）（９－３）÷０．２＝３０（ｍｉｎ）， ２０×１５×（９－３）＝１８００（ｄｍ３）． 答：需往水槽注水３０ｍｉｎ，注水１８００ｄｍ３． （７分） ………… …………………………………………… ２３．【命题立意】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位 数、众数和用样本估计总体，解答本题的关键是明确 题意，利用数形结合的思想解答． 解：（１）补全条形统计图略． （１分）………………… ５０；２０． （３分）………………………………………… （２）８３．５；８０． （５分）………………………………… （３）１８００× ２０ ５０ ＝７２０（人）， ∴估计成绩能达到Ａ等级的学生人数有７２０人． （７分） … …………………………………………… ２４．【命题立意】本题考查切线的性质、等腰三角形的性 质、平行线的判定、矩形的判定与性质、圆周角定理和 垂径定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解 题的关键． （１）证明略． （３分）………………………………… （２）解：如解图，连接ＢＤ，设ＯＣ与ＢＤ交于点Ｈ． 第２４题解图 ∵ＡＢ为⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＤＢ＝９０°． ∵∠ＥＤＢ＝∠ＯＣＥ＝∠ＡＥＣ＝９０°， ∴四边形ＣＥＤＨ为矩形， ∴ＤＨ＝ＣＥ＝２，∠ＣＨＤ＝９０°，∴ＯＨ⊥ＢＤ， ∴ＢＨ＝ＤＨ＝２，∴ＢＤ＝４． （６分）…………………… 在Ｒｔ△ＡＢＤ中，∵ＡＤ＝６，ＢＤ＝４， ∴ＡＢ＝ ６２＋４槡 ２＝ 槡２ １３， ∴⊙Ｏ的半径为槡１３． （８分）……………………… ２５．【命题立意】本题考查二次函数的应用．根据得到的 抛物线的顶点坐标，用待定系数法求得抛物线的解 析式是解决本题的关键． 解：（１）水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达 式为ｙ＝－ １ ５ （ｘ－３）２＋５（０＜ｘ＜８）． （３分）…………… （２）当ｘ＝５时，ｙ＝－ １ ５ ×（５－３）２＋５＝４．２， ∴在距离水池中心５米处，水柱距地面的高度为４．２ 米． （５分）…………………………………………… （３）当ｙ＝１．８时，１．８＝－ １ ５ （ｘ－３）２＋５． 解得ｘ１＝７，ｘ２＝－１（不合题意，舍去）． 答：为了不被淋湿，身高 １．８米的王师傅站立时必须 在离水池中心７米以内． （８分）…………………… ２６．【命题立意】本题是三角形综合探究题，考查了三角 形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅 助线，构造全等三角形解决问题． 解：（１）ＥＦ＝ＢＥ＋ＤＦ． （３分）………………………… （２）（１）中的结论仍然成立．理由如下： 如解图１，延长ＣＢ至点Ｍ，使ＢＭ＝ＤＦ，连接ＡＭ． ∵∠ＡＢＣ＋∠Ｄ＝１８０°，∠１＋∠ＡＢＣ＝１８０°， ∴∠１＝∠Ｄ．                                                                       众相原创· 陕西数学 ２０　 　 方 向 卷 ︵ 九 ︶ 在△ＡＢＭ和△ＡＤＦ中， 第２６题解图１ ＡＢ＝ＡＤ， ∠１＝∠Ｄ， ＢＭ＝ＤＦ，{ ∴ △ＡＢＭ ≌ △ＡＤＦ （ＳＡＳ）， ∴ＡＭ＝ＡＦ，∠２＝∠３． ∵∠ＥＡＦ＝ １ ２∠ ＢＡＤ，∴∠２＋∠４＝ １ ２∠ ＢＡＤ＝∠ＥＡＦ， ∴∠３＋∠４＝∠ＥＡＦ，即∠ＥＡＭ＝∠ＥＡＦ． 在△ＡＭＥ和△ＡＦＥ中， ＡＭ＝ＡＦ， ∠ＥＡＭ＝∠ＥＡＦ， ＡＥ＝ＡＥ，{ ∴△ＡＭＥ≌△ＡＦＥ（ＳＡＳ）， ∴ＥＦ＝ＭＥ，即ＥＦ＝ＢＥ＋ＢＭ， ∴ＥＦ＝ＢＥ＋ＤＦ． （６分）……………………………… （３）结论：ＥＦ＝ＢＥ－ＤＦ．证明如下： 如解图２，在ＢＥ上截取ＢＧ，使ＢＧ＝ＤＦ，连接ＡＧ． 第２６题解图２ ∵∠Ｂ＋∠ＡＤＣ＝１８０°，∠ＡＤＦ＋ ∠ＡＤＣ＝１８０°，∴∠Ｂ＝∠ＡＤＦ． 在△ＡＢＧ和△ＡＤＦ中， ＡＢ＝ＡＤ， ∠ＡＢＧ＝∠ＡＤＦ， ＢＧ＝ＤＦ，{ ∴△ＡＢＧ≌△ＡＤＦ（ＳＡＳ）， ∴∠ＢＡＧ＝∠ＤＡＦ，ＡＧ＝ＡＦ， ∴∠ＢＡＧ＋∠ＥＡＤ＝∠ＤＡＦ＋∠ＥＡＤ＝∠ＥＡＦ＝ １ ２∠ ＢＡＤ， ∴∠ＧＡＥ＝∠ＥＡＦ． 又∵ＡＥ＝ＡＥ，∴△ＡＥＧ≌△ＡＥＦ（ＳＡＳ），∴ＥＧ＝ＥＦ． ∵ＥＧ＝ＢＥ－ＢＧ，∴ＥＦ＝ＢＥ－ＤＦ． （１０分）…………… ２０２５年陕西省初中学业水平考试 数学 方向卷（九） 选择题快速对答案 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｄ Ａ Ｄ Ａ Ｄ Ｄ Ａ ９．－１　１０ 槡．９２π　１１． ３ ２ １２．－８　【命题立意】本题考查反比例函数图象上点的坐 标特征． 【解析】如解图，过点Ａ作ＡＭ⊥ｘ轴于点Ｍ，过点Ｂ作 ＢＮ⊥ｘ轴于点 Ｎ，可得∠ＯＭＡ＝∠ＢＮＯ＝９０°，∴ ∠ＮＢＯ＋∠ＮＯＢ＝９０°．∵ＯＡ⊥ＯＢ，∴∠ＡＯＭ＋∠ＮＯＢ＝ ９０°，∴∠ＡＯＭ＝∠ＮＢＯ，∴△ＢＮＯ∽△ＯＭＡ，∴ ＯＭ ＢＮ ＝ ＡＭ ＯＮ ．∵点Ａ的坐标为（２，１），∴ＯＭ＝２，ＡＭ＝１，∴ ＢＮ ＯＮ ＝２．可设Ｂ（－ｔ，２ｔ），∵ＡＣ＝ＢＣ，∴点Ｃ是Ｒｔ△ＡＯＢ斜 边上的中点，∴Ｃ（ －ｔ＋２ ２ ， ２ｔ＋１ ２ ）．∵点 Ｃ在 ｙ轴上，∴ －ｔ＋２ ２ ＝０，解得ｔ＝２，∴Ｂ（－２，４），将Ｂ（－２，４）代入ｙ＝ ｋ ｘ 得ｋ＝－８．故答案为－８． 第１２题解图 　　　 第１３题解图 １３． ８１ ８ 　【命题立意】本题考查正方形的性质、解直角三 角形、二次函数的性质，解题的关键是学会利用参数 构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题． 【解析】如解图，过点Ｅ作ＥＭ⊥ＢＡ交ＢＡ的延长线于 点Ｍ，过点Ｃ作 ＣＮ⊥ＭＡ于点 Ｎ，过点 Ａ作 ＡＨ⊥ＢＣ 于点 Ｈ．在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝６，∠ＢＡＣ＝１２０°，∴ ∠ＣＡＮ＝６０°，∴ＣＮ＝槡 ３ ２ ＡＣ＝槡３３，ＡＮ＝ １ ２ ＡＣ＝３，∴ＢＮ ＝ＡＢ＋ＡＮ＝６＋３＝９．设 ＢＤ＝ｘ，则 ＤＮ＝９－ｘ．∵四边形 ＣＤＥＦ是正方形，∴ＤＥ＝ＤＣ，∠ＥＤＣ＝∠ＥＭＤ＝∠ＤＮＣ ＝９０°，∴∠ＥＤＭ＋∠ＡＤＣ＝９０°，∠ＡＤＣ＋∠ＤＣＮ＝９０°， ∴∠ＥＤＭ＝∠ＤＣＮ，∴△ＥＭＤ≌△ＤＮＣ（ＡＡＳ），∴ＥＭ ＝ＤＮ＝９－ｘ，∴Ｓ△ＢＤＥ＝ １ ２ ＢＤ·ＥＭ＝ １ ２ ｘ（９－ｘ）＝－ １ ２ ｘ２ ＋９ ２ ｘ＝－ １ ２ （ｘ－ ９ ２ ）２＋ ８１ ８ ．∵－ １ ２ ＜０，∴当 ｘ＝ ９ ２ 时， △ＢＤＥ的面积最大，最大值为 ８１ ８ ．故答案为 ８１ ８ ． １４．【命题立意】本题考查绝对值、零指数幂、二次根式的 乘法运算． 解：原式＝３－槡３２． （５分）…………………………… １５．【命题立意】本题考查解一元一次不等式组． 解：不等式组的解集为ｘ＜－４． （５分）……………… １６．【命题立意】本题考查分式的混合运算． 解：原式＝ ｍ－２ ３ ． （５分）……………………………… １７．【命题立意】本题考查尺规作图———基本作图． 解：如解图，点Ｐ即为所求． （５分）………………… 第１７题解图 １８．【命题立意】本题考查全等三角形的判定与性质、菱 形的性质． 证明略．                                                                       众相原创· 陕西数学