第９章　中心对称图形——平行四边形　-期末复习讲义　　2024—2025学年苏科版数学八年级下册

平行四边形期末复习 【知识积累】 知识点一、平行四边形的性质与判定 性质 符号语言 图示 边 平行四边形的对边相等 ∵四边形是平行四边形， 角 平行四边形的对角相等 ∵四边形是平行四边形， 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形是平行四边形， 判定方法 数学语言 图形 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（定义） ∴四边形是平行四边形. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ∴四边形是平行四边形. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. （或）， ∴四边形是平行四边形. 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形. ∴四边形是平行四边形. 知识点二、矩形的性质和判定 矩形的性质： 1.矩形具有平行四边形的所有性质；即对边平行且相等，对角线互相平分；对角相等； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 矩形也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。 矩形的判定： 1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 知识点三、菱形的性质和判定 菱形的性质： 1、菱形具有平行四边形的所有性质；即对边平行且相等，对角线互相平分；对角相等 2、菱形的四条边都相等； 3、菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 4、菱形是轴对称图形，有两条对称轴，菱形也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。 菱形的判定： 1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3、四条边相等的四边形是菱形. 知识点四、正方形的性质和判定 正方形的性质： 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质； 1、边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2、角——四个角都是直角； 3、对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4、是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 正方形的判定： 1、有一组邻边相等的矩形是正方形。 2、有一个角是直角的菱形是正方形。 3、有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 知识点五、三角形的中位线 1、三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 2、几何语言： 在△ABC中， ∵点D、E分别是AC、BC的中点 ∴DE∥AB，DE＝AB． 【专项训练】 题型一、鼓楼区24年真题 1、下列以数学家命名的图形中，是中心对称图形的是（   ）． A．笛卡尔心形线 B．赵爽弦图 C．莱洛三角形 D．斐波那契螺旋线 【答案】B 2、如图，在四边形中，分别是的中点．下列结论： ①四边形是平行四边形； ②当时，四边形是菱形； ③当时，四边形是矩形． 其中所有正确结论的序号是（   ）． A． ①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 3、如图，在和中，M，N分别为对角线交点，已知，且与的周长分别为22与21，则四边形的周长为 ． 【答案】23 【详解】解：在和中，，，，，，，的周长，的周长， ，，四边形的周长，故答案为：23． 4、如图，在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点A，B坐标分别为，，则C点的坐标为 ． 【答案】/ 【详解】解：作轴于， 由正方形的两个顶点，坐标分别为，， ，又， ，，∴，∴，，∴．故答案为：． 5、已知有两张全等的矩形纸片，长是，宽是．如图将这两张纸片叠合得到菱形．设菱形的面积为，则s的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：当两张纸片叠合成如图1时，菱形的面积最小， 此时菱形为正方形，矩形的宽是，，正方形的面积为； 当两张纸片叠合成如图2时，菱形的面积最大， 矩形和矩形全等，，， 又，，，设 ， 则 ，在中，由勾股定理得， ，解得，即，， 的取值范围是，故答案为：． 6、如图，将绕点O按逆时针旋转得到，其中A与D是对应点，B与E是对应点，请借助于该图形用符号语言写出关于旋转的3条不同的性质． 【答案】①；②，，；③ 【详解】解：根据旋转不改变图形的形状及大小得：①；根据旋转不改变线段的长短得：②，，；根据旋转角相等可得：③． 7、如图，在中，分别以为边向内作和，且，连接． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若点E在对角线上，且所在直线平分，当四边形的面积为6时，的面积为_______． 【答案】(1)见解析(2)18 【详解】（1）证明：∵，∴，，，． ∵四边形是平行四边形，∴，．∴． 即． 在和中， ， ∴，∴．∵，，∴四边形是平行四边形． （2）解：连接，交于点Q，∵四边形的面积为6，四边形是平行四边形． ∴，，，．延长交于点N， ∵所在直线平分，∴．∴． ∴．∴．∴． ∴． ． 8、如图，菱形边长为6，，点P在边上，且，点Q是边上的一个动点，点Q从点A运动到点D．连接，将线段绕点P顺时针旋转得线段． (1)当点Q与点A重合时，在图中用直尺和圆规作出旋转后的线段； (2)在点Q运动过程中，求证：点在某一固定线段上运动； (3)直接写出线段长度的取值范围． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）解：以点A为圆心，以为半径画弧，交于点，连接线段， 则线段即为所求； （2）证明：以点A为圆心，以为半径画弧，交于点， 连接，∵菱形边长为6，，∴，∴是等边三角形， ∴，连接，并延长交于点F，根据旋转性质，得， ∴为等边三角形，∴，∴， ∵ ∴，∴，∴， ∴，∴四边形是平行四边形，∴，∴在点Q运动过程中，点在固定线段上运动． （3）解：∵菱形边长为6，，，四边形是平行四边形， ∴，过点D作于点G， 则，根据垂线段最短，得到线段的最小值为， 最大值为，故． 题型二、建邺区24年真题 1、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D．【答案】B 2、小明在学习“特殊平行四边形”一单元后，梳理了如图所示的特殊平行四边形之间的关系．以下选项分别表示A，B，C，D处填写的内容，则对应位置填写错误的选项是（    ） A．对角线夹角为 B．对角线垂直 C．对角线与一边夹角 D．对角线相等【答案】A 3、在中，若，则 【答案】/110度 4、如图，在中，点D、E分别是边、的中点，连接，的平分线交于点F，若，，则的长为 ． 【答案】1 【详解】∵点、分别为边、的中点，，∴，，∴是的中位线，∵，∴，，∴，∵的平分线交线段于点，∴，∴，∴，∴，故答案为：1 5、如图，正方形的对角线、相交于点，是上的一点，连接，过点作，交于点，若四边形的面积是，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：过作，，如图： 四边形是正方形， 平分，，，，， ，，， 四边形的面积是，正方形的面积为，，故答案为：． 6、如图，在中，，，．将绕点按逆时针方向旋转后得，直线、相交于点．取的中点，连接，则长的最大值为 ．    【详解】解：取的中点H，连接，如图：    ∵是由绕C点旋转得到，∴，设，则，在四边形中，在中，，，∴，中，，∵是中位线，∴，而，∴当F、H、G在一条直线上时，最大，最大值为，故答案为：． 7、如图，是由边长为1的小正方形构成的的网格图，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图． (1)在图①中画一个平行四边形，要求一条边长为且面积为12； (2)在图②中画一个矩形，要求一条边长为且面积为10． 【答案】(1)见详解(2)见详解 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： 8、如图，在中，平分，交于点，平分，交于点． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见详解(2)四边形是矩形 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，，平分，平分，，， ，∴，又，四边形是平行四边形．． （2）证明：，平分，，又四边形是平行四边形，四边形是矩形． 9、（1）【感知】如图①，将沿过点D的直线折叠，使点A的对应点落在边上的点F处，得到折痕，连接．若，则四边形的周长为________； （2）【探究】如图②，点E、G分别是的边上的点，将四边形沿折叠，点A、D的对应点分别为、，点恰好落在边上． ①求证：四边形为菱形； ②若，，，，则的长为________． 【答案】（1）；（2）①见解析；② 【详解】解：（1）【感知】如图 沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处， ，，，，，， ，，四边形的周长为16，即四边形的周长为16； （2）【探究】①证明：∵将四边形沿折叠，点A、D的对应点分别为、 ∴，∵∴∴∴∵ ∴四边形为平行四边形又∴四边形为菱形； ②．解：过作交延长线于，如图 四边形是平行四边形， ，，，设，则， 四边形为菱形，，，，， ，在中，，， 解得，． 题型三、玄武区24年真题 1、《周易》是中国传统思想文化中自然哲学与人文实践的理论根源，是古代汉民族思想、智慧的结晶，被誉为“大道之源”下列“卦象”是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D．答案：D 2、如图，在中，是的中位线，的平分线交于点，则线段的长为（ ） A．2 B． C．1 D．答案：C 3、在四边形中，对角线相交于点，且．添加下列条件：①；②；③；④．其中，能判定四边形是平行四边形的个数为（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个答案：C 4、已知一个菱形的面积是24，一条对角线长为6，则另一条对角线长为______答案：8 5、如图，在中，，将绕点顺时针旋转到的位置，使点恰好落在BC边上，连接，则=______°． 答案：65 6、如图，在中，分别是边上的动点，且，连接EF，P是EF的中点，连接BP，则线段BP的最小值为______． 答案： 7、如图，在中，分别是边上的点，且，连接，交于点交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是矩形，是的中点，则四边形的周长是______． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形．又． 四边形是平行四边形．同理，四边形是平行四边形． 四边形是平行四边形．（2）． 8、如图，在中，是对角线上的点，且．连接，分别是的中点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形： （2）若四边形是正方形，，则______． 【答案】（1）证明： 四边形是平行四边形， 在和中 分别是的中点， 又，四边形是平行四边形． （第26题） （2）． 9、【探索发现】 （1）在中，是对角线．求证： 如图①，过点分别作，垂足为．设，．证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．（用含的代数式表示） 【性质运用】 （2）如图②，在中，是边上的中线． ①若，求的长；（用含的代数式表示） ②若是的中点，连接．当时，则______． 【拓展探究】 （3）如图③，已知点，点和直线．在直线上求作一点，使的值最小． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明） ③ 【答案】（1）①②或；③或；④或 （2）① 解：延长至点，使，连接．是边上的中线， 又，四边形是平行四边形． 由（1）可知： 又， ②4． 题型四、秦淮区24年真题 1、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是（    ） A．AB=AD B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．AC⊥BD【答案】C 2、如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标是．若顶点B在第一象限的角平分线上，则点B的坐标是 ．    【答案】 【详解】解：过点B作轴于点E，过点A作轴于点D，过点A作于点F，    ∵点A的坐标是∴，∴∵， ∴四边形是矩形，∴，∵四边形是菱形，∴ ∵顶点B在第一象限的角平分线上，∴，∴是等腰直角三角形，∴， ∴，在中，，即， 解得（不合题意舍去）∴，∴， ∴点 B的坐标为，故答案为： 3、如图，在方格纸中，线段绕某个点旋转一定角度得到线段，其中点A的对应点是点C，则旋转中心是点 ． 【答案】H 【详解】根据网格结构作、的垂直平分线，交点为H，所以旋转中心一定是H点． 故答案为：H． 4、如图，在平行四边形中，，的平分线分别交AD于点E，F．若，，则BE的长为 ．（用含a，b的代数式表示）． 【答案】 【详解】过点E作，，则，， ∵中， ，∴四边形与四边形都是平行四边形，∴，， ∵BE平分，CF平分，∴，， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴． 故答案为：． 5、（1）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，求证：四边形ABCD是矩形； （2）如图②，若四边形ABCD满足∠A＝∠C＞90°，AB＝CD，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析 【详解】（1）证明：如图①，连接BD， ∵∠A＝∠C＝90°，在Rt△ABD和Rt△CDB中，AB＝CD，BD＝DB，∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）． ∴AD＝CB，∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形． （2）如图②，分别过点B、D作BE⊥AD于点E，DF⊥BC于点F， ∵∠BAD＝∠BCD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，∠AEB＝∠CFD＝90°，∠BAE＝∠DCF，AB＝CD，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF，AE＝CF， 由（1）可得四边形EBFD是矩形， ∴ED＝BF，∴AD＝BC，∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形． 6、已知，按要求完成下列尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图①，B，C分别在射线、上，求作； (2)如图②，点是内一点，求作线段，使P、Q分别在射线、上，且点O是的中点． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：如图①，平行四边形为所作；∵，∴四边形为平行四边形； （2）图②，为所作． ∵，，，∴，∴，即点是的中点． 7、图①、图②是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上． (1)如图①，点P、M在小正方形的顶点上，在图①中作出点P关于点M的对称点Q，连接、、、，则四边形的周长为 ； (2)在图②中画出一个以线段为对角线，面积为6的矩形，且点B和点D均在小正方形的顶点上． 【答案】(1)见解析，(2)见解析 【详解】（1）如图所示：点Q即为所求，它的周长为：； （2）如图2所示：四边形ABCD即为所求． 8、平行的思考． 【作平行】 （1）如图①，过P作．（限用圆规和没有刻度的直尺，保留作图痕迹，不必写出作法和理由）． 【折平行】 现有一张长方形纸片，小明和小丽分别折平行线． 小明：如图②，折出，展平后再折叠纸片，使点A、C分别落在所在直线上的点、处，展平纸片，得到折痕、． 小丽：如图③， 将边折至处， 再将边折至处， 使得和在一条直线上，展平纸片，得到折痕、． 【证平行】 （2）小明发现，小丽发现，请你选择其中一个发现进行证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【详解】（1）如图所示，直线即为所求． （2）小明：∵∴ 由折叠可得，，∴∴； 小丽：如图，设，∵将边折至处，再将边折至处，∴，，，∵四边形是长方形，∴，，∴， ∵，∴，∵，， ∴．∵，∴， ∴．∵，∴，∴． 课后作业 1、下列图形是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D．【答案】B 2、在四边形中，、相交于点，下列选项中，不能判定是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．，【答案】B 3、如图，在矩形纸片中，，．将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为（    ） A．6.5 B．7 C．7.5 D．8【答案】C 【详解】解：连接交于点， 四边形为矩形，，，，， ，，∴， ，， 由折叠的性质可知，，，于点， ，，，设，则， ，，解得，，． 故选：C． 4、如图，正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称，若正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为 °． 【答案】 【详解】解：如图，设正方形①、②、③的对角线交点分别为，连接，，， ∵正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称， ∴必过点A，必过点B，且，∴， 由图可知，正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为，故答案为： 5、如图，在中，将顶点沿中位线翻折，使其恰好落在边上的点处，连接．下列结论：①；②是的中位线；③四边形是菱形；④四边形的面积是面积的一半．其中所有正确结论的序号为 ． 【答案】①④ 【详解】解：记交于点， 由折叠的性质可知，于点，， 是的中位线，， ，即①正确； 是的中位线，， ，，四边形的面积是面积的一半．即④正确；根据已知条件推不出②是的中位线；③四边形是菱形； 所有正确结论的序号为①④，故答案为：①④． 6、如图，矩形的对角线、相交于点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则菱形的面积为__________． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形； （2）解：连接与交于点F， 由（1）知四边形是菱形，∴，∵四边形是矩形， ∴，∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴， ∵，∴，由勾股定理得，， ∴，∴ ，故答案为：． 7、尺规作图有5种基本作图： ①作线段相等 ②作角相等 ③作角平分线 ④作垂直平分线 ⑤作垂线 当我们遇到新的尺规作图时，需要把问题转化为以上5种基本作图． (1)下面三幅图都是作边长为的正方形，作图顺序符合基本作图⑤③①①⑤的是（    ） A．    B．   C． (2)如图，已知和线段，求作菱形，使，．小明的作图痕迹如下图，按作图顺序写出基本作图的序号为__________． (3)如图，已知和线段，在边上作一点，使点到的距离等于线段的长．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【答案】(1)B(2)②③①④(3)画图见解析 【详解】（1）解：选项A的作图顺序符合基本作图⑤①①①①； 选项B的作图顺序符合基本作图⑤③①①⑤； 选项C的作图顺序符合基本作图⑤①①⑤⑤；故选：B； （2）根据题意，步骤为： 先作，再作的平分线，在的平分线上截取，再作的垂直平分线，分别交，于，，最后连接，，即作图顺序符合基本作图②③①④；故答案为：②③①④； （3）如图，点即为所求， 步骤：在上取一点，过点作的垂线，在垂线上截取， 过点作的垂线交于点，利用平行线间距离处处相等可知点即为所求． 8、【概念提出】 我们把三组对边分别平行且相等的六边形叫做中心对称六边形．如：在六边形中，若且，且，且，则称六边形为中心对称六边形． 【初步感知】 （1）如图①，六条边相等，六个角也相等的六边形__________中心对称六边形．（填“是”或“不是”）            ① 【深入研究】 （2）如图②，，，，． 求证：六边形是中心对称六边形．            ② （3）每个内角都相等的六边形是中心对称六边形吗？如果是，请结合图形简述理由；如果不是，请画出反例． 【答案】（1）是；（2）证明见解析；（3）不是，理由见解析 【详解】（1）连接，∵六条边相等，六个角也相等， ∴，， ∴，∴，， ∴，∴，同理：，，∴六条边相等，六个角也相等的六边形是中心对称六边形，故答案为：是； （2）如图，连接，交于点，连接，， ∵，，∴四边形是平行四边形，∴，， ∴，，∵，，∴，， ∴，，即，， ∵，∴，∴，，∵，，，， ∴六边形是中心对称六边形； （3）不是，理由如下：∵六边形每个内角都相等，∴每个内角为， 如图，分别延长，，，，，，交于点，，， 则，∴，，均为等边三角形， ∴，∴为等边三角形，由此可知，只要在等边三角形中，过点，，，在三边上构造等边三角形，，即可满足六边形每个内角都相等，在等边三角形中，当，大小固定，即，大小固定时，即是固定的，但大小（即大小）可以随意变动，只需为等边三角形即可，故不一定等于，故每个内角都相等的六边形不是中心对称六边形． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平行四边形期末复习 【知识积累】 知识点一、平行四边形的性质与判定 性质 符号语言 图示 边 平行四边形的对边相等 ∵四边形是平行四边形， 角 平行四边形的对角相等 ∵四边形是平行四边形， 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形是平行四边形， 判定方法 数学语言 图形 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（定义） ∴四边形是平行四边形. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ∴四边形是平行四边形. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. （或）， ∴四边形是平行四边形. 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形. ∴四边形是平行四边形. 知识点二、矩形的性质和判定 矩形的性质： 1.矩形具有平行四边形的所有性质；即对边平行且相等，对角线互相平分；对角相等； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 矩形也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。 矩形的判定： 1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 知识点三、菱形的性质和判定 菱形的性质： 1、菱形具有平行四边形的所有性质；即对边平行且相等，对角线互相平分；对角相等 2、菱形的四条边都相等； 3、菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 4、菱形是轴对称图形，有两条对称轴，菱形也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。 菱形的判定： 1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3、四条边相等的四边形是菱形. 知识点四、正方形的性质和判定 正方形的性质： 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质； 1、边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2、角——四个角都是直角； 3、对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4、是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 正方形的判定： 1、有一组邻边相等的矩形是正方形。 2、有一个角是直角的菱形是正方形。 3、有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 知识点五、三角形的中位线 1、三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 2、几何语言：在△ABC中， ∵点D、E分别是AC、BC的中点 ∴DE∥AB，DE＝AB． 【专项训练】 题型一、鼓楼区24年真题 1、下列以数学家命名的图形中，是中心对称图形的是（ ）． A．笛卡尔心形线 B．赵爽弦图 C．莱洛三角形 D．斐波那契螺旋线 2、如图，在四边形中，分别是的中点．下列结论： ①四边形是平行四边形；②时，四边形是菱形；③时，四边形是矩形． 其中所有正确结论的序号是（ ）． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3、如图，在和中，M，N分别为对角线交点，已知，且与的周长分别为22与21，则四边形的周长为 ． 4、如图，在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点A，B坐标分别为，，则C点的坐标为 ． 5、已知有两张全等的矩形纸片，长是，宽是．如图将这两张纸片叠合得到菱形．设菱形的面积为，则s的取值范围是 ． 6、如图，将绕点O按逆时针旋转得到，其中A与D是对应点，B与E是对应点，请借助于该图形用符号语言写出关于旋转的3条不同的性质． 7、如图，在中，分别以为边向内作和，且，连接． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若点E在对角线上，且所在直线平分，当四边形的面积为6时，的面积为 ． 8、如图，菱形边长为6，，点P在边上，且，点Q是边上的一个动点，点Q从点A运动到点D．连接，将线段绕点P顺时针旋转得线段． (1)当点Q与点A重合时，在图中用直尺和圆规作出旋转后的线段； (2)在点Q运动过程中，求证：点在某一固定线段上运动； (3)直接写出线段长度的取值范围． 题型二、建邺区24年真题 1、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2、小明在学习“特殊平行四边形”一单元后，梳理了如图所示的特殊平行四边形之间的关系．以下选项分别表示A，B，C，D处填写的内容，则对应位置填写错误的选项是（ ） A．对角线夹角为 B．对角线垂直 C．对角线与一边夹角 D．对角线相等 3、在中，若，则 4、如图，在中，点D、E分别是边、的中点，连接，的平分线交于点F，若，，则的长为 ． 5、如图，正方形的对角线、相交于点，是上的一点，连接，过点作，交于点，若四边形的面积是，则的长为 ． 6、如图，在中，，，．将绕点按逆时针方向旋转后得，直线、相交于点．取的中点，连接，则长的最大值为 ．    7、如图，是由边长为1的小正方形构成的的网格图，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图． (1)在图①中画一个平行四边形，要求一条边长为且面积为12； (2)在图②中画一个矩形，要求一条边长为且面积为10． 8、如图，在中，平分，交于点，平分，交于点． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 9、（1）【感知】如图①，将沿过点D的直线折叠，使点A的对应点落在边上的点F处，得到折痕，连接．若，则四边形的周长为 ； （2）【探究】如图②，点E、G分别是的边上的点，将四边形沿折叠，点A、D的对应点分别为、，点恰好落在边上． ①求证：四边形为菱形； ②若，，，，则的长为 ． 题型三、玄武区24年真题 1、《周易》是中国传统思想文化中自然哲学与人文实践的理论根源，是古代汉民族思想、智慧的结晶，被誉为“大道之源”下列“卦象”是中心对称图形的是（ ） A． B．C． D． 2、如图，在中，，是的中位线，的平分线交于点，则线段的长为（ ） A．2 B． C．1 D． 3、在四边形中，对角线相交于点，且．添加下列条件：①；②；③；④．其中，能判定四边形是平行四边形的个数为（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4、已知一个菱形的面积是24，一条对角线长为6，则另一条对角线长为 5、如图，在中，，，将绕点顺时针旋转到的位置，使点恰好落在边上，连接，则= °． 6、如图，在中，分别是边上的动点，且，连接EF，P是EF的中点，连接BP，则线段BP的最小值为 ． 7、如图，在平行四边形中，分别是边上的点，且，连接，交于点，交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是矩形，，是的中点，则四边形的周长是 ． 8、如图，在平行四边形中，是对角线上的点，且．连接，分别是的中点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形： （2）若四边形是正方形，，则 ． 9、【探索发现】 （1）在平行四边形中，是对角线．求证： 如图①，过点分别作，垂足为．设，证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．（用含的代数式表示） 【性质运用】 （2）如图②，在中，是边上的中线． ①若，求的长；（用含的代数式表示） ②若是的中点，连接．当时，则 ． 【拓展探究】 （3）如图③，已知点，点和直线．在直线上求作一点，使的值最小． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明） ③ 题型四、秦淮区24年真题 1、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是（ ） A．AB=AD B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．AC⊥BD 2、如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标是．若顶点B在第一象限的角平分线上，则点B的坐标是 ．    3、如图，在方格纸中，线段绕某个点旋转一定角度得到线段，其中点A的对应点是点C，则旋转中心是点 ． 4、如图，在平行四边形中，，的平分线分别交AD于点E，F．若，，则BE的长为 ．（用含a，b的代数式表示）． 5、（1）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，求证：四边形ABCD是矩形； （2）如图②，若四边形ABCD满足∠A＝∠C＞90°，AB＝CD，求证：四边形ABCD是平行四边形． 6、已知，按要求完成下列尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图①，B，C分别在射线、上，求作； (2)如图②，点是内一点，求作线段，使P、Q分别在射线、上，且点O是的中点． 7、图①、图②是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上． (1)如图①，点P、M在小正方形的顶点上，在图①中作出点P关于点M的对称点Q，连接、、、，则四边形的周长为 ； (2)在图②中画出一个以线段为对角线，面积为6的矩形，且点B和点D均在小正方形的顶点上． 8、平行的思考． 【作平行】 （1）如图①，过P作．（限用圆规和没有刻度的直尺，保留作图痕迹，不必写出作法和理由）． 【折平行】 现有一张长方形纸片，小明和小丽分别折平行线． 小明：如图②，折出，展平后再折叠纸片，使点A、C分别落在所在直线上的点、处，展平纸片，得到折痕、． 小丽：如图③， 将边折至处， 再将边折至处， 使得和在一条直线上，展平纸片，得到折痕、． 【证平行】 （2）小明发现，小丽发现，请你选择其中一个发现进行证明． 课后作业 1、下列图形是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2、在四边形中，、相交于点，下列选项中，不能判定是平行四边形的是（ ） A．， B．， C．， D．， 3、如图，在矩形纸片中，，．将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为（ ） A．6.5 B．7 C．7.5 D．8 4、如图，正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称，若正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为 °． 5、如图，在中，将顶点沿中位线翻折，使其恰好落在边上的点处，连接．下列结论：①；②是的中位线；③四边形是菱形；④四边形的面积是面积的一半．其中所有正确结论的序号为 ． 6、如图，矩形的对角线、相交于点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则菱形的面积为 ． 7、尺规作图有5种基本作图： ①作线段相等 ②作角相等 ③作角平分线 ④作垂直平分线 ⑤作垂线 当我们遇到新的尺规作图时，需要把问题转化为以上5种基本作图． (1)下面三幅图都是作边长为的正方形，作图顺序符合基本作图⑤③①①⑤的是（    ） A．    B．   C． (2)如图，已知和线段，求作菱形，使，．小明的作图痕迹如下图，按作图顺序写出基本作图的序号为 ． (3)如图，已知和线段，在边上作一点，使点到的距离等于线段的长．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 8、【概念提出】 我们把三组对边分别平行且相等的六边形叫做中心对称六边形．如：在六边形中，若且，且，且，则称六边形为中心对称六边形． 【初步感知】 （1）如图①，六条边相等，六个角也相等的六边形 中心对称六边形．（填“是”或“不是”）            ① 【深入研究】 （2）如图②，，，，． 求证：六边形是中心对称六边形．            ② （3）每个内角都相等的六边形是中心对称六边形吗？如果是，请结合图形简述理由；如果不是，请画出反例． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$