第11章 反比例函数 期末复习讲义-2024-2025学年苏科版数学八年级下册

反比例函数期末复习 【知识积累】 知识点一、反比例函数的性质 （1）当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； （2）当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 注意： （1）反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. （2）反比例的图像关于原点的对称 知识点二、反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义 （1）在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． （2）在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 知识点三、反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当与同号时，正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中有2个交点； ②当与异号时，正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中有0个交点． 知识点四、利用反比例函数解决实际问题的一般步骤: (1)审题,确定变量间的函数关系; (2)设出含待定系数的函数表达式; (3)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来; (4)用待定系数法求出函数的表达式; (5)利用反比例函数的图像及性质去分析解决问题. 注意： (1)在实际问题中,自变量的取值范围往往会受到实际条件的限制，函数图像通常在第一象限,有时会是第一象限中的一部分; (2)要注意函数最值(取值范围)受自变量取值范围的影响; (3)两坐标轴上的单位长度一定要根据实际问题来确定，而且两坐标轴上的单位长度可以不一致. 【专项训练】 题型一、鼓楼区24年真题 1、已知矩形的面积为10，长为x，宽为y． (1)直接写出y与x的函数表达式（标注自变量x的取值范围）； (2)若，是该函数图象上的两个点，则 ； (3)若，是该函数图象上的两个点，且，试说明 2、如图，一次函数与反比例函数图象的两个交点的横坐标分别为，． (1)方程的解是 ，不等式的解集是 ； (2)在图中用直尺和圆规作出一次函数的图象； (3)直接写出的解集． 题型二、建邺区24年真题 1、如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，，，其中，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2、已知反比例函数的图像经过点，则这个函数的图像位于第 象限 3、一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝中，若x与y的部分对应值如下表： x … －3 －2 －1 1 2 3 … y＝k x＋b … 5 4 3 1 0 －1 … y＝ … 1 3 －3 － －1 … 则不等式≤k x＋b的解集是 ． 4、《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．在处理分数和分式的问题时，有时我们可以将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式．继而解决问题，我们称这种方法为分离常数法． 示例：将分式分离常数，则． (1)示例中， ； (2)参考示例方法，将分式分离常数； (3)借鉴研究反比例函数的经验，可以对函数的图像和性质进行探索，下列结论正确的是 （填写所有正确的序号）； ①图像与坐标轴没有交点； ②在第一象限内，y随着x的增大而减小； ③图像关于中心对称； ④图像关于直线成轴对称； (4)如果某个点的横、纵坐标均为整数，那么称这个点为“整数点”．直接写出函数图像上所有“整数点”的坐标． 5、【项目式学习】探索凸透镜成像的奥秘 【项目背景】某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 【项目素材】 素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． 素材二：设物距为u、像距为v和焦距为f，小明在研究的过程中发现了物距u、像距v和焦距f之间在成实像时存在着关系：． 图①                      图②                         图③ 【项目任务】根据项目素材解决问题： (1)小明先取物距，然后画出光路图（如图①），其中为物体，O为凸透镜的光心，入射光线 光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．根据光路图①可知，当时，物体经凸透镜折射后成 （填“放大”或“缩小”或“等大”）的倒立实像； (2)小明又取物距． ①当时， （用含有f的代数式表示）； ②当时，物体经凸透镜折射后成 （填“放大”或“缩小”或“等大”）的倒立实像，请仿照图①的方法，在图②中画光路图，并用三角形全等的知识解释； (3)实际生活中，一个固定的凸透镜焦距f为定值．当时，请解答下列问题： ①请直接写出y与u之间的函数表达式，并在图③中画出函数v的图像； ②试说明：． 题型三、玄武区24年真题 1、如图，点分别在反比例函数和的图像上，轴，与轴交于点，点是轴上一点．若的面积为3，则的值为（ ） A．－8 B．8 C．－6 D．6 2、点在反比例函数的图像上，若，则的大小关系： ．（填“>”、“<”或“=”） 3、在平面直角坐标系中，是反比例函数图像上不同的两点，点的横坐标为，点的横坐标为且三点不在同一条直线上．若，则 ． 4、如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点， （1）求的值和一次函数的表达式； （2）关于的不等式的解集为 ； （3）若点为直线上的动点，过点作轴，与反比例函数的图像交于点，当的面积为6时，请直接写出点的坐标． 题型四、秦淮区24年真题 1、点，在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2、对于函数，当时，的取值范围是 3、如图，在平面直角坐标系中，正方形如此摆放，点A的坐标为，点B 的坐标为，点D在反比例函数上；将正方形沿x轴正方向平移m个单位长度后，点 C恰好落在该函数图象上，则m的值 ． 4、对于两个不同的函数，通过减法运算可以得到一个新函数，我们把这个新函数称为两个函数的“差函数”．例如：对于函数和，则函数，的“差函数”记为． (1)已知函数和，若将这两个函数的“差函数”记为； ①写出的表达式， ； ②函数，的图象如图①所示，则的大致图象是 ；    A．   B．    C．  D．   (2)已知函数：和，若将这两个函数的“差函数”为，判断下列关于“差函数”，描述的正确性，并对正确的描述进行证明： A．的图象与x轴没有公共点； B．的图象关于对称； C．当时，随x的值增大而减小； D．当时，随着x的值增大，的图象越来越接近的图象， 上述描述正确的为 ． 课后作业 1、下列函数：①；②；③；④，其图象是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2、正比例函数的图像与反比例函数的图像有一个交点的横坐标是2，当时，自变量的取值范围是 3、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像交于点、．若，则的值是 ． 4、在物理中，压强（）、压力（）、受力面积（）满足公式． (1)下面的函数图像，正确的有 ．（填写序号） 当为定值时，与的函数关系；当为定值时，与的函数关系；当为定值时，与的函数关系． ① ② ③ (2)比较薄的冰面最多承受的压强，小明的重量为． 一双鞋底与冰面的接触面积共为，他能否安全地站在这块冰面上？ 若小明平躺在一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积至少多大？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 反比例函数期末复习 【知识积累】 知识点一、反比例函数的性质 （1）当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； （2）当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 注意： （1）反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. （2）反比例的图像关于原点的对称 知识点二、反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义 （1）在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． （2）在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 知识点三、反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当与同号时，正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中有2个交点； ②当与异号时，正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中有0个交点． 知识点四、利用反比例函数解决实际问题的一般步骤: (1)审题,确定变量间的函数关系; (2)设出含待定系数的函数表达式; (3)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来; (4)用待定系数法求出函数的表达式; (5)利用反比例函数的图像及性质去分析解决问题. 注意： (1)在实际问题中,自变量的取值范围往往会受到实际条件的限制，函数图像通常在第一象限,有时会是第一象限中的一部分; (2)要注意函数最值(取值范围)受自变量取值范围的影响; (3)两坐标轴上的单位长度一定要根据实际问题来确定，而且两坐标轴上的单位长度可以不一致. 【专项训练】 题型一、鼓楼区24年真题 1、已知矩形的面积为10，长为x，宽为y． (1)直接写出y与x的函数表达式（标注自变量x的取值范围）； (2)若，是该函数图象上的两个点，则______； (3)若，是该函数图象上的两个点，且，试说明 【答案】(1)(2)(3)见解析 【详解】（1）解：矩形的面积为10，长为x，宽为y，， ； （2）解： ，是该函数图象上，，， ； （3）解：∵和在该函数图象上，，∴，，． ∴．∵，，∴．∴．即． 2、如图，一次函数与反比例函数图象的两个交点的横坐标分别为，． (1)方程的解是______，不等式的解集是_______； (2)在图中用直尺和圆规作出一次函数的图象； (3)直接写出的解集． 【答案】(1)或，或(2)见详解(3)或 【详解】（1）解： 两个函数图象交点的横坐标分别为，，方程的解是：，， 不等式的解集是：或．故答案为：，；或． （2）解：作图如下： （3）解：依题意， 上图成中心对称图形，一次函数与反比例函数的交点的横坐标为 ∴结合图象：不等式的解集为：或． 题型二、建邺区24年真题 1、如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，，，其中，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B 【详解】解：如图所示， ，，，， ，，平分矩形，，， ，，，，．故选：B． 2、已知反比例函数的图像经过点，则这个函数的图像位于第 象限【答案】一、三/三、一 解：由题意知，在第一或第三象限， ∴反比例函数的图像位于第一、三象限，故答案为：一、三． 3、一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝中，若x与y的部分对应值如下表： x … －3 －2 －1 1 2 3 … y＝k x＋b … 5 4 3 1 0 －1 … y＝ … 1 3 －3 － －1 … 则不等式≤k x＋b的解集是 ．【答案】x≤－1或0＜x≤3 【详解】解：由表可知，一个交点坐标为（−1，3），另一个交点为（3，−1），且当x≤－1时，≤k x＋b，当0＜x≤3时，≤k x＋b，故关于x的不等式≤k x＋b的解集是x≤-1或0＜x≤3．故答案为：x≤－1或0＜x≤3． 4、《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．在处理分数和分式的问题时，有时我们可以将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式．继而解决问题，我们称这种方法为分离常数法． 示例：将分式分离常数，则． (1)示例中，________； (2)参考示例方法，将分式分离常数； (3)借鉴研究反比例函数的经验，可以对函数的图像和性质进行探索，下列结论正确的是________（填写所有正确的序号）； ①图像与坐标轴没有交点； ②在第一象限内，y随着x的增大而减小； ③图像关于中心对称； ④图像关于直线成轴对称； (4)如果某个点的横、纵坐标均为整数，那么称这个点为“整数点”．直接写出函数图像上所有“整数点”的坐标． 【答案】(1)1(2)(3)②③④(4)，，， 【详解】（1）解： ，示例中，；故答案为：1； （2）解：依题意，； （3）解：， ①时，，图象与轴交于点，故①错误； ②时，，且随的增大而减小，在第一象限内，随着的增大而减小，故②正确； ③函数关于原点中心对称，而函数是由函数向左平移一个单位，再向上平移2个单位得到，图象关于中心对称，故③正确； ④函数关于直线对称，而函数是由函数向左平移一个单位，再向上平移2个单位得到，图象关于直线，即成轴对称，故④正确．故答案为：②③④； （4）解：， 当或或3或，即或或2或时，或或3或1， 函数图象上所有“整数点”的坐标为，，，． 5、【项目式学习】探索凸透镜成像的奥秘 【项目背景】某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 【项目素材】 素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． 素材二：设物距为u、像距为v和焦距为f，小明在研究的过程中发现了物距u、像距v和焦距f之间在成实像时存在着关系：． 图①                      图②                         图③ 【项目任务】根据项目素材解决问题： (1)小明先取物距，然后画出光路图（如图①），其中为物体，O为凸透镜的光心，入射光线 光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．根据光路图①可知，当时，物体经凸透镜折射后成________（填“放大”或“缩小”或“等大”）的倒立实像； (2)小明又取物距． ①当时，________（用含有f的代数式表示）； ②当时，物体经凸透镜折射后成________（填“放大”或“缩小”或“等大”）的倒立实像，请仿照图①的方法，在图②中画光路图，并用三角形全等的知识解释； (3)实际生活中，一个固定的凸透镜焦距f为定值．当时，请解答下列问题： ①请直接写出y与u之间的函数表达式，并在图③中画出函数v的图像； ②试说明：． 【答案】(1)放大(2)①；②等大，图见详解(3)①，图见详解②见详解 【详解】（1）解：∵，把代入∴得出 ∴∴物体经凸透镜折射后成放大的倒立实像，故答案为：放大； （2）解：①∵小明在研究的过程中发现了物距u、像距v和焦距f之间在成实像时存在着关系：，且 ∴把代入得∴故答案为：； ②当时，在图②中画光路图，如图所示： ∴物体经凸透镜折射后成等大的倒立实像，理由如下： 即 ∵∴∴即当时，物体经凸透镜折射后成等大的倒立实像， （3）解：①实际生活中，一个固定的凸透镜焦距f为定值．当时，且 ∴y与u之间的函数表达式解：依题意，列表： 描点连线，在图③中画出函数v的图像，如图所示： ②∵，∴∴∴ 题型三、玄武区24年真题 1、如图，点分别在反比例函数和的图像上，轴，与轴交于点，点是轴上一点．若的面积为3，则的值为（ ） A．－8 B．8 C．－6 D．6答案：A 2、点在反比例函数的图像上，若，则的大小关系：______．（填“>”、“<”或“=”）答案： 3、在平面直角坐标系中，是反比例函数图像上不同的两点，点的横坐标为，点的横坐标为且三点不在同一条直线上．若，则______．答案： 4、如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点， （1）求的值和一次函数的表达式； （2）关于的不等式的解集为______； （3）若点为直线上的动点，过点作轴，与反比例函数的图像交于点，当的面积为6时，请直接写出点的坐标． 解：（1）将代入，得．反比例函数的表达式为． 将代入，，解得． 将代入，得解得 一次函数的表达式为． （2）或．（3） 题型四、秦淮区24年真题 1、点，在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则【答案】C 2、对于函数，当时，的取值范围是 【答案】或 【详解】解：由函数，令，得出，∵反比例函数，经过一、三象限， ∴当时，的取值范围是或，故答案为：或． 3、如图，在平面直角坐标系中，正方形如此摆放，点A的坐标为，点B 的坐标为，点D在反比例函数上；将正方形沿x轴正方向平移m个单位长度后，点 C恰好落在该函数图象上，则m的值 ． 【答案】1 【详解】作轴于E，轴于F，如图， ∵四边形为正方形，，，而， ， 在和中 ， ，，，同理可得， ，，∵点在反比例函数图象上， ，即反比例函数解析式是，点的纵坐标为3，而时，则，解得， ∴点平移到点时恰好落在该函数图象上，即点向右平移1个单位，．故答案为：1． 4、对于两个不同的函数，通过减法运算可以得到一个新函数，我们把这个新函数称为两个函数的“差函数”．例如：对于函数和，则函数，的“差函数”记为． (1)已知函数和，若将这两个函数的“差函数”记为； ①写出的表达式， ； ②函数，的图象如图①所示，则的大致图象是 ；    A．   B．    C．  D．    (2)已知函数：和，若将这两个函数的“差函数”为，判断下列关于“差函数”，描述的正确性，并对正确的描述进行证明： A．的图象与x轴没有公共点； B．的图象关于对称； C．当时，随x的值增大而减小； D．当时，随着x的值增大，的图象越来越接近的图象， 上述描述正确的为 ． 【答案】(1)①；②D(2)BD 【详解】（1）解：①；②∵， ∵当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小∴随x的增大而增大， 同理可得，当时，随x的增大而增大，∵当时，，∴， ∴综上所述，的大致图象是D．故选：D； （2）∵，，∴，A．当时，， ∴的图象与x轴有公共点，故错误；B．任选上的一点，，点P关于点的对称点，代入得，成立，∴点在上，∴的图象关于对称，故正确； C．画出函数的图象如图，    由图象可得，当时，随x的值增大而增大，故错误； D．，随着x的增大，趋近于0，即和的图象越接近，故正确．故选：BD． 课后作业 题型五、联合体24年真题 1、下列函数：①；②；③；④，其图象是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D．【答案】B 【详解】解：函数的图象为 是轴对称图形，故不合题意；函数的图象为 是中心对称图形，故符合题意；函数的图象为 是中心对称图形，故符合题意；函数的图象为 是轴对称图形，不合题意；∴图象是中心对称图形的是，故选：． 2、正比例函数的图像与反比例函数的图像有一个交点的横坐标是2，当时，自变量的取值范围是 【答案】或 【详解】解：正比例函数的图像与反比例函数的图像有一个交点的横坐标是2， ，即交点的坐标是， ，即，联立，有，解得， 结合图像： 当时，自变量的取值范围是或．故答案为：或． 3、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像交于点、．若，则的值是 ． 【答案】/0.75【详解】解：把代入得，， ∴，∴，∴，∵，∴，即， ∴∵，，∴，设，则，∵点在反比例函数图象上，∴，解得，∴，∴，故答案为：． 4、在物理中，压强（）、压力（）、受力面积（）满足公式． (1)下面的函数图像，正确的有__________．（填写序号） 当为定值时，与的函数关系；当为定值时，与的函数关系；当为定值时，与的函数关系． ① ② ③ (2)比较薄的冰面最多承受的压强，小明的重量为． 一双鞋底与冰面的接触面积共为，他能否安全地站在这块冰面上？ 若小明平躺在一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积至少多大？【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：当为定值时，是的反比例函数，故正确；当为定值时，，是的正比例函数，故错误；当为定值时，是的正比例函数，故正确；∴正确的有，故答案为：； （2）解：把，代入得，，∵， ∴小明不能安全地站在这块冰面上； 把，代入得，，解得，∴这块薄木板的面积至少． 学科网（北京）股份有限公司 $$