专题04 分式及分式的基本性质【知识梳理+专项训练】-2022-2023学年八年级数学下学期期中期末考点大串讲（苏科版）

专题04 分式及分式的基本性质 知识点一、分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母. 1. 分式的三个条件：①形如的这种形式；②A、B都是整式；③分母中含有字母，且分母不为0； 2. 判断一个代数式是否是分式不能先化简，如是分式，但是化简后就成了xy，是一个整式，所以分式只看形式，不看化简后的结果； 3. 分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母； 4. 分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性，分数是分式中字母取特定值后的特殊情况； 5. 分式可看成是两个整式的商，如可以表示为，但不满足分式的形式，它不是分式； 6. π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如是一个整式，不是分式. 例：在代数式，，中，分式的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【考点】分式的定义．版权所有 【解答】解：在代数式，，中，分式有，中，个数有2个， 故选：C． 知识点二、分式有意义、无意义或等于零的条件 1. 分式有意义的条件：分母不等于零，即有意义的条件是； 2. 分式无意义的条件：分母等于零，即无意义的条件是； 3. 分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零，即. （1）分式是否有意义，与分式的分母是否为0有关，与分式的分子无关； （2）分式有意义的条件是分式中分母的整式值不为0，而不是分母中的字母不为0，如有意义的条件是，即，而不是； （3）分式的值是在分式有意义的前提下考虑的； （4）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零. 例：下列分式中，当a取任何实数时，该分式总有意义的是（　　） A． B． C． D． 【考点】分式有意义的条件．版权所有 【解答】解：A、当a＝0时，分式无意义，不符合题意； B、当a＝0时，分式无意义，不符合题意； C、当a＝±1时，分式无意义，不符合题意； D、∵a2+1＞0总成立， ∴当a取任何实数时，该分式总有意义的是，符合题意 故选：D． 知识点三、求分式的值 用具体的数值代替分式中的字母，按照分式中的运算关系计算，所得的结果就是分式的值. 例：设a＞b＞0，a2+b2＝3ab，则　 　． 【考点】分式的值．版权所有 【解答】解：a2+b2＝3ab， 变形得：（a﹣b）2＝ab， （a+b）2＝5ab， ∵a＞b＞0， ∴a﹣b＞0，a+b＞0， ∴，， ∴． 故答案为：． 知识点四、分式的基本性质 1. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变； 2. 字母表示：（A、B、C都是整式，且B≠0，C≠0）； 3. 在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化，如，变形后，字母x的取值范围变大了； 4. 分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身，这三个的正负号同时改变两个，分式值也不会改变，如； 5. 若分式的分母与分子是多项式，在运用分式基本性质时，应先将分式的分子与分母用括号括起来，再把分子与分母都乘（或除以）同一个不为0的整式. 例：若把分式中x和y的值都扩大3倍，则分式的值（　　） A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．扩大9倍 【考点】分式的基本性质．版权所有 【解答】解：分别用3x和3y去代换原分式中的x和y得，， 可见新分式与原分式相等，分式的值不变， 故选：B． 知识点五、分式的约分 利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 1. 若分式的分子、分母都是单项式，则可以直接约去分子、分母的公因式（分子、分母系数的最大公因数与分子、分母的相同字母的最低次幂的乘积）； 2. 若分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分. 例：下列约分正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】约分．版权所有 【解答】解：A、x4，故A选项错误； B、1，故B选项错误； C、，故C选项正确； D、，故D选项错误． 故选：C． 知识点六、最简分式 如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式，约分就是将分式转化成最简分式或整式. 例：分式，，，中，最简分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】最简分式．版权所有 【解答】解：分子分母有公因式x2﹣1， ；；这三个是最简分式． 故选：C． 知识点七、分式的通分 1. 分式的通分：利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整