第11章 反比例函数 综合复习 讲义 2023-2024学年苏科版八年级数学下册

八年级下期期末反比例函数压轴综合复习 限时练习 一、知识梳理： 二、知识要点： 1、反比例函数定义 一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数，其中自变量的取值范围是不等于的一切实数． 解析式的三种表达形式： （1）（）. （2）（）. （3）（）. 注意： ①因为分母不能为0，所以反比例函数的自变量x不能为0.同样的，，所以函数值y也不能为0； ②，即在反比例函数中，两个变量的积是一个常数； ③也可以写成（）的形式. 2、反比例图象与性质 图象 所属象限 一、三象限 二、四象限 与坐标轴交点 反比例函数的图象无限接近两坐标轴，并与两坐标轴永无交点 越大，图象离坐标轴越远 变化趋势 在每个象限内， 随的增大而减小 在每个象限内， 随的增大而增大 对称性 直线、直线对称、关于原点对称 三、模拟预测 1、如图，是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线 和 的一个分支上，分别过点作轴的垂线段，垂足分别为点和点，给出如下四个结论： 阴影部分的面积是 ；当时，； 若是菱形，则 ；以上结论正确的是（     ） A． B． C． D． 2、如图，将矩形放在直角坐标系中，其中顶点的坐标为，是边上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点则线段的长为（    ） A． B．1 C． D． 3、如图，点是平行四边形内一点，与轴平行，与轴平行，，，，若反比例函数的图像经过，两点，则的值是（    ） A． B．12 C． D．15 4、如图，是坐标原点，等腰直角三角形，，，…，的斜边均在轴正半轴上，直角顶点，，，…，均在反比例函数的图象上，则点的横坐标为（     ） A． B． C． D． 5、对于平面直角坐标系xOy内的点 P和图形M，给出如下定义：如果点 P绕原点O顺时针旋转得到点Q，点Q落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点 P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点，，，如果M是双曲线 和线段、围成的封闭区域（含边界线），点 是 M关于原点O的“伴随点”，则a的取值范围是 ． 6、如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B分别在x轴、y轴上，E为正方形对角线的交点，反比例函数的图象经过点C，E．若正方形的面积为10，则k的值是 ． 7、已知直线与双曲线交于点，． （1）若，则 ； （2）若时，，则 ， （填“”“”或“”）． 8、如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A，B两点，其交点的横坐标分别为4，8． （1）k的值是 ； （2）将点A沿x轴正方向平移个单位长度得到点C，连接并延长交x轴正半轴于点D，则的最大值是 ． 9、已知反比例函数的图象经过点，且与一次函数的图象在同一坐标系中． (1)如图1，当反比例函数的图象与一次函数的图象只有一个公共点时，求n的值； (2)如图2，当直线经过点A时，它与反比例函数的另一个交点记为B，在y轴上找一点M，使的周长最小，求出M的坐标及周长的最小值； (3)如图3，点P是反比例函数图象上A点左侧一点，连接，把线段绕点A逆时针旋转，点P的对应点Q恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标． 10、如图，矩形的顶点A，C分别在y轴和x轴的正半轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象与，分别交于点，点，连接，，． (1)若的面积为3， ①当，求k的值和的面积； ②当直线的解析式为，求的面积． (2)我们定义有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．若，当为“半直角三角形”时，求反比例函数的解析式． 11、如图1，在平面直角坐标系中，点，过函数图象上一点作轴的平行线交直线于点，且．         (1)①求的长度（用含有的代数式表示）； ②求的值，并写出的解析式； (2)过函数图象上任意一点，作轴的平行线交直线于点，是否总有成立？请说明理由； (3)如图2，若是函数图象上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，分别过点作的垂线交轴于点，问是否存在点，使得矩形的周长取得最小值？若存在，请求出此时点的坐标及矩形的周长；若不存在，请说明理由． 12、我们知道，一次函数的图象可以由正比例函数的图象向下平移1个单位得到；也可以由正比例函数的图象向右平移一个长度单位得到；函数也可以由一个反比例函数通过平移得到，使用“描点法”作出函数的图象，列表：恰当地选取自变量x的几个值，计算y对应的值． x … 0 1 2 … … 2 0 … 描点：以表中各对x、y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，连线：如图1，将图中直线两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来．    (1)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①函数的图象关于点 中心对称（填写点的坐标）； ②函数的图象是由函数的图象经过怎样的平移变换得到的： ； (2)若直线与函数的图象相交于P，Q两点，点P的横坐标是p，若点Q的纵坐标是q，试探究代数式的值是否为定值？若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． (3)如图2，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形的顶点A，C的坐标分别为．点D是的中点，连结交于点E，函数的图象经过B，E两点，过线段中点M的一条直线与这个函数的图象交于P，Q两点，若以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为9，请直接函数的表达式和点P的坐标． 13、已知直线与反比例函数（，）的图象分别交于点，，与轴交于点，与轴交于点． (1)如图①，已知点的坐标为． ①求直线的表达式； ②若点是反比例函数在第一象限直线上方一点，当面积为时，求点的坐标． (2)如图②将直线向右平移个单位长度得到直线，将双曲线位于下方部分沿直线翻折，若翻折后的图象（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，求的值． 14、在平面直角坐标系中，点A在y轴上，正方形的顶点B在反比例函数（k为常数，且，）的图像上，点D在反比例函（k为常数，且，）的图像上，设点B、D的横坐标分别为m、n. (1)已知四个点，，，恰有三个点在反比例函数（k为常数，且）的图像上. ①__________； ②如图1，当正方形的顶点A与点O重合时，试探究是否为定值.如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由； (2)如图2，当正方形的顶点A在y轴的正半轴时，直接写出m、n满足的等量关系式. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下期期末反比例函数压轴综合复习 限时练习 一、知识梳理： 二、知识要点： 1、反比例函数定义 一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数，其中自变量的取值范围是不等于的一切实数． 解析式的三种表达形式： （1）（）. （2）（）. （3）（）. 注意： ①因为分母不能为0，所以反比例函数的自变量x不能为0.同样的，，所以函数值y也不能为0； ②，即在反比例函数中，两个变量的积是一个常数； ③也可以写成（）的形式. 2、反比例图象与性质 图象 所属象限 一、三象限 二、四象限 与坐标轴交点 反比例函数的图象无限接近两坐标轴，并与两坐标轴永无交点 越大，图象离坐标轴越远 变化趋势 在每个象限内， 随的增大而减小 在每个象限内， 随的增大而增大 对称性 直线、直线对称、关于原点对称 三、模拟预测 1、如图，是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线 和 的一个分支上，分别过点作轴的垂线段，垂足分别为点和点，给出如下四个结论： 阴影部分的面积是 ；当时，； 若是菱形，则 ；以上结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质，矩形的性质和菱形的性质，作轴于，轴于，由得，进而得，再由，，即可判断；当， 四边形是矩形，不能确定与相等，故不能判断，即不能判断，由此不能确定，即可判断；若四边形是菱形，可证，得到，即得，即可判断；正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作轴于，轴于，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴，故正确； ∵，， ∴，故正确； 当， 四边形是矩形， ∴不能确定与相等， 而， ∴不能判断， ∴不能判断， ∴不能确定，故错误； 若四边形是菱形，则，而， ∴， ∴， ∴， 又由图象可得，，， ∴， ∴，故正确； ∴结论正确的是， 故选：． 2、如图，将矩形放在直角坐标系中，其中顶点的坐标为，是边上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点则线段的长为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上的点，图形的折叠变换及性质，矩形的性质，勾股定理等，设，根据矩形的性质得，，，再由折叠的性质得，，则，利用勾股定理求出，则，进而在中由勾股定理求出，从而得点，则反比例函数的表达式为，然后根据点的纵坐标为4得点，据此可得的长,理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，熟练掌握图形的折叠变换及性质，矩形的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 【详解】解：设， 四边形为矩形，点， ，，， 由折叠的性质得：，， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 在中，，，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为：， 反比例函数的图象与边交于点， 点的纵坐标为4， 对于，当时，， 点， ． 故选：A． 3、如图，点是平行四边形内一点，与轴平行，与轴平行，，，，若反比例函数的图像经过，两点，则的值是（    ） A． B．12 C． D．15 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何的综合，过点作轴，延长交于点，证，求得，根据，求得，得到点的纵坐标为，设，则，由反比例函数的图象经过、两点，从而求出，进而可得的值． 【详解】解：过点作轴，延长交于点， 与轴平行，与轴平行， ，， 四边形为平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 点的纵坐标为， 设，则， 反比例函数的图象经过、两点， ， ， ， ， 故选：D． 4、如图，是坐标原点，等腰直角三角形，，，…，的斜边均在轴正半轴上，直角顶点，，，…，均在反比例函数的图象上，则点的横坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．由于是等腰直角三角形，可知直线的解析式为，将它与联立，求出方程组的解，得到点的坐标，则的横坐标是的横坐标的两倍，从而确定点的坐标；由于，都是等腰直角三角形，则，直线可看作是直线向右平移个单位长度得到的，因而得到直线的解析式，同样，将它与联立，求出方程组的解，得到点的坐标，则的横坐标是线段的中点，从而确定点的坐标；依此类推，从而确定点的坐标，即可求得点的坐标，得出规律，即可得到结果． 【详解】解：如图，过作轴于， 是等腰直角三角形， 的解析式为：， 联立， 解得：， ，， 是的中点， ． ， 的表达式一次项系数与的一次项系数相等， 将代入， ， 的表达式是， 联立， 解得：，即， 同上，，，， 以此类推，点的横坐标坐为：， 点的横坐标为， 故选：B． 5、对于平面直角坐标系xOy内的点 P和图形M，给出如下定义：如果点 P绕原点O顺时针旋转得到点Q，点Q落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点 P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点，，，如果M是双曲线 和线段、围成的封闭区域（含边界线），点 是 M关于原点O的“伴随点”，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将绕点逆时针旋转得到，根据是双曲线和线段、围成的封闭区域（含边界线），点是关于原点的“伴随点”，得到点在反比例函数时有最大值，当点在线段时有最小值，即可得解． 【详解】解：如图，过点A作轴，轴，垂足分别为M，N， 则， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理，绕点逆时针旋转得到，则，， 设直线的表达式为：，代入， 得：， 解得：， 直线为， 设经过点的双曲线为：， 代入得：， ∴经过点的双曲线为， 是双曲线和线段、围成的封闭区域（含边界线），点是关于原点的“伴随点”， 把代入得，，解得， 把代入得，，解得， 的取值范围是． 故答案为：． 6、如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B分别在x轴、y轴上，E为正方形对角线的交点，反比例函数的图象经过点C，E．若正方形的面积为10，则k的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用全等三角形的判定与性质求出点C的坐标是解题的关键．设点C的坐标为，过点C作轴，证明，得出点E的坐标，再根据点C和点E都在反比例函数的图象上，根据正方形面积结合勾股定理即可求解． 【详解】解：设点C的坐标为，过点C作轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 则点A的坐标为， ∵点E为正方形对角线的交点， ∴点E为的中点， ∴点E的坐标为，即， ∵点C和点E都在反比例函数的图象上， ， ∴， ∴， ∵正方形的面积为10， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， ∴． 故答案为：4． 7、已知直线与双曲线交于点，． （1）若，则 ； （2）若时，，则 ， （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题， （1）根据题意可知，将点、坐标代入反比例函数解析式即可得到结果； （2）根据题意得到点，在不同的象限，设在第二象限，在第四象限，则，，，，且，，则直线经过第一、二、四象限，据此得到结果； 解题的关键是理解并掌握：两个函数图像的交点的坐标满足两个函数解析式． 【详解】解：∵， ∴， ∵点，在反比例函数的图像上， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）∵反比例函数的图像在第二、四象限，且时，， ∴点，在不同的象限， 设在第二象限，在第四象限， 则，，，，且，， ∴直线经过第一、二、四象限， ∴，． 故答案为：；． 8、如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A，B两点，其交点的横坐标分别为4，8． （1）k的值是 ； （2）将点A沿x轴正方向平移个单位长度得到点C，连接并延长交x轴正半轴于点D，则的最大值是 ． 【答案】 32 36 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质、全等三角形的判定与性质、运用二次函数的性质求最值等知识点，灵活应用相关知识成为解题的关键． （1）由题意可得、，然后代入得到二元一次方程组求解即可； （2）如图：作轴于点F，交于点E，则，；根据题意可得，，进而得到，然后再证明可得、，最后代入中化成顶点式求最值即可解答． 【详解】解：（1）点A，B在反比例函数的图像上， ，； 点A，B在一次函数的图像上， ，，解得． 故答案为32． （2）如图：作轴于点F，交于点E，则，， ∵， ∴，， ， ， ∵将点A沿x轴正方向平移个单位长度得到点C， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ， ， ，当时，取最大值，最大值是36． 故答案为：36 9、已知反比例函数的图象经过点，且与一次函数的图象在同一坐标系中． (1)如图1，当反比例函数的图象与一次函数的图象只有一个公共点时，求n的值； (2)如图2，当直线经过点A时，它与反比例函数的另一个交点记为B，在y轴上找一点M，使的周长最小，求出M的坐标及周长的最小值； (3)如图3，点P是反比例函数图象上A点左侧一点，连接，把线段绕点A逆时针旋转，点P的对应点Q恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)周长的最小值为，点M的坐标为 (3) 【分析】（1）联立反比例函数与一次函数的解析式，根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）将代入反比例函数的解析式求得，再将代入，即可求解出n的值，联立反比例函数与一次函数的解析式，求出点B的坐标，作点A关于y轴的对称点，连接，交y轴与点M，连接，此时的周长最小，为的长，利用两点的距离公式解答即可，设直线解析式为，利用待定系数法求出解析式，令，即可求出点M的坐标； （3）过点作x轴的垂线，与过点作轴的平行线，分别交于点，设点，证明，根据，得到，进而得出，根据点在反比例函数上，代入解析式，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，则， 即， 反比例函数的图象与一次函数的图象只有一个公共点， ，即， ； （2）解：反比例函数的图象经过点， ， ， ， 将代入，则， ， 一次函数的解析式为：， 联立反比例函数与一次函数的解析式得，则， 即， ， 当时，， 根据题意得：， 作点A关于y轴的对称点，连接，交y轴与点M，连接， 则， ， ， 此时的周长最小，为的长， ， ； 设直线解析式为， 则，解得， 直线解析式为， 令，则， 点M的坐标为； （3）解：过点作x轴的垂线，与过点的轴的平行线，分别交于点， 设点， ， ， ， 由旋转知：， ， ， ， ， ， ， 点在反比例函数上， ，即， 解得或（舍去）， ∴． 10、如图，矩形的顶点A，C分别在y轴和x轴的正半轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象与，分别交于点，点，连接，，． (1)若的面积为3， ①当，求k的值和的面积； ②当直线的解析式为，求的面积． (2)我们定义有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．若，当为“半直角三角形”时，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)①k的值为6，的面积为8；②的面积为 (2)或 【分析】本题主要考查反比例函数的综合题，熟练掌握反比例函数的图象和性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． （1）①根据三角形面积得出的值，求出点坐标，再根据的面积矩形的面积的面积的面积的面积计算三角形面积即可； ②根据三角形面积得出的值，根据点和点的坐标在直线上，列方程组求解的值，再根据①中式子，计算三角形面积即可； （2）分和两种情况讨论，构造全等三角形，然后根据交点坐标及直线解析式求出的值即可． 【详解】（1）解：①点的坐标为，， ，， 设反比例函数的解析式为， 则， 的面积为3， ， 解得， 即反比例函数解析式为， ， 的面积矩形的面积的面积的面积的面积， 的值为6，的面积为8； ②设，的面积为3， ， ， ，直线的解析式为， ， 解得或（不符合题意，舍去）或（舍去是负数的情况）， 的面积矩形的面积的面积的面积的面积， 代入的值得， 的面积为； （2）解：， ，，， ①当时，作，交延长线于点，作，交延长线于， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， ， 解得（舍去负值）， ②当时，作，交延长线于点，过点作轴于点， 同理①可证， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得或， 当时，点和点与点重合，此情况舍去， 综上所述，符合条件的值为或12， 即反比例函数解析式为或． 11、如图1，在平面直角坐标系中，点，过函数图象上一点作轴的平行线交直线于点，且．         (1)①求的长度（用含有的代数式表示）； ②求的值，并写出的解析式； (2)过函数图象上任意一点，作轴的平行线交直线于点，是否总有成立？请说明理由； (3)如图2，若是函数图象上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，分别过点作的垂线交轴于点，问是否存在点，使得矩形的周长取得最小值？若存在，请求出此时点的坐标及矩形的周长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②，解析式为： (2)成立，理由见详解 (3)存在点P，且为，此时周长最小值为4 【分析】（1）用a的代数式表示出、，根据求出的值，然后利用待定系数法求出的值即可； （2）设，则，根据两点间距离公式求出的长即可； （3）设直线交轴于点，连接，，结合（2）可知，当且仅当、、三点共线时，矩形的周长取到最小值． 【详解】（1）解：①∵轴， ∴， ∴时，， ∴， ②∵， ∴， 解得：， ∴， 将点A代入得：， ∴解析式为：； （2）解：成立， 设，则， ， ∴ 而， ∴ ． （3）解：存在点P，使得矩形的周长取得最小值， 设直线交轴于点，连接，，由（2）得，， ∵矩形的周长， ， 当且仅当、、三点共线时，矩形的周长取到最小值， ∴，将代入得， ∴此时，点的坐标为． 12、我们知道，一次函数的图象可以由正比例函数的图象向下平移1个单位得到；也可以由正比例函数的图象向右平移一个长度单位得到；函数也可以由一个反比例函数通过平移得到，使用“描点法”作出函数的图象，列表：恰当地选取自变量x的几个值，计算y对应的值． x … 0 1 2 … … 2 0 … 描点：以表中各对x、y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，连线：如图1，将图中直线两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来．    (1)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①函数的图象关于点 中心对称（填写点的坐标）； ②函数的图象是由函数的图象经过怎样的平移变换得到的： ； (2)若直线与函数的图象相交于P，Q两点，点P的横坐标是p，若点Q的纵坐标是q，试探究代数式的值是否为定值？若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． (3)如图2，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形的顶点A，C的坐标分别为．点D是的中点，连结交于点E，函数的图象经过B，E两点，过线段中点M的一条直线与这个函数的图象交于P，Q两点，若以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为9，请直接函数的表达式和点P的坐标． 【答案】(1)①；②向左平移一个单位，再向上平移一个单位 (2)是定值，定值是2 (3)，或或或 【分析】（1）根据函数图象即可求解； （2）由得直线过定点，结合函数的图象关于点中心对称可得，两函数交点P，Q关于对称，据此即可求解； （3）求出直线、的解析式可得点，进而可得；根据为的中点，且为函数的对称中心，可得以为顶点组成的四边形为平行四边形，且为平行四边形对角线；结合， 可得的高是高的一半，据此即可求解； 【详解】（1）解：由图可知：①函数的图象关于点中心对称； 函数的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，可得到函数的图象; 故答案为：①；②向左平移一个单位，再向上平移一个单位 （2）解：的值是定值，理由如下： ∵, 则直线过定点 ∵函数的图象关于点中心对称 ∴则两函数交点P，Q关于对称, ∵点P的横坐标是， ∴点Q的横坐标是， 又Q的纵坐标为, ∴, 将代入得， ∴, 整理得 （3）解：由题意可得： 则直线的解析式为： 设直线的解析式为： 则，得 ∴直线的解析式为： 令，可得， ∴ 将、代入函数可得： ，解得： ∴ ∵为的中点， ∴ ∵， ∴将函数向右平移6个单位长度，向上平移2个单位长度可得到函数 即：为函数的对称中心， ∴， ∵ ∴以为顶点组成的四边形为平行四边形，且为平行四边形对角线， ∵以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为9， ∴， ∵ ∴的高是高的一半， 如图所示：    令函数中，可得， ∴，且为中点， ∴ ∵， 可得点是的三等分点， ∴ 关于的对称点为，关于的对称点为 综上所述，点的坐标为或或或 13、已知直线与反比例函数（，）的图象分别交于点，，与轴交于点，与轴交于点． (1)如图①，已知点的坐标为． ①求直线的表达式； ②若点是反比例函数在第一象限直线上方一点，当面积为时，求点的坐标． (2)如图②将直线向右平移个单位长度得到直线，将双曲线位于下方部分沿直线翻折，若翻折后的图象（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，求的值． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】（1）①根据点的坐标求得反比例函数的解析式，即可求得的值，代入一次函数即可求得直线的解析式；②过作，过作于；联立与反比例函数解析式，求得、的坐标，进而求得的长，根据三角形面积求得、的距离，进而求得的解析式，联立与反比例函数解析式即可求得点的坐标； （2）过点作，交于点，交于点，由题意可知直线的解析式为，则，，，，证明为的中点，得到，则直线的解析式为，若翻折后的图像（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，则点对应的点为，则，即是的中点，求出，根据两点中点坐标公式得到，由此求解即可． 【详解】（1）解：①∵ 在上， ∴， 把代入中得：， 则直线解析式为：，反比例函数解析式为：； ②由直线与反比例函数的图象分别交于点和点， 则， 解得：或， ∴， ∴， 如图，过作分别交轴、轴于点、，过作于， 设的距离为，则， 解得：， ∴、的距离为， ∴，    ∵，令，则，令，则，即，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 在中，， ∴直线是直线向右平移个单位后得到的直线， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， 点的坐标为或； （2）解：过点作于，交于点，交于点，如图，    ∴， ∵直线，将直线向右平移个单位长度得到直线， ∴直线的解析式为， ∴，，，， ∴， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴直线的解析式为， 若翻折后的图像（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，则点对应的点为， ，即是的中点， 联立，解得：或（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，（负值舍去）， ∴的值为． 14、在平面直角坐标系中，点A在y轴上，正方形的顶点B在反比例函数（k为常数，且，）的图像上，点D在反比例函（k为常数，且，）的图像上，设点B、D的横坐标分别为m、n. (1)已知四个点，，，恰有三个点在反比例函数（k为常数，且）的图像上. ①__________； ②如图1，当正方形的顶点A与点O重合时，试探究是否为定值.如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由； (2)如图2，当正方形的顶点A在y轴的正半轴时，直接写出m、n满足的等量关系式. 【答案】(1)①2；② (2) 【分析】（1）①将四个点的坐标代入反比例函数表达式即可求解； ②证明，得到，即，即可求解； （2）过点作直线轴，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、， 由，则，，即可求解． 【详解】（1）解：①因为，，，， 所以除了第二个点外，其余点都在反比例函数上， ∴， 故答案为：2； ②是定值，理由： 设点，点， 如图1，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为点、， 四边形为正方形，则，， ，， ， ，， ， 则，即， 则为定值； （2）如图2，过点作直线轴，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、， 设直线的表达式为：， 设点，点， 由（1）②知，， 则，， 即，， 由得，，由得，， 所以，， ∵，， ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $$