专题10.1 整式、合并同类项（举一反三讲义）数学沪教版五四制2024七年级上册

专题10.1 整式、合并同类项（举一反三讲义） 【沪教版五四制2024】 【题型1 单项式的定义】 1 【题型2 单项式的系数、次数】 3 【题型3 判断同类项】 5 【题型4 根据同类项的概念求字母的值】 6 【题型5 合并同类项】 7 【题型6 判断整式的项与次数】 9 【题型7 将整式按升或将幂排列】 10 【题型8 整式中的规律探究】 12 知识点1 单项式 定义：数和字母的乘积叫作单项式.一个含字母的单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数。一个单项式中,所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数。 拓展：非零的数是零次单项式，如5、都是零次单项式. 知识点2 合并同类项 定义：对于两个单项式，如果它们所含字母相同，且相同字母的指数也相同，那么称这两个单项式为同类项。 把整式中的同类项合并成一项的过程叫作合并同类项。 知识点3 整式 定义：有限个单项式求和得到的代数式叫作整式,也叫作多项式。 合并同类项后，整式中的每一个单项式叫作整式的项，每一项的次数是几，就称为几次项，不含字母的项叫作常数项，各项中次数最高项的次数叫作这个整式的次数。合并同类之后，整式有几项，称为几项式。 拓展：单项式是只有一项的整式。 【题型1 单项式的定义】 【例1】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）下列代数式8，中，单项式的个数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】此题考查了单项式，熟练掌握单项式的定义是解题的关键．单项式是数与字母的乘积，单独一个数或一个字母也是单项式．据此判断即可． 【详解】在代数式8，中，单项式有8，，，，共5个， 故选：C. 【变式1-1】（24-25七年级上·福建福州·期末）下列代数式中，属于单项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的定义，解题的关键是理解数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 根据单项式的定义进行分析即可． 【详解】解：、是单项式，符合题意； 、不是单项式，不符合题意； 、是多项式，不符合题意； 、是多项式，不符合题意； 故选：． 【变式1-2】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）在①，②，③，④，⑤，⑥中，属于单项式的有 ． 【答案】①③ 【分析】本题考查单项式的定义，数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式．准确掌握定义是解题的关键． 【详解】解：式子，符合单项式的定义，是单项式； 式子分母中含有字母，不是单项式； 式子，，不是单项式； 式子为等式，不是单项式； 故单项式有①③． 故答案为：①③． 【变式1-3】（24-25七年级上·广东肇庆·期中）下列代数式：①；②m；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是单项式的是 （只填序号）． 【答案】①②③⑦ 【分析】直接利用单项式的定义分析得出答案． 【详解】解：单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式 则是单项式的是①；②m；③；⑦， 故答案为：①②③⑦． 【点睛】本题考查了单项式的定义，熟记定义是解题关键． 【题型2 单项式的系数、次数】 【例2】（24-25七年级上·吉林·期中）已知一个单项式的系数是3，次数是4，则这个单项式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式的定义，单项式的次数，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数． 【详解】解：A、的系数为3，次数为3，不符合题意； B、的系数为，次数为4，不符合题意； C、不是单项式，不符合题意； D、的系数是3，次数是4，符合题意； 故选：D． 【变式2-1】（24-25七年级上·北京房山·期末）下列式子：中，单项式共有 个；系数为1的单项式是 ；系数为的单项式是 ；单项式的次数是 ． 【答案】 6 3 【分析】直接利用单项式的次数与系数确定方法得出答案． 【详解】解：单项式有：共6个， 系数为1的单项式是：， 系数为的单项式是：， 单项式的次数是：3． 故答案为：6；；；3． 【点睛】此题主要考查了单项式的次数与系数，正确把握定义是解题关键． 【变式2-2】（24-25七年级上·湖北荆门·期中）若一个单项式同时满足条件：①含有字母x，y，z；②系数为；③次数为5，则这样的单项式共有（  ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】本题考查了单项式．根据单项式的系数是指单项式中的数字因数，次数是指单项式中所有字母指数的和，按要求写出即可． 【详解】解：同时满足条件①②③的单项式有，，，，，，共有6个． 故选：B． 【变式2-3】（24-25七年级下·湖南长沙·开学考试）①单项式的系数是；②的次数、系数都是1；③与都是单项式；④单项式的系数是．以上说法中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了单项式的概念，不含有加减运算的整式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．单项式中的数字因数叫做单项式的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和． 【详解】解：①单项式的系数是，故此选项错误； ②的次数是2、系数是1，故此选项错误； ③不是单项式，故此选项错误； ④单项式的系数是，此选项正确， 故正确的有1个． 故选：B． 【题型3 判断同类项】 【例3】（24-25七年级上·北京·期中）多项式中，______ 与______是同类项；______与______是同类项． 【答案】 【分析】本题考查同类项，根据同类项的定义“所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项，几个单独的数字也是同类项”解题即可． 【详解】解： ∴和是同类项，和是同类项， 故答案为：；；；． 【变式3-1】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）写出一个与是同类项的单项式，则这个单项式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据单项式的定义，同类项的定义即可求解． 【详解】解：根据题意，与是同类项的单项式， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查单项式，同类项的定义，理解并掌握单项式，同类项的定义是解题的关键． 【变式3-2】（24-25七年级上·山东滨州·期末）下列单项式：，，，中，的同类项的系数是（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类项和同类项的系数的定义，先根据同类项的定义找到的同类项，再确定其系数即可． 【详解】解：的同类项是，其系数是， 故选：D． 【变式3-3】（24-25七年级上·河南郑州·期末）下列各组中的两项，属于同类项的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了同类项的定义，熟记同类项的定义是解题的关键； 根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数相同逐项判断即可求解． 【详解】解：A．中的次数是，的次数是；中的次数是，的次数是，相同字母的指数不同，不是同类项，故本选项不符合题意； B．含有字母和，含有字母和，所含字母不同，不是同类项，故本选项不符合题意； C．含有字母和，含有字母、和，所含字母不同，不是同类项，故本选项不符合题意； D．与都含有字母和，且的次数都是，的次数也都是，是同类项，故本选项符合题意； 故选：D． 【题型4 根据同类项的概念求字母的值】 【例4】（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）单项式与是同类项，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类项的定义，解一元一次方程，代数式求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由同类项的定义得到，，将代入计算即可． 【详解】解：单项式与是同类项， ， ， ， 故选：A． 【变式4-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）如果与是同类项，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类项的定义，代数式求值，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此可得m、n的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解；∵与是同类项， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】（24-25七年级上·福建漳州·期中）若与是同类项，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．1或 【答案】B 【分析】本题考查了同类项，有理数的乘方运算，解题的关键是掌握这些知识点．根据同类项的定义“所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项”可得，，即可得． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， ∴， 故选：B． 【变式4-3】（24-25七年级下·四川雅安·期中）已知与是同类项，则的值为 ． 【答案】或． 【分析】本题考查了同类项的定义，绝对值的意义，根据同类项的定义求出，代入即可求解，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， ∴或， 当时，，， 当时，，， 故答案为：或． 【题型5 合并同类项】 【例5】（24-25七年级上·北京昌平·期中）先合并同类项，再求代数式的值： 已知，求的值． 【答案】， 【分析】本体考查整式的知识，解题的关键是根据非负数的性质，求出，的值，再根据整式的加减运算，化简代数式，最后把，的值代入，即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ， 把，，代入． 【变式5-1】（24-25七年级上·上海崇明·期中）合并同类项： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了合并同类项，熟记合并同类项法则是解答本题的关键．合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25七年级上·山西太原·期末）三个连续整数中，若最小的数用表示，则这三个数的和用含的代数式表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了合并同类项，列代数式，由最小的数用表示，则后两个数为，，然后利用合并同类项法则进行解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵最小的数用表示， ∴后两个数为，， ∴这三个数的和为， 故答案为：． 【变式5-3】（24-25七年级上·广西贵港·期中）实践探究：根据合并同类项法则，得．类似的，如果把看成一个整体，那么．这种解决问题的思想方法被称为“整体思想”，广泛运用于在多项式的化简与求值中． 据此解答以下问题： (1)把看成一个整体，合并的结果是____； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，学会运用“整体思想”是解题的关键． （1）按照“整体思想”把看成一个整体，合并同类项即可． （2）把变形为然后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：把看成一个整体， 则， 故答案为：． （2）解： ∵， ∴原式 【题型6 判断整式的项与次数】 【例6】（24-25七年级上·四川南充·期中）的次数是，常数项是，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的次数和常数项，代数式求值，由多项式的次数和常数项的定义可求出的值，进而代入代数式计算即可求解，理解多项式的次数和常数项的定义是解题的关键． 【详解】解：∵多项式的次数是，常数项是， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式6-1】（24-25六年级下·上海·期中）下列多项式中是三次三项式的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的定义，根据多项式次数的定义“每一项中最高项的次数为多项式的次数”，解答即可． 【详解】解：A. 是单项式，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，是三次三项式，故该选项正确，符合题意； C. ，是二次二项式，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，是二次二项式，故该选项不正确，不符合题意． 故选：B． 【变式6-2】（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）的最高次项是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了多项式，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．直接利用多项式的次数确定项得出答案． 【详解】解：多项式的最高次项是：， 故答案为：． 【变式6-3】（24-25七年级上·四川南充·期中）关于 的多项式 的次数为3，为何值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式的次数，合并同类项，掌握多项式中单项式的次数最高的次数叫多项式的次数是解题的关键． 根据多项式的次数得出，且，求解即可． 【详解】解：∵关于 的多项式 的次数为3， ∴，且， ∴， 故选：B． 【题型7 将整式按升或将幂排列】 【例7】（24-25七年级上·上海普陀·期末）将整式按降幂排列后，第二项的系数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式，先把整式的各项按y降幂排列后，找出第二项，从而找出其系数即可． 【详解】解：整式按y降幂排列为：， ∵第二项是， ∴第二项的系数是， 故答案为：． 【变式7-1】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）多项式3-2xy+6y-5-4y是按照(      ). A．按字母x升幂排列 B．按字母y升幂排列 C．按字母x降幂排列 D．按字母y降幂排列 【答案】A 【分析】根据多项式幂的排列的定义解答． 【详解】多项式3-2xy+6y-5-4y中，x的次数依次为1,2,3,4，y的次数依次为1,1,2,1， 故选A. 【点睛】此题考查多项式，解题关键在于掌握其定义. 【变式7-2】（2025·河南郑州·一模）写出一个同时满足下列条件的二次三项式： 只含有字母和；每一项的次数都是；按字母的降幂排列． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了多项式的概念，多项式的次数、项数的概念，按某字母降幂排列，熟记多项式的次数，项数概念是解题的关键． 根据多项式次数，项数的定义，降幂排列求解即可． 【详解】解：∵二次三项式满足：只含有字母和；每一项的次数都是；按字母的降幂排列， ∴这个多项式可以为：， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式7-3】（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）某多项式为，按这样的规律写下去，第6项是 ，此多项式应是 次 项式． 【答案】 八 九 【分析】本题主要是寻找多项式排列的规律问题，以及多项式的项数和次数，由多项式排列的特点可知：该多项式正负交替，从开始降次一直递减到0，从开始升次递增到，且当为偶次时该项系数为正，当为奇次时该项系数为负，根据该规律以及多项式的项数和次数，即可解题． 【详解】解：根据题意得到其规律为从开始降次一直递减到0，从开始升次递增到，且当为偶次时该项系数为正，当为奇次时该项系数为负， 按这样的规律写下去，第6项是， 此多项式应是八次九项式， 故答案为：，八，九． 【题型8 整式中的规律探究】 【例8】（24-25八年级下·云南昭通·期中）观察下列式子： ，，，，… 请你找出其中规律，并将第个式子写出来： ． 【答案】 【分析】分别找到各项的规律，继而得出第n个式子． 【详解】解：，，，，…， 可发现含x的项次数为从1开始的自然数， 常数项为从1开始的自然数的平方，奇数项系数为负，偶数项系数为正， ∴第个式子为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式的规律，解题的关键是从式子的各个部分出发寻找规律． 【变式8-1】（24-25七年级上·云南昭通·期中）按照一定规律排列的单项式，，，，…，试猜想第个单项式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分母的规律，第个为，分子指数部分的规律，第个为，即可求解，本题考查了数字的变化规律，解题的关键是：将分子、分母分开，找到各自的规律． 【详解】解：，，，，…， 根据分母的变化规律，第个为， 根据分子指数的变化规律，第个为， 第个单项式为， 故选：． 【变式8-2】（2025·上海·七年级期末）按一定规律排列的整式：，，，，，…，第个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类规律探究，找出次数变化的规律是解答本题的关键． 根据所给多项式次数总结出每个多项式前后两项次数变化的规律即可解答． 【详解】解：∵多项式的x项的系数依次为1、3、5，……，y项的次数依次为2、4、6，……， ∴第n个多项式的x项的系数为，y项次数， ∴第个多项式是． 故选：D． 【变式8-3】（24-25七年级上·北京西城·期中）按一定规律排列的一组多项式：，，，，，…，它的第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式规律探究分析的规律，得系数的规律：第个对应的系数是，的指数的规律：第个对应的指数是，且奇数项为正，偶数项为负，即可求解． 【详解】解：根据分析的规律，得系数的规律：第个对应的系数是， 的指数的规律：第个对应的指数是，且奇数项系数为正，偶数项系数为负， 第个多项式是， 故选：B． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10.1 整式、合并同类项（举一反三讲义） 【沪教版五四制2024】 【题型1 单项式的定义】 1 【题型2 单项式的系数、次数】 2 【题型3 判断同类项】 2 【题型4 根据同类项的概念求字母的值】 3 【题型5 合并同类项】 3 【题型6 判断整式的项与次数】 3 【题型7 将整式按升或将幂排列】 4 【题型8 整式中的规律探究】 4 知识点1 单项式 定义：数和字母的乘积叫作单项式.一个含字母的单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数。一个单项式中,所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数。 拓展：非零的数是零次单项式，如5、都是零次单项式. 知识点2 合并同类项 定义：对于两个单项式，如果它们所含字母相同，且相同字母的指数也相同，那么称这两个单项式为同类项。 把整式中的同类项合并成一项的过程叫作合并同类项。 知识点3 整式 定义：有限个单项式求和得到的代数式叫作整式,也叫作多项式。 合并同类项后，整式中的每一个单项式叫作整式的项，每一项的次数是几，就称为几次项，不含字母的项叫作常数项，各项中次数最高项的次数叫作这个整式的次数。合并同类之后，整式有几项，称为几项式。 拓展：单项式是只有一项的整式。 【题型1 单项式的定义】 【例1】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）下列代数式8，中，单项式的个数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1-1】（24-25七年级上·福建福州·期末）下列代数式中，属于单项式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）在①，②，③，④，⑤，⑥中，属于单项式的有 ． 【变式1-3】（24-25七年级上·广东肇庆·期中）下列代数式：①；②m；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是单项式的是 （只填序号）． 【题型2 单项式的系数、次数】 【例2】（24-25七年级上·吉林·期中）已知一个单项式的系数是3，次数是4，则这个单项式可以是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25七年级上·北京房山·期末）下列式子：中，单项式共有 个；系数为1的单项式是 ；系数为的单项式是 ；单项式的次数是 ． 【变式2-2】（24-25七年级上·湖北荆门·期中）若一个单项式同时满足条件：①含有字母x，y，z；②系数为；③次数为5，则这样的单项式共有（  ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【变式2-3】（24-25七年级下·湖南长沙·开学考试）①单项式的系数是；②的次数、系数都是1；③与都是单项式；④单项式的系数是．以上说法中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型3 判断同类项】 【例3】（24-25七年级上·北京·期中）多项式中，______ 与______是同类项；______与______是同类项． 【变式3-1】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）写出一个与是同类项的单项式，则这个单项式可以是 ． 【变式3-2】（24-25七年级上·山东滨州·期末）下列单项式：，，，中，的同类项的系数是（   ） A． B．1 C．2 D． 【变式3-3】（24-25七年级上·河南郑州·期末）下列各组中的两项，属于同类项的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【题型4 根据同类项的概念求字母的值】 【例4】（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）单项式与是同类项，则的值为（  ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）如果与是同类项，那么 ． 【变式4-2】（24-25七年级上·福建漳州·期中）若与是同类项，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．1或 【变式4-3】（24-25七年级下·四川雅安·期中）已知与是同类项，则的值为 ． 【题型5 合并同类项】 【例5】（24-25七年级上·北京昌平·期中）先合并同类项，再求代数式的值： 已知，求的值． 【变式5-1】（24-25七年级上·上海崇明·期中）合并同类项： ． 【变式5-2】（24-25七年级上·山西太原·期末）三个连续整数中，若最小的数用表示，则这三个数的和用含的代数式表示为 ． 【变式5-3】（24-25七年级上·广西贵港·期中）实践探究：根据合并同类项法则，得．类似的，如果把看成一个整体，那么．这种解决问题的思想方法被称为“整体思想”，广泛运用于在多项式的化简与求值中． 据此解答以下问题： (1)把看成一个整体，合并的结果是____； (2)已知，求的值． 【题型6 判断整式的项与次数】 【例6】（24-25七年级上·四川南充·期中）的次数是，常数项是，则的值是 ． 【变式6-1】（24-25六年级下·上海·期中）下列多项式中是三次三项式的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【变式6-2】（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）的最高次项是 ． 【变式6-3】（24-25七年级上·四川南充·期中）关于 的多项式 的次数为3，为何值（    ） A． B． C． D． 【题型7 将整式按升或将幂排列】 【例7】（24-25七年级上·上海普陀·期末）将整式按降幂排列后，第二项的系数为 ． 【变式7-1】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）多项式3-2xy+6y-5-4y是按照(      ). A．按字母x升幂排列 B．按字母y升幂排列 C．按字母x降幂排列 D．按字母y降幂排列 【变式7-2】（2025·河南郑州·一模）写出一个同时满足下列条件的二次三项式： 只含有字母和；每一项的次数都是；按字母的降幂排列． 【变式7-3】（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）某多项式为，按这样的规律写下去，第6项是 ，此多项式应是 次 项式． 【题型8 整式中的规律探究】 【例8】（24-25八年级下·云南昭通·期中）观察下列式子： ，，，，… 请你找出其中规律，并将第个式子写出来： ． 【变式8-1】（24-25七年级上·云南昭通·期中）按照一定规律排列的单项式，，，，…，试猜想第个单项式为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025·上海·七年级期末）按一定规律排列的整式：，，，，，…，第个多项式是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25七年级上·北京西城·期中）按一定规律排列的一组多项式：，，，，，…，它的第个多项式是（    ） A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$