暑假作业16 图形的轴对称压轴题专-【暑假分层作业】2025年七年级数学暑假培优练（北师大版2024）

完成时间： 月 日 天气： 作业16 图形的轴对称 1．如图，已知，C是内部的一点，且，点D、E分别是上的动点，若周长的最小值等于3，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，以为底边在外作等腰三角形，过点作的平分线，分别交于点．若，，，是直线上的一个动点，则周长的最小值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．如图，在中，，，平分交于，于，交的延长线于，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤为定值，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，在中，，，，的平分线交于点E，且．将沿折叠使点C与点E恰好重合，①；②点E到AC的距离为8；③；④，以上结论正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（多选题）已知：如图，中，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过点E作，F为垂足．下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，等腰三角形的底边长为8，面积是64，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 7．如图，平分，为上的一点，的两边分别与，相交于点、． (1)如图1，若，，过点作于点，作于点，请判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若，，判断线段、、的数量关系，并说明理由． 8．若两角之差的绝对值为，则称这两个角是一组“奇妙角”．即若，则与是一组“奇妙角”（）．    (1)如图1，在长方形中，点在边上，点在边上，沿着将四边形对折，点落在点处，点落在点处，若，判断与是否是一组“奇妙角”，并说明理由； (2)如图2，点为长方形的边上一点，点，点分别是射线，射线上一点，连接，沿着分别对折三角形和三角形，点落在点处，点落在点处． ①如图3，当点三点共线时，与是一组“奇妙角”，求的度数； ②当点，，三点不共线时，与是一组“奇妙角”，，且，求的度数． 9．如图，等腰三角形中，，平分．点E为上的动点，点M为上的动点，连接，将沿翻折． (1)图1沿折叠，点A与点C重合，连接，若，①求证；②的度数为_________度； (2)如图2，若点M和点B重合，连接，将沿折叠得到，且，设与相交于点F．求度数． 10．如图，在中，，将沿着斜边翻折得到，，分别是射线和射线上的点，且 【初步探索】 （1）如图，点，分别在线段和线段上，试探究线段，，之间的数量关系． 小明同学探究此问题的思路：延长至点，使得，连接，先证明，再证明，即可得到线段，，之间的数量关系． 请依照小明的思路，把过程补充完整． 【探索延伸】 （2）如图，点，分别在线段，的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请探究线段，，之间新的数量关系，并说明理由． 【灵活运用】 （3）在中，若，，，请直接写出的周长． 11．如图，在中，，将沿着斜边翻折，得到分别是射线和射线上的点，且． 【初步探索】 （1）如图1，点分别在线段和线段上，试探究线段之间的数量关系． 小明同学探究此问题的思路：延长至点，使得，连接，先证明，再证明，即可得到之间的数量关系．请依照小明的思路，把过程补充完整． 【探索延伸】 （2）如图2，点分别在线段的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请探究线段之间新的数量关系，并说明理由． 【灵活运用】 （3）在Rt中，若，请直接写出的周长． 12．在中，，，点为的中点． (1)若，两边分别交于两点． ①如图1，当点分别在边和上时，求证：； ②如图2，当点分别在和的延长线上时，连接，若，则______． (2)如图3，若，两边分别交边于，交的延长线于，连接，若，，试求的长． 13．定义：如果有三个角，满足，则称是和的“减余角”． (1)已知，，若是和的“减余角”，则 ． (2)现有一张正方形纸片，如图所示，点为线段上一点（不与重合）．连结，将纸片沿着对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为． ①若是和的“减余角”，求的度数． ②再将此正方形纸片沿着所在直线对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为，如图所示．是否存在，，中的一个角是其它两个角的“减余角”？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 14．已知：如图1，在中，，，，是角平分线，与相交于点，，，垂足分别为，． 【思考说理】 （1）求证：． 【反思提升】 （2）爱思考的小强尝试将【问题背景】中的条件“”去掉，其他条件不变，观察发现（1）中结论（即）仍成立．你认为小强的发现正确吗？如果不正确请举例说明，如果正确请仅就图2给出证明． 15．如图，在中，的平分线交于点，且，点是边上一动点，连接，将沿翻折得． (1)求的度数； (2)当点与点重合时，请仅用圆规在图2中确定点的位置（保留作图痕迹），并证明； (3)连接，当是等腰三角形时，求的度数． 16．【综合实践】——折纸中的数学    某兴趣小组在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过以下的折纸方式找符合要求的直线．如图，在一张正方形纸片的两边上分别有，两点，连接，是正方形纸片上一点，用折纸的方法过点作的平行线的基本步骤如下． 第一步：如图，过点进行第一次折叠，使点的对应点落在上，折痕与互相垂直，垂足为，打开纸张铺平． 第二步：如图，过点进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图）． （）根据上述步骤可知，与的位置关系是__________． 【联系拓广】 （2）①如图，设直线与正方形上、下两边分别交于点，，试探究与的数量关系，并说明理由； ②若，求的度数． 【类别迁移】 （3）如图，在长方形纸片中，，将纸片沿折叠，使落在处，再将纸片沿折叠，使落在处，且点，，，在同一直线上，求证：． 17．学习理解： （1）如图1，，，点D为的中点，则的取值范围为________； 活学活用： （2）如图2，，，，点F为的中点． 求证：； 思维拓展： （3）如图3，在中，，和的角平分线与相交于点F，连接，，，则________． 18．张老师在带领同学们进行折角的探究活动中，按步骤进行了折纸： ①对折矩形，使与重合，得到折痕，并把纸展平． ②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段． ③可得到．老师请同学们讨论说明理由． 三个同学在一起讨论得到各自的方法．小彤说：连接，可证为等边三角形，从而得证；小如说：利用平行线分线段成比例性质，可证，再结合三角形全等的知识可证；小远说：利用的边角关系可证． (1)在考试过程中，小明和小峰这三种方法他们都会，都随机选取了这三种方法中的一种，请用列表或画树状图的方法求他俩选择了同一种方法的概率． (2)请你选择其中一个同学的方法或者用其他方法说明理由． 19．【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【问题解决】 （1）如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是________； 如图，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为________． 【方法应用】 （2）如图，在中，，，．求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 20．【尝试探究】如图1，已知在正方形中，点、分别在边、上运动． (1)当点、分别为、中点时，求证：； (2)当点、分别在边、上运动，时，探究、和的数量关系，加以说明； (3)如图，当点、分别在射线、上运动，时， ①试问中的结论还成立吗？请加以说明； ②直接写出、和之间的数量关系； 【模型建立】如图3，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想（2）中的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图4，已知是边长为的等边三角形三边相等，三个内角均为，，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，求的周长． 试卷第4页，共48页 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 完成时间： 月 日 天气： 作业16 图形的轴对称 1．如图，已知，C是内部的一点，且，点D、E分别是上的动点，若周长的最小值等于3，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 由轴对称的性质可得，， ， 当点D、E在上时，等号成立，如图： 由轴对称的性质可得垂直平分线段，垂直平分线段， ，，，， ，， 为等边三角形， ， ． 故选D． 2．如图，在中，，以为底边在外作等腰三角形，过点作的平分线，分别交于点．若，，，是直线上的一个动点，则周长的最小值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】解：∵是以为底边的等腰三角形，平分， ∴垂直平分， ∴点A与点C关于对称， ∴， 如图所示，当点P与点E重合时，， 此时的周长最小， ∵，，， ∴周长的最小值为：， 故选：B． 3．如图，在中，，，平分交于，于，交的延长线于，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤为定值，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：如图，过作于，作，交于，过作于， ，平分， ， ，， ， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故②正确，④正确； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，故③错误， ， ， ， 平分，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即，故⑤正确． 正确的结论有4个． 故选：D． 4．如图，在中，，，，的平分线交于点E，且．将沿折叠使点C与点E恰好重合，①；②点E到AC的距离为8；③；④，以上结论正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】解：∵，，， ∴； 故①正确； 如图，过点E作，垂足分别为F，H， ∵平分， ∴； ∵，， ∴平分， ∴, 即点E到AC的距离为8； 故②正确； 由折叠知，； ∵， 同理，， ∴ ； 故③正确； ∵， 即， ∴， ∴； 故④正确； 综上，正确的有4个； 故选：A． 5．（多选题）已知：如图，中，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过点E作，F为垂足．下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】解：∵为的角平分线， ∴， 在和中， ∴， 故选项A正确，符合题意； 过点E作交延长线于点G，如图所示： ∵E是的角平分线上的点，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故选项B不正确，不符合题意； ∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， 即， 故选项D正确，符合题意； ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， 故选项C正确，符合题意. 故选：ACD． 6．如图，等腰三角形的底边长为8，面积是64，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】20 【详解】解：连接， ∵由等腰三角形的底边长为8，面积是64，点D为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点M是腰的垂直平分线上的点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为20， ∴周长的最小值为20， 故答案为：20． 7．如图，平分，为上的一点，的两边分别与，相交于点、． (1)如图1，若，，过点作于点，作于点，请判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若，，判断线段、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，见解析(2)，见解析 【详解】（1）解：，理由如下： 平分，，， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：理由如下： 过点作于点，过点作于点，如图所示．   平分， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ． ，平分， ， ， ，， ， ． 8．若两角之差的绝对值为，则称这两个角是一组“奇妙角”．即若，则与是一组“奇妙角”（）．    (1)如图1，在长方形中，点在边上，点在边上，沿着将四边形对折，点落在点处，点落在点处，若，判断与是否是一组“奇妙角”，并说明理由； (2)如图2，点为长方形的边上一点，点，点分别是射线，射线上一点，连接，沿着分别对折三角形和三角形，点落在点处，点落在点处． ①如图3，当点三点共线时，与是一组“奇妙角”，求的度数； ②当点，，三点不共线时，与是一组“奇妙角”，，且，求的度数． 【答案】(1)是，理由见解析(2)①或；②或 【详解】（1）解： 与是一组“奇妙角”，理由如下： ， ，由折叠可知：，    与是一组“奇妙角”； （2）解：①设， 由对折可得：， ， ，     与是一组“奇妙角”， 或， 或， 或，即或， ②设， 由对折可得： 与是一组“奇妙角”，且 ， 当与无重叠时，如图：    ， ， ， ， ， 当与有重叠时，如图：      ， ， ， ， 综上所述，或． 9．如图，等腰三角形中，，平分．点E为上的动点，点M为上的动点，连接，将沿翻折． (1)图1沿折叠，点A与点C重合，连接，若，①求证；②的度数为_________度； (2)如图2，若点M和点B重合，连接，将沿折叠得到，且，设与相交于点F．求度数． 【答案】(1)①证明见解析；②(2) 【详解】（1）证明：①如图， ∵，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； ②由对折可得：，，而， ∴， ∵， ∴． （2）如图，连接， ∵，平分， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由翻折的性质可知：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴的度数为； 10．如图，在中，，将沿着斜边翻折得到，，分别是射线和射线上的点，且 【初步探索】 （1）如图，点，分别在线段和线段上，试探究线段，，之间的数量关系． 小明同学探究此问题的思路：延长至点，使得，连接，先证明，再证明，即可得到线段，，之间的数量关系． 请依照小明的思路，把过程补充完整． 【探索延伸】 （2）如图，点，分别在线段，的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请探究线段，，之间新的数量关系，并说明理由． 【灵活运用】 （3）在中，若，，，请直接写出的周长． 【答案】（1）见解析 （2）不成立，，理由见解析 （3）或 【详解】解：（1）如图，延长至点，使得，连接， 将沿着斜边翻折，得到， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）（1）中的结论不成立，，理由： 如图，在上截取，连接， 将沿着斜边翻折，得到， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， 在和中， ， ， ； （3）分两种情况： 如图，当点在线段上时， 的周长； 如图，当点在线段的延长线上时， 的周长， 综上所述，的周长为或． 11．如图，在中，，将沿着斜边翻折，得到分别是射线和射线上的点，且． 【初步探索】 （1）如图1，点分别在线段和线段上，试探究线段之间的数量关系． 小明同学探究此问题的思路：延长至点，使得，连接，先证明，再证明，即可得到之间的数量关系．请依照小明的思路，把过程补充完整． 【探索延伸】 （2）如图2，点分别在线段的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请探究线段之间新的数量关系，并说明理由． 【灵活运用】 （3）在Rt中，若，请直接写出的周长． 【答案】（1）见解析 （2）不成立，，理由见解析 （3）或 【详解】解：（1）如图，延长至点，使得，连接， 将沿着斜边翻折，得到， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）（1）中的结论不成立，，理由： 如图，在上截取，连接， 将沿着斜边翻折，得到， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， 在和中， ， ， ； （3）分两种情况： 如图，当点在线段上时， 的周长； 如图，当点在线段的延长线上时， 的周长， 综上所述，的周长为或． 12．在中，，，点为的中点． (1)若，两边分别交于两点． ①如图1，当点分别在边和上时，求证：； ②如图2，当点分别在和的延长线上时，连接，若，则______． (2)如图3，若，两边分别交边于，交的延长线于，连接，若，，试求的长． 【答案】(1)①见解析；②18 (2)2 【分析】（1）①连接，证明即可；②连接，，得出，利用三角形面积公式进行计算即可； （2）连接，过点作，交的延长线于点，证明，得出，，证明，得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：①如图，连接， ∵，，点为的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，连接， ∵，，点为的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：如图，连接，过点作，交的延长线于点， ∵，，点为的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 13．定义：如果有三个角，满足，则称是和的“减余角”． (1)已知，，若是和的“减余角”，则 ． (2)现有一张正方形纸片，如图所示，点为线段上一点（不与重合）．连结，将纸片沿着对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为． ①若是和的“减余角”，求的度数． ②再将此正方形纸片沿着所在直线对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为，如图所示．是否存在，，中的一个角是其它两个角的“减余角”？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)；存在．当时，为和的“减余角”； 当时，为和的“减余角”． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由折叠可得，， 设，则， ∵是和的“减余角”， ∴， 解得， ∴的度数为； 存在． 由折叠可得，，， 设，，则， 当为和的“减余角”时， 由题意可得，， 解得， ∴， ∴当时，为和的“减余角”； 当为和的“减余角”时， 由题意可得，， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴当时，为和的“减余角”； 当为和的“减余角”时， 由题意可得，， 故此种情况不存在； 综上，当时，为和的“减余角”； 当时，为和的“减余角”． 14．已知：如图1，在中，，，，是角平分线，与相交于点，，，垂足分别为，． 【思考说理】 （1）求证：． 【反思提升】 （2）爱思考的小强尝试将【问题背景】中的条件“”去掉，其他条件不变，观察发现（1）中结论（即）仍成立．你认为小强的发现正确吗？如果不正确请举例说明，如果正确请仅就图2给出证明． 【答案】（1）证明见详解；（2）正确，证明见详解； 【详解】证明：（1）∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB， ∴点F是的内心， ∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）如图，在AB上截取CP=CD， 在和中， ∵ ∴ ∴，∠CFD=∠CFP， ∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB， ∴∠CAD=∠BAD，∠ACE=∠BCE， ∵∠B=60°， ∴∠ACB+∠BAC=120°， ∴∠CAD+∠ACE=60°， ∴∠AFC=120°， ∵∠CFD=∠AFE=180°-∠AFC=60°， ∵∠CFD=∠CFP， ∴∠AFP=∠CFP=∠CFD=∠AFE=60°， 在和中， ∵ ∴ ∴FP=EF ∴FD=EF． 15．如图，在中，的平分线交于点，且，点是边上一动点，连接，将沿翻折得． (1)求的度数； (2)当点与点重合时，请仅用圆规在图2中确定点的位置（保留作图痕迹），并证明； (3)连接，当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1)(2)作图见解析，证明见解析(3)或或 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 解得：，即， ∴ （2）解：如图所示，以为圆心的长为半径作弧交于点， ∵折叠， ∴， 又∵平分， ∴在上， ∵，则 ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ （3）解：∵折叠， ∴， ∵， ∴ 当时， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴，即 ∴； ∴ 当时，如图所示， ∵， ∴垂直平分 ∴，则 ∵ ∴，即 ∴； ∴ 当时，由（2）可得在上， ∴ 综上所述，当是等腰三角形时， 的度数为或或． 16．【综合实践】——折纸中的数学    某兴趣小组在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过以下的折纸方式找符合要求的直线．如图，在一张正方形纸片的两边上分别有，两点，连接，是正方形纸片上一点，用折纸的方法过点作的平行线的基本步骤如下． 第一步：如图，过点进行第一次折叠，使点的对应点落在上，折痕与互相垂直，垂足为，打开纸张铺平． 第二步：如图，过点进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图）． （）根据上述步骤可知，与的位置关系是__________． 【联系拓广】 （2）①如图，设直线与正方形上、下两边分别交于点，，试探究与的数量关系，并说明理由； ②若，求的度数． 【类别迁移】 （3）如图，在长方形纸片中，，将纸片沿折叠，使落在处，再将纸片沿折叠，使落在处，且点，，，在同一直线上，求证：． 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②；（3）见解析． 【详解】解：（1）．理由如下： 由折叠可得，， ∴， ∴， ∴； （2）①． 理由如下： 如图，连接．    由正方形可知，， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ②如图，过点作， ∴． ∵纸片是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．    （3）证明：∵， ∴． ∵纸片沿折叠，使落在处，再将纸片沿折叠，使落在处， ∴，， ∴， ∴． 17．学习理解： （1）如图1，，，点D为的中点，则的取值范围为________； 活学活用： （2）如图2，，，，点F为的中点． 求证：； 思维拓展： （3）如图3，在中，，和的角平分线与相交于点F，连接，，，则________． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）13 【详解】解：（1）如图1，延长至点E，使，连接， ∵点D为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图2，延长至点G，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵分别平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图3，在上截取，，连接， 在和中， ， ∴， 同理可得：， ∴，，，， 过点N作于点P，过点E作于点Q， 则， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵ ， ∴， 故答案为：13． 18．张老师在带领同学们进行折角的探究活动中，按步骤进行了折纸： ①对折矩形，使与重合，得到折痕，并把纸展平． ②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段． ③可得到．老师请同学们讨论说明理由． 三个同学在一起讨论得到各自的方法．小彤说：连接，可证为等边三角形，从而得证；小如说：利用平行线分线段成比例性质，可证，再结合三角形全等的知识可证；小远说：利用的边角关系可证． (1)在考试过程中，小明和小峰这三种方法他们都会，都随机选取了这三种方法中的一种，请用列表或画树状图的方法求他俩选择了同一种方法的概率． (2)请你选择其中一个同学的方法或者用其他方法说明理由． 【答案】(1) (2)选择小彤的方法说明，理由见详解 【详解】（1）解：用表示三种解题方法，根据题意，作出树状图如下， 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小峰选择同一种方法的结果有3种， ∴小明和小峰选择同一种方法的概率为； （2）选择小彤的方法说明，理由如下： 连接，如下图， 由折叠的性质可得，，，，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 19．【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【问题解决】 （1）如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是________； 如图，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为________． 【方法应用】 （2）如图，在中，，，．求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1）；；（2）；（3）或 【详解】解：（1），， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 故答案为：； （2）在中，，，，如图，作，交于点， ，，， ， 在和中， ， ， ， ； （3）以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，如图，作高线，过点作于， ，，， ，， 由（1）得：， ， ； 以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，如图，作高线，过点作于， ，，， ，， 由（1）得：， ， ； 综上所述，的面积为或． 20．【尝试探究】如图1，已知在正方形中，点、分别在边、上运动． (1)当点、分别为、中点时，求证：； (2)当点、分别在边、上运动，时，探究、和的数量关系，加以说明； (3)如图，当点、分别在射线、上运动，时， ①试问中的结论还成立吗？请加以说明； ②直接写出、和之间的数量关系； 【模型建立】如图3，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想（2）中的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图4，已知是边长为的等边三角形三边相等，三个内角均为，，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，求的周长． 【答案】【尝试探究】（1）见解析；（2），见解析；（3）①结论不成立，见解析；②，见解析；【模型建立】成立，见解析；【拓展应用】 【详解】[尝试探究]（1）证明：四边形是正方形， ，， 点、分别为、中点， ，， ， ， ； （2）解：． 证明：如图，把绕点顺时针旋转至，可使与重合， ， ，点、、共线， ，， ，即． 在和中， ， ， ， ； （3）解：①（2）中的结论不成立． 证明：如图所示． ， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合， ， 点、、在一条直线上． ，，． 又， ． ， ． ． 在和中， ， ． ． ， ， ∴（2）中的结论不成立，、和的数量关系为； ②， 证明：如图所示． 由①知，， ∴， ∴， ∴； [模型建立] 成立，如图，． 证明：将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合， 由旋转得：，，， ， 同理得：点，，在同一条直线上， ， ， ， ， ，， ， ， ， ∴（2）中的结论还成立，； [拓展应用] 解：是边长为的等边三角形， ，， ， ， ，， 把绕点顺时针旋转至，可使与重合， 由旋转得：，，， ， 同理得：点，，在同一条直线上， ， ， ， ， ，， ， ， ， 的周长． 试卷第4页，共48页 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $$