暑假作业13 整式乘法压轴题专练-【暑假分层作业】2025年七年级数学暑假培优练（北师大版2024）

完成时间： 月 日 天气： 作业13 整式乘法压轴题专练 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）对于实数，，整式，，规定整式的运算：，．当时，若对于始终成立，则，满足的条件是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，错误的是（   ） A．“2”上边的数是8 B．“20”右边的“□”表示4 C．运算结果可以是9225 D．“5”右边的“□”表示5 3．（24-25七年级上·重庆·期末）已知关于字母的次多项式，化简后总是可以表达成的形式，其中都为常数，为正整数．对多项式，任意选择其中两项的系数，先变成其相反数后再交换它们的位置，称为“取反换位”操作，例如：对多项式，进行“取反换位”操作后，所有可能得结果是：，，，则下列说法中正确的个数有（   ） ①当时，若对多项式进行“取反换位”操作后得到的多项式与原多项式之和为0，则关于的方程的解为； ②当时，若，则对多项式进行“取反换位”操作后，所得的所有多项式之和为原多项式的2倍； ③当时，若多项式：无论取何值总是等于，则对多项式进行“取反换位”操作后所得的所有多项式的常数项的和为109． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（24-25九年级上·重庆·期末）关于的多项式：，其中为正整数，，，…，为互不相等且不为零的整数．比如当时，．交换任意两项的系数，得到的新多项式称为原多项式的“衍生多项式”下列说法： ①共有15个不同的“衍生多项式”； ②若多项式，无论为何值时，； ③若多项式，． 其中正确的个数是（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 5．（24-25八年级上·福建福州·期末）某商店的某种商品成本增加，因此商家决定对该商品进行提价，现有三种方案．方案一：第一次提价，第二次提价；方案二：第一次提价，第二次提价；方案三：第一、二次提价均为；其中a，b是不相等的正数．有以下说法： ①方案一、方案二提价一样； ②方案一提价有可能高于方案二提价； ③三种方案中，方案三的提价最多； ④方案三的提价有可能低于方案一的提价． 其中正确的是（　　） A．①③ B．①④ C．②④ D．②③ 6．（24-25八年级上·浙江台州·期末）一个四位自然数，满足，，则称这个四位数为“幸运数”例如：对于，∵，，∴是“幸运数”；对于，∵，，∴不是“幸运数”．若存在幸运数，使得，则满足条件的“幸运数”有（    ）个． A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·广西南宁·期末）《庄子》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是：一根一尺长的木棒，今天取它的一半，明天取它一半的一半，后天再取它一半的一半的一半……，这样取下去，永远也取不完．如果将这根木棒的长度看成单位“1”，用两种不同的方法表示被取走木棒长度的总和，即：被取走木棒长度的总和＝1－剩余木棒的长度，例如：取第一次得；取第二次得；取第三次得；……若，则用含m的式子表示为（   ） A． B． C． D． 8．（22-23七年级下·浙江丽水·期末）甲、乙两个大小不一样的正方形按如图所示的两种方式放置．，记图①中的阴影部分面积为，图②中的阴影部分面积为． （1）若，则的值是 ； （2）若，，则的值是 ．    9．（24-25八年级上·广东湛江·期末）观察并验证下列等式： ， ， ， (1)续写等式：________；（写出最后结果） (2)我们已经知道，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：________；（结果用因式乘积表示） (3)利用（2）中得到的结论计算： ； 10．（24-25七年级上·山东青岛·期末）归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略，请用归纳策略解答下列问题． (1)如图1，将一根绳子折1次，然后按如图所示方式剪开，剪1刀，绳子变为3段；如图2，剪2刀，绳子变为5段；……剪n刀，绳子将变为______段； (2)如图3，按如图所示方式，将一根绳子折2次，剪1刀，绳子变为4段；如图4，将一根绳子折3次，剪1刀，绳子变为5段；……将一根绳子折m次，剪1刀，绳子将变为______段； (3)归纳：将一根绳子按（1）和（2）方式，折m次，然后剪n刀，绳子将变为多少段？写出你的探究过程； (4)问题解决：若将一根绳子按（1）和（2）方式折、剪（折、剪次数），恰好变为95段，会有哪几种方案？请直接写出答案． 11．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）一般地，我们把按照确定顺序排列的一列数，，，叫做数列．若数列满足（为非零常数），我们把数列叫做等比数列，叫做公比；若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”；若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”；依次类推，若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”，且为整数． (1)分别写出等比数列1，2，4，8的“2级等比数列”和“3级等比数列”； (2)若等比数列：，，，，． ①求该等比数列的所有数之和． ②设，，分别是该数列的，，级等比数列的所有数之和．若，求证：． 12．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形.    (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和. 方法1： ； 方法2： . (2)请直接写出三个代数式：, ,之间的一个等量关系 . (3)若要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张. (4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知,，求和的值. ②已知，求. 13．（21-22八年级上·浙江台州·期末）学习了平方差、完全平方公式后，小聪同学对学习和运用数学公式非常感兴趣，他通过上网查阅，发现还有很多数学公式，如立方和公式：（a＋b）（a2－ab＋b2）＝a3＋b3，他发现，运用立方和公式可以解决很多数学问题，请你也来试试利用立方和公式解决以下问题： (1)【公式理解】公式中的字母可以代表任何数、字母或式子 ①化简：（a－b）（a2＋ab＋b2）＝ ； ②计算：（993＋1）÷（992－99＋1）＝ ； (2)【公式运用】已知：＋x＝5，求的值： (3)【公式应用】如图，将两块棱长分别为a、b的实心正方体橡皮泥揉合在一起，重新捏成一个高为的实心长方体，问这个长方体有无可能是正方体，若可能，a与b应满足什么关系？若不可能，说明理由． 14．（24-25八年级上·山东临沂·期末）【知识生成】图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． （1）如图，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为_____；（用、表示） 根据上面结论，当，时，_____． 【知识应用】 （2）类比的探究过程，请用不同的代数式表示图中大正方形的面积． 由此得到的等式为_____；（用、、表示）； 根据上面的结论，已知，，则_____． 【知识迁移】 （3）类比上述两个题目探究过程，请直接写出_____．（用、、、表示） 15．（24-25七年级上·上海静安·期末）如图，农场打算把一块正方形空地分割成4块方形田地，并计划在两块边长分别为a、b的正方形空地上种树（图中的阴影部分）和，用作鱼塘的两块长方形的面积之和记作． (1)根据题意填空： ① （用含字母a、b的代数式表示）； ②比较与的大小： ； (2)如果，且平方米，求这块正方形空地的面积． 16．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是_____． A．  B．  C． (2)已知，，则______． (3)应用所得的公式计算：． (4)应用所得的公式计算：． 17．（24-25八年级上·江西南昌·期末）学习了公式法后，老师向同学们提出了如下问题： 将多项因式分解： ． 求多项式的最小值． 由，得，因为，所以．所以当时，的值最小，且最小值为． 请你运用上述方法解决下列问题： (1)将多项式因式分解； (2)求多项式的最小值． 18．（23-24八年级上·北京西城·期末）阅读材料： 如果整数，满足，，其中，，，都是整数，那么一定存在整数，，使得．例如，，，或，…… 根据上述材料，解决下列问题： (1)已知，，或，……若，则 ； (2)已知，（，为整数），．若，求（用含，的式子表示）； (3)一般地，上述材料中的，可以用含，，，的式子表示，请直接写出一组满足条件的，（用含，，，的式子表示）． 19．（22-23八年级下·山东淄博·期末）【阅读理解】 配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大(小)值．对于任意正实数，，可作如下变形： ∵ 又∵ ∴ 即． 根据上述内容，回答问题：______；______；______．(用“”“”“”填空) 【思考验证】 如图1，中，，于点，为边上中线，，，试根据图形验证成立，并指出等号成立时的条件．    【探索应用】 (1)请利用上述结论解决下面问题，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图所示，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少为多少米？    (2)如图3，四边形的对角线，相交于点，，的面积分别是和．试问四边形的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出四边形面积的最小值；若不存在，请说明理由．    20．（21-22七年级下·江苏苏州·期中）学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． (1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个长为的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式____________； (2)请用这3种卡片拼出一个面积为的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽； (3)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF的长度固定不变，DG的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，．若，则当a与b满足____时，S为定值，且定值为______．（用含b的代数式表示） 21．（24-25七年级上·四川成都·期末）定义一种新运算，对任意数，，，例如：，． (1)设（为常数） 已知关于的方程为一元一次方程，求：的值及方程的解． 已知与为关于x的多项式，，的值满足，若中不含一次项，求：的值． (2)如果数对满足，我们称数对为“嘉幸数”，已知数对与均为“嘉幸数”，求代数式的值． 22．（24-25八年级上·山东临沂·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律． (1)图1是2024年11月份的月历，我们用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），将位置，上的数相乘，位置，上的数相乘，再相减，例如：_______________，______________，不难发现，结果都等于______________； (2)请你再选择两个类似的部分试试，看看是否符合这个规律； (3)请你利用整式的运算对以上的规律加以证明； (4)如图2，在某月历中，“Z”字型框架框住部分（阴影部分）5个位置上的数，如果最小的数和最大的数的乘积为36，那么位置上的数为____________． 23．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）根据乘方的意义可知： 一般地，对于任意不为0的底数a与任意正整数m，n，． 同理，我们有（，m，n都是正整数，并且）． 例如：． 根据所学知识，解决以下问题： (1)已知，则_______； (2)已知，求的值； (3)已知，，，，请解关于s的方程：． 24．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． (1)【方法理解】 已知长方形的周长是20，设长方形的一边长是，则相邻一边长是． ①当时，如图1将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是________．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为_________的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、25、满足的等量关系是______________，从而可得； ②当时，类似上述过程进行割补，同理可得； ③当时，该长方形即为正方形，此时． 综上分析，周长是20的长方形的最大面积是25； (2)【方法迁移】 当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． 25．（24-25八年级上·福建泉州·期末）八年级数学兴趣小组成员在华师版数学教材37页《阅读材料》中查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】、【项目成效】和【拓展应用】． 【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘． 【核心概念】 素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”． 素材2：我们知道，，利用多项式的乘法运算，还可以得到：当时，将计算结果中多项式以a降次排序各项的系数排列成表，可得到如图2： 【任务规划】 （1）任务：请根据素材1和素材2直接写出： ①展开式中的系数是______； ②展开式中所有项的系数和为______； 【项目成效】 （2）成果展示：若，求的值． 【拓展应用】 （3）“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图3中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第n层的圆球数记，求的值． 试卷第2页，共41页 6 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 完成时间： 月 日 天气： 作业13 整式乘法压轴题专练 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）对于实数，，整式，，规定整式的运算：，．当时，若对于始终成立，则，满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，， 当时，则， 当时，则， ， ， 始终成立， ， ， ， 故选：D． 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，错误的是（   ） A．“2”上边的数是8 B．“20”右边的“□”表示4 C．运算结果可以是9225 D．“5”右边的“□”表示5 【答案】D 【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和 如图： 则由题意得： ， ∴，即， ∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍； 当时，则，如图： ， ∴A、“2”上边的数是，故本选项不符合题意； B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意； C、上面的数应为，如图： ∴运算结果可以表示为：， ∴当时，， ∴C选项不符合题意， D、“5”右边的“□”表示1，故该选项符合题意， 故选：D． 3．（24-25七年级上·重庆·期末）已知关于字母的次多项式，化简后总是可以表达成的形式，其中都为常数，为正整数．对多项式，任意选择其中两项的系数，先变成其相反数后再交换它们的位置，称为“取反换位”操作，例如：对多项式，进行“取反换位”操作后，所有可能得结果是：，，，则下列说法中正确的个数有（   ） ①当时，若对多项式进行“取反换位”操作后得到的多项式与原多项式之和为0，则关于的方程的解为； ②当时，若，则对多项式进行“取反换位”操作后，所得的所有多项式之和为原多项式的2倍； ③当时，若多项式：无论取何值总是等于，则对多项式进行“取反换位”操作后所得的所有多项式的常数项的和为109． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】解：①当对多项式进行“取反换位”操作后得到的多项式为：， 由题意可得：， ∴，即， ∴，即， ∴，故①正确； ②当时， ∵， ∴，， 多项式“取反换位”操作后可得多项式：， ，， ，即②正确； ③对于无论取何值总是等于，则， 当常数项不参与变换时，可得10多项式； 当常数项与各项均有一次“取反换位”， 则对多项式进行“取反换位”操作后所得的所有多项式的常数项的和为，即③正确． 综上，①②③正确． 故选D． 4．（24-25九年级上·重庆·期末）关于的多项式：，其中为正整数，，，…，为互不相等且不为零的整数．比如当时，．交换任意两项的系数，得到的新多项式称为原多项式的“衍生多项式”下列说法： ①共有15个不同的“衍生多项式”； ②若多项式，无论为何值时，； ③若多项式，． 其中正确的个数是（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【详解】解：∵，共有6个互不相等且不为零的系数， ∴交换任意两项的系数共有种， 则共有15个不同的“衍生多项式”，说法①正确； 令，则，说法②正确； 当时，， 当时，， 将上面两式相减得：， 则，说法③正确； 综上，正确的个数是3个， 故选：A． 5．（24-25八年级上·福建福州·期末）某商店的某种商品成本增加，因此商家决定对该商品进行提价，现有三种方案．方案一：第一次提价，第二次提价；方案二：第一次提价，第二次提价；方案三：第一、二次提价均为；其中a，b是不相等的正数．有以下说法： ①方案一、方案二提价一样； ②方案一提价有可能高于方案二提价； ③三种方案中，方案三的提价最多； ④方案三的提价有可能低于方案一的提价． 其中正确的是（　　） A．①③ B．①④ C．②④ D．②③ 【答案】A 【详解】解：方案一：两次提价后变为原来的， 方案二：两次提价后变为原来的， 方案三：两次提价后变为原来的， 所以方案一和方案二提价一样，故①正确，②错误； ， ∵， ∴， ∴方案三提价最多，故③正确，④错误． 故选：A． 6．（24-25八年级上·浙江台州·期末）一个四位自然数，满足，，则称这个四位数为“幸运数”例如：对于，∵，，∴是“幸运数”；对于，∵，，∴不是“幸运数”．若存在幸运数，使得，则满足条件的“幸运数”有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵均为整数，且，，，， ∴或 或 ， 当 时，，，此时幸运数为， 当时，，，此时幸运数为， 当 时，，，此时幸运数为， 则满足条件的“幸运数”有个， 故选：． 7．（24-25八年级上·广西南宁·期末）《庄子》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是：一根一尺长的木棒，今天取它的一半，明天取它一半的一半，后天再取它一半的一半的一半……，这样取下去，永远也取不完．如果将这根木棒的长度看成单位“1”，用两种不同的方法表示被取走木棒长度的总和，即：被取走木棒长度的总和＝1－剩余木棒的长度，例如：取第一次得；取第二次得；取第三次得；……若，则用含m的式子表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故选B． 8．（22-23七年级下·浙江丽水·期末）甲、乙两个大小不一样的正方形按如图所示的两种方式放置．，记图①中的阴影部分面积为，图②中的阴影部分面积为． （1）若，则的值是 ； （2）若，，则的值是 ． 【答案】 20 【详解】解：（1）∵， ∴乙正方形的边长为， ∴， 故答案为：20； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理，得， 即， ∴或， ∴或（舍去） ∴， 故答案为：．    9．（24-25八年级上·广东湛江·期末）观察并验证下列等式： ， ， ， (1)续写等式：________；（写出最后结果） (2)我们已经知道，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：________；（结果用因式乘积表示） (3)利用（2）中得到的结论计算： ； 【答案】(1)225 (2) (3) 【详解】（1）解：原式， 故答案为：225； （2）解：原式， 故答案为：； （3）解：原式 ． 10．（24-25七年级上·山东青岛·期末）归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略，请用归纳策略解答下列问题． (1)如图1，将一根绳子折1次，然后按如图所示方式剪开，剪1刀，绳子变为3段；如图2，剪2刀，绳子变为5段；……剪n刀，绳子将变为______段； (2)如图3，按如图所示方式，将一根绳子折2次，剪1刀，绳子变为4段；如图4，将一根绳子折3次，剪1刀，绳子变为5段；……将一根绳子折m次，剪1刀，绳子将变为______段； (3)归纳：将一根绳子按（1）和（2）方式，折m次，然后剪n刀，绳子将变为多少段？写出你的探究过程； (4)问题解决：若将一根绳子按（1）和（2）方式折、剪（折、剪次数），恰好变为95段，会有哪几种方案？请直接写出答案． 【答案】(1) (2) (3)，探究见解析 (4)会有折93次、剪1刀，折1次、剪47刀，折46次、剪2刀，共 3种方案． 【详解】（1）解：将一根绳子折1次， 剪1刀，绳子变为3段； 剪2刀，绳子变为5段； …… 剪n刀，绳子将变为段； 故答案为：； （2）解∶将一根绳子折2次，剪1刀，绳子变为4段； 将一根绳子折3次，剪1刀，绳子变为5段； …… 将一根绳子折m次，剪1刀，绳子将变为段； 故答案为：； （3）解：由（2）知，将一根绳子折m次，剪1刀，绳子变为段， 然后剪2刀，绳子段数变为：； 剪3刀，绳子段数变为：； …… 剪n刀，绳子将段数变为： ； （4）解：设将一根绳子折m次，然后剪n刀， 由（3）知，绳子段数将变为：， 当时， ， ∵， 当或时， （舍）或， 当，或时， ，或． 故会有折93次、剪1刀，折1次、剪47刀，折46次、剪2刀，共 3种方案． 11．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）一般地，我们把按照确定顺序排列的一列数，，，叫做数列．若数列满足（为非零常数），我们把数列叫做等比数列，叫做公比；若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”；若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”；依次类推，若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”，且为整数． (1)分别写出等比数列1，2，4，8的“2级等比数列”和“3级等比数列”； (2)若等比数列：，，，，． ①求该等比数列的所有数之和． ②设，，分别是该数列的，，级等比数列的所有数之和．若，求证：． 【答案】(1)级等比数列为：，，， 级等比数列为：，，， (2) ① ②证明见解析 【详解】（1）解：等比数列1，2，4，8的公比为， ∴级等比数列为：，，，； 设3级等比数列为：， ∵， ∴，，，， ∴级等比数列为：，，，； （2）①解：若等比数列：，，，，， ∵，， ∴， 即：； ②证明：根据题意，若数列满足（为非零常数），数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”，且为整数， ∴设数列的公比为，其，，级等比数列分别为，，， ∴，，， ∴，，，， ，，，， ，，，， 又∵， ∴， ， ， ∵，， ∴， ∴． 12．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形.    (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和. 方法1： ； 方法2： . (2)请直接写出三个代数式：, ,之间的一个等量关系 . (3)若要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张. (4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知,，求和的值. ②已知，求. 【答案】(1)， (2) (3)1，3，2 (4)①，；② 【详解】（1）方法一：阴影部分是两个正方形，面积和为：， 方法二：阴影部分的面积等于外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，即， 故答案为：，； （2）∵（1）中两种方法计算的面积是相等的， ∴， 故答案为： （3）拼图如下：    观察图形可得：需要类卡片1张，类卡片3张，类卡片2张. 故答案为：1，3，2； （4）①根据（2）题可得， ∵,， ∴ ∴， ； ②设，， ∵， ∴， 又∵， ∵ ∴， ∴， 由，得 ∴， 即， 整理，得，即 ∴. 13．（21-22八年级上·浙江台州·期末）学习了平方差、完全平方公式后，小聪同学对学习和运用数学公式非常感兴趣，他通过上网查阅，发现还有很多数学公式，如立方和公式：（a＋b）（a2－ab＋b2）＝a3＋b3，他发现，运用立方和公式可以解决很多数学问题，请你也来试试利用立方和公式解决以下问题： (1)【公式理解】公式中的字母可以代表任何数、字母或式子 ①化简：（a－b）（a2＋ab＋b2）＝ ； ②计算：（993＋1）÷（992－99＋1）＝ ； (2)【公式运用】已知：＋x＝5，求的值： (3)【公式应用】如图，将两块棱长分别为a、b的实心正方体橡皮泥揉合在一起，重新捏成一个高为的实心长方体，问这个长方体有无可能是正方体，若可能，a与b应满足什么关系？若不可能，说明理由． 【答案】(1)a3-b3，100(2)4(3)不可能，理由见解析 【详解】（1）解：①原式=a3+(-b)3=a3-b3． ②原式=（99+1）（992-99×1+12）÷（992-99+1）=100． 故答案为：a3-b3，100． （2）∵， ∴原式 =5-1 =4． （3）假设长方体可能为正方体，由题意：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴7a2-10ab+7b2=0不成立， ∴该长方体不可能是边长为的正方体． 14．（24-25八年级上·山东临沂·期末）【知识生成】图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． （1）如图，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为_____；（用、表示） 根据上面结论，当，时，_____． 【知识应用】 （2）类比的探究过程，请用不同的代数式表示图中大正方形的面积． 由此得到的等式为_____；（用、、表示）； 根据上面的结论，已知，，则_____． 【知识迁移】 （3）类比上述两个题目探究过程，请直接写出_____．（用、、、表示） 【答案】（1），13； （2），14； （3）． 【详解】正方形的边长为， 正方形的面积为， 大正方形可以分成个边长为的正方长、个边长为的正方长、个长为宽为的长方形， 大正方形的面积为， ， 故答案为：； 由可知， ， 又，， ， 故答案为：； 类比可得：， 故答案为：； 由可得：， ，， ， 故答案为：； 由可得：， 故答案为：． 15．（24-25七年级上·上海静安·期末）如图，农场打算把一块正方形空地分割成4块方形田地，并计划在两块边长分别为a、b的正方形空地上种树（图中的阴影部分）和，用作鱼塘的两块长方形的面积之和记作． (1)根据题意填空： ① （用含字母a、b的代数式表示）； ②比较与的大小： ； (2)如果，且平方米，求这块正方形空地的面积． 【答案】(1)①；② (2)1024平方米． 【详解】（1）①． 故答案为：． ② 故答案为：． （2）由，得，即 将的两边同时除以，得 分解因式，得， 解得（舍去）或， ∴这块正方形空地的面积为 平方米 16．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是_____． A．  B．  C． (2)已知，，则______． (3)应用所得的公式计算：． (4)应用所得的公式计算：． 【答案】(1)B(2)4(3)1(4) （4）先将9化成，然后应用所得公式即可逐步计算得到结果． 【详解】（1）解：图1中，边长为的正方形的面积为：；边长为的正方形的面积为：， 图1的阴影部分为面积为：， 图2中长方形的长为：，长方形的宽为：， 图2长方形的面积为：， ， 故选：B． （2）解：， ， 又， ， 故答案为：4． （3）解： ． （4）解： ． 17．（24-25八年级上·江西南昌·期末）学习了公式法后，老师向同学们提出了如下问题： 将多项因式分解： ． 求多项式的最小值． 由，得，因为，所以．所以当时，的值最小，且最小值为． 请你运用上述方法解决下列问题： (1)将多项式因式分解； (2)求多项式的最小值． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 当时，多项式取得最小值为． 18．（23-24八年级上·北京西城·期末）阅读材料： 如果整数，满足，，其中，，，都是整数，那么一定存在整数，，使得．例如，，，或，…… 根据上述材料，解决下列问题： (1)已知，，或，……若，则 ； (2)已知，（，为整数），．若，求（用含，的式子表示）； (3)一般地，上述材料中的，可以用含，，，的式子表示，请直接写出一组满足条件的，（用含，，，的式子表示）． 【答案】(1)9 (2)或 (3)， 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：9； （2）解：根据题意，，，， ∴， ∴ ∴， ∴或； （3）解：∵，， ∴， 又∵， 令，， 此时可有一组解，， 即，． 19．（22-23八年级下·山东淄博·期末）【阅读理解】 配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大(小)值．对于任意正实数，，可作如下变形： ∵ 又∵ ∴ 即． 根据上述内容，回答问题：______；______；______．(用“”“”“”填空) 【思考验证】 如图1，中，，于点，为边上中线，，，试根据图形验证成立，并指出等号成立时的条件．    【探索应用】 (1)请利用上述结论解决下面问题，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图所示，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少为多少米？    (2)如图3，四边形的对角线，相交于点，，的面积分别是和．试问四边形的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出四边形面积的最小值；若不存在，请说明理由．    【答案】[阅读理解] ，， ； [思考验证]验证见解析，当时，等式成立 [探索应用]（1）60米；（2）存在，最小值是 【详解】解：[阅读理解]∵，， ， ∴； ∵，， ∵， ∴； ∵， ， 故答案为：，，． [思考验证] ∵中，，，为边上中线，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴当时等号成立， 即有， ∴斜边的高线和中线重合， ∴是等腰直角三角形， ∴当是等腰直角三角形时，等号成立； [探索应用]（1）设花圃的长为米，宽为米，则 ∵， ∴篱笆至少为米 （2）设的面积为， ∵， 即， ∴． 四边形的面积， 当时， 即时，四边形面积最小为． 20．（21-22七年级下·江苏苏州·期中）学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． (1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个长为的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式____________； (2)请用这3种卡片拼出一个面积为的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽； (3)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF的长度固定不变，DG的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，．若，则当a与b满足____时，S为定值，且定值为______．（用含b的代数式表示） 【答案】(1)＝ (2)见解析 (3)时， 【详解】（1）解：方法1：大正方形的面积为（a+b）2， 方法2：图中四部分的面积和为a2+2ab+b2， ∴（a+b）2=a2+2ab+b2， 故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2； （2）解：如图3， （3）解：设DG的长为x， ∵S1=a[x-（a+b）]=ax-a2-ab，S2=2b（x-a）=2bx-2ab， ∴S=S2-S1 =2bx-2ab-（ax-a2-ab） =（2b-a）x-ab+a2， 若S为定值，则2b-a=0， ∴a=2b， ∴当a与b满足a=2b时，S为定值，且定值为， 故答案为：a=2b，． 【点睛】本题考查了完全平方公式，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的特点，数形结合的数学思想是解决问题的关键． 21．（24-25七年级上·四川成都·期末）定义一种新运算，对任意数，，，例如：，． (1)设（为常数） 已知关于的方程为一元一次方程，求：的值及方程的解． 已知与为关于x的多项式，，的值满足，若中不含一次项，求：的值． (2)如果数对满足，我们称数对为“嘉幸数”，已知数对与均为“嘉幸数”，求代数式的值． 【答案】(1)，；；(2)． 【详解】（1）解：， 又方程为一元一次方程， 为一元一次方程， ， 解得：， 方程为， 解得：， ，； 解：的值满足， ， ， ， 解得：， ，， ， 整理得：， 不含一次项， ， 解得：， ； （2）解：数对为“嘉幸数”， ， 整理得：， 解得：， 数对为“嘉幸数”， ， 整理得：， 解得：， ， 当，时， 原式 ． 22．（24-25八年级上·山东临沂·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律． (1)图1是2024年11月份的月历，我们用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），将位置，上的数相乘，位置，上的数相乘，再相减，例如：_______________，______________，不难发现，结果都等于______________； (2)请你再选择两个类似的部分试试，看看是否符合这个规律； (3)请你利用整式的运算对以上的规律加以证明； (4)如图2，在某月历中，“Z”字型框架框住部分（阴影部分）5个位置上的数，如果最小的数和最大的数的乘积为36，那么位置上的数为____________． 【答案】(1)15，15，15(2)符合这个规律(3)证明见解析(4)10 【详解】（1）解：，，不难发现，结果都是：15； 故答案为：15，15，15； （2）解：用 “Z”字型框架任意框住月历中的6，7，14，21，22这5个数， 则， 符合这个规律； 用 “Z”字型框架任意框住月历中的7，8，15，22，23这5个数， 则； 符合这个规律； （3）证明：设“”字型框架中位置上的数为，则，，，四个数依次为，，，， 由题意得， ； （4）解：中间位置上的数为，则最小的数为，最大的数为， 由题意得， ， ， ， 或（负值舍去）， ， 故答案为：10． 23．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）根据乘方的意义可知： 一般地，对于任意不为0的底数a与任意正整数m，n，． 同理，我们有（，m，n都是正整数，并且）． 例如：． 根据所学知识，解决以下问题： (1)已知，则_______； (2)已知，求的值； (3)已知，，，，请解关于s的方程：． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：， ； （3）解：，，，， ，， 即：，， ， ， 即：， 解得：． 24．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． (1)【方法理解】 已知长方形的周长是20，设长方形的一边长是，则相邻一边长是． ①当时，如图1将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是________．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为_________的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、25、满足的等量关系是______________，从而可得； ②当时，类似上述过程进行割补，同理可得； ③当时，该长方形即为正方形，此时． 综上分析，周长是20的长方形的最大面积是25； (2)【方法迁移】 当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． 【答案】(1)①，，；②详见解析，③详见解析 (2)的最大值为49 【详解】（1）解：， 长方形的一边长是，相邻一边长， ∴阴影部分是一个边长为的正方形， 由图可知，长方形面积=大正方形面积-小正方形面积， ， 故答案为：，，； ②当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， ， ③当时，该长方形为边长是5的正方形，此时， 综上分析，周长是20的长方形的最大面积是25； （2）解：当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， ， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， ， 当时，该长方形为边长是7的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是49， 的最大值为49． 25．（24-25八年级上·福建泉州·期末）八年级数学兴趣小组成员在华师版数学教材37页《阅读材料》中查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】、【项目成效】和【拓展应用】． 【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘． 【核心概念】 素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”． 素材2：我们知道，，利用多项式的乘法运算，还可以得到：当时，将计算结果中多项式以a降次排序各项的系数排列成表，可得到如图2： 【任务规划】 （1）任务：请根据素材1和素材2直接写出： ①展开式中的系数是______； ②展开式中所有项的系数和为______； 【项目成效】 （2）成果展示：若，求的值． 【拓展应用】 （3）“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图3中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第n层的圆球数记，求的值． 【答案】（1）4；；（2）；（3） 【详解】解：（1）①根据已知可得，展开式中的系数是4； ②根据已知可得，展开式中所有项的系数和为， 的展开式中所有项的系数之和为， 展开式中所有项的系数和为， 展开式中所有项的系数和为， 展开式中所有项的系数和为， ⋯， 则展开式中所有项的系数和为． 故答案为：4； （2） ， 当时，， 当时，， ． （3）由题意可得：，，， ， ， ． 试卷第2页，共41页 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$