暑假作业02 整式的乘法（要点梳理+10大题型+巩固强化）-【暑假分层作业】2025年七年级数学暑假培优练（苏科版2024）

限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 整式的乘法 要点一、单项式与单项式相乘 （1）单项式乘单项式的运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. （2）单项式与单项式相乘的步骤：确定积的系数：积的系数等于各项系数的积；确定相同字母：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；确定单独字母：只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数作为积的一个因式. 【注意】 1. 先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，即进行有理数的乘法运算，先确定积的符号，再计算绝对值. 2. 对于只在一个单项式中出现的字母，应连同它的指数一起写在积里，应特别注意不能漏掉这部分因式。 3. 单项式乘法中若有乘方、乘法 等混合运算，应按“先乘方在乘法”的顺序进行. 4. 单项式乘单项式，结果仍是单项式，对于含字母因式的幂的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算. 5. 对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍然适用. 要点二、单项式与多项式相乘 单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，先将单项式分别乘多项式的各项，再把所得的积相加，即. 【注意】 1. 单项式乘多项式的根据是乘法的分配律，把单项式乘多项式转化成单项式乘单项式. 2. 单项式乘多项式，结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同. 3. 计算时要注意符号问题，多项式中每一项多包括它前面的符号. 4. 对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意运算结果中若有同类项要合并同类项，从而得出最简结果. 要点三、多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即. 【注意】 1. 运用多项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时要按一定的顺序进行. 2. 在相乘时防止漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应是这两个多项式项数的积，如，积的项数应为2×3=6. 3. 注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负”. 4. 多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项一定要合并同类项，化为最简结果. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一、计算单项式乘单项式 1．等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式运算法则是解决此题的关键．利用单项式乘单项式运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：C ． 2．计算的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 3．计算： ． 【答案】 【分析】单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，据此进行计算即可． 本题考查单项式乘单项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 4．长方形的长为，宽为，则它的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘单项式，先根据长方形的面积公式列出代数式，再利用单项式乘以单项式运算法则求解即可． 【详解】解：根据题意，该长方形的面积为， 故答案为：． 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （2）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 题型二、利用单项式乘法求字母或代数式的值 6．若单项式和的积为，则的值为（   ） A．2 B．30 C． D．15 【答案】D 【分析】本题考查单项式与单项式相乘问题，先按单项式乘以单项式的法则计算，再比较结果利用相同字母的指数相等构造等式，求出再求的值即可． 【详解】单项式和的积为， ， ， ， ． 故选择：D． 7．已知，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，利用单项式乘单项式的得出，，解出m，n的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴，， ∴， 故选：D． 8．已知单项式与的积为，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式法则，根据单项式乘单项式法则可得，求出m、n的值，然后代入中计算求解即可． 【详解】解：， ， ，， ． 故答案为：1． 9．若，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键．根据单项式乘单项式的运算法则得到，结合得到，，求出的值，即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ，， ． 故答案为：11． 10．若 ，则求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型三、计算单项式乘多项式及求值 11．若长方形的两条边长分别为和，则此长方形的面积为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查列代数式，整式乘法，解答的关键是熟记长方形的面积公式．根据长方形的面积等于长乘以宽，列式计算即可． 【详解】解：长方形的面积为：， 故选：A． 12．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，解题的关键是掌握单项式乘多项式的运算法则．根据单项式乘多项式，进行计算即可求解． 【详解】解： 故选：B． 13．若，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了代数式求值、单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式法则是解题关键．根据单项式乘以多项式法则可得，代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：10． 14．如果，那么代数式的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了整式混合运算，代数式求值，熟练掌握整体思想的利用是解题的关键． 把代数式整理成用已知条件表示的形式，然后代入数据计算即可． 【详解】解： ； 原式． 故答案为：． 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可； （）根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可； 本题考查了单项式乘以多项式，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型四、单项式乘多项式的应用 16．数学课上，老师讲了单项式乘以多项式．放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔水弄污了，你认为内应填写（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得积相加是解答此题的关键． 根据题意列出算式，然后化简求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ． 故选：A． 17．某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设这个多项式为，根据题意可得，最后利用单项式乘以多项式的运算法则即可解答．本题考查了整式的加减运算法则，单项式乘以多项式的运算法则，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：设这个多项式为， ∵计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是， ∴， ∴， ∴正确的结果为， 故选． 18．若一边长为，它的另一边长为，这个长方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，根据长方形的面积边长边长计算即可． 【详解】解：根据题意可得这个长方形的面积 ． 故答案为：． 19．清明上河园是依照《清明上河图》建造的大型历史文化主题公园，为提升游客游园体验，如图，公园准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的绿色观光道路，则道路的面积为 平方米．（要求化成最简形式） 【答案】 【分析】本题考查单项式与多项式的乘法法则，解题的关键是学会用分割法求面积，熟练掌握多项式的混合运算法则．根据道路的面积两个长方形面积中间重叠部分的正方形的面积计算即可． 【详解】解：道路的面积 （平方米）． 故答案为：． 20．如图所示，梯形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据梯形面积公式、单项式乘多项式的运算法则计算． 本题考查的是梯形，熟记梯形面积公式是解题的关键． 【详解】解：梯形的面积为：， 故答案为：． 题型五、利用单项式乘多项式求字母的值 21．若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘多项式，解决本题的关键是掌握单项式乘多项式法则；根据单项式乘多项式，可得相等的多项式，根据相等多项式的项相等，可得a，b的值，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：， ， ， 故选：． 22．若的计算结果中不含有项，则a的值为（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了单项式与多项式的乘法，先按照单项式与多项式的乘法法则乘开，再合并关于x的同类项，然后令项的系数等于零，列方程求解即可． 【详解】解： ， ∵结果中不含有项， ∴， ∴． 故选A． 23．要使的展开式中不含项，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握单项式乘多项式的运算是解题的关键．根据单项式乘多项式的运算，再结合展开式中不含项，即可解答． 【详解】解：， 要使的展开式中不含项， ． 故答案为：0． 24．已知，，，且的值与无关，则 ． 【答案】 【分析】先根据题意列出算式，再计算单项式与多项式的乘法，最后合并，由题意得关于的方程，求解即可．此题考查的是单项式乘多项式及整式的加减，掌握其运算法则是解决此题的关键． 【详解】解： ， 的值与无关， ， ． 故答案为：． 25．若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了整式的乘法，利用单项式乘以多项式的法则进行计算，可得到的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ∴ ∴， 故答案为：6． 题型六、计算多项式乘多项式 26．若多项式，则a，b的值分别是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查的是整式的乘法运算，熟练的利用多项式乘以多项式的法则进行运算是解本题的关键． 【详解】解：∵ ∴，， 故选：B． 27．若的结果中项的系数为，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用多项式乘多项式法则计算，根据结果中项的系数为，确定出a的值即可． 【详解】解： ， ∵的结果中项的系数为， ∴， ∴， 故选：C． 28．已知，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的法则将等式左边展开，进行求出的值，进一步计算即可．熟练掌握多项式乘以多项式的法则，是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：4 29．若，则 ． 【答案】48 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，求代数式的值．利用题意得到，再用多项式乘以多项式的法则计算，整体代入即可． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：48 30．光伏电池板可以将光能转化为电能，在相同光照条件下，电池板面积越大，输出的电能越大．现将一块长90cm，宽60cm的长方形光伏电池板的长和宽分别增加a cm、b cm． (1)光伏电池板的面积增加了多少cm2？（用含a，b的代数式表示） (2)当时，光伏电池板的面积增加了________cm2． 【答案】(1) (2)1100 【分析】本题考查多项式乘以多项式的应用和求代数式的值，列出代数式并正确计算是解题的关键． （1）先列出代数式，再计算即可； （2）把代入化简的代数式求值即可． 【详解】（1）由题意得，， ， ； （2）当时， ， 故答案为：1100． 题型七、多项式乘多项式中的化简求值问题 31．若且，则代数式的值为（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】题目主要考查求代数式的值，考查代数式的展开与整体代入能力，解题的关键在于通过展开代数式并重组可以快速得到结果． 将所求代数式展开后，利用已知条件且，进行整体代入，然后将已知式子代入求解即可得． 【详解】解：， 当，时， 原式， 故答案为：A． 32．已知一个多项式除以多项式所得的商式为，余式为，这个多项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的四则混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 由题意可知，这个多项式是，然后展开，再合并同类项即可． 【详解】解：由题意得，这个多项式 ， 故答案为． 33．已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式并求值．根据多项式乘多项式的法则，以及整体代入法，进行求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ； 故答案为：． 34．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查整式的混合运算，原式根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式运算法则将括号展开，再合并，得最简结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 35．已知，，求代数式的值． 【答案】15 【分析】本题考查多项式乘多项式化简求值，利用多项式乘以多项式的法则进行计算，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：∵，， ∴． 题型八、已知多项式乘积不含某项求字母的值 36．已知多项式与的乘积中不含项，则常数的值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式与多项式的乘法，熟练掌握运算法则和不含某项就让这一项的系数为零是解本题的关键． 先根据多项式的乘法法则展开，再根据题意，二次项系数等于零列式求解即可． 【详解】解： ， ∵乘积中不含项， ∴， 解得：， 故选：C． 37．若的乘积中不含的一次项，则的值为（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算，多项式中不含某项，掌握以上知识是解题的关键． 先计算，再由乘积中不含的一次项，可得，从而可得答案． 【详解】解：， ∵乘积中不含的一次项， ∴， ∴， 故选：D． 38．如果与的乘积中不含的一次项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，解答本题的关键是明确多项式乘多项式的计算方法．根据多项式乘多项式可以写出题目中两个多项式的乘积，然后根据与的乘积中不含x的一次项，从而可以求得m的值． 【详解】解： ， ∵与的乘积中不含的一次项， ， 解得，， 故答案为：4． 39．若的积中不含的项与的项，则代数式的值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查多项式的乘法中不含某项问题， 首先根据多项式的乘法法则将多项式进行展开，然后进行合并同类项．根据不含哪一项，则哪一项的系数为零，从而得出答案． 【详解】解： ∵的展开式中不含和项， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 40．若多项式与的积不含项和项，求和的值． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键． 先利用多项式乘多项式法则计算，再根据结果中不含项和x项列出方程，求解即可． 【详解】解： ， ∵多项式与的积不含项和项， ，， 解得，． 题型九、多项式乘多项式与图形面积 41．观察图形，与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，根据图形面积关系可得，从而可得答案． 【详解】解：由长方形的面积可得： 图中长方形的面积为：或； ∴， 故选：C 42．公园里有一个长方形花坛，原来长为，宽为，现在要把花坛四周均向外扩展，扩展后的长方形花坛的长为，宽为，则扩展后的长方形花坛的面积比扩展前的长方形花坛的面积增加（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，单项式乘单项式的实际应用．用改变后的花坛的面积减去改变前的面积即可． 【详解】解：由题意得：改变后花坛的长，宽， ， ∴这个花坛的面积将增加：， 故选：A． 43．数学活动课上，老师准备了若干张三种型号的纸片，其中种纸片为边长为的正方形，种纸片为边长为的正方形，种纸片为长为、宽为的长方形，现要拼出一个长为、宽为的长方形，则需要、、三种卡片共 张． 【答案】15 【分析】本题考查了多项式的乘法和几何图形的综合题．先计算长为，宽为的矩形面积为，根据A图形面积为，B图形面积为，C图形面积为，判断出各种卡片的张数即可． 【详解】解：长为长为、宽为的矩形面积为， ∵A图形面积为，B图形面积为，C图形面积为， ∴可知需要A类卡片2张，B类卡片6张，C类卡片7张， ∴需要A类、B类、C类卡片共张． 故答案为：15． 44．某小区一块长为米，宽为米的长方形场地中间，并排修建了两个大小一样的长方形游泳池，两个游泳池之间以及游泳池与长方形场地的边线都相距米． (1)用多项式表示一个游泳池的面积； (2)当，，时，求两个游泳池的总面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式乘法的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）根据图形表示出每一个游泳池的长与宽，即可表示出面积； （2）结合（1）的结论，将、、带入到整式并计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得一个游泳池的面积． （2）解：将、、带入到整式得， 两个游泳池的总面积， 答：两个游泳池的总面积为． 题型十、多项式乘法中的规律性问题 45．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，由数列可得展开式中所有项的系数和是，据此解答即可求解，掌握数字的变化规律是解题的关键． 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， , ∴展开式中所有项的系数和是， ∴展开式中所有项的系数和是， 故选：． 46．观察下列各式： …… (1)根据规律可得______（其中为正整数） (2)运用规律计算： (3)运用规律计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查多项式乘以多项式中的规律探究问题，根据已有等式，得到相应的规律，是解题的关键： （1）根据已有等式，抽象概括出相应的规律即可； （2）利用（1）中规律解题即可； （3）将式子乘以，利用规律解题即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴； 故答案为：； （2）； （3） ． 47．【阅读理解】 苏科版数学七年级下册课本第44页的“阅读”中介绍了“杨辉三角”．“杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了二项式乘方展开式的规律，在欧洲，这个图表叫做“帕斯卡三角”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比我国迟了近了600年．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把二项式乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题． … 【初步感知】 （1）按以上规则，展开式共有____项，第三项（字母部分为）的系数是____； 【拓展推广】 （2）我们在对的推演过程中，是将中的“”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式___________；进而写出的展开式___________； 【迁移应用】 （3）根据以上规律计算 ． 【答案】（1）5 ，6 （2）； （3） 【分析】本题考查杨辉三角，找规律展开（为正整数），读懂题意，理解杨辉三角与（为正整数）展开式各项的系数关系规律是解决问题的关键． （1）由题中规律可知，结合杨辉三角形，将展开即可得到答案； （2）由题中规律可知，结合杨辉三角形，将展开即可得到答案；将等式中的“”代换成“”即可得到的展开式； （3）根据题中式子的结构特征，将其恒等变形为，再结合（2）中得到的的展开式，即可得到答案． 【详解】解：（1）由题中规律可知，结合杨辉三角形： ，展开式共有5项，第三项（字母部分为）的系数是6， 故答案为：5 ，6； （2）由题中规律可知，结合杨辉三角形： ； 将等式中的“”代换成“”，得到 ； 故答案为：；； （3）由（2）中可知， ． 1．已知，若a，b都是整数，则m的值不可能是（   ）． A．5 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】此题考查了多项式乘多项式，掌握运算法则是解题的关键． 根据多项式乘多项式的乘法法则，得到，，再根据和为整数，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】∵，， ∴，， ∵和均为整数， ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上：或， 故不能为5， 故选：A． 2．如果与的乘积中不含的一次项，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式不含某项求字母的值，先根据多项式乘以多项式的运算法则求出乘积，再根据乘积中不含的一次项，可得一次项系数为，据此解答即可求解，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵乘积中不含的一次项， ∴， ∴， 故选：． 3．若关于x，y的多项式的结果中不含项，则m的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握其运算法则以及多项式不含某一项的意义是解题的关键．先根据单项式乘多项式的运算法则计算，然后根据结果中不含项，即可求出m的值． 【详解】解： ， 多项式不含项， ， ， 故选：D． 4．如图，小正方形和大正方形相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上，连接，，．若阴影部分的面积为8，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式运算的几何应用，正确得到阴影面积与边长关系是解题的关键．设小正方形的边长为，大正方形的边长为，则，，可得，再由阴影部分的面积为8，可得，即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为，大正方形的边长为 则，， ∴， ∵阴影部分的面积为8， ∴，即， ∴， 即大正方形的面积与小正方形的面积之差为． 故选：C 5．如果三角形一边长为，这边上的高为，则这个三角形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积，多项式乘多项式的运算，先根据三角形的面积公式列式，再根据多项式乘以多项式的法则计算即可． 【详解】解：由题意得： ． 故答案为：． 6．若等式恒成立，无论t为何值，的值始终为定值，则这个定值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，根据多项式乘以多项式的计算法则把已给等式左边展开得到，则，据此可得，根据无论t为何值，的值始终为定值，得到，据此求出s的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵无论t为何值，的值始终为定值， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）：若，请根据上述规律，写出的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，杨辉三角中展开式系数的规律，赋值法等知识，熟练掌握以上知识点的综合应用及找出规律是解题的关键． 令，则，则，令，则，得到，两边乘以即可求解． 【详解】解：令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的“福建土楼”，也有被誉为中国民居建筑典范的“山西大院”，同学们分别对建筑物的进行了数据测量，数据如图所示： (1)若图中阴影部分的面积为建筑物的占地面积，其中“福建土楼”的占地面积用表示，“山西大院”的占地用面积表示，请分别计算这两个建筑物的占地面积；（用含a，b的代数式表示） (2)若，，当时，试探究a，b满足的数量关系． 【答案】(1)， (2)当时，a，b满足的数量关系为 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据所给图形，用含a，b的代数式分别表示两个建筑物的占地面积即可； （2）由题意可得，结合，，求出，即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ； （2）解：当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，a，b满足的数量关系为． 9．杨辉三角形是形如（这里）的展开式的系数在三角形中的一种几何排列，记载于1261年他所著的《详解九章算术》中．下图是杨辉三角形与展开式的部分对照：              1             1  1           1  2  1         1  3  3  1        1  4  6  4  1 …… …… 请根据上述材料解决下列问题： (1)的展开式中第三项为___________； (2)的展开式中系数为10的项是___________； (3)求的展开式中含项的系数． 【答案】(1) (2)和 (3) 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算中的某项的系数的规律探究，掌握探究的方法并总结运用规律是解本题的关键． （1）利用题干表的系数对应写出展开式，即可求解三项； （2）利用题干表的系数对应写出展开式，找出系数为10的项即可； （3）先计算，，，再观察得到的前面两项，再利用前面两项的系数规律可得答案． 【详解】（1）解：由题意得， ∴第三项为， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴系数为10的项为和， 故答案为：和； （3）解：，，，…， 观察可知：展开式的前两项为， ∴当时，含项的系数为． 10．【阅读材料】爱思考的小李同学发现：两个两位数相乘，如果这两个两位数的个位数字相同，十位数字的和是10，对于这种特殊关系的两位数相乘，计算结果与原来的两位数数位上的数字有一些特殊的关联． 比如，它们乘积的前两位是31，等于，它们乘积的后两位是49，等于，用速算方法计算可得：．又如，它们乘积的前两位是12，等于，它们乘积的后两位是9，等于，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，用速算方法计算可得：．该速算方法可以用我们所学的数学知识说明其合理性． (1)观察与归纳：观察上述例子，请以这种速算方法计算___________； (2)推理与解释：对于这种特殊关系的两位数相乘，设其中一个两位数的十位数字为，个位数字是（表示的整数、表示的整数），则该两位数可表示为，另一个两位数可表示为___________；用速算方法计算这两个两位数相乘得到的结果可以表示为：___________；请运用所学知识，说明满足条件的两个两位数相乘可以用上述速算方法计算结果的理由． 【答案】(1) (2)，，理由见解析 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，正确理解题意是解题的关键； （1）十位数字与十位数字相乘后加上个位数字后再乘以100后加上个位数字即为答案； （2）另外一个两位数的十位数字为，个位数字为b，则可表示出另外的两位数，再根据（1）得到速算式子；根据多项式乘以多项式的计算法则求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：由题意得，另外一个两位数的十位数字为，个位数字为b，则另外一个两位数为， ∴用速算方法计算这两个两位数相乘得到的结果可以表示为：； ． 1．定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论： ① ②若，则 ③若，则 ④若，则 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算、一元一次方程的应用、单项式乘以多项式等知识，正确理解新运算的定义是解题关键．根据新运算的定义可得，计算有理数的运算即可判断①正确；根据新运算的定义可得一个关于的一元一次方程，解方程即可判断②正确；先求出，，再根据新运算的定义代入计算，由此即可判断③正确；根据新运算的定义可得，则可得或，由此即可判断④错误． 【详解】解：由题意得： ，结论①正确； 由题意得：， ∵， ∴， 解得，结论②正确； ∵， ∴，， ∴ ，结论③正确； 由题意得：， ∵， ∴， ∴或， ∴或，结论④错误； 综上，正确的结论有①②③， 故选：A． 2．观察下列几个算式： ③； ④， ．．．．．．，结合你观察到的规律判断 的计算结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字规律、整式的混合运算等知识点，找出计算规律是解题的关键． 根据已知的几个算式发现规律，然后运用规律解答即可． 【详解】解：； ②； ③； ④， ．．． 则． 故选B． 3．如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（　　） 小长方形的较长边为；阴影的较短边和阴影的较短边之和为；阴影和阴影的周长之和与值无关；当时，阴影和阴影的面积和为定值． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，逐一分析四条说法的正误是解题的关键．①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①正确；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影，的较短边长，将其相加可得出阴影的较短边和阴影的较短边之和为，说法②错误；③由阴影，的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影和阴影的周长之和为，可得出说法③正确；④由阴影，的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影和阴影的面积之和为，代入可得出说法④正确． 【详解】解：①大长方形的长为，小长方形的宽为， 小长方形的长为，说法①正确； ②大长方形的宽为，小长方形的长为，小长方形的宽为， 阴影的较短边为，阴影的较短边为， 阴影的较短边和阴影的较短边之和为，说法②错误； ③阴影的较长边为，较短边为，阴影的较长边为，较短边为， 阴影的周长为，阴影的周长为， 阴影和阴影的周长之和为， 阴影和阴影的周长之和与值无关，说法③正确； ④阴影的较长边为，较短边为，阴影的较长边为，较短边为， 阴影的面积为，阴影的面积为 ， 阴影和阴影的面积之和为， 当时，，说法④正确． 综上所述，正确的说法有①③④． 故选：A． 4．若规定符号的意义是：，则当时，的值为 【答案】12 【分析】本题考查了定义新运算、整式的乘法、代数式的求值，理解新定义是解题的关键．根据新定义化简，由得到，再整体代入即可求解． 【详解】解：由题意得， ， ， ， ， 的值为12． 故答案为：12． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 整式的乘法 要点一、单项式与单项式相乘 （1）单项式乘单项式的运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. （2）单项式与单项式相乘的步骤：确定积的系数：积的系数等于各项系数的积；确定相同字母：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；确定单独字母：只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数作为积的一个因式. 【注意】 1. 先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，即进行有理数的乘法运算，先确定积的符号，再计算绝对值. 2. 对于只在一个单项式中出现的字母，应连同它的指数一起写在积里，应特别注意不能漏掉这部分因式。 3. 单项式乘法中若有乘方、乘法 等混合运算，应按“先乘方在乘法”的顺序进行. 4. 单项式乘单项式，结果仍是单项式，对于含字母因式的幂的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算. 5. 对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍然适用. 要点二、单项式与多项式相乘 单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，先将单项式分别乘多项式的各项，再把所得的积相加，即. 【注意】 1. 单项式乘多项式的根据是乘法的分配律，把单项式乘多项式转化成单项式乘单项式. 2. 单项式乘多项式，结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同. 3. 计算时要注意符号问题，多项式中每一项多包括它前面的符号. 4. 对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意运算结果中若有同类项要合并同类项，从而得出最简结果. 要点三、多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即. 【注意】 1. 运用多项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时要按一定的顺序进行. 2. 在相乘时防止漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应是这两个多项式项数的积，如，积的项数应为2×3=6. 3. 注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负”. 4. 多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项一定要合并同类项，化为最简结果. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一、计算单项式乘单项式 1．等于（　　） A． B． C． D． 2．计算的值为（   ） A． B． C． D． 3．计算： ． 4．长方形的长为，宽为，则它的面积是 ． 5．计算： (1)； (2)． 题型二、利用单项式乘法求字母或代数式的值 6．若单项式和的积为，则的值为（   ） A．2 B．30 C． D．15 7．已知，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知单项式与的积为，则 ． 9．若，则 ． 10．若 ，则求的值． 题型三、计算单项式乘多项式及求值 11．若长方形的两条边长分别为和，则此长方形的面积为 （   ） A． B． C． D． 12．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 13．若，则的值为 ． 14．如果，那么代数式的值为 ． 15．计算： (1)； (2)． 题型四、单项式乘多项式的应用 16．数学课上，老师讲了单项式乘以多项式．放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔水弄污了，你认为内应填写（    ） A． B． C． D．1 17．某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是（　　） A． B． C． D． 18．若一边长为，它的另一边长为，这个长方形的面积为 ． 19．清明上河园是依照《清明上河图》建造的大型历史文化主题公园，为提升游客游园体验，如图，公园准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的绿色观光道路，则道路的面积为 平方米．（要求化成最简形式） 20．如图所示，梯形的面积为 ． 题型五、利用单项式乘多项式求字母的值 21．若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 22．若的计算结果中不含有项，则a的值为（    ） A． B． C．0 D．3 23．要使的展开式中不含项，则的值为 ． 24．已知，，，且的值与无关，则 ． 25．若，则 ． 题型六、计算多项式乘多项式 26．若多项式，则a，b的值分别是（    ）． A．， B．， C．， D．， 27．若的结果中项的系数为，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．0 28．已知，则的值是 ． 29．若，则 ． 30．光伏电池板可以将光能转化为电能，在相同光照条件下，电池板面积越大，输出的电能越大．现将一块长90cm，宽60cm的长方形光伏电池板的长和宽分别增加a cm、b cm． (1)光伏电池板的面积增加了多少cm2？（用含a，b的代数式表示） (2)当时，光伏电池板的面积增加了________cm2． 题型七、多项式乘多项式中的化简求值问题 31．若且，则代数式的值为（   ） A． B． C．3 D．2 32．已知一个多项式除以多项式所得的商式为，余式为，这个多项式是 ． 33．已知，则的值是 ． 34．先化简，再求值：，其中． 35．已知，，求代数式的值． 题型八、已知多项式乘积不含某项求字母的值 36．已知多项式与的乘积中不含项，则常数的值是（   ） A． B． C．1 D．2 37．若的乘积中不含的一次项，则的值为（   ） A．6 B．3 C． D． 38．如果与的乘积中不含的一次项，则的值为 ． 39．若的积中不含的项与的项，则代数式的值为 ． 40．若多项式与的积不含项和项，求和的值． 题型九、多项式乘多项式与图形面积 41．观察图形，与相等的是（   ） A． B． C． D． 42．公园里有一个长方形花坛，原来长为，宽为，现在要把花坛四周均向外扩展，扩展后的长方形花坛的长为，宽为，则扩展后的长方形花坛的面积比扩展前的长方形花坛的面积增加（） A． B． C． D． 43．数学活动课上，老师准备了若干张三种型号的纸片，其中种纸片为边长为的正方形，种纸片为边长为的正方形，种纸片为长为、宽为的长方形，现要拼出一个长为、宽为的长方形，则需要、、三种卡片共 张． 44．某小区一块长为米，宽为米的长方形场地中间，并排修建了两个大小一样的长方形游泳池，两个游泳池之间以及游泳池与长方形场地的边线都相距米． (1)用多项式表示一个游泳池的面积； (2)当，，时，求两个游泳池的总面积． 题型十、多项式乘法中的规律性问题 45．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（　　） A． B． C． D． 46．观察下列各式： …… (1)根据规律可得______（其中为正整数） (2)运用规律计算： (3)运用规律计算： 47．【阅读理解】 苏科版数学七年级下册课本第44页的“阅读”中介绍了“杨辉三角”．“杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了二项式乘方展开式的规律，在欧洲，这个图表叫做“帕斯卡三角”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比我国迟了近了600年．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把二项式乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题． … 【初步感知】 （1）按以上规则，展开式共有____项，第三项（字母部分为）的系数是____； 【拓展推广】 （2）我们在对的推演过程中，是将中的“”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式___________；进而写出的展开式___________； 【迁移应用】 （3）根据以上规律计算 ． 1．已知，若a，b都是整数，则m的值不可能是（   ）． A．5 B． C．2 D． 2．如果与的乘积中不含的一次项，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．若关于x，y的多项式的结果中不含项，则m的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 4．如图，小正方形和大正方形相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上，连接，，．若阴影部分的面积为8，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 5．如果三角形一边长为，这边上的高为，则这个三角形的面积是 ． 6．若等式恒成立，无论t为何值，的值始终为定值，则这个定值为 ． 7．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）：若，请根据上述规律，写出的值是 ． 8．某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的“福建土楼”，也有被誉为中国民居建筑典范的“山西大院”，同学们分别对建筑物的进行了数据测量，数据如图所示： (1)若图中阴影部分的面积为建筑物的占地面积，其中“福建土楼”的占地面积用表示，“山西大院”的占地用面积表示，请分别计算这两个建筑物的占地面积；（用含a，b的代数式表示） (2)若，，当时，试探究a，b满足的数量关系． 9．杨辉三角形是形如（这里）的展开式的系数在三角形中的一种几何排列，记载于1261年他所著的《详解九章算术》中．下图是杨辉三角形与展开式的部分对照：              1             1  1           1  2  1         1  3  3  1        1  4  6  4  1 …… …… 请根据上述材料解决下列问题： (1)的展开式中第三项为___________； (2)的展开式中系数为10的项是___________； (3)求的展开式中含项的系数． 10．【阅读材料】爱思考的小李同学发现：两个两位数相乘，如果这两个两位数的个位数字相同，十位数字的和是10，对于这种特殊关系的两位数相乘，计算结果与原来的两位数数位上的数字有一些特殊的关联． 比如，它们乘积的前两位是31，等于，它们乘积的后两位是49，等于，用速算方法计算可得：．又如，它们乘积的前两位是12，等于，它们乘积的后两位是9，等于，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，用速算方法计算可得：．该速算方法可以用我们所学的数学知识说明其合理性． (1)观察与归纳：观察上述例子，请以这种速算方法计算___________； (2)推理与解释：对于这种特殊关系的两位数相乘，设其中一个两位数的十位数字为，个位数字是（表示的整数、表示的整数），则该两位数可表示为，另一个两位数可表示为___________；用速算方法计算这两个两位数相乘得到的结果可以表示为：___________；请运用所学知识，说明满足条件的两个两位数相乘可以用上述速算方法计算结果的理由． 1．定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论： ① ②若，则 ③若，则 ④若，则 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 2．观察下列几个算式： ③； ④， ．．．．．．，结合你观察到的规律判断 的计算结果为（    ） A． B． C． D． 3．如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（　　） 小长方形的较长边为；阴影的较短边和阴影的较短边之和为；阴影和阴影的周长之和与值无关；当时，阴影和阴影的面积和为定值． A． B． C． D． 4．若规定符号的意义是：，则当时，的值为 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$