精品解析：湖南省长沙市望城区2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2025年春季八年级期中检测试卷数学 （考试时间：120分钟，满分：120分） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上． 一、单选题（共30分） 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，1， B. 4，5，6 C. 5，12，23 D. 6，8，11 4. 下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 对角线互相垂直的四边形的中点四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 菱形的对角线互相垂直 5. 如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小佳想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，小红同学帮他想了一个主意，先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D，E，并且测出的长为，则A，B两点的距离为（ ） A B. C. D. 6. 在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，点，在数轴上所表示的数分别为0，3，于点，，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，若点所表示的数为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，公路互相垂直，公路中点与点被湖隔开，若测得的长为，则两点间的距离为（ ） A B. C. D. 9. 如图，在ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，，，则AD的长为（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 7 10. 如图，，，，，垂足分别是点，，，．则的面积是（ ） A. B. 5 C. D. 二、填空题（共18分） 11. 因式分解：=______． 12. 已知，则______． 13. 已知在平面直角坐标系中，正方形的对角线相交于点，且正方形顶点D的坐标为，那么正方形顶点B的坐标为___________． 14. 如图，矩形对角线与相交于点O，，，则的长是______． 15. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D是AB的中点，则CD=_____． 16. 如图，在中，点D、E分别是的中点，以A为圆心，为半径作圆弧交于点F，若，，则的值为____． 三、解答题（共72分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1． （1）BC＝ ，AD＝ ，连接BD，判断△ABD的形状为 ； （2）求四边形ABCD的面积． 20. 如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，CE，并延长CE交AD于点F． （1）求证：△ABE≌△CBE； （2）若∠AEC＝140°，求∠DFE的度数． 21. 如图、将长方形沿对角线翻折，点B落在点F处，交于E． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求图中的面积． 22. 如图，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，过点C作CF//AB交DE的延长线于点F，连结BE． （1）求证：四边形BCFD是平行四边形； （2）当AB＝BC时，若BD＝2，BE＝3，求AC的长． 23. 每年6月6日为“全国爱眼日”．按照国家视力健康标准，学生视力状况如表所示为了解某学校学生视力状况，随机抽查了若干名学生进行视力检测，整理样本数据，得到下列统计图．根据以上信息，回答下列问题： （1）本次抽查的学生中，视力状况属于A类的学生有_______人，D类所在扇形的圆心角的度数是_______°； （2）已知该校共有300名学生，请估计该校“中度视力不良（C类）”和“重度视力不良（D类）”的学生总人数． 24. 2024年4月长沙市某中学开展爱心义卖活动，推出A，B两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个A款帆布袋和3个B款帆布袋共需元，购买3个A款帆布袋和2个B款帆布袋共需元． （1）求购买A，B两款帆布袋每个各需要多少元？ （2）某老师决定购买A，B两款帆布袋共个，且购进A款帆布袋的数量不少于B款帆布袋数量的，试问当购买A，B两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 25. 如图，在正方形的外侧，以为边作等边，线段与线段相交于点F． （1）求，的度数； （2）求证：； （3）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春季八年级期中检测试卷数学 （考试时间：120分钟，满分：120分） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上． 一、单选题（共30分） 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最简二次根式：被开方数不含分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式，根据定义逐一判断即可. 【详解】解： 故A，C，D不符合题意； 是最简二次根式，故B符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是最简二次根式的含义，掌握“最简二次根式的定义判断最简二次根式”是解本题的关键. 2. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件是被开方数不为负数进行求解即可． 【详解】解：根据题意可得； 解得， ∴函数中，自变量的取值范围是． 故选：D． 3. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，1， B. 4，5，6 C. 5，12，23 D. 6，8，11 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理判定三角形的形状，根据勾股定理的逆定理分别计算较小两边的平方和，与较大边的平方相等时，该三角形是直角三角形，否则不是，据此解答 【详解】解：A.，故能构成直角三角形，符合题意； B.，故不能构成直角三角形，不符合题意； C.，故不能构成直角三角形，不符合题意； D.，故不能构成直角三角形，不符合题意； 故选：A 4. 下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 对角线互相垂直的四边形的中点四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 菱形的对角线互相垂直 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定和性质，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分，原说法正确，不符合题意； B、对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，原说法错误，符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法正确，不符合题意； D、菱形的对角线互相垂直，原说法正确，不符合题意； 故选B． 5. 如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小佳想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，小红同学帮他想了一个主意，先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D，E，并且测出的长为，则A，B两点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的中位线即可求解． 【详解】解：∵D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】此题主要考查中位线的应用，解题的关键是熟知三角形中位线的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 6. 在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法逐项判断即可作答． 【详解】解：A. ，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； B. ，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； C. ，，四边形为平行四边形，故本项符合题意； D. ，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； 故选：C． 7. 如图，点，在数轴上所表示的数分别为0，3，于点，，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，若点所表示的数为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中，应用勾股定理，求出，根据作图即可求出的长度，即可求解，本题考查了勾股定理，实数与数轴，解题的关键是：应用勾股定理，求出的长度． 【详解】解：点，在数轴上所表示的数分别为0，3， ， 在中，， 由作图可知，， 的值为， 故选：． 8. 如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，点为的中点， ， 故选：A． 9. 如图，在ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，，，则AD的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】首先证明DA=DE，再根据平行四边形的性质即可解决问题． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BA∥CD，AB=CD， ∴∠DEA=∠EAB， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE=∠EAB， ∴∠DAE=∠DEA， ∴DE=AD， ∵， ∴ ∵ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 10. 如图，，，，，垂足分别是点，，，．则的面积是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意易得△ADC≌△CEB，则有BE=DC=1，进而根据勾股定理可得AC的长，最后根据三角形面积计算公式可求解． 【详解】解：，， ∠ADC=∠CEB=90°， ∠ACD+∠DAC=90°， ， ∠ACD+∠ECB=90°， ∠DAC=∠ECB， ， △ADC≌△CEB， ，， BE=DC=1， 在Rt△ACD中， ， ； 故选B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 二、填空题（共18分） 11. 因式分解：=______． 【答案】2（x+3）（x﹣3） 【解析】 【分析】先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可． 【详解】=2（x2-9）=2（x+3）（x-3）． 故答案为：2（x+3）（x﹣3） 【点睛】考点：因式分解． 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义条件、代数式求值等知识，由二次根式有意义的条件得，求出，代值求解即可得到答案，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 【详解】解：由二次根式有意义的条件可得，解得， ， ， 故答案为：． 13. 已知在平面直角坐标系中，正方形的对角线相交于点，且正方形顶点D的坐标为，那么正方形顶点B的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用图形根据正方形的性质即可解决问题． 【详解】解：如图，∵正方形的对角线相交于点，正方形顶点D的坐标为， ∴正方形顶点B的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，掌握正方形的对角线互相平分是解题的关键． 14. 如图，矩形的对角线与相交于点O，，，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，含30度角的直角三角形．根据矩形的性质，推出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D是AB的中点，则CD=_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】∵∠ACB=90°，D为AB的中点， ∴CD=AB=×6=3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 16. 如图，在中，点D、E分别是的中点，以A为圆心，为半径作圆弧交于点F，若，，则的值为____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意证明是的中位线，求出，利用以A为圆心，为半径作圆弧交于点F，可得，最后根据即可解答． 【详解】解：点D、E分别是的中点， 是的中位线， , 以A为圆心，为半径作圆弧交于点F， ， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了中位线的判定和性质，熟练运用该性质是解题的关键． 三、解答题（共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式性质，负整数指数幂，零指数幂，绝对值等知识点化简计算即可． 【详解】解：， ， ． 【点睛】本题考查了实数混合运算，二次根式的性质，负整数指数幂，零指数幂，绝对值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先利用平方差公式、单项式乘以多项式进行化简，再代入计算即可得出答案． 【详解】解： ， 把代入上式中，原式． 19. 如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1． （1）BC＝ ，AD＝ ，连接BD，判断△ABD的形状为 ； （2）求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）2；5；等腰直角三角形 （2） 【解析】 【分析】（1）连接BD，根据网格图，结合勾股定理，即可求出BC，AD的长，又因为，得到△ABD为直角三角形；又BD=AD，所以△ABD为等腰直角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理，可以证明△ABD为直角三角形；△BCD为直角三角形；所以四边形ABCD的面积等于△ABD加上△BCD的面积，即可求解； 【小问1详解】 解：连接BD，由网格图，结合勾股定理可得： ， ， ∴， ， ∴BD=， ， ∴， ∴， ∴△ABD为直角三角形； 又因为：BD=AD=5， ∴△ABD为等腰直角三角形， 故答案为：2；5；等腰直角三角形． 【小问2详解】 由网格图，结合勾股定理可知： ， ， ∴， 所以△BCD为直角三角形， ∴四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积， =． 【点睛】本题考查的是勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方，是解答此题的关键． 20. 如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，CE，并延长CE交AD于点F． （1）求证：△ABE≌△CBE； （2）若∠AEC＝140°，求∠DFE的度数． 【答案】（1）见解析；（2）65° 【解析】 【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△CBE； （2）由全等三角形的性质可求∠CEB=70°，由三角形的外角的性质可求解． 【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=CB，∠ABC=∠ADC=90°，∠ABE＝∠CBE＝∠ADB＝×90°＝45°， 在△ABE和△CBE中， , ∴△ABE≌△CBE（SAS）； （2）∵△ABE≌△CBE， ∴∠AEB=∠CEB， 又∵∠AEC=140°， ∴∠CEB=70°， ∵∠DEC+∠CEB=180°， ∴∠DEC=180°-∠CEB=110°， ∵∠DFE+∠ADB=∠DEC， ∴∠DFE=∠DEC-∠ADB=110°-45°=65°． 【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质是本题的关键． 21. 如图、将长方形沿对角线翻折，点B落在点F处，交于E． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求图中的面积． 【答案】（1）见解析 （2）40 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，得到，根据折叠的性质得到，进而得到可得到结论； （2）设，则：，在中，利用勾股定理求出的值，进而利用面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是长方形即矩形， ∴， ∴， ∵将长方形沿对角线翻折，点落在点处， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， 设，则：， 在中， 即，解得：， ∴， ∴． ∴图中的面积为． 【点睛】本题考查翻折变换—折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，等腰三角形的判定，三角形面积的计算．熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 22. 如图，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，过点C作CF//AB交DE的延长线于点F，连结BE． （1）求证：四边形BCFD是平行四边形； （2）当AB＝BC时，若BD＝2，BE＝3，求AC的长． 【答案】（1）见解析；（2）AC= 【解析】 【分析】（1）根据点D，E分别是边AB，AC的中点，证明DE是△ABC中位线，再根据CF//AB，即可证明结论； （2）根据AB＝BC，E是AC的中点,证明△ABE是直角三角形，根据勾股定理求出AE，问题得解． 【详解】解：（1）∵点D，E分别是边AB，AC的中点, ∴DE是△ABC中位线， ∴DE∥BC， 即DF∥BC， ∵CF//AB， ∴四边形BCFD是平行四边形； （2）∵AB＝BC，E是AC的中点 ∴BE⊥AC， ∵点D是边AB的中点， ∴AB=2BD=4， 在Rt△ABE中，， ∴AC=2AE= . 【点睛】本题考查了中位线定理，平行四边形的判定，等腰三角形性质，勾股定理等知识，综合性较强，但难度不大，充分利用好中点的已知条件是解题关键． 23. 每年6月6日为“全国爱眼日”．按照国家视力健康标准，学生视力状况如表所示为了解某学校学生视力状况，随机抽查了若干名学生进行视力检测，整理样本数据，得到下列统计图．根据以上信息，回答下列问题： （1）本次抽查的学生中，视力状况属于A类的学生有_______人，D类所在扇形的圆心角的度数是_______°； （2）已知该校共有300名学生，请估计该校“中度视力不良（C类）”和“重度视力不良（D类）”的学生总人数． 【答案】（1）4， （2）135人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、以及用样本估计总体等知识，关键是从扇形统计图和统计表中找出相应的数据． （1）首先利用类的人数和所占的百分比求得总人数，然后乘以类所占的百分比即可求得类学生的人数；用周角乘以类所占的百分比求出圆心角的度数即可； （2）用样本数据估计总体数据即可． 【小问1详解】 解：观察两个统计题知：类有7人，占， 所以调查的总人数为（人， 所以视力情况属于类的学生有（人， 类所在扇形的圆心角的度数为． 故答案为：4，； 小问2详解】 解：（人， 所以估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数为135人． 24. 2024年4月长沙市某中学开展爱心义卖活动，推出A，B两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个A款帆布袋和3个B款帆布袋共需元，购买3个A款帆布袋和2个B款帆布袋共需元． （1）求购买A，B两款帆布袋每个各需要多少元？ （2）某老师决定购买A，B两款帆布袋共个，且购进A款帆布袋的数量不少于B款帆布袋数量的，试问当购买A，B两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】（1）A，B两款帆布袋的单价分别为元，元 （2）购买A，B两款帆布袋分别为6件和9件时，总费用最低，最低费用为元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二元一次方程组在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键． （1）设A，B两款帆布袋的单价分别为x元，y元，由题意得：，据此即可求解； （2）设购买A款帆布袋m件，购买B款帆布袋件.设总费用为w元，确定与之间的函数关系式即可求解 【小问1详解】 解：由题意，设A，B两款帆布袋的单价分别为x元，y元， 由题意得：， 解得：. ∴A，B两款帆布袋的单价分别为元，元. 【小问2详解】 解：由题意，设购买A款帆布袋m件， ∴购买B款帆布袋件，设总费用为w元， ∴. ∵， ∴w随m的增大而增大. ∵购进A款帆布袋的数量不少于B款帆布袋数量的， ∴. ∴且m为正整数. ∴当时，w有最小值，最小值为. 此时. ∴购买A，B两款帆布袋分别为6件和9件时，总费用最低，最低费用为元. 25. 如图，在正方形的外侧，以为边作等边，线段与线段相交于点F． （1）求，的度数； （2）求证：； （3）求的值． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，等边三角形的性质，得到为等腰三角形，利用等边对等角求出的度数，利用外角的性质求出的度数； （2）连接，求出，即可得证； （3）连接，交于点，易得，进而得到，根据，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵正方形，等边， ∴，， ∴， ∴； ∴； 【小问2详解】 连接， 同法（1）可得：， ∵正方形，等边， ∴ ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 连接，交于点， 则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形．熟练掌握正方形的性质，等边三角形的性质，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$