精品解析：四川省达州市渠县中学2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试题

四川省达州市渠县中学2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（　） A. B. C. D. 2. 把多项式分解因式，应提公因式是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将三角形向右平移得到三角形，且点在同一条直线上，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 6. 如图，中，对角线、相交于点O，交于点E，连接，若的周长为28，则的周长为（ ） A. 28 B. 24 C. 21 D. 14 7. 若关于x的分式方程无解，则a的值是（ ） A. 3或2 B. 1 C. 1或2 D. 1或3 8. 如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，测量得∠1＝70°，∠2＝152°，则∠A为（　　） A 40° B. 42° C. 30° D. 52° 9. 如图，直线y＝kx和y＝ax+4交于A（1，k），则不等式kx﹣6＜ax+4＜kx的解集为（　　） A. 1＜x＜ B. 1＜x＜3 C. ﹣＜x＜1 D. ＜x＜3 10. 如图，在中，，，．分别是上的动点，连接，分别为的中点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 使得分式有意义的条件是________． 12. 已知一个钝角等腰三角形，其中一条腰上的高与另一条腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角为______． 13. 在直角坐标系中，点A的坐标是，点B在坐标轴上，点B绕点A顺时针旋转落在直线上，则点B的坐标是______． 14. 定义：若关于x的不等式组的解集是，且，满足，则称该不等式组的解集是一个“对称集”．已知关于x的不等式组的解集是一个对称集，则c的值为________． 15. 如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发在上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为．当______时，四边形是平行四边形． 三、解答题（本大题共10 小题，共90分） 16. （1）解分式方程： （2）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 17. 先化简：，再从，1，2中选择一个合适的值代入求值． 18. 如图，在平行四边形中，，，平分交于点，求的长． 19. 如图，在中，，，，沿方向平移至，若，．求： （1）沿方向平移的距离； （2）四边形的周长． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出绕原点O顺时针旋转得到的； （2）在y轴上取点P，使的面积是面积的倍，求点P的坐标． 21. 某工厂制作甲、乙两种窗户边框，已知同样用米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少个，且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用的材料． （1）求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料？ （2）如果制作甲、乙两种边框的材料共米，要求制作乙种边框的数量不少于甲种边框数量的倍，求应最多安排制作甲种边框多少个不计材料损耗？ 22. 阅读下面例题的分析与解答，再回答问题： 例：已知，求的值． 分析：问题中有和，但已知条件中并没有平方项，因而需要从已知条件中变形出和才行，联想到完全平方公式，若将第一等式分别平方则可出现和，再将第二个等式代入即可解决这个问题． 解：，， 即， ， ， ， 作出什么样变形或者需要求出什么式子的值才能进行下一步，这需要我们联想相关的公式和类似的已经会做的题型． 问题一： （1）若已知，求和的值； （2）若已知则________． 问题二：若，求． 23. 若一个关于x的二次三项式能分解成（其中a为实数，m，n为正整数）的形式，则称这个多项式关于对称．例如：，则关于对称． （1）请写出一个关于x的二次三项式，使它关于对称； （2）若关于对称，求t的值； （3）若，且M关于对称，求b，c值． 24. 已知中，，点是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点对应点为点． （1）如图1，当点恰好落在边上，求证：是等边三角形； （2）如图2，当点恰好落在内，且的延长线恰好经过点，，求的大小； （3）如图3，当点恰好落在外，交于点，连接，若，，求的长． 25. 在一次数学活动课上，小明尝试着把一块含有的直角三角板放置于四边形的内部，且使得直角顶点E始终与边的中点重合，进行了一系列活动探究． （1）【初步探究】 当四边形正方形，顶点F、G分别在、边上，小明作辅助线“延长和交于点M”，证明了，请你补全证明过程． （2）【类比探究】 如图2，当四边形是矩形，顶点F与A重合，点G在边上，类比图1的方法，不难求得______，______，请说明理由． （3）【拓展探究】 当四边形是平行四边形，且． 如图3，当顶点F与A点重合，G在边上，则______；（直接写出答案，不需要说明理由） 如图4，当顶点F与D点重合，G在边上，则______．（直接写出答案，不需要说明理由） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四川省达州市渠县中学2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 把多项式分解因式，应提的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，观察可知两个单项式的公因式为，据此可得答案，解答本题的关键要明确：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；③定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂． 【详解】解：， ∴多项式分解因式，应提的公因式是， 故选：C． 3. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质进行解答即可． 【详解】解：A、不等式的两边都加2，不等号的方向不变，故A错误； B、不等式的两边都乘以3，不等号的方向不变，故B错误； C、不等式的两边都乘以-1，不等号的方向改变，故C正确； D、不等式的两边都减去1，不等号的方向不变，故D错误； 故选C． 【点睛】本题考查不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 4. 如图，将三角形向右平移得到三角形，且点在同一条直线上，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，由平移得，进而可得，据此即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由平移得，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的值为零的条件，根据平方根解方程，解题的关键是掌握分式的值为零的条件：分子为零，分母不为零．据此列式解答即可． 【详解】解：∵分式的值为， ∴且， 解得：， 即的值为． 故选：C． 6. 如图，中，对角线、相交于点O，交于点E，连接，若的周长为28，则的周长为（ ） A. 28 B. 24 C. 21 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和中垂线定理，再结合题意进行计算，即可得到答案. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵平行四边形的周长为28， ∴ ∵， ∴是线段的中垂线， ∴， ∴的周长， 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和中垂线定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和中垂线定理. 7. 若关于x的分式方程无解，则a的值是（ ） A. 3或2 B. 1 C. 1或2 D. 1或3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解．熟练掌握：分式方程无解情况①分式方程化为整式方程后，整式方程无解，即分式方程无解；②分式方程化为整式方程后，整式方程有解，但这个解会使分式方程的最简公分母为0，即解为分式方程的增根；是解题的关键．先解分式方程得到，再进行讨论，①当时，整式方程无解，则分式方程无解；②把增根代入求解． 【详解】解： ， ， ①当时，整式方程无解，则分式方程无解； ②把增根代入得，， 解得：， 综上：当或时，分式方程无解， 故选：C． 8. 如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，测量得∠1＝70°，∠2＝152°，则∠A为（　　） A 40° B. 42° C. 30° D. 52° 【答案】B 【解析】 【分析】利用四边形的内角和定理求出，再利用三角形的内角和定理可得结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了多边形内角与外角、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 9. 如图，直线y＝kx和y＝ax+4交于A（1，k），则不等式kx﹣6＜ax+4＜kx的解集为（　　） A. 1＜x＜ B. 1＜x＜3 C. ﹣＜x＜1 D. ＜x＜3 【答案】A 【解析】 【分析】把A（1，k）代入y=ax+4得a=k-4，则解不等式kx-4＜ax+4得x＜，再结合图象得到x＞1时，ax+4＜kx，从而得到不等式kx-6＜ax+4＜kx解集． 【详解】解：把A（1，k）代入y＝ax+4得k＝a+4，则a＝k﹣4， 解不等式kx﹣4＜ax+4得x＜， 而当x＞1时，ax+4＜kx， 所以不等式kx﹣6＜ax+4＜kx的解集为1＜x＜． 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质． 10. 如图，在中，，，．分别是上的动点，连接，分别为的中点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 连接，过点作于，由平行四边形的性质得到，得出求出，求出，由三角形中位线定理得到，当时，有最小值，即有最小值，当点与点重合时，的最小值为，得到 的最小值为，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， 分别为的中点， ， 当时，有最小值，即有最小值， 当点与点重合时，的最小值为， 的最小值为， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 使得分式有意义的条件是________． 【答案】x≠﹣3 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件可得：x+3≠0，再解即可． 【详解】解：由题意得：x+3≠0， 解得：x≠﹣3， 故答案为：x≠﹣3． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分母不为零是解题的关键． 12. 已知一个钝角等腰三角形，其中一条腰上的高与另一条腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角为______． 【答案】##115度 【解析】 【分析】首先根据题意画出图形，首先根据直角三角形两锐角互余求出，然后利用邻补角互补求解即可． 【详解】解：如图，等腰三角形为钝角三角形， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键在于正确的画出图形，认真的进行计算． 13. 在直角坐标系中，点A的坐标是，点B在坐标轴上，点B绕点A顺时针旋转落在直线上，则点B的坐标是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数上点的坐标，分为点B在x轴上和点B在y轴上两种情况，画图证明，，求出点M的坐标，代入直线解析式即可解题． 【详解】解：令点B旋转后对应点为 当点B在x轴上时， 令点B坐标为， 则 由旋转可知， ，， 所以点M坐标可表示为 将点M坐标代入得， ， 解得， 所以点B的坐标为， 当点B在y轴上时，过点M作x轴的垂线，垂足为N， 令点B坐标为， 由旋转可知， ， 所以， 所以 在和中， ， 所以， 所以， 因为点A坐标为，点B坐标为， 所以，， 所以， 则点M坐标为， 将点M坐标代入得， ， 解得， 所以点B的坐标为 综上所述：点B的坐标为或， 故答案为：或． 14. 定义：若关于x的不等式组的解集是，且，满足，则称该不等式组的解集是一个“对称集”．已知关于x的不等式组的解集是一个对称集，则c的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义“对称集”，解一元一次不等式组；解不等式组得解集为，由“对称集”的定义，即可求解；理解新定义，会解不等式组是解题的关键． 【详解】解： 解：由①得 ， 由②得 ， 原不等式组的解集为， 解集是一个对称集， ， 解得：； 故答案为：． 15. 如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发在上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为．当______时，四边形是平行四边形． 【答案】3或5 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，能求出符合题意的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．根据平行四边形的性质得出，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过t秒，四边形是平行四边形， ∵P在上运动， 根据题意，即， ∵四边形是平行四边形， ∴， 分为以下情况：①点Q的运动在上时，方程为， 解得， ②点Q的运动在上时，方程为， 解得：； 故答案为：3或5． 三、解答题（本大题共10 小题，共90分） 16. （1）解分式方程： （2）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）无解；（2），在数轴上表示见解析 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程以及解不等式组，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先去分母化为整式方程，解出整式方程，然后检验，即可求解； （2）根据不等式的运算法则计算不等式，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则找到公共部分，并在数轴表示即可． 【详解】（1）解：两边同时乘以，得：， 解得； 经检验，是方程的增根， 所以原分式方程无解； （2）解：解不等式①得； 解不等式②得 综上所述，． ． 17. 先化简：，再从，1，2中选择一个合适的值代入求值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵，时，分式分母为0， ∴， ∴原式． 18. 如图，在平行四边形中，，，平分交于点，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的定义得出．根据四边形为平行四边形可得，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出，继而可得，然后根据已知可求得的长度． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ，， ． 19. 如图，在中，，，，沿方向平移至，若，．求： （1）沿方向平移的距离； （2）四边形的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据平移的性质可得AD=BE，由，可求出的长，即为平移的距离； (2)根据平移的性质可求出和的长，进一步即可求出结果． 【小问1详解】 ∵沿方向平移至， ∴． ∵， ∴； 即沿方向平移的距离是． 【小问2详解】 由平移的性质可得：， ∵， ∴四边形的周长 ． ∴四边形的周长是． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，属于基本题型，正确理解题意、熟练掌握平移的性质是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出绕原点O顺时针旋转得到的； （2）在y轴上取点P，使的面积是面积的倍，求点P的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转变换，坐标与图形： （1）根据旋转的性质找出点A、B、C的对应点，然后用线段连接即可； （2）设交y轴于点D，则点，先求出，可得，从而得到，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：设交y轴于点D，则点， ， ∵的面积是面积的倍， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或． 21. 某工厂制作甲、乙两种窗户边框，已知同样用米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少个，且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用的材料． （1）求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料？ （2）如果制作甲、乙两种边框的材料共米，要求制作乙种边框的数量不少于甲种边框数量的倍，求应最多安排制作甲种边框多少个不计材料损耗？ 【答案】（1）制作甲种边框需用材料米，制作一个乙种边框需用材料2米 （2）最多安排制作甲种边框100个 【解析】 【分析】题目主要考查分式方程及一元一次不等式的应用，理解题意，根据题意列出方程和不等式是解题关键． （1）设制作一个乙种边框需用材料米，根据题意列出方程求解即可； （2）设应安排制作甲种边框个，根据题意列出一元一次不等式求解即可得出结果． 【小问1详解】 解：设制作一个乙种边框需用材料米，则制作一个甲种边框需用材料米， 由题意得： 解得：， 经检验是原分式方程的解，且符合题意， 当时，， 答：制作一个甲种边框需用材料米，制作一个乙种边框需用材料2米； 【小问2详解】 解：设应安排制作甲种边框个，由题意得： 解得：， 答：最多安排制作甲种边框100个． 22. 阅读下面例题的分析与解答，再回答问题： 例：已知，求的值． 分析：问题中有和，但已知条件中并没有平方项，因而需要从已知条件中变形出和才行，联想到完全平方公式，若将第一等式分别平方则可出现和，再将第二个等式代入即可解决这个问题． 解：，， 即， ， ， ， 作出什么样变形或者需要求出什么式子的值才能进行下一步，这需要我们联想相关的公式和类似的已经会做的题型． 问题一： （1）若已知，求和的值； （2）若已知则________． 问题二：若，求． 【答案】问题一：（1），；（2）23；问题二：81． 【解析】 【分析】问题一：（1）将两边平方可求的值，将两边平方可求的值； （2）将两边同时除以x求出，然后将两边平方可求的值； 问题二：逆用同底数幂的除法求出，然后根据积的乘方法则和同底数幂的除法法则进行计算． 【详解】解：问题一：（1）将两边平方可得：， 所以， 将两边平方可得： 所以：； （2）∵， ∴， ∴ ∴ 将两边平方可得： ∴， 故答案为：23； 问题二：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了分式的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 23. 若一个关于x的二次三项式能分解成（其中a为实数，m，n为正整数）的形式，则称这个多项式关于对称．例如：，则关于对称． （1）请写出一个关于x的二次三项式，使它关于对称； （2）若关于对称，求t的值； （3）若，且M关于对称，求b，c的值． 【答案】（1）（答案不唯一） （2） （3），，，， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，正确理解题新定义是解题的关键． （1）根据定义直接求解； （2）根据定义得到，求出，再回代，即可求出t的值； （3）由题意得，则得到，由于，c为正整数，再枚举即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的二次三项式，关于对称， ∴， ∴， ∴可取 ∴， ∴一个关于x的二次三项式可以为：． 【小问2详解】 解：∵关于对称， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵关于对称， ∴关于对称， ∴， ∵，c为正整数， ∴，，，，． 24. 已知中，，点是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点对应点为点． （1）如图1，当点恰好落在边上，求证：是等边三角形； （2）如图2，当点恰好落在内，且的延长线恰好经过点，，求的大小； （3）如图3，当点恰好落在外，交于点，连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质得出，再利用翻折变换的性质得出，进而得出，即可得出结论； （2）由折叠的性质得出，，得出，由等腰三角形的性质得出，设，由三角形的外角性质得出，在中，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可； （3）同（1）得出是等边三角形，，得出，由折叠的性质得出，由直角三角形的性质得出，得出，由已知得出，求出，即可得出． 【小问1详解】 证明：如图1，，， ， 沿折叠，点对应点为点， ， ， ， 等边三角形； 【小问2详解】 解：，， ， 沿折叠，点对应点为点， ，， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ； 【小问3详解】 解：同（1）得：，是等边三角形，， ， 由折叠的性质得：， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题目，考查了折叠变换的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握翻折变换和等边三角形的判定与性质是解题的关键． 25. 在一次数学活动课上，小明尝试着把一块含有的直角三角板放置于四边形的内部，且使得直角顶点E始终与边的中点重合，进行了一系列活动探究． （1）【初步探究】 当四边形是正方形，顶点F、G分别在、边上，小明作辅助线“延长和交于点M”，证明了，请你补全证明过程． （2）【类比探究】 如图2，当四边形是矩形，顶点F与A重合，点G在边上，类比图1的方法，不难求得______，______，请说明理由． （3）【拓展探究】 当四边形是平行四边形，且． 如图3，当顶点F与A点重合，G在边上，则______；（直接写出答案，不需要说明理由） 如图4，当顶点F与D点重合，G在边上，则______．（直接写出答案，不需要说明理由） 【答案】（1）见解析 （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）延长和交于点M，证明，得到，推出垂直平分，得到，利用等腰三角形的性质得到； （2）延长和交于点M，证明，得到，推出垂直平分，得到，利用等腰三角形的性质得到，再证明得到，由得到，勾股定理求出，即可得到； （3）由（1）可得，再根据直角三角形30度角和45度角的性质解答． 【小问1详解】 证明：延长和交于点M， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 ，理由如下： 证明：延长和交于点M， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 当顶点F与A点重合，G在边上， 延长和交于点M，过点D作于点H， 同（1）得，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴，，， 设，则， ∴， 得 ∴， ∴， 故答案为； 当顶点F与D点重合，G在边上， 延长和交于点M，过点C作于点H， 同理得，， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握各图形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$