专题提优6 一元二次方程的复习讲义（解析版+原卷版）-2025-2026学年九年级数学上（人教版）【提优专题+重点题型 】典例剖析及举一反三训练

专题提优6 一元二次方程的复习讲义 知识点1 一元二次方程的定义 一、一元二次方程的概念 1．（2025春•鹿城区校级月考）下列是一元二次方程的是（　　） A． B．x2﹣x＝0 C．2（x﹣1）＝3x D．x2+2y＝1 2．（2024秋•明水县期末）若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝　 　 ． 二、一元二次方程的一般形式 3．（2024秋•硚口区期末）写出一个二次项系数为1，且一根为0的一元二次方程是 　 　 ． 4．（2024秋•顺义区校级期中）关于x的一元二次方程x2﹣3ax+a2﹣4＝0的常数项为0，则a的值为 　 　 ． 5．（2024秋•湘阴县期中）将方程（x﹣1）（x+3）＝12化为ax2+bx+c＝0的形式后，a＝　 　 ，b＝ 　 ，c＝　 ． 3、 一元二次方程的解 6．（2024春•金水区校级期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0必有一根为（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 7．（2022秋•芙蓉区校级期末）关于x的一元二次方程（k+2）x2+6x+k2﹣4＝0有一个根是0，则k的值是 　 　 ． 知识点2 一元二次方程的解法 一、一元二次方程分常规解法 8．（2025春•长沙校级月考）解方程： （1）x2+4x﹣5＝0；（配方法）（2）2x2﹣7x+3＝0；（公式法） （3）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0；（因式分解法）（4）x2﹣4x﹣3＝0．（适当方法） 9．（2025•嘉兴二模）小李与小王两位同学解方程2（x﹣2）＝（x﹣2）2的过程如下框： 小李： 解：两边同除以（x﹣2），得 2＝x﹣2， 则x＝4． 小王： 解：移项，得2（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝0， 提取公因式，得（x﹣2）（2﹣x﹣2）＝0． 则x﹣2＝0或2﹣x﹣2＝0， 解得x1＝2，x2＝0． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出正确的解答过程． 二、换元法解特殊方程 10．（2021秋•新市区校级期中）若实数x满足方程（x2+2x）•（x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值为 　 ． 11．（2024秋•南海区期中）阅读下列材料： 已知实数m、n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值． 解：设2m2+n2＝y， 则原方程可化为（y+1）（y﹣1）＝80，即y2＝81； 解得y＝±9． ∵2m2+n2≥0， ∴2m2+n2＝9． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料为内容，解决下列问题： （1）若四个连续正整数的积为360，直接写出这四个连续的正整数为 　 ． （2）已知实数x、y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值． （3）解方程x2﹣3|x|+2＝0． 知识点3 根的判别式 12．（2014•谷城县模拟）若关于x的方程2（k+1）x2x0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≤0 B．k≥﹣2或k≠﹣1 C．0≥k≥﹣2且k≠﹣1 D．﹣2≤k≤0 13．（2025•确山县二模）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+2m＝0有实数根，则m的取值范围是 　 　 ． 14．（2025•海珠区校级二模）若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则代数式m化简的结果是　 　 ． 15．（2025•坊子区二模）从﹣5，0，3三个数中，选取1个数作为p的值代入方程x2﹣px+1＝0．若该方程有两个正实数根，则选取的p的值为　 　 ． 知识点4 根与系数关系 16．（2025•临淄区二模）若x1，x2是方程x2+x﹣2025＝0的两个实数根，则代数式的值为　 　 ． 17．（2025春•界首市期中）若关于x的一元二次方程x2﹣m＝x的两个实数根分别为α，β，则α+β＝ 　 　 ． 18．（2024秋•望奎县期末）若a，b是方程x2+x﹣2025＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值是　 　 ． 19．（2025春•青神县期中）α，β是关于x的方程x2﹣2x+m＝0的两实数根，且，则m的值为 　 　 ． 20．（2021秋•冷水滩区校级月考）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论： ①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根；②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根； ③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1；④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的有：　 　 ． 21．已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，则的值是（ㅤㅤ） A．7 B．﹣7 C．11 D．﹣11 22．（2020秋•蕲春县期中）已知实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，则3β的值为　 　 ． 23．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，不解方程，求下列各式的值： （1）； （2）（x1﹣2）（x2﹣2）． 知识点5 判别式及根与系数关系的综合运用 24．（2023秋•乾安县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程两个根的绝对值相等，求此时m的值． 25．（2024•津市市一模）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+2＝0． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）在等腰△ABC中，一腰长为3，其中两边长为方程的两个根，求m的值． 26．（2024秋•永春县校级月考）已知方程：x2﹣4x+a＝0的一个根大于3，另一个根小于3，则a的取值范围 　 　 ． 知识点7 一元二次方程的实际应用 27．（2019•环江县一模）某班一物理科代表在老师的培训后学会了某个物理实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个实验；若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为（　　） A．x+（x+1）x＝36 B．1+x+（1+x）x＝36 C．1+x+x2＝36 D．x+（x+1）2＝36 28．（2018秋•惠城区期末）如图，幼儿园计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为100m2的矩形小花园（墙长为15m），则与墙垂直的边x为（　　） A．10m或5m B．5m或8m C．10m D．5m 29．（2025•牡丹区开学）菏泽市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？设应邀请x支球队参赛可列出方程 　 　 ． 30．（2020•湘西州）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然暴发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个． （1）求口罩日产量的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？ 31．（2024秋•黑山县期中）“阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，重庆市某葡萄种植基地2017年种植“阳光玫瑰”100亩，到2019年“阳光玫瑰”的种植面积达到196亩． （1）求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率； （2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为12元/千克，若使销售“阳光玫瑰”每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题提优6 一元二次方程的复习讲义 知识点1 一元二次方程的定义 一、一元二次方程的概念 1．（2025春•鹿城区校级月考）下列是一元二次方程的是（　　） A． B．x2﹣x＝0 C．2（x﹣1）＝3x D．x2+2y＝1 【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0），逐一判断即可解答． 【解析】解：A、x2+3，是分式方程，故A不符合题意； B、x2﹣x＝0，是一元二次方程，故B符合题意； C、2（x﹣1）＝3x，是一元一次方程，故C不符合题意； D、x2+2y＝1，是二元二次方程，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2．（2024秋•明水县期末）若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝　0　 ． 【分析】根据一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案． 【解析】解：∵方程（m﹣4）x|m﹣2|+3x+5＝0是一元二次方程， ∴， 解得m＝0． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 二、一元二次方程的一般形式 3．（2024秋•硚口区期末）写出一个二次项系数为1，且一根为0的一元二次方程是 　x2+x＝0（答案不唯一）　 ． 【分析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）写方程即可，注意要符合题目条件． 【解析】解：由题意得：x2+x＝0， 故答案为：x2+x＝0（答案不唯一）． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 4．（2024秋•顺义区校级期中）关于x的一元二次方程x2﹣3ax+a2﹣4＝0的常数项为0，则a的值为 　±2　 ． 【分析】根据常数项为0得出a2﹣4＝0，即可确定a的值． 【解析】解：根据题意得，a2﹣4＝0， 解得a＝±2． 故答案为：±2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，正确计算是解题的关键． 5．（2024秋•湘阴县期中）将方程（x﹣1）（x+3）＝12化为ax2+bx+c＝0的形式后，a＝　1　 ，b＝　2　 ，c＝　﹣15　 ． 【分析】首先根据多项式乘以多项式的法则把方程左边展开，然后再移项合并同类项，把一元二次方程化为一般形式，再确定各项系数． 【解析】解：原方程整理得：x2+2x﹣3＝12， 移项合并同类项得：x2+2x﹣15＝0， ∴（x﹣1）（x+3）＝12化为ax2+bx+c＝0的形式后，a＝1，b＝2，c＝﹣15． 故答案为：1，2，﹣15． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式、一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0）． 3、 一元二次方程的解 6．（2024春•金水区校级期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0必有一根为（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【分析】由于关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则把方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0看作关于（x﹣1）的一元二次方程时有x﹣1＝2024，解得x＝2025，于是可判断一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0必有一根为x＝2025． 【解析】解：把方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0看作关于（x﹣1）的一元二次方程， ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024， ∴关于x﹣1的一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0有一根为x﹣1＝2024， 解得x＝2025， ∴一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0必有一根为x＝2025． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 7．（2022秋•芙蓉区校级期末）关于x的一元二次方程（k+2）x2+6x+k2﹣4＝0有一个根是0，则k的值是 　2　 ． 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到k2﹣4＝0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值． 【解析】解：把x＝0代入一元二次方程（k+2）x2+6x+k2﹣4＝0，得 k2﹣4＝0， 解得k1＝2，k2＝﹣2， 而k+2≠0，即k≠﹣2． 所以k的值为2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义． 知识点2 一元二次方程的解法 一、一元二次方程分常规解法 8．（2025春•长沙校级月考）解方程： （1）x2+4x﹣5＝0；（配方法） （2）2x2﹣7x+3＝0；（公式法） （3）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0；（因式分解法） （4）x2﹣4x﹣3＝0．（适当方法） 【分析】（1）直接利用配方法求解，即可解题； （2）先确定求根公式中的a、b、c，再代入公式求解，即可解题； （3）先提取公因式x﹣3分解因式，再取每个因式分别为0，即可解题； （4）直接利用配方法求解，即可解题． 【解析】解：（1）x2+4x﹣5＝0， x2+4x＝5， x2+4x+4＝5+4， （x+2）2＝9， x+2＝±3， 解得x1＝1，x2＝﹣5； （2）2x2﹣7x+3＝0， ∵a＝2，b＝﹣7，c＝3， ∴Δ＝（﹣7）2﹣4×2×3＝25＞0， ∴方程有两个不等的实数根， ∴， ∴x1＝3，； （3）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0， （x﹣3+2x）（x﹣3）＝0， （3x﹣3）（x﹣3）＝0， 3x﹣3＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝1； （4）x2﹣4x﹣3＝0， x2﹣4x＝3， x2﹣4x+4＝3+4， x2﹣4x+4＝7， （x﹣2）2＝7， ， ， ，． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的解法：配方法，公式法，因式分解法的解答步骤是解题关键． 9．（2025•嘉兴二模）小李与小王两位同学解方程2（x﹣2）＝（x﹣2）2的过程如下框： 小李： 解：两边同除以（x﹣2），得 2＝x﹣2， 则x＝4． 小王： 解：移项，得2（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝0， 提取公因式，得（x﹣2）（2﹣x﹣2）＝0． 则x﹣2＝0或2﹣x﹣2＝0， 解得x1＝2，x2＝0． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出正确的解答过程． 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解析】解：两个都错：×；× 2（x﹣2）＝（x﹣2）2， 2（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝0， （x﹣2）[2﹣（x﹣2）]＝0， （x﹣2）（4﹣x）＝0， x1＝2，x2＝4． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法． 二、换元法解特殊方程 10．（2021秋•新市区校级期中）若实数x满足方程（x2+2x）•（x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值为 　4　 ． 【分析】设x2+2x＝y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8＝0，求出y即可． 【解析】解：设x2+2x＝y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8＝0， 解得：y＝4或﹣2， 当y＝4时，x2+2x＝4，此时方程有解， 当y＝﹣2时，x2+2x＝﹣2，此时方程没有实数根，舍去， 所以x2+2x＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了运用换元法解一元二次方程，解方程时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 11．（2024秋•南海区期中）阅读下列材料： 已知实数m、n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值． 解：设2m2+n2＝y， 则原方程可化为（y+1）（y﹣1）＝80，即y2＝81； 解得y＝±9． ∵2m2+n2≥0， ∴2m2+n2＝9． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料为内容，解决下列问题： （1）若四个连续正整数的积为360，直接写出这四个连续的正整数为 　3，4，5，6　 ． （2）已知实数x、y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值． （3）解方程x2﹣3|x|+2＝0． 【分析】（1）根据题意设最小数为x，列出关系式，进而利用换元法即可求解． （2）由已知等式得出（x2+y2）2＝36，结合x2+y2≥0可得答案； （3）设|x|＝t，则t≥0，可得t2﹣3t+2＝（t﹣1）（t﹣2）＝0，求出t的值，再根据绝对值的性质得出答案． 【解析】解：（1）设最小数为x，则x（x+1）（x+2）（x+3）＝360， 即：（x2+3x）（x2+3x+2）＝360， 设x2+3x＝y，则y2+2y﹣360＝0， ∴y1＝18，y2＝﹣20， ∵x为正整数， ∴y＝x2+3x＝18， ∴x1＝3，x2＝﹣6＜0（舍去）， ∴这四个整数为3，4，5，6． 故答案为：3，4，5，6． （2）设x2+y2＝t． ∵（x2+y2+3）（x2+y2﹣3）＝27， ∴t2﹣9＝27， ∴t2＝36， ∵t≥0， ∴t＝6， ∴x2+y2＝6； （3）x2﹣3|x|+2＝0， |x|2﹣3|x|+2＝0， 设|x|＝t，则t≥0， ∴t2﹣3t+2＝（t﹣1）（t﹣2）＝0， ∴t﹣1＝0或t﹣2＝0， ∴t1＝1，t2＝2， ∴|x|＝1或|x|＝2， ∴x1＝﹣1，x2＝1，x3＝﹣2，x4＝2； 【点睛】本题考查了解一元二次方程，多项式的乘法，平方差公式与求方程的解，关键把代数式看作一个整体，通过换元求解． 知识点3 根的判别式 12．（2014•谷城县模拟）若关于x的方程2（k+1）x2x0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≤0 B．k≥﹣2或k≠﹣1 C．0≥k≥﹣2且k≠﹣1 D．﹣2≤k≤0 【分析】根据根的判别式得出b2﹣4ac≥0，代入求出不等式的解集即可得到答案． 【解析】解：∵方程2（k+1）x2x0有实数根， ∴b2﹣4ac＝（）2﹣4×2（k+1） ＝﹣k≥0， ∴k≤0 且k+2≥0，k+1≠0 k≥﹣2， ∴﹣2≤k≤0． 故选：D． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根； （3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 13．（2025•确山县二模）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+2m＝0有实数根，则m的取值范围是 　　 ． 【分析】一元二次方程有实数根，必须满足下列条件：在有实数根下必须满足Δ＝b2﹣4ac≥0． 【解析】解：一元二次方程x2﹣3x+2m＝0有实数根， Δ＝b2﹣4ac＝9﹣8m≥0， 解得m． 【点睛】一元二次方程根的情况与判别式的关系，正确记忆判别式的公式是解题关键． 14．（2025•海珠区校级二模）若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则代数式m化简的结果是　1　 ． 【分析】由题意易得m≤1，然后根据二次根式的性质进行化简即可． 【解析】解：由条件可知Δ＝4﹣4m≥0， ∴m≤1， ∴； 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及二次根式的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式及二次根式的性质是解题的关键． 15．（2025•坊子区二模）从﹣5，0，3三个数中，选取1个数作为p的值代入方程x2﹣px+1＝0．若该方程有两个正实数根，则选取的p的值为　3　 ． 【分析】根据题意分别将﹣5，0，3代入原方程，解方程，即可求解． 【解析】解：∵方程x2﹣px+1＝0有两个正实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝p2﹣4≥0， ∴p≥2或p≤﹣2； 当p＝0时，原方程无实数根，不合题意， 当p＝﹣5时，原方程为x2+5x+1＝0， ∵Δ＝25﹣4＝21， ∴都小于0，不符合题意， 当p＝3时，原方程为x2﹣3x+1＝0， ∵Δ＝9﹣4＝5． ∴都大于0，符合题意， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，熟知以上知识是解题的关键． 知识点4 根与系数关系 16．（2025•临淄区二模）若x1，x2是方程x2+x﹣2025＝0的两个实数根，则代数式的值为　2025　 ． 【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再将待求式子提取公因式后整体代入求值． 【解析】解：由条件可知x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣2025， ∴， 故答案为：2025． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是掌握根与系数的关系． 17．（2025春•界首市期中）若关于x的一元二次方程x2﹣m＝x的两个实数根分别为α，β，则α+β＝ 　1　 ． 【分析】把方程化为一般形式，根据一元二次方程根与系数关系即可得到答案． 【解析】解：由根与系数关系可知：α+β＝1， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数关系．熟练掌握根与系数关系是解题的关键． 18．（2024秋•望奎县期末）若a，b是方程x2+x﹣2025＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值是　2024　 ． 【分析】根据根与系数的关系和一元二次方程的解可得出a+b＝﹣1，a2+a﹣2025＝0，再将a2+2a+b化成a2+a+（a+b），最后整体代入即可解答． 【解析】解：由题意可得：a+b＝﹣1，a2+a﹣2025＝0， ∴a2+2a+b＝a2+a+（a+b）＝2025+（﹣1）＝2024． 故答案为：2024． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值等知识点，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于，两根之积等于是解题的关键． 19．（2025春•青神县期中）α，β是关于x的方程x2﹣2x+m＝0的两实数根，且，则m的值为 　﹣3　 ． 【分析】根据根与系数的关系得出α+β＝2，α•β＝m，通分后代入，即可求出答案． 【解析】解：∵a，β是关于x的方程x2﹣2x+m＝0的两实数根， ∴α+β＝2，α•β＝m， ∵， ∴， ∴， 解得：m＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键，如果α、β是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，那么α+β，α•β． 20．（2021秋•冷水滩区校级月考）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论： ①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根； ②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根； ③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1； ④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3． 以上4个结论中，正确的有：　①③④　 ． 【分析】根据一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质对每个选项进行一一判断即可． 【解析】解：∵x2﹣2x﹣a＝0， ∴Δ＝4+4a，x1+x2＝2，x1x2＝﹣a， ∵当a＞﹣1时，a+1＞0， ∴4a+4＞0，即Δ＞0， ∴方程有两个不相等的实根， 故①正确； 当a＞0时，﹣a＜0， ∴两根之积小于0， ∴方程的两根异号， 故②错误； 方程的根为：， ∵a＞﹣1， ∴a+1＞0， ∴0， ∴方程的两个实根一个大于1，一个小于1，不可能都小于1， 故③正确； ④若方程的两个实根一个大于3，另一个小于3． 则当x＝3时，x2﹣2x﹣a＜0， 故有32﹣6﹣a＜0， ∴a＞3， 故④正确． 综上，结论正确的有：①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程的相关性质是解题的关键． 21．已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，则的值是（ㅤㅤ） A．7 B．﹣7 C．11 D．﹣11 【分析】1由实数a，b分别满足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，得到a与b为方程x2﹣6x+4＝0的两根，根据根与系数的关系得到a+b＝6，ab＝4；把化成，然后代入计算得到答案． 【解析】解：由题意可知：a+b＝6，ab＝4， 原式 故选：A． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键． 22．（2020秋•蕲春县期中）已知实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，则3β的值为　10　 ． 【分析】原方程变为（）﹣3（）﹣1＝0，得到、β是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，根据根与系数的关系得到关系式，代入求出即可． 【解析】解：∵实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1， ∴、β是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根， ∴β＝3，1，1， ∴原式＝13β＝1+3（β）＝1+3×3＝10， 故答案为10． 【点睛】本题主要考查对根与系数的关系的理解和掌握，能熟练地根据根与系数的关系进行计算是解此题的关键． 23．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，不解方程，求下列各式的值： （1）； （2）（x1﹣2）（x2﹣2）． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得出x1+x2和x1x2，据此可解决问题． 【解析】解：因为x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根， 所以，； （1）； （2）（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1x2﹣2（x1+x2）+4＝﹣2﹣2×3+4＝﹣4． 【点睛】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 知识点5 判别式及根与系数关系的综合运用 24．（2023秋•乾安县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程两个根的绝对值相等，求此时m的值． 【分析】（1）先根据题意求出Δ的值，再根据一元二次方程根的情况与根的判别式Δ的关系即可得出结论； （2）利用因式分解法求得方程的解，然后根据题意列出关于m的方程，解方程即可得到结论． 【解析】（1）证明：∵Δ＝（m+3）﹣4（m+2）＝（m+1）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵x2﹣（m+3）x+m+2＝0， ∴（x﹣m﹣2）（x﹣1）＝0， ∴x1＝m+2，x2＝1． ∵方程两个根的绝对值相等， ∴m+2＝±1． ∴m＝﹣3或﹣1． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解法，掌握判别式Δ与0的关系判定方程根的情况是解决本题的关键． 25．（2024•津市市一模）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+2＝0． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）在等腰△ABC中，一腰长为3，其中两边长为方程的两个根，求m的值． 【分析】（1）由方程无实数根得Δ＝b2﹣4ac＜0，可得关于m的不等式，解之可得m的范围； （2）由Δ≥0，求出m的取值范围，分两种情况：①当3是腰时，3是方程的一个根，把x＝3代入方程可求得m；②两腰都是方程的根时，即方程有两个相等根，由Δ＝0可求出m，两种情况都根据三角形的三边关系检验． 【解析】解：（1）Δ＝b2﹣4ac＝4m2﹣4（m﹣1）（m+2）＝﹣4m+8， ∵方程有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac≥0且m﹣1≠0， ∴﹣4m+8≥0且m≠1， 解得m≤2且m≠1； （2）根据题意得Δ＝﹣4m+8≥0且m≠1， 解得m≤2且m≠1， 当△＞0时，方程的一根是3，把x＝3代入方程得9（m﹣1）﹣6m+m+2＝0， 解得m， 此时方程的另一根为， ∵33， ∴三角形存在； ∴m， 当Δ＝﹣4m+8＝0， ∴m＝2， ∴方程为x2﹣4x+4＝0． 解得x＝2， ∵一腰长为3， ∴m＝2不合题意， ∴m， 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac．掌握当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根是解决问题的关键． 26．（2024秋•永春县校级月考）已知方程：x2﹣4x+a＝0的一个根大于3，另一个根小于3，则a的取值范围 　a＜3　 ． 【分析】令方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝4，x1•x2＝a，根据题意，知（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，于是a﹣3×4+9＜0，解得a＜3． 【解析】解：令方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝4，x1•x2＝a， 根据题意，若x1＜3，x2＞3，则x1﹣3＜0，x2﹣3＞0， ∴（x1﹣3）（x2﹣3）＜0． ∴x1•x2﹣3（x1+x2）+9＜0， a﹣3×4+9＜0， 解得a＜3， 故答案为：a＜3． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系，不等式的求解；根据题意构建不等式是解题的关键． 知识点7 一元二次方程的实际应用 27．（2019•环江县一模）某班一物理科代表在老师的培训后学会了某个物理实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个实验；若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为（　　） A．x+（x+1）x＝36 B．1+x+（1+x）x＝36 C．1+x+x2＝36 D．x+（x+1）2＝36 【分析】设1人每次都能教会x名同学，根据两节课后全班共有36人会做这个实验，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解析】解：设1人每次都能教会x名同学， 根据题意得：1+x+（x+1）x＝36． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 28．（2018秋•惠城区期末）如图，幼儿园计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为100m2的矩形小花园（墙长为15m），则与墙垂直的边x为（　　） A．10m或5m B．5m或8m C．10m D．5m 【分析】设与墙垂直的边长x米，则与墙平行的边长为（30﹣2x）米，根据矩形的面积公式结合矩形小花园的面积为100m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【解析】解：设与墙垂直的边长x米，则与墙平行的边长为（30﹣2x）米， 根据题意得：（30﹣2x）x＝100， 整理得：x2﹣15x+50＝0， 解得：x1＝5，x2＝10． 当x＝5时，30﹣2x＝20＞15， ∴x＝5舍去． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 29．（2025•牡丹区开学）菏泽市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？设应邀请x支球队参赛可列出方程 　x（x﹣1）＝21　 ． 【分析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解析】解：根据题意得：x（x﹣1）＝21． 故答案为：x（x﹣1）＝21． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 30．（2020•湘西州）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然暴发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个． （1）求口罩日产量的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？ 【分析】（1）根据题意设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意列出方程即可求解； （2）结合（1）按照这个增长率，根据3月份平均日产量为24200个，即可预计4月份平均日产量． 【解析】解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得 20000（1+x）2＝24200 解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%， 答：口罩日产量的月平均增长率为10%． （2）24200（1+0.1）＝26620（个）． 答：预计4月份平均日产量为26620个． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题应用题的等量关系． 31．（2024秋•黑山县期中）“阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，重庆市某葡萄种植基地2017年种植“阳光玫瑰”100亩，到2019年“阳光玫瑰”的种植面积达到196亩． （1）求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率； （2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为12元/千克，若使销售“阳光玫瑰”每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 【分析】（1）设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为x，根据该基地2017年及2019年“阳光玫瑰”的种植面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设售价应降低y元，则每天可售出（200+50y）千克，根据总利润＝每千克的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【解析】解：（1）设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为x， 依题意，得：100（1+x）2＝196， 解得：x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4（不合题意，舍去）． 答：该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为40%． （2）设售价应降低y元，则每天可售出（200+50y）千克， 依题意，得：（20﹣12﹣y）（200+50y）＝1750， 整理，得：y2﹣4y+3＝0， 解得：y1＝1，y2＝3． ∵要尽量减少库存， ∴y＝3． 答：售价应降低3元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$