第02讲 一定是直角三角形吗（1大知识点+6大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025年暑假七升八数学衔接讲义（北师大版）

第02讲 一定是直角三角形吗（1大知识点+6大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 勾股定理的证明方法 典型例题二 以弦图为背景的计算题 典型例题三 用勾股定理构造图形解决问题 典型例题四 利用勾股定理的逆定理求解 典型例题五 判断三边能否构成直角三角形 典型例题六 在网格中判断直角三角形 知识点01 勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【典型例题一 勾股定理的证明方法】 【例1】（2025·山西太原·模拟预测）“赵爽弦图”是第24届国际数学家大会的会徽图案，源于赵爽所著的《勾股圆方图注》．赵爽运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理，他所用的方法是（   ） A．分析法 B．相似法 C．反证法 D．等面积法 【例2】（2025·广东深圳·模拟预测）如题图，是的直径，C，D是上的两点、若，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．不能确定 【例3】（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，则4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， 即 + = ，化简得： ． 【例4】（24-25八年级上·河南开封·期中）如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和小正方形拼的大正方形．如果直角三角形中较短的直角边长为，较长的直角边长为，大正方形的边长是，那么 ．    【例5】（24-25八年级上·山东济南·期末）本学期，我们学习了勾股定理，勾股定理的提出可以追溯到三千多年前的周朝，当时商高提出了“勾三股四弦五”的特例．中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明．目前已知的勾股定理的证明方法约有500多种． (1)请写出勾股定理的内容_____． (2)请写出一种勾股定理的证明方法． 1．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④．其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图所示，意大利著名画家达▪芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，证明了勾股定理．若设图1中空白部分（两个正方形和两个直角三角形组成）的面积为，经过以下裁剪，翻转，拼出图2，其中空白部分的面积为，嘉琪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）勾股定理的证明方法多样，如图是“水车翼轮法”证明勾股定理：将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形．若，则的长为 ． 4．（24-25八年级上·河南开封·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理， (1)请将证明过程补充完整：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；根据面积相等，直接得等式__________，化简最后结果是__________． (2)当时，求空白部分的面积． 5．（24-25八年级上·山西运城·阶段练习）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．勾股定理是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因验证方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷． 【验证方法】如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理． 思路：大正方形的面积有两种求法，一种是等于．另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式．化简便得结论． 这种用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)【方法应用】千百年来，人们对勾股定理的验证趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．美国第20任总统詹姆斯·伽菲尔德利用图②验证了勾股定理：把两个全等的直角三角形如图②所示放置，请根据图形面积之间的关系，验证勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，在中，是边上的高，，设，求的值． (3)【数学思想】在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有___________．（填序号） ①方程思想②数形结合思想③分类讨论思想 【典型例题二 以弦图为背景的计算题】 【例1】（24-25八年级上·湖北恩施·期中）“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形的较长的直角边为，较短的直角边为，若图中大正方形的面积为，线段的长为，则图1中的直角三角形面积为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【例2】（24-25八年级上·四川达州·期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若两直角边，，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·安徽宿州·期中）三国时期数学家赵爽为《周髀算经》作注解写《勾股圆方图注》时给出了“赵爽弦图”，如图1，连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的较长直角边为4，斜边为，那么图2中阴影部分的面积为 ． 【例4】（24-25八年级上·陕西汉中·期末）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．已知大正方形的面积是，小正方形的面积是，求的值． 【例5】（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）勾股定理是一个基本的几何定理，又称为勾股弦定理、勾股定律等，由中国人商高在周朝时期最早提出，我国东汉数学家赵爽通过四个全等直角三角形构造图形，证明出勾股定理，称为赵爽弦图，其中． (1)请同学们根据赵爽弦图证明； (2)若正方形的面积为100，正方形的面积为36，求的值； 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由“弦图”变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形、正方形、正方形的面积分别记为，，，若，则正方形的面积为（   ） A．4.5 B．6 C．8 D．9 3．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该图形是由四个全等的直角三角形（阴影部分）与中间的空白部分组成．若正方形的边长为5，五边形的面积是36，则图中空白部分的面积是 ． 4．（24-25八年级上·河北张家口·阶段练习）（1）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形，弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边为c，结合图①，验证勾股定理； （2）如图②，将四个全等的直角三角形紧密地拼接在一起，形成飞镖状，已知外围轮廓的周长为24，，求该飞镖状图案的面积． 5．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）【感知】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图①所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为b，较短直角边长为a，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为______． 【探究】同学们在探索过程中发现，当把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图②的图形，设直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，利用这个图形也可以验证勾股定理． 【拓展】图①“赵爽弦图”中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，直接写出这个风车的外围（实线）周长． 【典型例题三 用勾股定理构造图形解决问题】 【例1】（24-25八年级上·陕西宝鸡·期中）把5米长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙3米，则梯子顶端到离地面（   ） A．2米 B．3米 C．4米 D．4.5米 【例2】（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高的学生刚走到离门间距的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（   ）    A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，是长为，宽为，高为的长方体纸箱，这个纸箱能容纳的木棒最长为 ． 【例4】（2025年浙江省浙派联盟中考模拟模拟预测数学试题（6月））一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为 ． 【例5】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）某工厂的大门如图所示，其中下方是高为2.3米、宽为2米的矩形，上方是半径为1米的半圆形．货车司机小王开着一辆高为3.0米，宽为1.6米的装满货物的卡车，能否进入如图所示的工厂大门？请说明你的理由． 1．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图，有一盏由传感器A控制的灯，装在门上方离地面的墙上，任何东西只要移至该传感器周围及以内，灯就会自动发光，一位身高的学生要使灯刚好发光，则他与门的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（2025八年级上·辽宁·专题练习）如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为 ． 4．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为，求钟摆的长度． 5．（24-25八年级上·河南开封·期末）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为，，斜边长为． (1)请利用图①证明：； (2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形，若该图形的周长为80，，求该图形的面积． 【典型例题四 利用勾股定理的逆定理求解】 【例1】（2025·河北邯郸·模拟预测）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】 （24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，D为的边上一点，已知，，，，则的长为（    ）    A．18 B．21 C．20 D．23 【例3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，，，则的面积为 ． 【例4】（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）如图，，，，，，则这个图形的面积为 ． 【例5】（24-25八年级上·河南漯河·期中）如图，在中，，，点D为内一点，且，，，求图中阴影部分的面积． 1．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期末）五根小木棒的长度分别为，，，，，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，将绕点A顺时针旋转得到，并使C点的对应点D点落在直线上，连接．若，，，则的长为 ． 4．（24-25八年级上·吉林松原·期中）在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图①，小明据此画出该岛的一个数学模型（如图②的四边形），是四边形岛屿上的一条小溪流，其中，千米，千米，千米． (1)小溪流的长为________千米． (2)求四边形的面积． 5．（24-25八年级上·福建厦门·期中）将一些“勾股数”整理并填入下表，观察表格并回答问题： 3 8 15 24 35 48 … 4 6 8 10 12 14 … 5 10 17 26 37 50 … (1)当时，直接写出的值； (2)是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由； (3)以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例． 【典型例题五 判断三边能否构成直角三角形】 【例1】（辽宁省大连市名校联盟2024-2025学年八年级上学期期中数学试题　）下列各组线段中，能构成直角三角形的一组是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知中，、、分别是、、的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（2025·江苏常州·模拟预测）如图，在正方形网格中，线段、的端点都在边长为1的小正方形的顶点上，则 ． 【例4】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【例5】 （24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在四边形中，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求四边形的面积． 1．（2025·四川南充·模拟预测）在网格中，三角形的顶点在格点上，求的值（      ） A． B． C． D．不确定 2．（2025·重庆·模拟预测）如图，在中，，，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，的对应边交于点则Δ的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，点为边上一点，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分（阴影部分）的面积是 ． 4．（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，已知在中，于点D，，，． (1)求和的长； (2)求证：． 5．（2025·四川南充·模拟预测）在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点、的对应点分别为点、，连接． (1)如图1，当点落在的延长线上时，求的长． (2)如图2，连接交于点，求证：点是的中点． (3)在旋转过程中，图2中的四边形能否形成平行四边形？若能，请求出长；若不能，请说明理由． 【典型例题六 在网格中判断直角三角形】 【例1】（24-25八年级上·陕西安康·期中）如图，小正方形的边长均为，、、在小正方形的格点上，连接，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【例2】 （24-25八年级上·四川眉山·期末）在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得是直角三角形，则这样的格点C的个数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【例3】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，在的正方形网格中， ． 【例4】（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，每个小正方形的边长都是1，解答下列问题： (1)线段的长为_____，的长为______； (2)请连接，判断的形状，并说明理由． 【例5】（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出___________，___________，___________； (2)判断的形状，并说明理由． 1．（24-25八年级上·广东惠州·期中）点A，B，C，D，E是如图所示的正方形网格中网格线的交点，则（    ）    A． B． C． D． 2．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，在的网格图中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D是四个格点，经过A，B，C三点的圆弧与交于点E． 结论I：点E是线段的中点，同时也是的中点； 结论Ⅱ：阴影部分的面积为． 对于结论I和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） A．I和Ⅱ都对 B．I和Ⅱ都不对 C．I不对Ⅱ对 D．I对Ⅱ不对 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为 ． 4．（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，正方形网格中有，点、、都在格点上，每个小方格的边长为． (1)求出、、的长； (2)求证：． 5．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，两个相同的6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（画出符合条件的一种情况即可） (1)在图1中，画一个，点在格点上，使它的斜边长是； (2)在图2中，画一个，点在格点上，，使它的面积是． 1．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（   ） A．三角形内角和定理 B．勾股定理 C．三角形全等判定 D．等腰三角形判定 2．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在四边形中，，，，且，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东韶关·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若大正方形面积是9，小正方形面积是1，则的值是（　　）　    A．4 B．6 C．8 D．10 4．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图1，在中，动点P从点B出发，沿折线运动，设点P经过的路程为x，的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则图2中的a等于（   ） A．18 B．24 C．30 D．36 5．（24-25八年级上·福建福州·期末）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在中，，，，D为延长线上一点，．若，则的长为 ． 7．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积是 ． 8．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知正方形的面积为25，正方形的面积为1，若用、分别表示直角三角形的两直角边，下列三个结论：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）． 9．（2025·北京·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则 （填“＞”“＝”或“＜”）． 10．（24-25八年级上·浙江金华·期中）我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”．由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的的面积分别为．若，则的值为 ． 11．（24-25八年级上·山西大同·期中）如图，在的网格中，每个小正方形边长都为1，的顶点均在格点（网格线的交点）上．求证：． 12．（24-25八年级上·安徽池州·期中）已知，，． (1)当时，若a，b，c为三角形的三边长，求这个三角形的面积． (2)小敏发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小敏的发现正确吗？请判断并说明理由． 13．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，求长方形的面积． 14．（24-25八年级上·山西临汾·期末）（1）如图1，，，，，，求图中阴影部分的面积． （2）如图2，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为10米，此人以0.5米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 15．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为，，斜边长为，将它们拼成如图的形状．根据该图，可以用两种不同的方法计算整个图形的面积，通过面积相等来证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整． 证明：添加辅助线，如图， 整个图形的面积有两种表示方法： 方法一：以为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，列式后化简，得________； 方法二：以和为边的两个小正方形的面积＋两个直角三角形的面积，列式后化简，得________； 根据面积相等，得到等式________， 化简这个等式，得________， 从而证明了勾股定理． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 一定是直角三角形吗（1大知识点+6大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 勾股定理的证明方法 典型例题二 以弦图为背景的计算题 典型例题三 用勾股定理构造图形解决问题 典型例题四 利用勾股定理的逆定理求解 典型例题五 判断三边能否构成直角三角形 典型例题六 在网格中判断直角三角形 知识点01 勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【典型例题一 勾股定理的证明方法】 【例1】（2025·山西太原·模拟预测）“赵爽弦图”是第24届国际数学家大会的会徽图案，源于赵爽所著的《勾股圆方图注》．赵爽运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理，他所用的方法是（   ） A．分析法 B．相似法 C．反证法 D．等面积法 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的证明．根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个直角三角形的面积，即可证明勾股定理． 【详解】解：如图， 由题意得，， 整理得， ∴赵爽运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理，他所用的方法是等面积法， 故选：D． 【例2】（2025·广东深圳·模拟预测）如题图，是的直径，C，D是上的两点、若，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查圆周角定理，勾股定理；连接，由圆周角定理得到，由勾股定理求出，得到，因此，即可推出． 【详解】解：连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【例3】（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，则4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， 即 + = ，化简得： ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，先求出小正方形的边长，再根据4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积解答即可． 【详解】解：由图可知，小正方形的边长为， ∵4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， ∴， ∴． 故答案为：，，． 【例4】（24-25八年级上·河南开封·期中）如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和小正方形拼的大正方形．如果直角三角形中较短的直角边长为，较长的直角边长为，大正方形的边长是，那么 ．    【答案】20 【分析】由题意可知:大正方形的边长为，，根据勾股定理和正方形的面积以及题目给出的已知数据即可求的长度． 【详解】解：由题意可知：大正方形的边长为：， 直角三角形边长分别为， 根据勾股定理可得：， 又， 可得：，， ． 故答案为：20 【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用几何直观和图形面积，本题属于基础题形． 【例5】（24-25八年级上·山东济南·期末）本学期，我们学习了勾股定理，勾股定理的提出可以追溯到三千多年前的周朝，当时商高提出了“勾三股四弦五”的特例．中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明．目前已知的勾股定理的证明方法约有500多种． (1)请写出勾股定理的内容_____． (2)请写出一种勾股定理的证明方法． 【答案】(1)一个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方． (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理及其证明： （1）直接写出勾股定理即可； （2）利用赵爽弦图进行证明即可． 【详解】（1）解：勾股定理内容为：一个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方； （2）如图，大正方形由4个全等的直角三角形（直角边为，斜边为）和一个小正方形组成，则：大正方形的面积的等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积， ∴， ∴． 1．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④．其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质的应用、勾股定理的证明、平行线的性质、完全平方公式、梯形和三角形的面积等知识，证明三角形全等以及发现图形中的边角关系是解答的关键．根据全等三角形的判定可判断①正确；再根据全等三角形的性质和平角定义可判断②正确；根据梯形的面积公式可判断③正确；根据可判断④正确，综合即可作出选择． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，，，， ∴四边形的面积是，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，故④正确， 综上，正确的结论有4个， 故选：C． 2．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图所示，意大利著名画家达▪芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，证明了勾股定理．若设图1中空白部分（两个正方形和两个直角三角形组成）的面积为，经过以下裁剪，翻转，拼出图2，其中空白部分的面积为，嘉琪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的证明，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读㯵图象信息．根据勾股定理，直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题． 【详解】解：由勾股定理得：， 由题意得：， 故①，②，③，④正确， 故选：D． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）勾股定理的证明方法多样，如图是“水车翼轮法”证明勾股定理：将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正确得出是解题的关键． 【详解】解：如图， 在直角中，由勾股定理得， ， ， 将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形， ， ， ， ． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·河南开封·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理， (1)请将证明过程补充完整：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；根据面积相等，直接得等式__________，化简最后结果是__________． (2)当时，求空白部分的面积． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，代数式求值，正确识图是解题的关键． （1）根据题意和图形即可求解； （2）根据空白部分的面积等于以c为边的正方形的面积减去2个直角三角形的面积可得空白部分的面积为，再把代入计算即可求解． 【详解】（1）解：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积为：， 即最后化简为； 方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为； 根据面积相等，得：， 化简最后结果是， 故答案为：； （2）解：根据题意得：空白部分的面积为：， 当时，原式． 5．（24-25八年级上·山西运城·阶段练习）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．勾股定理是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因验证方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷． 【验证方法】如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理． 思路：大正方形的面积有两种求法，一种是等于．另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式．化简便得结论． 这种用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)【方法应用】千百年来，人们对勾股定理的验证趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．美国第20任总统詹姆斯·伽菲尔德利用图②验证了勾股定理：把两个全等的直角三角形如图②所示放置，请根据图形面积之间的关系，验证勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，在中，是边上的高，，设，求的值． (3)【数学思想】在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有___________．（填序号） ①方程思想②数形结合思想③分类讨论思想 【答案】(1)见解析； (2)； (3)①②． 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是： （1）根据梯形面积公式求得，根据割补法求出，联立等式并化简即可； （2）根据勾股定理可得，，据此即可求得答案． （3）结合解题过程即可求得答案． 【详解】（1）证明：观察图形可知或． 所以． 整理，得，即； （2）解：因为，所以． 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 所以， 解得； （3）解：在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有①方程思想，②数形结合思想， 故答案为：①②. 【典型例题二 以弦图为背景的计算题】 【例1】（24-25八年级上·湖北恩施·期中）“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形的较长的直角边为，较短的直角边为，若图中大正方形的面积为，线段的长为，则图1中的直角三角形面积为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，正确得出大正方形的面积是解题的关键．由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形，由大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积得出，再结合即可得出，进而求得，即可求解． 【详解】解：由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形， ∵大正方形的面积为， ∴， ∵， ∴图2中小正方形的边长为3， ∴ 又∵大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积， ∴， ∴， ∴ ∴图1中的直角三角形面积为 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·四川达州·期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若两直角边，，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．这个风车的外围周长即四个，分别求出和即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴在中，， ∴这个风车的外围周长是， 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·安徽宿州·期中）三国时期数学家赵爽为《周髀算经》作注解写《勾股圆方图注》时给出了“赵爽弦图”，如图1，连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的较长直角边为4，斜边为，那么图2中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，先利用勾股定理求出直角三角形较短的直角边的长，再根据阴影部分面积等于四个直角三角形面积加上中间一个正方形面积求解即可． 【详解】解；由题意得，直角三角形较短的直角边的长度为， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·陕西汉中·期末）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．已知大正方形的面积是，小正方形的面积是，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，正切值的计算，理解赵爽弦图线段之间的关系，掌握勾股定理定理，正切值的计算方法是解题的关键． 根据正方形的面积得到，，根据赵爽弦图之间线段的关系得到设，则，由勾股定理得到，，结合正切值的计算方法即可求解． 【详解】解：用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形， ∴， ∴， ∴， ∵大正方形的面积是， ∴， ∵小正方形的面积是， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， 解得  （负值舍去）， ∴，， ∴． 【例5】（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）勾股定理是一个基本的几何定理，又称为勾股弦定理、勾股定律等，由中国人商高在周朝时期最早提出，我国东汉数学家赵爽通过四个全等直角三角形构造图形，证明出勾股定理，称为赵爽弦图，其中． (1)请同学们根据赵爽弦图证明； (2)若正方形的面积为100，正方形的面积为36，求的值； 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】此题考查勾股定理的证明，解题的关键是面积公式的计算． （1）根据面积公式证明勾股定理即可； （2）根据面积公式和勾股定理解得即可． 【详解】（1）证明：∵大正方形的面积是，直角三角形的面积是， 小正方形的面积为， ∴ 即； （2）解：由正方形的面积是100，得， 解得：， 由正方形的面积为36，得， 一个直角三角形面积为： 解得：， ∴， 则， 故． 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性质，正方形面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，，推出，设，则，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，，， ， ， ， 设，则 ， ， 故选：D． 2．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由“弦图”变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形、正方形、正方形的面积分别记为，，，若，则正方形的面积为（   ） A．4.5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 据图形的特征得出四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为，从而用，表示出，，，得出答案即可． 【详解】解：将四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为， ∵正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，， ∴得出，，， ，故， ， 所以，即正方形的面积为． 故选：B 3．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该图形是由四个全等的直角三角形（阴影部分）与中间的空白部分组成．若正方形的边长为5，五边形的面积是36，则图中空白部分的面积是 ． 【答案】14 【分析】本题考查了全等三角形的性质，正确表示出直角三角形的面积.根据题意列式计算即可得到结论． 【详解】解：∵正方形的边长为5， ∴正方形的面积， ∴两个全等的直角三角形的面积=五边形的面积-正方形的面积， ∴图中空白部分的面积=正方形的面积-两个全等的直角三角形的面积， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·河北张家口·阶段练习）（1）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形，弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边为c，结合图①，验证勾股定理； （2）如图②，将四个全等的直角三角形紧密地拼接在一起，形成飞镖状，已知外围轮廓的周长为24，，求该飞镖状图案的面积． 【答案】（1）见解析；（2）该飞镖状图案的面积是24 【分析】此题考查了勾股定理与弦图，完全平方公式， （1）根据，，进行推理验证即可； （2）求出直角三角形的边长，设，依题意有，求出x，再根据直角三角形的面积去求． 【详解】解：（1）， 即 则； （2） 设 依题意有 解得 ． 故该飞镖状图案的面积是24． 5．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）【感知】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图①所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为b，较短直角边长为a，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为______． 【探究】同学们在探索过程中发现，当把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图②的图形，设直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，利用这个图形也可以验证勾股定理． 【拓展】图①“赵爽弦图”中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，直接写出这个风车的外围（实线）周长． 【答案】【感知】5；【探究】见解析；【拓展】76 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明、完全平方公式与几何图形的面积等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 感知：观察图形可知，小正方形的面积大正方形的面积4个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出小正方形的面积； 探究：根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证； 拓展：根据外延的4部分全等，且，由勾股定理求得，再根据风车的外围周长，据此计算即可． 【详解】解：感知：∵， ∴， ∵大正方形的面积为13， ∴， ∴小正方形的面积为． 故答案为：5． 探究：图形的总面积可以表示为，， ∴，即． 拓展：如图2，由题意知，外延的4部分全等，且， ∴， ∴， ∴这个风车的外围周长是． 【典型例题三 用勾股定理构造图形解决问题】 【例1】（24-25八年级上·陕西宝鸡·期中）把5米长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙3米，则梯子顶端到离地面（   ） A．2米 B．3米 C．4米 D．4.5米 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理解决实际问题，由题意，作出图形，如图所示，在中，由勾股定理代值求解即可得到答案，熟记勾股定理，根据题意构造直角三角形求解是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，作出图形，如图所示： 在中，，，则由勾股定理可得米， 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高的学生刚走到离门间距的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，过点D作于点H，分别根据题意求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】如图，过点D作于点H， 依题意得，，， ∴， ∴． 故选C．    【例3】（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，是长为，宽为，高为的长方体纸箱，这个纸箱能容纳的木棒最长为 ． 【答案】130 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出的长，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图， ， 在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， 即这个纸箱能容纳的木棒最长为， 故答案为：． 【例4】（2025年浙江省浙派联盟中考模拟模拟预测数学试题（6月））一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用,理解题意，正确应用勾股定理是解题的关键．过作于点，根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点 ∴ ∴ 由勾股定理可得： 即离门铃米远的地方，门铃恰好自动响起 故答案为：． 【例5】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）某工厂的大门如图所示，其中下方是高为2.3米、宽为2米的矩形，上方是半径为1米的半圆形．货车司机小王开着一辆高为3.0米，宽为1.6米的装满货物的卡车，能否进入如图所示的工厂大门？请说明你的理由． 【答案】这辆货车不能通过这个大门，理由见解析 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据题意求出的长，进而求出的长，即可得出答案，根据题意求出的长是解题关键． 【详解】解：这辆货车不能通过这个大门，理由如下： 如图，设与矩形的宽的交点为E，   ， ， ∴， ∴这辆货车不能通过这个大门． 1．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图，有一盏由传感器A控制的灯，装在门上方离地面的墙上，任何东西只要移至该传感器周围及以内，灯就会自动发光，一位身高的学生要使灯刚好发光，则他与门的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用．将实际问题构造出直角三角形解决问题成为解题的关键． 如图：过点C作交于点E，构造出直角三角形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：过点C作交于点E，则， 由题意可知：， 所以． 在中，， 由勾股定理得：， ∴学生走到灯刚好发光的地方时，他离墙的距离为． 故选B． 2．（2025八年级上·辽宁·专题练习）如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． 设的长为x m，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可知，， ∴． 设的长为， 则， ∴． 在中，由勾股定理， 得， 即， 解得：． 故选：B． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，利用勾股定理列出方程是解题的关键． 设的长为x，在直角三角形中，利用勾股定理可建立关于x的方程，进而可求出该矩形的面积． 【详解】解：由已知可得，，， ∴， 设的长为x， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 即， 整理得，， ∴ ∴ 而矩形面积为：， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为，求钟摆的长度． 【答案】钟摆的长度 【分析】本题主要考查了利勾股定理的应用，正确构造直角三角形利用勾股定理列方程是解题的关键． 先说明，设，则，再根据勾股定理可知列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知：，， ∴， 设，则， ∵， ∴，即，解得：． 答：钟摆的长度． 5．（24-25八年级上·河南开封·期末）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为，，斜边长为． (1)请利用图①证明：； (2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形，若该图形的周长为80，，求该图形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)120 【分析】本题考查了几何法证明勾股定理及不规则图形面积求解，利用数形结合的思想，准确找出图中各个线段长度及面积关系是解题关键． （1）由图形可知，中间小正方形面积大正方形面积等于四个完全相同的直角三角形的面积，列出等式化简即可得到结论； （2）根据周长得到，设，则，结合勾股定理求出，利用三角形面积公式，进而求出该图形的面积． 【详解】（1）证明：由图可知， ， ． ； （2）解：由题意得，， 设，则，， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以，该图形的面积是． 【典型例题四 利用勾股定理的逆定理求解】 【例1】（2025·河北邯郸·模拟预测）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，，故A不正确； B、，，故B正确； C、，，故C不正确； D、，，故D不正确． 故选：B． 【例2】 （24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，D为的边上一点，已知，，，，则的长为（    ）    A．18 B．21 C．20 D．23 【答案】B 【分析】根据得到，根据勾股定理得到，结合，解答即可． 本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，，，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用．先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形，且， ∴的面积为， 故答案为：6． 【例4】（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）如图，，，，，，则这个图形的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的运用，三角形面积的求法．关键是掌握勾股定理与逆定理．连接，在中，，，可求；在中，由勾股定理的逆定理可证为直角三角形，利用两个直角三角形的面积差求图形的面积． 【详解】解：连接，在中，， ， 在中， ， 为直角三角形； 图形面积为： 故答案为：． 【例5】（24-25八年级上·河南漯河·期中）如图，在中，，，点D为内一点，且，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握两个定理，是解题的关键．勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：∵，，， ∴； ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴阴影部分的面积． 1．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了格点与勾股定理，锐角三角函数的计算，根据题意，取格点，连接，运用勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据锐角三角函数的计算即可求解，掌握格点与勾股定理，正切函数的计算方法是解题的关键． 【详解】解：如图所示，取格点，连接， ∴根据格点可得， ， ∴，即是直角三角形，， ∴在中，，， ， 故选：A． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期末）五根小木棒的长度分别为，，，，，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行计算，即可解答． 【详解】解：，，，，， ，， 以，，三根木棒能摆成直角三角形，以，，三根木棒能摆成直角三角形， 故选：C 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，将绕点A顺时针旋转得到，并使C点的对应点D点落在直线上，连接．若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查几何变换的综合应用，涉及等腰三角形的性质与判定，勾股定理及逆定理的应用等知识，过A作于H，由绕点A顺时针旋转得到，可知，，，求出，即可得，故，而，，有，，从而，即得是等腰直角三角形，得． 【详解】解：过A作于H，如图： ∵绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·吉林松原·期中）在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图①，小明据此画出该岛的一个数学模型（如图②的四边形），是四边形岛屿上的一条小溪流，其中，千米，千米，千米． (1)小溪流的长为________千米． (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)16平方千米 【分析】本题考查的是勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，割补法求解图形面积，熟记勾股定理与勾股定理的逆定理是解本题的关键． （1）根据勾股定理勾股定理求解即可； （2）将四边形分成两个三角形，求证为直角，四边形面积为两个直角三角形面积之和即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，千米， ∴（千米）； （2）解：∵（千米），千米，千米． ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，则， ∴（平方千米）． 5．（24-25八年级上·福建厦门·期中）将一些“勾股数”整理并填入下表，观察表格并回答问题： 3 8 15 24 35 48 … 4 6 8 10 12 14 … 5 10 17 26 37 50 … (1)当时，直接写出的值； (2)是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由； (3)以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例． 【答案】(1) (2)不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71，理由见解析 (3)以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股数问题，勾股定理的逆定理，正确理解题意是解题的关键。 （1）观察表格可知，（，且为整数），据此根据b的值求出m的值，进而求出a的值即可； （2）分别令的值等于71，看m是否有大于等于2的正整数解即可； （3）根据可知若一个三角形三边长分别为，，（，且为整数），则该三角形为直角三角形，据此可得结论． 【详解】（1）解：观察表格可知，（，且为整数）， ∴当时，则， ∴， ∴； （2）解：不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71，理由如下： 当时，此时，不符合题意； 当时，此时，不符合题意； 当时，此时，不符合题意； 综上所述，不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71； （3）解：以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．理由如下： 对于一组数：，，（，且为整数）．       ∵ ∴若一个三角形三边长分别为，，（，且为整数），则该三角形为直角三角形． ∵当，且为整数时，表示任意一个大于2的偶数，，均为正整数， ∴以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数． 【典型例题五 判断三边能否构成直角三角形】 【例1】（辽宁省大连市名校联盟2024-2025学年八年级上学期期中数学试题　）下列各组线段中，能构成直角三角形的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形，据此判断即可求解，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能构成直角三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴不能构成直角三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴不能构成直角三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴能构成直角三角形，该选项符合题意； 故选：． 【例2】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知中，、、分别是、、的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理等知识点，能熟记勾股定理的逆定理的内容和三角形的内角和定理等于是解此题的关键． 根据勾股定理的逆定理判断A和B即可；根据三角形的内角和定理判断C和D即可． 【详解】解：A．， ∴， 是直角三角形，故本选项不符合题意； B．， ， 是直角三角形，故本选项不符合题意； C．，， 最大角， 不是直角三角形，故本选项符合题意； D．， ∴ ， 是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【例3】（2025·江苏常州·模拟预测）如图，在正方形网格中，线段、的端点都在边长为1的小正方形的顶点上，则 ． 【答案】/0.5 【分析】本题主要考查三角函数及勾股定理逆定理，熟练掌握三角函数及勾股定理逆定理是解题的关键；连接，根据网格可得，则有，然后根据正切的定义可进行求解． 【详解】解：连接， 由网格可知：，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【例4】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．先利用勾股定理在中求出，再结合，，判定是直角三角形，且，再利用即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 【例5】 （24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在四边形中，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）由勾股定理求出，再勾股定了逆定理可得，据此即可求得答案； （2）由，代入即可得出结论． 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得： 是直角三角形 （2）解：在中， 在中， ． 1．（2025·四川南充·模拟预测）在网格中，三角形的顶点在格点上，求的值（      ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】该题考查了勾股定理和勾股定理逆定理，三角形内角和定理，根据勾股定理和勾股定理逆定理得出，即可求解． 【详解】解：根据题意可得， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2025·重庆·模拟预测）如图，在中，，，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，的对应边交于点则Δ的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转和解三角形，过点F作，垂足为，先证明是直角三角形，可得，在利用和解三角形求出，进而求出三角形面积． 【详解】解：过点F作，垂足为， ∵在中，，，， ∴， ∴，， ∴， 由旋转可知：， ∴， ∵， ∴，解得， ∴的面积， 故选B． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，点为边上一点，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分（阴影部分）的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，勾股定理与折叠，先由，得出为直角三角形，且，设，由折叠的性质，可得，，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， 设，由折叠的性质，可得，， ∴， ∴， 解得， ∴重叠部分（阴影部分）的面积为， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，已知在中，于点D，，，． (1)求和的长； (2)求证：． 【答案】(1)， (2)详见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的知识，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）利用勾股定理即可求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴、是直角三角形， ∵，， ∴， 即的长为12； 在中，，， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形，且， 即的度数为． 5．（2025·四川南充·模拟预测）在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点、的对应点分别为点、，连接． (1)如图1，当点落在的延长线上时，求的长． (2)如图2，连接交于点，求证：点是的中点． (3)在旋转过程中，图2中的四边形能否形成平行四边形？若能，请求出长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)能形成平行四边形， 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理及逆定理，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质定理， （）由勾股定理的逆定理可得，再证明即可求解， （2）作，交的延长线于点F，利用旋转的性质得出相对应的边角关系，利用证明，即可求解； （3）先证明四边形为矩形，得出，过点作，由面积法求出，进而由勾股定理求出，由此可得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∵，即 ∴， 又由旋转可得，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：在的延长线取点F，使，如图所示： ， 由旋转性质可知：，，， ，，， ， 在和中， 点是的中点； （3）解：四边形能形成平行四边形，如图所示： 当将绕点顺时针旋转度数时，得到，此时四边形能形成平行四边形， 由旋转可知：，，， ∴， ， 由（2）可知：， ∴， 在和中， ， ∴， ， ∴ 又∵ ∴四边形，四边形是平行四边形， 又 四边形为矩形， ，， 过点作， ∵， ∴， ，即 ∴ 在中，由勾股定理得： 【典型例题六 在网格中判断直角三角形】 【例1】（24-25八年级上·陕西安康·期中）如图，小正方形的边长均为，、、在小正方形的格点上，连接，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，判断是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理．在格点三角形中，根据勾股定理即可得到，，的长度，继而可得出的度数． 【详解】解：根据勾股定理可得： ，， ，即， 是等腰直角三角形． ． 故选：A． 【例2】 （24-25八年级上·四川眉山·期末）在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得是直角三角形，则这样的格点C的个数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据△ABC是直角三角形得出多种情况解答． 以点为直角顶点时，根据勾股定理的逆定理得出符合条件的有2个点；以点为直角顶点时有3个点，以点为直角顶点时有3个点，共8个． 【详解】解：如图所示： 其中，，AB=2， ∵， ∴为直角三角形， 同理：为直角三角形， 网格中其他点C如图所示， 所以格点C的个数是8， 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，在的正方形网格中， ． 【答案】 【分析】本题考查了网格与勾股定理及其逆定理的运用，等腰三角形的性质，理解网格的特点，掌握勾股定理逆定理的运用是解题的关键．连接，运用勾股定理可得，由勾股定理逆定理得到是等腰直角三角形，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴，，，，， ∵，即，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 【例4】（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，每个小正方形的边长都是1，解答下列问题： (1)线段的长为_____，的长为______； (2)请连接，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)； (2)是直角三角形，理由见解析． 【分析】本题主要考查网格与勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理是关键． （1）根据网格与勾股定理计算即可； （2）运用勾股定理逆定理计算即可． 【详解】（1）解：，， ∴长为，的长为， 故答案为：， （2）解：是直角三角形， 理由如下：连接， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴为直角三角形． 【例5】（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出___________，___________，___________； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)的形状是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和勾股定理可以求得、和的值； （2）先判断，然后根据（1）中的结果和勾股定理的逆定理，即可说明理由； 【详解】（1）解：、，，， 故答案为：，，； （2）解：的形状是直角三角形； 理由如下： ∵ ，，；且 ∴的形状是直角三角形． 1．（24-25八年级上·广东惠州·期中）点A，B，C，D，E是如图所示的正方形网格中网格线的交点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理、勾股定理的逆定理、平行线的性质、等腰三角形的性质，连接，设小正方形的边长为x，根据勾股定理得，，，再根据勾股定理的逆定理，得，从而，由，得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设图中每个小正方形的边长为x， ，，， ，， ， ， 由题意得，， ， ， ， 故选：B． 2．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，在的网格图中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D是四个格点，经过A，B，C三点的圆弧与交于点E． 结论I：点E是线段的中点，同时也是的中点； 结论Ⅱ：阴影部分的面积为． 对于结论I和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） A．I和Ⅱ都对 B．I和Ⅱ都不对 C．I不对Ⅱ对 D．I对Ⅱ不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，弧与圆周角之间的关系，求不规则图形面积，等腰直角三角形的性质与判定等等，连接，先计算出的长度，再根据勾股定理的逆定理得到是等腰直角三角形，证明，即可判断结论I；再利用2倍的阴影部分面积等于半圆的面积减去△的面积即可判断结论Ⅱ． 【详解】解：连接， 由勾股定理得，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵点E为的中点， ∴ ∴， ∴，； ∴点E是线段的中点，同时也是的中点，故结论I正确； ∴弧与弦所围成的面积等于阴影部分的面积， ∴2倍的阴影部分面积等于半圆的面积减去的面积， ∴ ∴，故结论Ⅱ正确， 故选：A． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点，连接，，，则点是外接圆的圆心，先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后根据图中阴影部分的面积扇形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：如图：作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点，连接，，，则点是外接圆的圆心， 由题意得：， ， ， ， 是直角三角形， ， ， 图中阴影部分的面积扇形的面积的面积的面积 ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，正方形网格中有，点、、都在格点上，每个小方格的边长为． (1)求出、、的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据勾股定理解答即可； （2）根据勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】（1）解：，，； （2）解：由（1）知，，，， ，， ， ． 5．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，两个相同的6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（画出符合条件的一种情况即可） (1)在图1中，画一个，点在格点上，使它的斜边长是； (2)在图2中，画一个，点在格点上，，使它的面积是． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理和三角形的面积等知识，主要考查学生的计算能力和动手操作能力． （1）画出两直角边长分别为1和3，则根据勾股定理角边长为； （2）根据直角三角形的面积为5，两直角边长分别为，据此画出图形即可． 【详解】（1）∵， ∴两直角边长分别为3和1， 图形如图所示： （2）∵直角三角形的面积为5，，， ∴， ， ∴为直角三角形， ∴即为所求． 图形如图所示： 1．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（   ） A．三角形内角和定理 B．勾股定理 C．三角形全等判定 D．等腰三角形判定 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明．根据“弦图”说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理即可得出． 【详解】解：“弦图”说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理． 故选：B． 2．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在四边形中，，，，且，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，能求出是直角三角形是解此题的关键．根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出，根据三角形的面积公式分别求出和的面积，即可得出答案． 【详解】解：，，， ， ，， ， ， 四边形的面积 ． 故选：A． 3．（24-25八年级上·广东韶关·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若大正方形面积是9，小正方形面积是1，则的值是（　　）　    A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理并能准确对代数式进行变形、求值．根据勾股定理可得，利用整体代入的思想求出的值即可． 【详解】解：根据题意得：，且， ， ∴， ∴， 故选：A． 4．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图1，在中，动点P从点B出发，沿折线运动，设点P经过的路程为x，的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则图2中的a等于（   ） A．18 B．24 C．30 D．36 【答案】B 【分析】本题考查的是动点图象问题，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．由图2知，，，，可知，由图可知，当点在上时，，即可求解． 【详解】解：由图2知，，，， 则， ∴， 由图可知，当点在上时，， 故选：B． 5．（24-25八年级上·福建福州·期末）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了考查了勾股定理的应用；设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得 尺，利用勾股定理可得方程，即可求解． 【详解】解：设秋千的绳索长为尺，则尺 由题意可知：尺，尺，则尺，则尺， 在中，由勾股定理可得：， 则可列方程为：． 故选：D． 6．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在中，，，，D为延长线上一点，．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】利用勾股定理的逆定理判定是直角三角形；利用勾股定理求得，根据同一个三角形的面积相等，解答即可． 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积公式，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积是 ． 【答案】234 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题关键．连接，先利用勾股定理可得的值，再根据勾股定理的逆定理可得，然后根据四边形的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的面积等于 ； 故答案为：234． 8．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知正方形的面积为25，正方形的面积为1，若用、分别表示直角三角形的两直角边，下列三个结论：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】用含有的代数式分别表示小正方形及大正方形的边长，然后根据面积关系得出与的关系式，依次判断所给关系式即可． 【详解】解：由题意可得小正方形的边长＝1，大正方形的边长＝5， 斜边2＝大正方形的面积， 故①正确； ∵小正方形的边长为1， ， 故②正确； ∵小正方形的面积+四个直角三角形的面积等于大正方形的面积， ， ， 故③正确； ， 故④不正确． 综上可得①②③正确． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的变形应用等知识，根据所给图形，利用面积关系判断与的关系是解答本题的关键． 9．（2025·北京·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则 （填“＞”“＝”或“＜”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的网格问题、勾股定理逆定理等知识点，应用勾股定理逆定理得到是直角三角形成为解题的关键． 先应用勾股定理逆定理得到是直角三角形，然后分别求得、，最后比较即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·浙江金华·期中）我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”．由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的的面积分别为．若，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查勾股定理，解题的关键掌握勾股定理． 根据面积加减关系求解减即可得到答案； 【详解】解：设这八个全等的直角三角形的面积都是， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 11．（24-25八年级上·山西大同·期中）如图，在的网格中，每个小正方形边长都为1，的顶点均在格点（网格线的交点）上．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理与网格问题，根据勾股定理求得，进而根据勾股定理的逆定理，即可求解． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴是直角三角形， ∴． 12．（24-25八年级上·安徽池州·期中）已知，，． (1)当时，若a，b，c为三角形的三边长，求这个三角形的面积． (2)小敏发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小敏的发现正确吗？请判断并说明理由． 【答案】(1)24 (2)正确，见解析 【分析】本题考查的是勾股数，满足的三个正整数，称为勾股数． （1）根据勾股定理的逆定理得到以的值为三边长的三角形是直角三角形，根据三角形面积公式计算即可； （2）根据勾股数的概念判断即可． 【详解】（1）解：∵，，， 当时，，，． ∵，， ∴， ∴三角形是直角三角形，且a是斜边长， ∴． （2）小敏的发现是正确的． 理由：∵， ， ∴． ∵n为大于1的整数， ∴a，b，c为正整数，此时a，b，c为一组勾股数，即当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数． 13．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，求长方形的面积． 【答案】60 【分析】本题考查了勾股定理的运用，设阴影部分的直角三角形的未知边长为x，在直角三角形中，利用勾股定理可建立关于的方程，利用整体代入的思想解决问题，进而可求出该长方形的面积． 【详解】如图，设阴影部分的直角三角形的未知边长为x，则，，， 由勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴，， ∴长方形的面积， ∴长方形的面积为60． 14．（24-25八年级上·山西临汾·期末）（1）如图1，，，，，，求图中阴影部分的面积． （2）如图2，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为10米，此人以0.5米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 【答案】（1）24；（2）船向岸边移动了米 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据勾股定理和∠BCD=90°，，，可以先求出的长；再根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以求出阴影部分的面积． （2）在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴△ADB是直角三角形， ∴， ∴阴影部分的面积 （2）在中， ∵米，米 ∴米 ∵米 ∴米 米 ∴船向岸边移动了米 15．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为，，斜边长为，将它们拼成如图的形状．根据该图，可以用两种不同的方法计算整个图形的面积，通过面积相等来证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整． 证明：添加辅助线，如图， 整个图形的面积有两种表示方法： 方法一：以为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，列式后化简，得________； 方法二：以和为边的两个小正方形的面积＋两个直角三角形的面积，列式后化简，得________； 根据面积相等，得到等式________， 化简这个等式，得________， 从而证明了勾股定理． 【答案】，，， 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，正确理解题意是解题关键．利用两种方法表示出整个图形的面积，根据面积相等得到等式并化简，即可获得答案． 【详解】证明：添加辅助线，如图， 整个图形的面积有两种表示方法： 方法一：以为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，列式后化简，得； 方法二：以和为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，列式后化简，得； 根据面积相等，得到等式， 化简这个等式，得，从而证明了勾股定理． 故答案为：，，，． 学科网（北京）股份有限公司 $$