第02讲 有理数的加减运算（4大知识点+7大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025年暑假新七年级数学衔接讲义（北师大版2024）

第02讲 有理数的加减运算（4大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 有理数加法运算 典型例题二 有理数的减法运算 典型例题三 有理数加法运算律 典型例题四 有理数的加减混合运算 典型例题五 有理数加减中的简便运算 典型例题六 有理数加减法的综合应用 典型例题七 有理数加减混合运算的应用 知识点01 有理数的加法 1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。 2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则. 知识点02 运算律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 知识点03 有理数的减法 1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。 （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 知识点04 有理数的加减混合运算 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 【典型例题一 有理数加法运算】 【例1】（24-25七年级上·北京西城·阶段练习）实数在数轴上对应点的位置如图，若实数满足，则的值可以是（    ） A．1 B．0 C． D． 【例2】（2025年山东省青岛市西海岸新区自主招生数学试题）如图，一个正方体的六个面上标着连续的整数，若相对面上所标数字之和相等，则这个六个数之和是（   ） A． B． C． D．以上均可能 【例3】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知，则的值为 ． 【例4】（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，且，则 ． 【例5】（24-25七年级上·广东广州·期中）计算： ；    ； ； ；        ；      ； ； ； ； ． 1．（24-25七年级上·广东广州·期中）定义：表示不超过的最大整数．如：，．则下列结论：①；②；③；④；⑤若，则的值可以是．其中正确的结论有（   ）个 A． B． C． D． 2．（2025·河南·模拟预测）史料证明：我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家．古籍中记载了利用算筹实施“正负术”的方法，若图表示的是计算的过程，则图表示的过程是（   ）    A． B． C． D． 3．（2025·北京房山·模拟预测）某工厂需要生产三种产品A，B，C，每种产品的生产分为两个阶段：第一阶段是制作，第二阶段是包装，每种产品在每个阶段所需的时间（单位：小时）如表所示： A B C 制作 10 8 12 包装 6 10 8 若由一名工人单独完成三种产品的生产，那么总共需要 小时；若由两位工人合作完成这三种产品的生产，每个阶段由一个人单独完成，每种产品制作完才可以包装，那么完成这三种产品的生产最少需要 小时． 4．（24-25七年级上·河南南阳·期中）定义☆运算，观察下列运算： ，， ，， ，． (1)请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则： 两数进行☆运算时，同号______，异号______，并把绝对值________． 特别地：0和任何数进行运算，或任何数和0进行☆运算，________． (2)计算：． (3)试通过计算说明与相等吗？运算____结合律．（填“满足”，“不满足”） 5．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线，我们可以根据需要，“规定”原点的位置；也可以根据需要，“规定”单位长度的大小；还可以根据需要，“规定”正方向．在一条不完整的数轴上，从左到右有A，B，C，其中，，如图所示，设A，B，C所对应数的和是p． (1)若以点C为原点，则A、B对应的数分别为 ， ， ． (2)若原点为O，且，求p． (3)若以中点为原点，单位长度为建立数轴，则 ．（用含n的代数式表示） 【典型例题二 有理数的减法运算】 【例1】（24-25七年级上·湖北·阶段练习）在中，括号里应填的数是（   ） A． B．4 C． D．10 【例2】（2025·河北石家庄·模拟预测）将刻度尺与数轴如图所示放置，（数轴的单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的4和，那么刻度尺上的“”对应数轴上的数为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·江苏南通·期末）若四个有理数之和是10，其中三个数分别是4，，，则第四个数是 ． 【例3】（24-25七年级上·湖北宜昌·期末）小聪运用七年级上册的知识设计了一台数值转换机，只要依次输入两个整数a，b，则输出的结果为．比如小聪依次输入1，2，则输出的结果是，再次输入3，则输出的结果为，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差的运算，若依次输入，，，则最后输出的结果是 ． 【例4】（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）计算 (1) (2) 1．（24-25七年级上·福建漳州·期末）若有理数，，，满足，则以下四个结论中，正确的是（   ） A．一定是正数 B．可能是负数 C．一定是负数 D．一定是正数 2．（24-25七年级上·重庆江津·期末）钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也可以作减法．例如，现在是10时，4小时以后是几时？虽然，但在表盘上看到的是2时．如果用符号“”表示钟表上的加法，则．若问3时之前5小时是几时，就得到钟表上的减法概念，用符号“”表示钟表上的减法．（注：此处用0时代替12时）．下列说法： ①； ②在有理数运算中，相加得0的两数互为相反数．如果在钟表运算中沿用这个说法，那么4的相反数是8； ③有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的“相反数”在钟表运算中仍然成立； ④规定在钟表运算中也有，对于钟表上的任意数字，若，则． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（24-25七年级上·山西朔州·期末）计算：的结果是 ． 4．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）如果，，且，求的值． 5．（24-25七年级上·黑龙江·期中）我们知道一个数的绝对值的几何意义是在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，的绝对值表示为，也可以写成，比如．在数轴上表示两个数，的点之间的距离可以表示为，比如，表示3的点与的点之间的距离表示为．是表示的点与1的点之间的距离跟表示的点与-2的点之间的距离的和．结合数轴易知：如图，当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，最小值为3，即的最小值是3，此时的范围为． 请根据以上阅读，解答下列问题： (1)的最小值是_____，此时的范围为_____； (2)求的最小值和此时的值． 【典型例题三 有理数加法运算律】 【例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列交换加数位置的变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·河北石家庄·期末）小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 【例3】（24-25七年级上·河南漯河·阶段练习）计算： ． 【例4】（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）定义一个新运算，已知，则 ． 【例5】（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 1．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）计算的值等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河南信阳·期中）下面是嘉嘉计算的过程，现在运算步骤后的括号内填写运算依据．其中错误的是（　　） 解：原式＝（有理数减法法则） ＝（乘法交换律） ＝（加法结合律） ＝（﹣5）+0（有理数加法法则） ＝﹣5 A．有理数减法法则 B．乘法交换律 C．加法结合律 D．有理数加法法则 3．（24-25七年级上·全国·课堂例题）计算时，先把减法转化为加法可得 ，观察算式我们可以利用“凑整”法，利用加法的运算律将算式转化为 ． 4．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）计算： 5．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【典型例题四 有理数的加减混合运算】 【例1】（24-25七年级上·广东·期中）不改变原式的值，把写成省略加号与括号的和的形式为 （    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·山东德州·期中）如图，在一条不完整的数轴上，点表示的数是2，点先向左移动6个单位长度到达点，再向右移动10个单位长度到达点．则点表示的数为（    ） A． B． C．6 D．2 【例3】（24-25七年级上·河南安阳·期末）对于任意有理数，定义一种新运算，当时，；当时，，则 ． 【例4】（24-25七年级上·湖南郴州·阶段练习）规定图形表示运算，图形表示运算，则＋= ．（直接写出答案） 【例5】（2025七年级上·全国·专题练习）在数字1，2，3，…，99，100的前面添加符号“+”或者“-”，使它们的和为0．你有几种不同的添加方法？你能找到添加的一般规律吗？ 1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）已知有理数1，，，，通过有理数的加减混合运算，使其运算结果最大，则这个运算结果最大值是（   ） A．23 B．22 C．21 D．3 2．（24-25七年级上·河南南阳·期末）大家都知道，7点50分可以说成差10分钟8点，有时这样表达更清楚，这也启发了人们设计了一种新的加减计数法，例如：写成，，写成，7683写成，按这种方法计算的结果为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）计算： ． 4．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 5．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）新定义一种运算“”，对于任意两个不相等的有理数a，b，其运算法则为 (1)求的值． (2)请举具体的实例计算说明，在什么条件下，？ 【典型例题五 有理数加减中的简便运算】 【例1】（2025七年级上·全国·专题练习）计算的结果为（　　） A．0 B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·河南南阳·期末）计算时，画线的步骤中使用了（   ）． A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．加法交换律 D．加法结合律 【例3】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： ． 【例4】（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）已知，则的值为 ． 【例5】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）阅读计算的方法，再用这种方法解答下列各题． 解：原式 ． (1)计算：； (2)计算：． 1．（2025七年级上·四川眉山·竞赛）式子的结果不可能是（    ） A．奇数 B．正数 C．偶数 D．整数 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）小强根据学习“数与式”积累的经验，，则的值为（ ）． A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·湖南永州·期中）观察算式：按规律填空： ． 4．（2025七年级上·北京·专题练习）利用公式计算： （1） ；（直接写答案） （2） ．（直接写答案） 5．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）例． 解：原式 ． 上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【典型例题六 有理数加减法的综合应用】 【例1】（2025·山西晋中·模拟预测）如图，平遥县某天的气温是，则这天的温差（最高气温减最低气温）是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·福建厦门·模拟预测）为监测某水库雨季期间的水位高度，表一记录了该水库连续三天的水位变化情况（记水位上涨为正，单位：），这三天水位上涨的高度可表示为（   ） A． B． C． D． 【例3】（2025·山东淄博·模拟预测）我市2025年2月某天早晨的气温是，中午的气温比早晨上升了，中午的气温是 ． 【例4】（24-25七年级上·福建厦门·期中）某校模型社团制作建筑模型，为确保稳定性，模型高度的精度要求如下： 设计高度h（单位：） 允许偏差（单位：） 社团成员对编号为甲，乙，丙，丁的四个模型进行测量，获得了以下数据： 模型编号 甲 乙 丙 丁 设计高度h（单位：） 30.0 45.0 75.0 90.0 实际高度（单位：） 29.7 46.1 74.5 91.1 问题：甲，乙，丙，丁中不符合精度要求的是 ． 【例5】（24-25七年级上·河南南阳·期末）某文具店在一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 200 38 188 458 (1)表中星期五的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期五的盈亏数． (2)说明星期五是盈利还是亏损？盈亏是多少？ (3)请计算盈利最多的一天比亏损最多的一天多多少． 1．（24-25七年级上·河南郑州·期末）手机移动收付款给生活带来便捷．下图是小华某天手机移动收付款账单的明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小华这天使用手机移动收付款的最终结果是（   ） 王某某转账                 扫二维码付款给早餐店     扫二维码付款给出租车     A．收入元 B．支出元 C．收入6元 D．支出5元 2．（2025·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）如图，是市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的日温差（最高气温与最低气温的差）是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海青浦·期中）机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是 ． 4．（24-25七年级上·河南南阳·期末）“十一”黄金周期间，某乐园在7天假期中每天的游客人数变化如下表所示．以1万人为标准，多于1万人的记为“+”，不足1万人的记为“”，刚好1万人的记为“0” 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化/万人 0 (1)10月2日这一天的游客有_____万人． (2)请求出黄金周期间游客最多的一天比最少的一天多多少万人． (3)若该乐园的门票是每人100元，请计算黄金周期间该乐园的门票收入． 5．（24-25七年级上·上海·期中）足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过（不包括），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由．               【典型例题七 有理数加减混合运算的应用】 【例1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个点从直线上某点出发，先向右移动5个单位长度，再向左移动2个单位长度，这时，这个点表示的数是1，则起点表示的数是（    ）． A．2 B． C． D． 【例2】（2025·河北保定·模拟预测）手机移动支付给生活带来便捷，如图是小陈某天微信账单的全部收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小陈当天微信收支的最终结果是（　　） A．收入50元 B．支出40元 C．收入10元 D．支出10元 【例3】（24-25七年级上·山西晋中·阶段练习）小红今年在银行办理了7笔储蓄业务：取出9.5万元，存进5万元，取出8万元，存进12万元，存进25万元，取出12.5万元，取出3万元，这时小红在银行的存款增加了 ． 【例4】（2025·陕西咸阳·模拟预测）在如图所示的三阶幻方中，有些位置填写了数或汉字(其中每个汉字都表示一个数)．若处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则“中”“国”“梦”这三个字表示的数之和是 ． 中 国 梦 【例5】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）“六一”儿童节节就要到了，某玩具厂要赶制一批毛绒玩具．于是规定每人每天要做50个毛绒玩具，为了方便统计，某人一天如果生产了52个毛绒玩具，记作：+2个；如果生产45个毛绒玩具，记作：-5个． 下面是小李一周5天生产毛绒玩具的个数情况： 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 计数/个 +3 +1 (1)从上面的记录中你能看出小李在星期几生产的毛绒玩具个数最多？是多少个？ (2)小李这周一共生产了多少个毛绒玩具． 1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）下方九宫格中为从1到9不重复的9个自然数，若区域①的两数之和为11，区域②的四个数之和为27，则阴影格子中最大数字可能是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（24-25七年级上·四川广元·期中）小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中的值为（　　）    A． 或 B．或 C．或 D．或 3．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图是中国古代“洛书”的一部分，洛书中用实心点或空心点的个数表示数字，纵、横、斜三条线上的三个数字之和皆相等，则右下角方框代表的数是 （选填“”，“”或“”）．    4．（24-25七年级上·广西河池·期中）某仓库原有商品件，现记录了天内该类商品进出仓库的件数如下所示（“”表示进库，“”表示出库）：，，，，，，，，，． (1)请问经过天之后，该仓库内的商品是增加了还是减少了？此时仓库还有多少商品？ (2)如果商品每次进出仓库需要人工搬运费是每件元，请问这天要付多少人工搬运费？ 5．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）为纪念红军长征胜利88周年，特技飞行队在名胜风景旅游区特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如表： 高度变化 记作 上升 下降 上升 下降 (1)此时这架飞机比起飞点高了多少千米？ (2)如果飞机每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？ (3)如果飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下：上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 1．（2025七年级上·全国·专题练习）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖北黄冈·期中）如果，且，那么a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·云南昆明·期中）如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由正整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：，，，…，那么第7行第3个数字为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）2023年9月23日至10月8日杭州亚运会期间，河南某体育用品商店推出一系列打折让利活动，某星期的盈亏情况如表（盈余为正，亏损为负，单位：元）所示：表中星期五的数据被墨水覆盖了，则被墨水覆盖的数据是（    ）． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 200 1381    38 188 458 A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·宁夏中卫·期中）新课标要求，在数学学习中要引导学生用数学的眼光观察生活．如下列图形都是小明用同样大小的圆圈按照一定的规律所组成的图形，其中第①个图形中一共有4个圆圈；第②个图形中一共有8个圆圈，第③个图形中一共有13个圆圈，…，按此规律排列下去，请问第⑦个图形中圆圈的个数为（　　） A．34 B．43 C．53 D．33 6．（2025七年级上·浙江·专题练习）用“”或“”填空： （1）如果，那么 0； （2）如果，那么 0； （3）如果，那么 0； （4）如果，那么 0． 7．（24-25七年级上·河北保定·期中）大家都知道，九点五十五分可以说成十点差五分．这启发人们设计了一种新的加减记数法．比如：9写成，198写成；7683写成，，总之，数字上画一杠表示减去它，按这个方法请计算： ． 8．（24-25七年级上·福建南平·阶段练习）对于有理数a，b定义新运算：“”，，则关于该运算，下列说法正确的是 ．（请填写正确说法的序号） ①；②；③若，则；④该运算满足交换律． 9．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，…，以此类推，则：（为正整数）的值为 ． 10．（24-25七年级上·甘肃酒泉·期末）借助图表直观分析数量关系，往往是解决问题的一种重要策略． 【问题解决】 一次测试共有两道题，全班有45名同学参加测试，答对第一题的有32人，答对第二题的有27人，两道题都答对的有20人，那么两道题都答错的有多少人？ 解：画图分析如下： 将所有同学分成A，B，C，D四部分，答对第一题的有32人，即；答对第二题的有27人，即；两题都答对的有20人，即，因此，所以. 因此，两题都答错的有6人． 【类比迁移】 一次测试共有三道题，全班有50名同学参加测试，答对第一题的有32人，答对第二题的有30人，答对第三题的有28人，答对第一和第二题的有24人，答对第二和第三题的有23人，答对第一和第三题的有22人，三道题都答对的有20人，那么三道题都答错的有 人． 11．（24-25七年级上·河南周口·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 13．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）定义：把在数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．可以理解为． 【运用】 （1）若，则_____； 【拓展】根据的几何意义，式子的几何意义可以理解为在数轴上表示数的点与2所对应的点之间的距离；式子，所以的几何意义就是在数轴上表示数的点与所对应的点之间的距离． （2）式子的几何意义为_____； （3）求的最小值． 14．（24-25七年级上·吉林·期末）中国最北城市——漠河在某星期内的日最高、最低气温（单位：）如图所示，请根据图中信息回答下列问题． (1)这星期的日最低气温是_______． (2)在这星期内，哪天的日温差最大？并求出当天的日温差． 15．（24-25七年级上·四川成都·期末）老师倡导同学们要多帮助家长做家务，养成热爱劳动的好习惯，下面是小军对于自己的寒假假期的计划，他计划每天做家务一个小时，但放假期间，由于每天的不定因素，小军实际每天做家务的时间和计划有所出入，下面是放假后第一周小军做家务的时间（增加记为，减少记为） 星期 一 二 三 四 五 六 日（天） 增减/分钟 问： (1)做家务时间最长的一天比最短的一天多多少分钟? (2)实际情况较计划时间是较长还是较短，长（/短）了多少分钟? (3)根据记录的数据，小军这周做家务总时长是多少小时? 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 有理数的加减运算（4大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 有理数加法运算 典型例题二 有理数的减法运算 典型例题三 有理数加法运算律 典型例题四 有理数的加减混合运算 典型例题五 有理数加减中的简便运算 典型例题六 有理数加减法的综合应用 典型例题七 有理数加减混合运算的应用 知识点01 有理数的加法 1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。 2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则. 知识点02 运算律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 知识点03 有理数的减法 1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。 （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 知识点04 有理数的加减混合运算 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 【典型例题一 有理数加法运算】 【例1】（24-25七年级上·北京西城·阶段练习）实数在数轴上对应点的位置如图，若实数满足，则的值可以是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法法则的应用，利用数轴判断数的大小是解题关键． 根据有理数加法法则判断出为负数，且绝对值大于，即可判断答案． 【详解】解：，且， ，且， ∴b的值可以是，D选项同符合题意，A、B、C不符合题意， 故选：D． 【例2】（2025年山东省青岛市西海岸新区自主招生数学试题）如图，一个正方体的六个面上标着连续的整数，若相对面上所标数字之和相等，则这个六个数之和是（   ） A． B． C． D．以上均可能 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方体对面上的数字问题，根据题意可得这 6 个整数可以为或或，再由相对面上所标数字之和相等得到最大的数和最小的数是对面，第二大的数和第二小的数为对面，剩下的两个数为对面，据此分三种情况讨论，结合三个数不能互相为对面进行求解即可． 【详解】解；由题意得，这 6 个整数可以为或或， ∵相对面上所标数字之和相等， ∴那么最大的数和最小的数是对面，第二大的数和第二小的数为对面，剩下的两个数为对面， 当这6个整数为，则和为对面，和为对面，和为对面，符合题意， ∴此时这 6 个数的和为； 当这 6 个整数为，则和为对面，不符合题意； 当这 6 个整数为，则和为对面，不符合题意， 综上所述，这 6 个整数的和为， 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了绝对值的非负性，有理数的加法，先根据绝对值的非负性求出x，y的值，然后代入计算即可． 【详解】解；∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9． 【例4】（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，且，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数的加法，绝对值的性质，熟记运算法则和性质并准确判断出m、n的对应情况是解题的关键．根据绝对值的性质和有理数的加法运算法则判断出m、n的对应情况，然后相加计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴，时，， ，时，， 综上所述，的值是或． 故答案为：或． 【例5】（24-25七年级上·广东广州·期中）计算： ；    ； ； ；        ；      ； ； ； ； ． 【答案】；；；；；；；；； 【分析】本题考查了有理数的加减运算，运用有理数的加法法则和减法法则进行计算即可求解． 【详解】解：； ； ； ； ； ； ； ； ； ， 故答案为：；；；；；；；；；． 1．（24-25七年级上·广东广州·期中）定义：表示不超过的最大整数．如：，．则下列结论：①；②；③；④；⑤若，则的值可以是．其中正确的结论有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较、新定义运算，解决本题的关键是根据新定义运算计算出结果，根据计算的结果判断是否正确． 【详解】解：根据题意可得：，故正确； 根据题意可得：，故正确； 当时，有，不成立，故错误； 当时，有，不成立，故错误； 当时，，若，则的值可以是，故正确， 综上所述，正确的结论共有个． 故选：B ． 2．（2025·河南·模拟预测）史料证明：我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家．古籍中记载了利用算筹实施“正负术”的方法，若图表示的是计算的过程，则图表示的过程是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法、正负数的定义，解题的关键是理解图表示的计算． 由图可以看出白色表示正数，黑色表示负数，观察图即可列式． 【详解】解：由图知：白色表示正数，黑色表示负数， 所以图表示的过程是：， 故选：A． 3．（2025·北京房山·模拟预测）某工厂需要生产三种产品A，B，C，每种产品的生产分为两个阶段：第一阶段是制作，第二阶段是包装，每种产品在每个阶段所需的时间（单位：小时）如表所示： A B C 制作 10 8 12 包装 6 10 8 若由一名工人单独完成三种产品的生产，那么总共需要 小时；若由两位工人合作完成这三种产品的生产，每个阶段由一个人单独完成，每种产品制作完才可以包装，那么完成这三种产品的生产最少需要 小时． 【答案】 54 28 【分析】三种产品各个阶段所需时间相加即可；一人依次完成A产品第一阶段，B产品的第一阶段，C产品的第二阶段，另一人依次完成C产品第一阶段，A产品的第二阶段，B产品的第二阶段，则至少需要28小时． 【详解】解：（小时）； 当由两位工人合作完成时，一人依次完成A产品第一阶段，B产品的第一阶段，C产品的第二阶段，另一人依次完成C产品第一阶段，A产品的第二阶段，B产品的第二阶段，则至少需要（小时）． 故答案为：54；28． 4．（24-25七年级上·河南南阳·期中）定义☆运算，观察下列运算： ，， ，， ，． (1)请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则： 两数进行☆运算时，同号______，异号______，并把绝对值________． 特别地：0和任何数进行运算，或任何数和0进行☆运算，________． (2)计算：． (3)试通过计算说明与相等吗？运算____结合律．（填“满足”，“不满足”） 【答案】(1)得正；得负；相加；都等于这个数的绝对值 (2)23 (3)不相等，不满足 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）由题干中的算式归纳运算的法则即可； （2）根据归纳的法则计算即可； （3）根据归纳的法则计算后判断两式结果是否相等即可． 【详解】（1）解：由题干中的算式可得运算的法则为：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；特别地：0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，都等于这个数的绝对值； 故答案为：得正；得负；相加；都等于这个数的绝对值； （2）解： ； （3）解： ， 则与不相等，运算不满足结合律， 故答案为：不满足． 5．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线，我们可以根据需要，“规定”原点的位置；也可以根据需要，“规定”单位长度的大小；还可以根据需要，“规定”正方向．在一条不完整的数轴上，从左到右有A，B，C，其中，，如图所示，设A，B，C所对应数的和是p． (1)若以点C为原点，则A、B对应的数分别为 ， ， ． (2)若原点为O，且，求p． (3)若以中点为原点，单位长度为建立数轴，则 ．（用含n的代数式表示） 【答案】(1)；； (2)；63 (3) 【分析】（1）确定原点，找到各点表示的数，相加即可； （2）分情况讨论：原点O在点C的右侧时，原点O在点C的左侧时，找到各点表示的数，相加即可； （3）确定原点，单位长度为，表示各数，相加即可． 本题考查了数轴上点的坐标表示以及原点位置变化对应点坐标的影响． 【详解】（1）若以点C为原点，因为 则A表示的数是，B表示的数为， ∴． （2）原点O在点C的右侧时， ∵， ∴C表示的数是，B表示的数是，A表示的数是， ∴． 原点O在点C的左侧时， ∵， ∴C表示的数是，B表示的数是，A表示的数是， ∴． （3）以A，B中点为原点，单位长度为，， ∴点A对应，点B对应，点C对应， ∴． 【典型例题二 有理数的减法运算】 【例1】（24-25七年级上·湖北·阶段练习）在中，括号里应填的数是（   ） A． B．4 C． D．10 【答案】A 【分析】本题考查了有理数减法的运算，根据，可以得出结果． 【详解】解：， ， 故选：A． 【例2】（2025·河北石家庄·模拟预测）将刻度尺与数轴如图所示放置，（数轴的单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的4和，那么刻度尺上的“”对应数轴上的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，有理数的减法运算，读懂题意是解题的关键． 由数轴和刻度尺对应的数据可得：数轴上的数加上刻度尺对应的数得到的和为4，据此再利用有理数的减法计算即可． 【详解】解：由数轴和刻度尺对应的数据可得：数轴上的数加上刻度尺对应的数得到的和为4， ∴刻度尺上的“”对应数轴上的数为， 故选：D． 【例3】（24-25七年级上·江苏南通·期末）若四个有理数之和是10，其中三个数分别是4，，，则第四个数是 ． 【答案】14 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键． 根据题意列出算式，然后根据有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【例3】（24-25七年级上·湖北宜昌·期末）小聪运用七年级上册的知识设计了一台数值转换机，只要依次输入两个整数a，b，则输出的结果为．比如小聪依次输入1，2，则输出的结果是，再次输入3，则输出的结果为，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差的运算，若依次输入，，，则最后输出的结果是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数数的减法，根据题意每次输入都是与前一次运算结果求差即可求解． 【详解】解：根据题意，得，， 即最后输出的结果是4， 故答案为：4． 【例4】（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)1.5 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键. （1）先化简绝对值，再计算减法即可； （2）先去括号，再计算加减即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： . 1．（24-25七年级上·福建漳州·期末）若有理数，，，满足，则以下四个结论中，正确的是（   ） A．一定是正数 B．可能是负数 C．一定是负数 D．一定是正数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法法则、相反数、减法法则．首先根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法转化为加法，再根据有理数的加法法则进行判断即可． 【详解】解：A选项：，不一定是正数，故A选项错误； B选项：，，一定是正数，故B选项错误； C选项：，，，不一定是负数，故C选项错误； D选项：，，，又，，，一定是正数，故D选项正确． 故选：D． 2．（24-25七年级上·重庆江津·期末）钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也可以作减法．例如，现在是10时，4小时以后是几时？虽然，但在表盘上看到的是2时．如果用符号“”表示钟表上的加法，则．若问3时之前5小时是几时，就得到钟表上的减法概念，用符号“”表示钟表上的减法．（注：此处用0时代替12时）．下列说法： ①； ②在有理数运算中，相加得0的两数互为相反数．如果在钟表运算中沿用这个说法，那么4的相反数是8； ③有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的“相反数”在钟表运算中仍然成立； ④规定在钟表运算中也有，对于钟表上的任意数字，若，则． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，掌握钟表上的运算方法是解题的关键． 根据钟表的定义及钟表上的加减法运算的方法进行计算即可判定①； 根据钟表运算中相反数的定义进行计算即可判定②； 运用钟表中加减运算方法进行验证即可判定③； 根据钟表运算的定义，举出反例即可验证④． 【详解】解：①根据题意可知， ，故①符合题意； ②在钟表中，相加得12的两个数互为相反数，所以4的相反数是8，故②符合题意； ③设，分别表示钟表中的数字， 的相反数为， ∴， 如的相反数为，， ∴．故③符合题意； ④当，，时， ， ， 则， 当时， 不一定成立，故④不符合题意． 综上，符合题意的有①②③共3个． 故选：B． 3．（24-25七年级上·山西朔州·期末）计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值，以及有理数的减法运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则．根据相关运算法则计算求解，即可解题． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）如果，，且，求的值． 【答案】的值为或 【分析】此题考查绝对值的计算，有理数加减法计算法则，正确理解绝对值的计算是解题的关键，根据绝对值定义得到a，b的值，代入计算加减法即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴或， ∵, ∴， 当时，； 当时，； 综上，的值为或． 5．（24-25七年级上·黑龙江·期中）我们知道一个数的绝对值的几何意义是在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，的绝对值表示为，也可以写成，比如．在数轴上表示两个数，的点之间的距离可以表示为，比如，表示3的点与的点之间的距离表示为．是表示的点与1的点之间的距离跟表示的点与-2的点之间的距离的和．结合数轴易知：如图，当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，最小值为3，即的最小值是3，此时的范围为． 请根据以上阅读，解答下列问题： (1)的最小值是_____，此时的范围为_____； (2)求的最小值和此时的值． 【答案】(1)3， (2)3，0 【分析】本题考查绝对值的意义，数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的意义，是解题的关键： （1）根据题干给定的方法进行求解即可； （2）根据题干给定的方法得到的最小值为3，此时，再根据，得到当时，值最小，即可． 【详解】（1）解：由题意，可知：当时，有最小值，为； 故答案为：3， （2）根据题意，得的最小值为3，此时． 因为， 所以的最小值为0， 所以的最小值为3， 此时的值为0． 【典型例题三 有理数加法运算律】 【例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列交换加数位置的变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查加法交换律，根据加法交换律逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项变形错误，不符合题意； B、，原选项变形错误，不符合题意； C、，原选项变形正确，符合题意； D、，原选项变形错误，不符合题意； 故选C． 【例2】（24-25七年级上·河北石家庄·期末）小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 【答案】C 【分析】本题考查了加法的交换律和结合律，熟练掌握相关定义是关键．根据加法的结合律和交换律的定义解答即可．加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；加法的结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． 【详解】解：根据小明的解题过程，应用了加法交换律和结合律． 故选：． 【例3】（24-25七年级上·河南漯河·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，先利用加法的结合律得，共个数，所以分成了组，每组得和为，即可得到答案．解题的关键是根据有理数的加法法则进行有理数的加减运算并利用加法的结合律简化计算． 【详解】解： ， ∴． 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）定义一个新运算，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算的新定义，绝对值的意义，解题的关键是读懂题意，掌握新定义，利用新定义解决问题．先求出，再根据定义进行求解即可． 【详解】解：， ， ， 当时，， 当时，， ， 故答案为：． 【例5】（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法计算，正确理解例题的解题方法并仿照解决问题是解题的关键．根据例题方法将各带分数拆解，将整数和分数分别相加，再计算加法即可． 【详解】解： ． 1．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）计算的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法，加法运算律，原式结合后，相加即可得到结果，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 2．（24-25七年级上·河南信阳·期中）下面是嘉嘉计算的过程，现在运算步骤后的括号内填写运算依据．其中错误的是（　　） 解：原式＝（有理数减法法则） ＝（乘法交换律） ＝（加法结合律） ＝（﹣5）+0（有理数加法法则） ＝﹣5 A．有理数减法法则 B．乘法交换律 C．加法结合律 D．有理数加法法则 【答案】B 【分析】根据题目中的解答过程，可以发现第二步的依据错误，然后即可判断哪个选项是符合题意的． 【详解】解：由题目中的解答过程可知，第二步的依据是加法的交换律，而不是乘法交换律， 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算法则和用到的哪些运算律（加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律等）． 3．（24-25七年级上·全国·课堂例题）计算时，先把减法转化为加法可得 ，观察算式我们可以利用“凑整”法，利用加法的运算律将算式转化为 ． 【答案】 7 【分析】先把有理数加减混合运算统一转化成加法运算，再利用有理数加法运算律进行计算． 【详解】解：计算时， 先把减法转化为加法可得， 观察算式我们可以利用“凑整”法，利用加法的运算律将算式转化为． 故答案为：①，②，③，④7，⑤． 【点睛】本题主要考查了有理数加法运算以及加法运算律的知识，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题关键． 4．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，首先根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把加减混合运算转化为有理数的加法运算，把小数转化为分数，再利用加法交换律和结合律，把分母相同的数结合在一起，可得：原式，利用有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】解： 5．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握计算法则，灵活运用简便计算的方法是解决本题的关键． （1）利用加法交换律和结合律运算即可； （2）利用加法交换律和结合律运算即可； （3）利用加法交换律和结合律运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 【典型例题四 有理数的加减混合运算】 【例1】（24-25七年级上·广东·期中）不改变原式的值，把写成省略加号与括号的和的形式为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；根据有理数加法法则与减法法则进行化简即可． 【详解】解：依题意，把写成省略加号与括号的和的形式为， 故选：C 【例2】（24-25七年级上·山东德州·期中）如图，在一条不完整的数轴上，点表示的数是2，点先向左移动6个单位长度到达点，再向右移动10个单位长度到达点．则点表示的数为（    ） A． B． C．6 D．2 【答案】C 【分析】本题考查数轴上点的移动规律，掌握左减右加是解题的关键．根据数轴上点的移动和数的大小变化规律：左减右加．求解即可． 【详解】解：由题意得： ， 所以C点表示的数为6． 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·河南安阳·期末）对于任意有理数，定义一种新运算，当时，；当时，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算、有理数的加减法运算以及有理数大小比较，理解新定义运算是解题关键． 根据新定义运算逐级计算即可． 【详解】解：原式， ， ， 原式， ， 原式． 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·湖南郴州·阶段练习）规定图形表示运算，图形表示运算，则＋= ．（直接写出答案） 【答案】0 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据题中的新定义化简，计算即可得到结果． 【详解】解：， 故答案为：0． 【例5】（2025七年级上·全国·专题练习）在数字1，2，3，…，99，100的前面添加符号“+”或者“-”，使它们的和为0．你有几种不同的添加方法？你能找到添加的一般规律吗？ 【答案】方法无限多种，规律见解析 【分析】本题考查了规律型∶数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 根据题意每相邻4个数的和等于0，可以让前两个数的和为，后两个数的和为，以此类推． 【详解】解∶； 一般规律为：每相邻4个数的和等于0，可以让前两个数的和为，后两个数的和为，即可使得和为0． 1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）已知有理数1，，，，通过有理数的加减混合运算，使其运算结果最大，则这个运算结果最大值是（   ） A．23 B．22 C．21 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题关键．要使加减混合运算的结果最大，则利用所有的正有理数之和减去所有的负有理数之和即可得． 【详解】解：要使加减混合运算的结果最大，则利用所有的正有理数之和减去所有的负有理数之和． 即 ， 即这个运算结果最大值是21， 故选：C． 2．（24-25七年级上·河南南阳·期末）大家都知道，7点50分可以说成差10分钟8点，有时这样表达更清楚，这也启发了人们设计了一种新的加减计数法，例如：写成，，写成，7683写成，按这种方法计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，运用新定义的运算将原式化为，再去括号，运用有理数的加减运算计算即可． 【详解】解：原式=， 故选：A． 3．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减，绝对值，利用有理数的加减法即可解答，熟练进行计算是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1)8 (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先把减法转化为加法，再根据加法法则计算即可； （2）先去绝对值，再运用加法交换律和结合律计算即可； （3）运用加法结合律将原式变形后计算即可； （4）先去括号，再运用加法结合律计算即可； （5）将小数统一化成分数，再从左到右进行计算即可； （6）先化简，然后根据加法的交换律和结合律计算即可； （7）先化简并将小数统一化成分数，然后根据加法的交换律和结合律计算即可； （8）先化简并将小数统一化成分数，然后根据加法的交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 5．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）新定义一种运算“”，对于任意两个不相等的有理数a，b，其运算法则为 (1)求的值． (2)请举具体的实例计算说明，在什么条件下，？ 【答案】(1) (2)，和， 【分析】本题考查新定义运算，有理数的加减运算，理解“”的运算法则是解题的关键． （1）根据“”的运算法则计算即可； （2）分别列举实例，再推广到一般情况，分和两种情况，令即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：令，， 则，，两者相等， 即当时，，， 若，则， 解得，； 令，， 则，，两者相等， 即当时，，， 若，则， 解得，； 综上可知，当，和，两种条件下，． 【典型例题五 有理数加减中的简便运算】 【例1】（2025七年级上·全国·专题练习）计算的结果为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加减法中的简便运算，把小数转化成分数，然后根据同分母相加减计算即可． 【详解】解： 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·河南南阳·期末）计算时，画线的步骤中使用了（   ）． A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．加法交换律 D．加法结合律 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据算式的特点解答即可． 【详解】解： ， ∴画线的步骤中使用了加法结合律． 故选D． 【例3】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： ． 【答案】1.5 【分析】本题考查了有理数的减法，先把减法转化为加法，再按加法法则计算． 【详解】解： ． 【例4】（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】1011 【分析】通过观察发现，S为2022内所有偶数的和，T为2022内所有奇数的和，可根据等于每一组相邻的偶数与奇数的差的和求解即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：1011． 【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察，探索出数字的规律是解题的关键． 【例5】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）阅读计算的方法，再用这种方法解答下列各题． 解：原式 ． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，熟练掌握有理数加法运算律，是解题的关键． （1）根据题干提供的方法进行计算即可； （2）用提供提供的方法进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 1．（2025七年级上·四川眉山·竞赛）式子的结果不可能是（    ） A．奇数 B．正数 C．偶数 D．整数 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算，解答的关键是对从所给的数字中找到存在的规律，把两个数看成一组，从而可求解． 【详解】解： ． 则1012不可能是奇数． 故选：A． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）小强根据学习“数与式”积累的经验，，则的值为（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用拆项法解答即可求解，掌握拆项法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， ， ， 故选：． 3．（24-25七年级上·湖南永州·期中）观察算式：按规律填空： ． 【答案】2500 【分析】本题考查的是数字的变化规律和有理数的混合运算，根据题中材料可知规律为：第一个数与最后一个数的和再乘以第一个数与最后一个数的和的一半，再除以2． 【详解】解：根据题意得： ， 故答案为：2500． 4．（2025七年级上·北京·专题练习）利用公式计算： （1） ；（直接写答案） （2） ．（直接写答案） 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，变形套用公式是解题的关键： （1）利用公式拆项进行计算即可； （2）拆项，套用公式进行计算即可． 【详解】解：（1）原式1； 故答案为：． （2）原式 ； 故答案为：． 5．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）例． 解：原式 ． 上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解： ． 【典型例题六 有理数加减法的综合应用】 【例1】（2025·山西晋中·模拟预测）如图，平遥县某天的气温是，则这天的温差（最高气温减最低气温）是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数减法的应用，用最高气温减去最低气温即可求解． 【详解】解：根据题意，这天的温差为， 故选：C． 【例2】（2025·福建厦门·模拟预测）为监测某水库雨季期间的水位高度，表一记录了该水库连续三天的水位变化情况（记水位上涨为正，单位：），这三天水位上涨的高度可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加法的应用，把水库连续三天的水位变化情况相加即可． 【详解】解：这三天水位上涨的高度可表示为， 故选：C 【例3】（2025·山东淄博·模拟预测）我市2025年2月某天早晨的气温是，中午的气温比早晨上升了，中午的气温是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数加法的实际应用，两数相加即可得出结果． 【详解】解：； 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·福建厦门·期中）某校模型社团制作建筑模型，为确保稳定性，模型高度的精度要求如下： 设计高度h（单位：） 允许偏差（单位：） 社团成员对编号为甲，乙，丙，丁的四个模型进行测量，获得了以下数据： 模型编号 甲 乙 丙 丁 设计高度h（单位：） 30.0 45.0 75.0 90.0 实际高度（单位：） 29.7 46.1 74.5 91.1 问题：甲，乙，丙，丁中不符合精度要求的是 ． 【答案】乙 【分析】本题考查了有理数减法的应用，分别求出四个模型的偏差即可得出答案． 【详解】解：甲偏差为，符合要求，不符合题意； 乙偏差为，不符合要求，符合题意； 丙偏差为，符合要求，不符合题意； 丁偏差为，符合题意，不符合题意； 故答案为：乙． 【例5】（24-25七年级上·河南南阳·期末）某文具店在一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 200 38 188 458 (1)表中星期五的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期五的盈亏数． (2)说明星期五是盈利还是亏损？盈亏是多少？ (3)请计算盈利最多的一天比亏损最多的一天多多少． 【答案】(1) (2)亏了，亏了8元 (3)盈利最多的一天比亏损最多的一天多元 【分析】本题主要考查了有理数减法的应用，正负数的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出算式． （1）用总数减去另外6天的盈亏情况，得出答案即可； （2）根据解析（1）的计算结果进行判断即可； （3）根据表格中数据列式计算即可． 【详解】（1）解： ， ∴星期五的盈亏数为； （2）解：由于是负数，故星期五亏了，亏了8元． （3）解：（元）． 答：盈利最多的一天比亏损最多的一天多元 1．（24-25七年级上·河南郑州·期末）手机移动收付款给生活带来便捷．下图是小华某天手机移动收付款账单的明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小华这天使用手机移动收付款的最终结果是（   ） 王某某转账                 扫二维码付款给早餐店     扫二维码付款给出租车     A．收入元 B．支出元 C．收入6元 D．支出5元 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的实际应用以及有理数加法运算，熟练掌握正负数的实际应用和有理数加法运算法则是解题的关键． 根据题意，将当日微信账单的各项收支相加并计算结果，再根据“正数表示收入，负数表示支出”即可得解． 【详解】解：， 即小华当天微信收支的最终结果是收入元， 故选：C． 2．（2025·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）如图，是市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的日温差（最高气温与最低气温的差）是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了统计图，根据A市某一天内的气温变化图，分析变化趋势和具体数值，即可求出答案． 【详解】解：从图中可以看出，这一天中最高气温是，最低气温是， ∴这一天中最高气温与最低气温的差为， 故选：C． 3．（24-25七年级上·上海青浦·期中）机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点距离，有理数的混合运算的应用；先得出，表示的数分别为和，根据题意得出乙所在位置表示的数为，进而根据甲、乙之间的距离是4，得出甲所在位置表示的数，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得，表示的数分别为和， ∵乙的速度是平均每秒个单位长度， 经过2秒后，乙所在位置表示的数为 ∵经过2秒后，甲、乙之间的距离是4， ∴此时甲所在位置表示的数是或 故答案为：或． 4．（24-25七年级上·河南南阳·期末）“十一”黄金周期间，某乐园在7天假期中每天的游客人数变化如下表所示．以1万人为标准，多于1万人的记为“+”，不足1万人的记为“”，刚好1万人的记为“0” 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化/万人 0 (1)10月2日这一天的游客有_____万人． (2)请求出黄金周期间游客最多的一天比最少的一天多多少万人． (3)若该乐园的门票是每人100元，请计算黄金周期间该乐园的门票收入． 【答案】(1)3.5 (2)万人 (3)1270万元 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数运算的应用． （1）用1万加上10月2号变化的人数即可； （2）用记录数据最多的一天减去最少的一天即可； （3）先求出所记录数据变化的人数，加上7天的标准人数，求出出总人数，再乘以100即可． 【详解】（1）解：万人， 故答案为：3.5； （2）解：由题意，得： （万人）， 答：黄金周期间游客最多的一天比最少的一天多万人． （3）解： （万人）， （万人）， （万元）， 答：黄金周期间该乐园的门票收入是1270万元． 5．（24-25七年级上·上海·期中）足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过（不包括），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【答案】(1)守门员最后回到了球门线上； (2)25米； (3)4次，理由见解析． 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数加减法的实际应用，有理数大小比较的实际应用．理解题意，理解本题中正负数的意义是解题关键． （1）将记录的数字相加，若结果为0，则守门员回到了球门线上，否则没有； （2）求出每次离球门的距离即可得到答案； （3）根据题意，结合（2）找出守门员离开球门线的距离超过的数据即可． 【详解】（1）解：根据题意得：米， ∴守门员最后回到了球门线上； （2）解：第一次跑距离开球门线10米 ； 第二次跑距离开球门线（米）； 第三次跑距离开球门线（米）； 第四次跑距离开球门线（米）； 第五次跑距离开球门线（米）； 第六次跑距离开球门线（米）； 第七次跑距离开球门线（米）； 第八次跑距离开球门线（米）．                                ∴守门员离开球门线的最远距离为25米； （3）解：对方球员有4次挑射破门的机会，理由如下： 由（2）可知守门员每次离开球门线的距离分别为：10米，8米，13米，25米，19米，10米，14米，0，则符合题意的有：13，25，19，14． ∴对方球员有4次挑射破门的机会． 【典型例题七 有理数加减混合运算的应用】 【例1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个点从直线上某点出发，先向右移动5个单位长度，再向左移动2个单位长度，这时，这个点表示的数是1，则起点表示的数是（    ）． A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数加减法的应用．根据题意列式计算即可． 【详解】解：根据题意得到，， 即起点表示的数是， 故选：C 【例2】（2025·河北保定·模拟预测）手机移动支付给生活带来便捷，如图是小陈某天微信账单的全部收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小陈当天微信收支的最终结果是（　　） A．收入50元 B．支出40元 C．收入10元 D．支出10元 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加减法，解题关键是理解题意列出算式并进行正确的运算．根据题意列出算式，然后根据计算结果和正数表示收入，负数表示支出，求出答案即可． 【详解】解：由题意得：， ， ∴小陈当天微信收支的最终结果是收入10元． 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·山西晋中·阶段练习）小红今年在银行办理了7笔储蓄业务：取出9.5万元，存进5万元，取出8万元，存进12万元，存进25万元，取出12.5万元，取出3万元，这时小红在银行的存款增加了 ． 【答案】9万元 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．设取出的为负，存进的为正，根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：设取出的为负，存进的为正， （万元） 故答案为：9万元 【例4】（2025·陕西咸阳·模拟预测）在如图所示的三阶幻方中，有些位置填写了数或汉字(其中每个汉字都表示一个数)．若处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则“中”“国”“梦”这三个字表示的数之和是 ． 中 国 梦 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键．先求得“国”表示的数，再求得“中”表示的数，然后求得“梦”表示的数，最后将它们相加即可． 【详解】解：， 那么国表示的数是， 中表示的数是， 梦表示的数是， 则， 故答案为：． 【例5】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）“六一”儿童节节就要到了，某玩具厂要赶制一批毛绒玩具．于是规定每人每天要做50个毛绒玩具，为了方便统计，某人一天如果生产了52个毛绒玩具，记作：+2个；如果生产45个毛绒玩具，记作：-5个． 下面是小李一周5天生产毛绒玩具的个数情况： 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 计数/个 +3 +1 (1)从上面的记录中你能看出小李在星期几生产的毛绒玩具个数最多？是多少个？ (2)小李这周一共生产了多少个毛绒玩具． 【答案】(1)星期五，个； (2)小李这周一共生产了个毛绒玩具． 【分析】此题考查了正负数的应用、有理数四则混合运算应用等知识，读懂题意是关键． （1）利用有理数比较大小即可得到小李在星期五生产的毛绒玩具个数最多，利用加法即可求出个数； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴小李在星期五生产的毛绒玩具个数最多， （个）， 即最多是个； （2）（个） 答：小李这周一共生产了个毛绒玩具． 1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）下方九宫格中为从1到9不重复的9个自然数，若区域①的两数之和为11，区域②的四个数之和为27，则阴影格子中最大数字可能是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减法的应用，先求得九宫格数字总和为45，再求得区域①和区域②以外的3个格子中的数字之和为7，再根据“方九宫格中为从1到9不重复的9个自然数，”即可求解． 【详解】解：∵九宫格数字总和为， ∴区域①和区域②以外的3个格子中的数字之和为， ∵， ∴阴影格子中最大数字可能是4， 故选：A． 2．（24-25七年级上·四川广元·期中）小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中的值为（　　）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减法的应用，由于八个数的和是，所以需满足两个圈的和是，横、竖的和也是，列等式可得结论，解题的关键是读懂题意，列出算式． 【详解】解：设小圈上的数为，大圈上的数为， ， ∵横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等， ∴两个圈的和是，横、竖的和也是，    则，得， ，得， ，， ∵当时，，则， 当时，，则， 故选：． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图是中国古代“洛书”的一部分，洛书中用实心点或空心点的个数表示数字，纵、横、斜三条线上的三个数字之和皆相等，则右下角方框代表的数是 （选填“”，“”或“”）．    【答案】 【分析】本题考查有理数的加减应用，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键； 先根据最左边的一列三个数字和为，再利用最下面一行的数字求解即可． 【详解】解：最左边的一列三个数字和为， ∴由最下面一行数字可得右下角方框代表的数是； 故答案为： 4．（24-25七年级上·广西河池·期中）某仓库原有商品件，现记录了天内该类商品进出仓库的件数如下所示（“”表示进库，“”表示出库）：，，，，，，，，，． (1)请问经过天之后，该仓库内的商品是增加了还是减少了？此时仓库还有多少商品？ (2)如果商品每次进出仓库需要人工搬运费是每件元，请问这天要付多少人工搬运费？ 【答案】(1)经过天之后，该仓库内的商品是增加了件，此时仓库还有商品； (2)这天要付元搬运费． 【分析】本题主要考查了有理数的加法、绝对值，解决本题的关键是根据有理数的加法法则进行计算． 把这天进出仓库的商品件数相加，所得结果为，所以经过天之后，该仓库内的商品增加了件，此时仓库的商品还有件； 【详解】（1）解：（件）， 经过天之后，该仓库内的商品件数为：（件）， 答：经过天之后，该仓库内的商品是增加了件，此时仓库还有商品； （2）解：（件）， 这天要付给工人的搬运费为：（元）， 答：这天要付元搬运费． 5．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）为纪念红军长征胜利88周年，特技飞行队在名胜风景旅游区特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如表： 高度变化 记作 上升 下降 上升 下降 (1)此时这架飞机比起飞点高了多少千米？ (2)如果飞机每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？ (3)如果飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下：上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 【答案】(1) (2)升 (3)下降 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算的实际应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）求得三个数的和，根据结果的符号和绝对值即可判断位置； （2）求得三个数的绝对值的和，乘以2即可求解； （3）计算，根据计算结果即可确定上升或下降，以及上升与下降的距离． 【详解】（1）解：； 答：此时这架飞机比起飞点高了1km； （2）解： （升） 答：一共消耗了升燃油； （3）解： ∵要使飞机最终比起飞点高出1千米， ∴第四个动作是下降，下降的距离为 1．（2025七年级上·全国·专题练习）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了化简绝对值，有理数的加减法，先化简绝对值，然后根据有理数的加减法则计算，最后逐项判断即可． 【详解】解：A．，故原计算正确，但不符合题意； B．，故原计算正确，但不符合题意； C．，故原计算正确，但不符合题意； D．，故原计算错误，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖北黄冈·期中）如果，且，那么a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数加法的运算法则和有理数的大小比较，根据题目条件分析出a是正数，且a的绝对值大于b的绝对值，即可比较大小． 【详解】解：∵，且， ∴，且， ∴， 故选：B． 3．（24-25七年级上·云南昆明·期中）如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由正整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：，，，…，那么第7行第3个数字为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数减法运算，读懂题意，根据“莱布尼兹调和三角形”的各个数字组成方法求出第六行数是 ；进而求出第七行数是 ；即可得到答案，理解“莱布尼兹调和三角形”的各个数字组成方法是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知， 第六行第一个数是，第二个数是，第三个数数，第四个数是，第五个数是，第六个数是， 第六行数是 ； 第七行第一个数是，第二个数是，第三个数数，第四个数是，第五个数是，第六个数是，第七个数是； 第七行数是 ； 第7行第3个数字为， 故选：D． 4．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）2023年9月23日至10月8日杭州亚运会期间，河南某体育用品商店推出一系列打折让利活动，某星期的盈亏情况如表（盈余为正，亏损为负，单位：元）所示：表中星期五的数据被墨水覆盖了，则被墨水覆盖的数据是（    ）． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 200 1381    38 188 458 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的加减及正负数的意义，利用加减法法则计算星期五的盈亏钱数即可解答． 【详解】解：． 故选D． 5．（24-25七年级上·宁夏中卫·期中）新课标要求，在数学学习中要引导学生用数学的眼光观察生活．如下列图形都是小明用同样大小的圆圈按照一定的规律所组成的图形，其中第①个图形中一共有4个圆圈；第②个图形中一共有8个圆圈，第③个图形中一共有13个圆圈，…，按此规律排列下去，请问第⑦个图形中圆圈的个数为（　　） A．34 B．43 C．53 D．33 【答案】B 【分析】本题考查了规律探究，解题关键是发现规律，本题的规律是第n个图形有个圆圈． 【详解】解：第①个图形中一共有个圆圈； 第②个图形中一共有个圆圈； 第③个图形中一共有个圆圈； 第⑦个图形中一共有个圆圈； 故选：B ． 6．（2025七年级上·浙江·专题练习）用“”或“”填空： （1）如果，那么 0； （2）如果，那么 0； （3）如果，那么 0； （4）如果，那么 0． 【答案】 【分析】（1）根据有理数的加法法则即可解答； （2）根据有理数的加法法则即可解答； （3）根据有理数的加法法则即可解答； （4）根据有理数的加法法则即可解答． 【详解】（1）同号两数相加，取相同的符号，两数都为正数，所以两数的和为正． 故答案为：； （2）同号两数相加，取相同的符号，两数都为负数，所以两数的和为负． 故答案为：； （3）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取a的符号，即两数和的符号为正． 故答案为：； （4）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取b的符号，即两数和的符号为负． 故答案为：； 【点睛】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 7．（24-25七年级上·河北保定·期中）大家都知道，九点五十五分可以说成十点差五分．这启发人们设计了一种新的加减记数法．比如：9写成，198写成；7683写成，，总之，数字上画一杠表示减去它，按这个方法请计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握新定义并熟练加以运用．先根据新定义计算出，再计算可得答案． 【详解】解：由题意知 ， 故选：A． 8．（24-25七年级上·福建南平·阶段练习）对于有理数a，b定义新运算：“”，，则关于该运算，下列说法正确的是 ．（请填写正确说法的序号） ①；②；③若，则；④该运算满足交换律． 【答案】②③ 【分析】根据新定义逐项进行分析即可． 【详解】解：①∵， ∴， 故①错误； ∵，； ∴， 故②正确； ∵，，， ∴； 故③正确； ，， 只有当时，， ∴该运算满足交换律不成立． 故④错误， 故答案为：②③ 【点睛】此题考查了新定义运算，读懂题意是解题的关键． 9．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，…，以此类推，则：（为正整数）的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形变化的规律，能够根据所给图形用含n的代数式表示规律是解题的关键，依次求出各图形中“”的个数，发现规律即可求解． 【详解】第1幅图中“”的个数为， 第2幅图中“”的个数为， 第3幅图中“”的个数为， 第4幅图中“”的个数为， ……， 第n幅图中“”的个数为， ∴ ， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·甘肃酒泉·期末）借助图表直观分析数量关系，往往是解决问题的一种重要策略． 【问题解决】 一次测试共有两道题，全班有45名同学参加测试，答对第一题的有32人，答对第二题的有27人，两道题都答对的有20人，那么两道题都答错的有多少人？ 解：画图分析如下： 将所有同学分成A，B，C，D四部分，答对第一题的有32人，即；答对第二题的有27人，即；两题都答对的有20人，即，因此，所以. 因此，两题都答错的有6人． 【类比迁移】 一次测试共有三道题，全班有50名同学参加测试，答对第一题的有32人，答对第二题的有30人，答对第三题的有28人，答对第一和第二题的有24人，答对第二和第三题的有23人，答对第一和第三题的有22人，三道题都答对的有20人，那么三道题都答错的有 人． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意正确列出算式是解题的关键． 根据题意列出算式，正确计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得， ， ， ∴三道题都答错的有人， 故答案为： ． 11．（24-25七年级上·河南周口·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)4 (3) (4)9 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）利用有理数加减混合运算法则计算； （2）利用有理数加减混合运算法则计算； （3）把小数化为分数，利用有理数加减混合运算法则计算； （4）把小数化为分数，利用有理数加减混合运算法则计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 12．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法交换律及结合律，熟练掌握有理数的加法交换律及结合律是解题的关键，把变形为，再利用有理数的加法法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 13．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）定义：把在数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．可以理解为． 【运用】 （1）若，则_____； 【拓展】根据的几何意义，式子的几何意义可以理解为在数轴上表示数的点与2所对应的点之间的距离；式子，所以的几何意义就是在数轴上表示数的点与所对应的点之间的距离． （2）式子的几何意义为_____； （3）求的最小值． 【答案】（1）；（2）数轴上表示数a的点与所对应的点的距离；（3） 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义： （1）仿照题意可得表示的是数轴上表示a的数与原点的距离为3，据此可得答案； （2），再结合题意即可得到答案； （3）表示的是数轴上表示数a的点与3所对应的点的距离加上数轴上表示数a的点与所对应的点的距离，据此可得答案． 【详解】解：（1）由题意得，表示的是数轴上表示a的数与原点的距离为3，则； （2）由题意得，表示的是数轴上表示数a的点与所对应的点的距离； （3）由题意得表示的是数轴上表示数a的点与3所对应的点的距离加上数轴上表示数a的点与所对应的点的距离， ∴当时，有最小值，最小值为． 14．（24-25七年级上·吉林·期末）中国最北城市——漠河在某星期内的日最高、最低气温（单位：）如图所示，请根据图中信息回答下列问题． (1)这星期的日最低气温是_______． (2)在这星期内，哪天的日温差最大？并求出当天的日温差． 【答案】(1) (2)星期五， 【分析】本题主要考查了有理数的减法法则，有理数的大小比较，正负数的意义，利用正负数的意义结合折线图解答是解题的关键． （1）利用正负数的意义结合折线图解答即可； （2）利用温差的意义，利用有理数的减法法则解答即可． 【详解】（1）解：在这周内，日最低气温达到最小值是星期二，当天的日最低气温为， 故答案为：； （2）解：星期一的日温差：， 星期二的日温差：， 星期三的日温差：， 星期四的日温差：， 星期五的日温差：， 星期六的日温差：， 星期日的日温差：， 所以在这周内，日温差最大的星期五，当天日温差为． 15．（24-25七年级上·四川成都·期末）老师倡导同学们要多帮助家长做家务，养成热爱劳动的好习惯，下面是小军对于自己的寒假假期的计划，他计划每天做家务一个小时，但放假期间，由于每天的不定因素，小军实际每天做家务的时间和计划有所出入，下面是放假后第一周小军做家务的时间（增加记为，减少记为） 星期 一 二 三 四 五 六 日（天） 增减/分钟 问： (1)做家务时间最长的一天比最短的一天多多少分钟? (2)实际情况较计划时间是较长还是较短，长（/短）了多少分钟? (3)根据记录的数据，小军这周做家务总时长是多少小时? 【答案】(1)14分钟 (2)长了6分钟 (3) 【分析】本题主要考查了正、负数、有理数的加、减法在实际生活中的应用，利用有理数的加法和减法法则计算是解答本题的关键． （1）根据表格找出家务时间最多的一天和最少的一天，再利用有理数的减法求解即可； （2）根据表格中数据列出算式求出结果，再进行判断即可； （2）根据正、负数的意义，运用有理数的加法即可求出该周做家务总时长． 【详解】（1）解：（分钟）， 答：做家务时间最长的一天比最短的一天多14分钟； （2）解：（分钟）， 答：实际情况较计划时间，长了6分钟． （3）解：（小时）， 答：小军这周做家务总时长是小时． 学科网（北京）股份有限公司 $$