第02讲 从立体图形到平面图形（3大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025年暑假新七年级数学衔接讲义（北师大版2024）

第02讲 从立体图形到平面图形（3大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 从不同方向看几何体 典型例题二 几何体展开图的认识 典型例题三 正方体几种展开图的识别 典型例题四 正方体相对两面上的字 典型例题五 截一个几何体 典型例题六 由展开图计算几何体的表面积 典型例题七 由展开图计算几何体的体积 典型例题八 求展开图上两点折叠后的距离 知识点01 从不同方向看几何体 1、从不同的方向看同一物体时，从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图，即物体的三视图． 2、画三视图时，应注意：主俯长相等，主左高相等，俯左宽相等． 几何体的三视图 一个物体在三个投影面（正面、侧面、水平面）内同时进行投影，得到不同的图形，便有三视图： (1)主视图：是在正面内得到的由前向后观察物体得到的视图； (2)左视图：是在侧面内得到的由左向右观察物体得到的视图； (3)俯视图：是在水平面内得到的由上向下观察物体得到的视图． 常见的几何体从不同方向看它所得到的平面图形如下表： 实际上，要正确画出一个几何体的从不同方向看它得到的平面图形，必须注意以下三点： (1)正确的视图方向：从不同的方向看一个几何体，视线要与几何体保持水平，而垂直于几何体的面，这样才能保证看图的准确性和真实性，此时看到的面就是这一方向看到的几何体的平面图形． (2)合理的想象方法：在保证正确的视图方向的情况下，可以看成是几何体被压缩成纸片后的图形或者是视线投射下的阴影． (3)观察者所处的位置不同，其视图的结果也不一样． 知识点02平面图形的概念 1.平面图形:有些几何图形的各部分都在平面内,它们是平面图形,例如,点、线段、直线、三角形 长方形、圆等 2.立体图形与平面图形的区别与联系 区别:立体图形的各部分不都在同一平面内,平面图形的各部分都在同一平面内联系: ①立体图形的某些部分是平面图形: ②从不同的方向看立体图形,一般会得到不同形状的平面图形: ③有些立体图形是由一些平面图形围成的,将立体图形适当剪开,可以展开成平面图形 知识点03 展开与折叠 1.正方体的展开图 正方体展开图共计 11 种，分为“2 排型”和“3 排型”两种构型 （1）2 排型： 3+3（共 1 种） （2）3 排 型 ： 1+3+2（共 3 种） 2+2+2（共 1 种） 1+4+1（共 6 种） 2.圆柱、圆锥、正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥、正三棱柱的展开图： 【典型例题一 从不同方向看几何体】 【例1】（2025·河北张家口·模拟预测）如下列各图片所示的景德镇瓷器中，若不考虑瓷器花纹等因素，从正面和左面看到的图形形状相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查从不同方向看几何体，根据题意，分别从正面和左面看各选项中的几何体，进行判断即可． 【详解】解：A选项：从正面看到的和从左面看到的图形形状相同，故A选项符合题意； B选项：从正面看花瓶瓶颈处两侧有装饰物，而从左面看时，瓶颈两侧没有装饰物，故B选项不符合题意； C选项：从正面看花瓶瓶颈处两侧有装饰物，而从左面看时，瓶颈两侧没有装饰物，故C选项不符合题意； D选项：从正面看花瓶瓶颈处两侧有装饰物，而从左面看时，瓶颈两侧没有装饰物，故D选项不符合题意； 故选：A． 【例2】（2025·河南开封·模拟预测）如图是从上面看到的由12个小立方块所搭成的几何体的形状图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，从左面看该几何体的形状图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由三视图还原简单组合体，再得到左视图，根据题意先还原出简单组合体，再从左面看组合体得到的平面图形是左视图即可得到答案，掌握左视图定义，发挥空间想象能力还原简单组合体是解决问题的关键． 【详解】解：从上面看到的由12个小立方块所搭成的几何体的形状图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数， 简单组合体有三层三列，其中第一列高为3，第二列高为1，第三列高为3， 从左面看，是三列三层，其中第一列高为3，第二列高为1，第三列高为3，则左视图为： ， 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，是一个几何体从正面看、上面看和从左面看到的图形，摆这个几何体需要______个小正方体． 【答案】5 【分析】本题考查了从不同方向看几何体．根据图形易得这个几何体共有3列，综合图形的各列最少小正方体数，即可求解． 【详解】解：根据题意，如图所示： ∴需要：个小立方块． 故答案为：5． 【例4】（24-25七年级上·广东揭阳·阶段练习）【问题背景】 用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如图所示，从上面看到形状中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数． 【初步探究】（1）表示的数是______，表示的数是______，表示的数是______； 【深入探究】（2）这个几何体最少由____个小立方块搭成，最多由_____个小立方块搭成。 （3）当，时，画出从左面看这个几何体的形状． 【答案】（1），，；（2）；；（3）见解析 【分析】本题考查了从不同方向看几何体的知识； （1）根据第三列小立方体的个数为3，第二列为个，即可求解； （2）根据第一列小立方体的个数最多为，最少为，那么加上其他两列小立方体的个数即可； （3）根据从左面看到的图形有三列，每列小正方形数目分别为，，，即可求解． 【详解】解：（1）根据从正面看到的图形可知，第三列小立方体的个数为3，第二列为个， ∴表示的数是3，表示的数是，表示的数是； 故答案为：，，；（． （2）这个几何体最少由个小立方块搭成，最多由个小立方块搭成； 故答案为：；． （3）∵，，从左面看到的图形如图所示， 1．（24-25七年级上·广东深圳·期末）鲁班锁（如图）亦称孔明锁、别闷棍、六子联方、莫奈何、难入木等，它起源于中国占代建筑中首创的榫卯结构．传说是春秋时代鲁国工匠鲁班用根木条制作一件可拼可拆的智力玩具，如图是鲁班锁的一个组件的示意图，该组件的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从不同方向观察几何体是解题的关键． 找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】 解：从上面看，可得如图形： 故选：B 2．（24-25七年级上·河南商丘·期中）根据下列从三个方向看到的几何体的形状图（如图），填上对应几何体的名称： 图（1）所对应的几何体是 ；图（2）所对应的几何体是 ． 【答案】 六棱柱 三棱柱 【分析】本题主要考查从不同方向看几何体，掌握不同方向看到的几何图形判断几何体的形状的方法是解题的关键． 根据不同方向看到的几何图形判断几何体的形状判断即可． 【详解】解：（1）从正面和左面看到的图形可知改几何体为柱体，根据上面看到的图形是六边形，即可判断出该几何体为六棱柱； （2）从正面和上面看到的图形可知该几何体为柱体，再结合从左面看到的图形是三角形，即可判定该几何体为三棱柱． 故答案为：六棱柱、三棱柱． 3．（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图是由7个棱长为1的小正方体搭成的几何体，请分别画出这个几何体的从左面看和从上面看的形状； 【答案】见解析 【分析】本题考查从不同角度看几何体，根据从左面和上面看到的几何图形解题即可． 【详解】解：如图所示. 4．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）小林所在的综合实践小组准备制作一些大小相同的正方体纸盒，用来收纳班级讲台上的粉笔（盒盖单独制作）． (1)图1是综合实践小组的同学画出的一些形状图，其中______（填序号）经过折叠能围成一个无盖正方体形纸盒． (2)综合实践小组的同学用制作的8个正方体形纸盒摆成如图2所示的几何体． ①在图3中画出从正面观察图2的几何体所看到的形状图； ②如果在图2的几何体上再添加一些大小相同的正方体形纸盒，并保持从上面看到的形状图和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个正方体形纸盒． 【答案】(1)①③④ (2)①图见解析；②3 【分析】本题考查简单组合体，展开图折叠成几何体等知识． （1）根据要求动手操作可得结论； （2）①根据主视图的定义画出图形即可； ②根据要求作出判断即可． 【详解】（1）解：图1是综合实践小组同学制作的图形，其中①③④经过折叠能围成无盖正方体纸盒； 故答案为：①③④； （2）解：①如图所示： ②如果在图2的几何体上再添加一些大小相同的正方体形纸盒，并保持从上面看到的形状图和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加3个正方体形纸盒． 故答案为：3． 【典型例题二 几何体展开图的认识】 【例1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）下列图形中，不是长方体展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了长方体展开图，判断是否为长方体的展开图，关键在于能否找出“四连排”作为侧面，再将其余两个面分别作顶、底并能正确折叠，据此可得答案． 【详解】解：由长方体展开图的特点可知，A、C、D中展开图都是长方体的展开图，B中展开图不是长方体展开图， 故选：B． 【例2】（2025·江苏淮安·模拟预测）将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了常见几何体的展开图，解决本题的关键是牢记三棱柱展开图的特点，即其两个三角形的面不可能位于展开图中侧面长方形的同一侧即可． 由三棱柱展开图的特征判断即可． 【详解】解：图中三棱柱展开后，两个三角形的面不可能位于同一侧，因此B选项中的图不是它的表面展开图． 故选：B． 【例3】（24-25七年级上·广东佛山·期中）如图是某个立体图形的展开图，请你从不同的角度描述这个几何体的特点（写出三点）： ． 【答案】有一个顶点，侧面是一个扇形，底面是一个圆（答案不唯一） 【分析】本题主要考查几何体的展开图，掌握圆锥的展开图是解题的关键． 先判断该几何体是圆锥，再根据圆锥的特征解答即可． 【详解】解：由图可知，这个几何体是一个圆锥，圆锥有一个顶点，它的侧面是一个扇形，它的底面是一个圆，它的侧面是曲面． 故答案为：有一个顶点，侧面是一个扇形，底面是一个圆．（答案不唯一）． 【例4】（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒的展开图． (1)这个食品包装盒的几何体名称是________； (2)根据图中所给数据，求这个食品包装盒的侧面积． 【答案】(1)五棱柱 (2) 【分析】本题考查了几何体的展开图，解决本题的关键是熟悉由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图． （1）由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图，即可解答； （2）侧面积为5个长方形的面积之和，即可解答． 【详解】（1）解：这个包装盒为五棱柱； （2）解：． 1．（24-25七年级上·山西临汾·阶段练习）如图是某几何体的展开图，该几何体是（   ） A．四棱锥 B．三棱锥 C．四棱柱 D．圆柱 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据几何体的展开图还原几何体，熟知几何体的特征是解题的关键； 根据侧面为四个三角形，底面为一个矩形，即可得到该几何体为四棱锥， 【详解】解：侧面为四个三角形，底面为一个矩形， 这个几何体为四棱锥； 故选：A 2．（24-25七年级上·广东深圳·期中）如图1为一个长方体，，，M为所在棱的中点，图2为图1的表面展开图，则图2中三角形的面积为 ； 【答案】3 【分析】本题主要考查长方体的展开图，根据长方体展开图的特点求出展开图的对应边长，再结合三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，在展开图中标出对应的点， 则，， 那么，三角形的面积为， 故答案为：3． 3．（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图是一个几何体的展开图： (1)写出该几何体的名称_______________； (2)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是______________（填序号）； ①三角形；②四边形；③五边形；④六边形． (3)根据图中标注的长度（单位：），求该几何体的体积． 【答案】(1)长方体 (2)①②③④ (3)72立方厘米 【分析】本题考查长方体的展开图及其表面积与体积的计算方法，用平面截图的方法等，熟练掌握长方体的基本性质是解题关键． （1）直接根据几何体的展开图判断即可； （2）根据长方体有六个面，用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形即可得出结果； （3）利用长方体的体积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：根据几何体的展开图共有6个面，且各面有正方形及长方形， ∴此几何体为长方体， 故答案为：长方体； （2）解：∵长方体有六个面， ∴用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， ∴用一个平面去截长方体，截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形， 故答案为：①②③④； （3）解：， 答：体积是72． 4．（24-25七年级上·山东滨州·阶段练习）观察下面左图，把罐头盒的商标纸如下图所示沿高剪开，再展开． (1)把圆柱侧面展开后，得到_____（填图形名称）；这个图形的各边与圆柱有什么关系？其中运用什么数学思想方法？ (2)观察上面右图，圆柱的表面是由哪几部分组成的？ (3)圆柱的表面积计算公式是：_________．（写字母表达式） 【答案】(1)长方形，长方形的长是圆柱底面圆的周长，宽为圆柱的高；转化的数学思想 (2)两个底面和一个侧面组成 (3) 【分析】（1）根据展开图判定是长方形，长恰好是圆柱底面圆的周长，宽为圆柱的高，解答即可． （2）根据几何体观察解答即可． （3）根据展开图，得到圆柱的表面积有两个底面圆的面积和侧面的长方形面积求和解答即可． 本题考查了圆柱的展开，圆柱表面积的计算，圆的面积，熟练掌握圆柱的展开，表面积的计算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据展开图判定是长方形，长恰好是圆柱底面圆的周长，宽为圆柱的高运用转化的数学思想． 故答案为：长方形． （2）解：根据题意，得圆柱两个底面和一个侧面组成． （3）解：设圆柱的高为h，底面圆的半径为r， 故． 故答案为：． 【典型例题三 正方体几种展开图的识别】 【例1】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，正方体的六个面上有三个面有图案，它的展开图可能是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查几何体的展开图，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键． 根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：由正方体可得，三个图案均是相邻的， A、还原正方体后，符合题意； B、<与＝是相对的两面，不符合题意； C、还原正方体后，不等号的尖尖向右，不符合题意； D、还原正方体后，<在下面，且不等号的尖尖朝前，不符合题意， 故选：A． 【例2】（2025·河南驻马店·模拟预测）年月日，我国成功发射天链二号星．小亮准备制作一个正方体，使其每个表面上分别写有“天”“链”“二”“号”“”“星”．如图是他做的无盖的正方体的展开图，需再补充一个写着“星”的正方形，则该正方形不能补充在（   ） A．①处 B．②处 C．③处 D．④处 【答案】B 【分析】本题考查了正方体的表面展开图，根据正方体的表面展开图不可能出现“田”字形即可判断求解，掌握正方体的表面展开图的特征是解题的关键． 【详解】解：∵正方体的表面展开图不可能出现“田”字形， ∴该正方形不能补充在②处， 故选：． 【例3】（24-25七年级上·福建厦门·期末）在数学活动课上，同学们通过“剪一剪、画一画、折一折”的方法学习立体图形的展开图．如图，其中标注序号的图形都是正方形，小艺认为它可以作为一个正方体的展开图，则她的判断 （填“正确”或“错误”），理由是 ．    【答案】 错误 折成正方体形状后，标有数字1和2的两个面重叠． 【分析】本题考查几何体的展开图，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键． 根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：根据正方体表面展开图的“田凹应弃之”可得，该图形不是正方体的表面展开图，折成正方体形状后，标有数字1和2的两个面重叠． 故答案为∶错误； 折成正方体形状后，标有数字1和2的两个面重叠． 【例4】（24-25七年级上·山东烟台·期中）将正方体沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，可以得到其表面展开图． (1)下列图形属于正方体的表面展开图的有______个． (2)若一个正方体的平面展开图如图，若要把它粘成一个正方体，那么与点重合的点是点______． (3)通过对正方体的展开图的研究，你发现至少剪开______条棱，就能将它展成平面图形． 【答案】(1)3； (2)G、M； (3)7 【分析】本题主要考查正方体的平面展开图； （1）利用正方体展开图的特点：相对的两个面在同行中间隔一个，异行中间隔1列，容易找出同行相对面，进一步分析得出异行相对面得出结论即可； （2）根据正方体展开图的特点得出结论即可； （3）根据正方体有6个表面，12条棱，要展开成一个平面图形得用5条棱连接6个面至少要剪开条棱即可． 【详解】（1）从左到右第1、2、5三个不属于正方体的表面展开图； 第3、4、6三个属于正方体的表面展开图； 故答案为：3． （2）若要把它粘成一个正方体，那么与点重合的点是点G、M 故答案为：G、M． （3）∵正方体有6个表面，12条棱，要展开成一个平面图形得用5条棱连接6个面，所以至少要剪开条棱， 故答案为：7． 1．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图所示，图中每个小正方形的大小都相同，有4个涂了阴影，另外8个都标了字母，若从标了字母的8个正方形中抽出一个，能和4个阴影部分一起折成一个无盖的正方体盒子的共有（  ）个． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题即可． 【详解】解：从标了字母的8个正方形中抽出一个，能和4个阴影部分一起折成一个无盖的正方体盒子的字母有：A、B、C、D、E、G，共有6个， 故选：C． 【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体的知识，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形． 2．（24-25七年级上·辽宁丹东·期中）图1、图2均是正方体，图3是由一些大小相同的正方体搭成的几何体从正面看和左面看得到的形状图，小敏同学经过研究得到如下结论： ①若将图1中正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，至少需要剪开7条棱； ②用一个平面从不同方向去截图1中的正方体，得到的截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形； ③用一个平面去截图1中的正方体得到图2，截面三角形ABC中； ④如图3，要搭成该几何体的正方体的个数最少是6． 其中结论正确的为 （填写序号）．    【答案】①②④ 【分析】此题主要考查了正方体的展开图的性质，截正方体以及简单组合体的三视图等知识． 根据正方体的棱的条数以及展开后平面之间应有棱连着可判断①；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形可判断②③；作出相应的俯视图，标出搭成该几何体的小正方体的个数最多（少）时的数字即可判断④． 【详解】解：①若将图1中正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，需要剪开7条棱；正确，因为正方体有6个表面，12条棱，要展成一个平面图形必须5条棱连接，所以要剪开条棱．正确； ②用一个平面从不同方向去截图1中的正方体，得到的截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形．正确； ③用一个平面去截图1中的正方体得到图2，是等边三角形，则．故③错误． ④如图3，要搭成该几何体的正方体的个数最少是6，故④正确． 故答案为：①②④． 3．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）综合实践小组准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 【操作探究】（）综合实践小组准备制作一个无盖的正方体纸盒，如图中只有四个正方形，请在原图上补画一个正方形，使其经过折叠能围成无盖的正方体纸盒； 【问题解决】（）图是综合实践小组的设计图，把它折成无盖的正方体纸盒后与有“卫”字一面的相对面上的字是______；（字在盒外） 【拓展探究】（）如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个相同的小正方形，折成一个无盖长方体纸盒.当四角剪去的小正方形的边长为时，请求出纸盒的容积．（纸张厚度忽略不计） 【答案】（）画图见解析（答案不唯一）；（）“大”； （） 【分析】（）根据题意画出图形即可； （）根据正方体的平面展开图中，相对的面中间必须隔着一个正方形进行解答即可求解； （）根据长方体体积公式计算即可； 本题考查了正方体的展开图，长方体的体积，正确识图是解题的关键． 【详解】（）画图如下： （）∵正方体的平面展开图中，相对的面中间必须隔着一个正方形， ∴“卫”和“大”相对， 故答案为：“大”； （）纸盒的容积． 答：纸盒的容积为． 4．（24-25七年级上·重庆·期末）【问题情境】元旦节，班级需要进行文化布置，各个学习小组分工制作装饰品： (1)小颖所在的综合实践小组准备制作一些无盖正方体纸盒收纳班级讲台上的小物件．图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？______（填序号）． (2)小志组准备制作一个有盖的大正方体盒子，他们先用5个大小一样的正方形制成如图2，3所示的拼接图形（阴影部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图2，图3中的图形上再各拼接一个位置不同的正方形（用阴影表示），使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．    (3)小亮组制作了若干个小正方体盒子，搭成几何体的形状，它从正面和上面看到的图形如图4所示，则这样的几何体有______种？它最多需要______个小立方块？最少需要______个小立方块？请分别画出需要小立方块最少时，从左面看到的几何体的形状图．（画出所有可能的情况） 【答案】(1)①③④ (2)作图见解析：（答案不唯一） (3)3，7，8，作图见解析 【分析】本题考查了正方体的表面展开图，从不同方向看立体图形，掌握正方体的表面展开图的模型以空间想象力是解题的关键． （1）根据正方体的展开图，逐个分析即可求解； （2）根据正方体的展开图每个面都有对面即可解答； （3）根据从正面看和上面看得到的图形，分析第2列小正方体的个数解答，根据左视图的定义即可画出最少和最多的情况即可． 【详解】（1）解：图①有5个面，可以经过折叠能围成无盖正方体形纸盒，图②经折叠后有两个面重复，因此折叠不能围成无盖正方体形纸盒；图③④有5个面，均可以折叠为无盖的正方体纸盒， ∴经过折叠能围成无盖正方体纸盒的有：①③④； 故答案为：①③④． （2）解：如图所示：（答案不唯一） （3）解：第2列小立方块前面1个，后面2个；第2列小立方块前面2个，后面1个；第2列小立方块前面2个，后面2个； 故这样的几何体有3种； 它最多需要个小立方块；最少需要个小立方块； 如图所示∶ ， 故答案为：3，7，8． 【典型例题四 正方体相对两面上的字】 【例1】（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）把下列图形折成正方体的盒子，折好后与“心”相对的字是（   ） A．想 B．祝 C．事 D．成 【答案】C 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解；由正方体展开图的特点可知“祝”与“成”相对，“你”与“想”相对，“心”与“事”相对， 故选：C． 【例2】（2025·河北沧州·模拟预测）将“燕赵多豪杰”这五个字写在一个正方体的五个面上．如图是该正方体的一种展开图，则原正方体中与“★”所在面相对面上的汉字是（    ） A．多 B．燕 C．豪 D．杰 【答案】A 【分析】本题考查了正方体相对两面上的字，根据正方体展开图形的特征并结合图形即可得解，熟练掌握正方体展开图形的特征是解此题的关键． 【详解】解：由图形可得原正方体中与“★”所在面相对面上的汉字是多， 故选：A． 【例3】（24-25七年级上·四川乐山·期末）如图是正方体的展开图，则正方体相对两个面上的数字之和的最大值是 【答案】 【分析】本题考查正方体及其展开图，通过空间想象把展开图还原成正方体是解题关键．首先找出正方体三对相对面的数字，然后求出三个积后可得答案． 【详解】解：根据正方体的展开图，可以判断三对相对面的数字分别为和，和，和，它们的和分别为、、， 正方体相对两个面上的数字之和的最大值是， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图是一个正方体的展开图，如果正方体的相对两个面上所标注的式子的值互为相反数，求x的值. 【答案】 【分析】本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键．由展开图找到对立面，根据相对两个面上所标注的式子的值互为相反数得到答案． 【详解】解：由题意正方体的相对两个面上所标注的式子的值互为相反数， 所以， 解得. 1．（24-25七年级上·广东深圳·期末）小明受到了飞行棋游戏中骰子的启发，自己也做了一个特别的正方体“骰子”（如图），该“骰子”的六个面分别写着，，，，，，小明用自己做的正方体“骰子”进行了次投掷，他看到的情形如图所示，那么“”对面的数字是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形是解题的关键； 根据题干可得“”和“”的对面，据此可得“”的对面． 【详解】解：由题意可知，“”的邻面有、、、，故“”的对面是“”； “”的邻面是、、、，故“”的对面是“”， 故“”的对面是“”． 故选：A 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）一个正方体的相对的表面上所标的数的和都相等，如图是这个正方体的表面展开图，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的数字，熟练掌握正方体表面展开图的特征判定相对的面是关键． 根据正方体表面展开图的特征判定相对的面，再根据相反数的意义求解即可． 【详解】解：依题意可知，x与是相对面，y与x是相对面，与2是相对面， 相对的表面上所标的数的和都相等， ，， 解得，， ． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·广东梅州·期中）国庆节快到了，小明同学准备了一份礼物送给自己的好朋友．他设计了一个正方体盒子进行包装，如图所示，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子．任意画出一种成功的设计图（在图中补充），并将，，，1，2，3这些数字分别填入六个小正方形，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0（直接在图中填上即可）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方体的展开图形，根据正方体的展开图形的特点结合题意即可解答，熟练掌握正方体的展开图形的特点是解此题的关键． 【详解】解：如图，答案不唯一． 4．（24-25七年级上·广东东莞·期末）综合与实践 问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的______经过折叠能围成无盖正方体纸盒； (2)如图，是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是______； (3)如图，有一张边长为30cm的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒： ①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的体积． 【答案】(1)C (2)卫 (3)①画图见解析；②这个纸盒的体积为． 【分析】本题考查正方体的表面展开图、正方体相对两面上的字． （1）根据正方体的折叠，可得有5个面，依据正方体的展开图可得答案； （2）根据正方体的表面展开图的特征，得出答案； （3）①画出相应的图形即可；②直接根据体积公式计算即可． 【详解】（1）解：制作一个无盖的正方体纸盒， 展开图有5个面，选项B不符合题意； 再根据正方形的展开图的特征，可得选项A和选项D不符合题意，选项C符合题意； 故选C； （2）解：正方体的平面展开图中，相对的面中间必须隔着一个正方形，所以“保”字相对的字是“卫” 故答案为：卫； （3）解：①所画出的图形如图所示： ②当小正方形的边长为为时， 纸盒的底面积为 纸盒的体积为 答：这个纸盒的体积为． 【典型例题五 截一个几何体】 【例1】（24-25七年级上·贵州毕节·期末）用一个平面分别去截下列几何体，截面形状不可能是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了截一个几何体，根据球的截面图只有圆，即可得出答案． 【详解】解：∵球的截面只有圆， ∴如果截面是三角形，那么这个几何体不可能是球． 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）玲玲用两种不同的方法分别去截同一个几何体，分别得到了如图所示的图形，这个几何体可能是（    ） A．球 B．圆柱 C．长方体 D．圆锥 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的截面，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，根据圆锥、圆柱、球体，长方体的几何特征，分别分析出用一个平面去截该几何体时，可能得到的截面的形状，逐一比照后，即可得到答案． 【详解】解：A、用不同的方法截球体，不能得到长方形，故该选项不符合题意； B、用不同的方法截圆柱，能得到以上各种图形，故该选项符合题意； C、用不同的方法截长方体，不能得到圆形，故该选项不符合题意； D、用不同的方法截圆锥，不能得到长方形，故该选项不符合题意； 故选：B． 【例3】（24-25七年级上·江西景德镇·期中）一根长方体的木料，正好可以截成两个同样的正方体，这时表面积增加了24平方厘米，这根长方体木料原来的表面积是 平方厘米． 【答案】120 【分析】此题主要考查长方体、正方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．根据题意可知，把这个长方体切成两个完全相同的小正方体后，表面积增加了24平方厘米，表面积增加的是2个切面的面积，据此可以求出一个切面的面积，根据正方体的表面积公式：，把数据代入公式求出2个正方体的表面积和，然后减去24平方厘米就是原来长方体的表面积． 【详解】解：（平方厘米） （平方厘米） 答：原来长方体的表面积是120平方厘米． 故答案为：120． 【例4】（24-25七年级上·广东汕头·自主招生）在一个棱长为的正方体木块的每面中心挖一个相通的洞，洞口是边长为的正方形（如图）挖洞后正方体木块的体积是多少立方厘米？ 【答案】 【分析】本题考查的是规则立体图形的体积计算，解决本题的关键是明确挖去三个小洞后，体积减少的图形的形状； 挖去的是三个长、宽、高分别为、、的长方体，且三个长方体有重叠部分，重叠部分是棱长为的正方体； 根据正方体和长方体的体积计算公式，分别计算出原木块和挖去的部分的体积，再根据上述分析进行计算，即可得到答案． 【详解】 ， 答：挖洞后正方体木块的体积是． 1．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，一个棱长为15的正方体木块，从它的八个顶点处依次截去棱长分别为1，2，3，4，5，6，7，8的小正方体，最后得到的几何体的表面积是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了截一个几何体的知识，此题解答的关键在于注意考虑当截取的棱长为8和7的小正方体相邻时，剩下部分的表面积最少．一般情况下，正方体八个顶点截取小正方体，表面积不会变．但当截取的棱长为8和7的小正方体相邻时，表面积就会有变化，少掉2个边长为7的正方形的面积．至于其它6个顶点不可能割穿，所以不用考虑． 【详解】解：如题图，一个棱长为15的正方体木块，从它的八个顶点处依次截去棱长分别为1，2，3，4，5，6，7，8的小正方体， 一般情况下，正方体八个顶点截取小正方体，表面积不会变，最后得到的几何体的表面积是； 或当截取的棱长为8和7的小正方体相邻时，表面积就会有变化，少掉2个边长为7的正方形的面积，最后得到的几何体的表面积是． 故选：C 2．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，把一个长方体平均切成若干个小正方体，除底面外，其他面全部涂上颜色．两面涂色的小正方体有 个，一面涂色的小正方体有 个． 【答案】 14 14 【分析】本题考查长方体的相关知识．观察后动手操作，判断出只有一面涂色或两面涂色的几何体的位置，是解决本题的关键．根据所给立体图形，观察两面涂色的小正方体和一面涂色的小正方体的个数即可． 【详解】解：如图1：两面涂色的小正方体除图中标注的外，左面和后面相交的边长处的最底层和中间层处还有2个， ∴两面涂色的小正方体有14个． 如图2：只有一面涂色的小正方体前面有4个，可推测后面也有4个；右面有2个，可推测左面也有2个；上面有2个， ∴一面涂色的小正方体有（个）． 故答案为：14，14． 3．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）如图所示的正方体被竖直截取了一部分： (1)画出被截取几何体图形，并写出名称． (2)求被截取的那一部分的体积．（棱柱的体积底面积高） 【答案】(1)见解析，三棱柱； (2) 【分析】本题考查了截几何体，以及棱柱的面积公式，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据图形画出被截取几何体图形，再写出名称即可； （2）由图形可知，被截取部分的形状为三棱柱，且底面为直角边为和的直角三角形，高为，再根据棱柱的体积计算即可． 【详解】（1）解：如下图为被截取几何体图形，是三棱柱； （2）解：由图形可知，被截取部分的形状为三棱柱，且底面为直角边为和的直角三角形，高为， 即被截取的那一部分的体积． 4．（24-25七年级上·山东青岛·期末）图1是三棱柱和圆柱，将图1中的圆柱沿竖直方向切开后，得到图2的剩余几何体． (1)图2中的几何体与棱柱、圆柱有很多相同点，请你列举2条与棱柱或圆柱的相同点； (2)如何能求出图2中几何体的体积？请写出你的想法． 【答案】(1)1、上下底面相同；2、它们的体积都等于底面积乘以高（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查了圆柱和棱柱，熟知圆柱和棱柱的特征是解题的关键． （1）根据与圆柱和棱柱相同点，写出两条即可； （2）可以将该几何体放入盛满水的容器里，测量溢出的水的体积，即可得到几何体的体积． 【详解】（1）解：图2中的几何体与棱柱、圆柱的相同点：1、上下底面相同；2、它们的体积都等于底面积乘以高； （2）解：可以将该几何体放入盛满水的容器里，测量溢出的水的质量，求出溢出水的体积即为该几何体的体积． 【典型例题六 由展开图计算几何体的表面积】 【例1】（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）如图中，甲的表面积（   ）乙的表面积． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【答案】C 【分析】此题是考查表面积的区别和求法．根据表面积是指物体所有面的总面积．根据表面积的意义，可知甲的表面积等于乙的表面积． 【详解】解：甲的表面积等于乙的表面积都等于24个小正方形的面积． 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·北京东城·期末）树体表面涂白可以减少“日烧”和冻害，也可以防治病虫害．如图，一棵树的部分树体的表面被涂白，这部分树体可以看作圆柱，直径约为，高度约为，则该部分树体的涂白面积约为（   ）（注：取） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆柱体侧面积的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键．根据圆柱体的侧面积等于底面周长乘以高即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得， 树体的涂白面积约为： 故选：B． 【例3】（24-25七年级上·江苏常州·期末）正三棱柱（底面为正三角形）的展开图如图所示，则该正三棱柱的侧面积为 ．（用含a，b的代数式表示） 【答案】/ 【分析】此题考查了正三棱柱（底面为正三角形）的展开图和侧面积，根据题意求解即可． 【详解】根据题意得，该正三棱柱的侧面积为． 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·河南郑州·期中）如图所示三棱柱，高为，底面是一个边长为的等边三角形． (1)该三棱柱有____________条棱，有____________个面，有____________个顶点； (2)用一个平面去截该三棱柱，截面形状不可能是____________（填序号）； ①三角形；②长方形；③五边形；④六边形；⑤圆形； (3)求该三棱柱的所有侧面的面积之和． 【答案】(1) (2)④⑤ (3) 【分析】本题主要考查了三棱柱，截一个几何体，几何体的侧面积等知识，熟练掌握三棱柱，截一个几何体，几何体的侧面积是解题的关键． （1）根据三棱柱的形体特征作答即可； （2）根据截三棱柱所得的截面形状进行判断作答即可； （3）根据三棱柱侧面积为3个相同的，长为，宽为的长方形的面积和，计算求解即可． 【详解】（1）由图可知，该三棱柱有9条棱，有5个面，个顶点． （2）用一个平面去截该三棱柱， 截面形状可以是三角形，长方形，梯形，五边形， ①②③不符合要求；④⑤符合要求， 截面形状不可能是④⑤． （3）由图可知，三棱柱侧面积为3个相同的， 长为，宽为的长方形的面积和， 三棱柱侧面积为． 1．（24-25七年级上·全国·阶段练习）如图，把一个棱长是40厘米的正方体削成一个最大的圆柱体，圆柱的侧面积是多少平方厘米？正确的列式是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，把一个棱长是40厘米的正方体削成一个最大的圆柱体，圆柱的高和底面的直径都等于正方形的棱长，根据圆柱的侧面积=底面周长×高，代入数据求解即可． 【详解】解：把一个棱长是40厘米的正方体削成一个最大的圆柱体， 圆柱的高和底面的直径都等于正方形的棱长， 侧面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查圆柱的侧面积、正方体的性质，熟记圆柱侧面积公式，根据题意得出最大的圆柱体的高和底面的直径都等于正方形的棱长是解答的关键． 2．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如图是某几何体从不同方向看所得图形，根据图中数据，求得该几何体的侧面积为 （结果保留）．    【答案】 【分析】先根据几何体的三视图可判断其形状，再根据告诉的几何体的尺寸确定该几何体的侧面积即可． 【详解】解：这个几何体是圆柱，从正面看的高为2，从上面看的圆的直径为1， ∴该圆柱的底面直径为1，高为2， ∴该几何体的侧面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及几何体的表面积问题，解题的关键是了解圆柱的侧面积的计算方法． 3．（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）如图1，这个长方体的高为，底面是一个边长为的正方形． (1)该长方体有___________个面，___________条棱． (2)如图2是该长方体表面展开图的一部分，请将它补充完整． (3)该长方体的侧面积是多少平方厘米？ 【答案】(1) (2)图见解析 (3)该长方体的侧面积是180平方厘米 【分析】本题考查长方体及其展开图： （1）根据长方体的特点，作答即可； （2）根据长方体的展开图，补全图形即可； （3）根据长方体的侧面积为底面周长乘以高进行计算即可． 【详解】（1）解：长方体有6个面，12条棱； 故答案为：； （2）由图，补全表面展开图如图： （3）； 答：该长方体的侧面积是180平方厘米． 4．（24-25七年级上·山东滨州·期末）综合与实践 某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为18cm的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 动手操作一： 根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为ncm的小正方形，再沿虚线折合起来． (1)问题解决： 若，则该长方体纸盒的底面边长为________cm；该长方体纸盒的体积为________； 动手操作二： 根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为ncm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． (2)拓展延伸：若，该长方体纸盒的表面积为多少？ 【答案】(1)12，432 (2) 【分析】本题考查几何图形，求立体图形的体积和表面积，根据题意正确得出立体图形的长宽高是关键． （1）根据图形可得长方体纸盒的底面边长为大正方形的边长－两个小正方形的边长；根据图形求出长方体纸盒的长宽高即可求出体积； （2）根据图2的裁剪，表示出长、宽、高进而求出体积． 【详解】（1）解：该长方体纸盒的底面边长为：， 该长方体纸盒的体积为：； 故答案为：； （2）解：， 裁剪后折叠成长方体的长为：， 裁剪后折叠成长方体的宽为：， 裁剪后折叠成长方体的高为：3． 长方体纸盒的表面积为． 【典型例题七 由展开图计算几何体的体积】 【例1】（24-25七年级上·西藏·开学考试）我国古代数学名著《九章算术》中指出：底面为正方形的长方体体积是“方自乘，以高乘之即积尺”．即先用底面边长乘边长，再乘高得到长方体的体积．如果底面边长为a，高为h，底面积为S，体积为V，能完整表述这个方法的选项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方体体积的计算方法可知，长方体的体积底面积高，据此解答．本题主要考查长方体体积的计算方法及应用． 【详解】解：如果底面边长为，高为，底面积为，体积为，且长方体的体积=底面积×高 ∴能完整表述这个方法的选项是． 故选：B 【例2】（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的正方形的边长从变为后，长方体纸盒的容积（    ）． A．增加了28 B．减少了28 C．增加了8 D．减少了8 【答案】C 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，长方体的体积，熟记长方体的体积公式是解题的关键． 分别求得剪去的正方形边长从变为后，长方体的纸盒容积即可得到结论． 【详解】解：当剪去的正方形边长为时， 长方体的纸盒容积为： 当剪去的正方形边长为时， ∴当剪去的正方形的边长从变为后，长方体纸盒的容积增加了：． 即长方体纸盒的容积增加了8． 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图为一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），可知该无盖长方体的容积为 ． 【答案】8 【分析】根据展开图，得长方体的高是1，宽是，长是，根据体积公式解答即可． 本题考查了长方体的展开图，体积公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得长方体的高是1，宽是，长是， 长方体的容积是， 故答案为：8． 【例4】（24-25七年级上·全国·期末）小明同学周末帮妈妈拆完快递后，将包装盒展开，进行了测量，结果如图所示．已知长方体盒子的长比宽多，高是． (1)求长方体盒子的长和宽． (2)求这个包装盒的体积． 【答案】(1)长为；宽为 (2) 【分析】本题考查的是几何体的展开图，解题的关键是求出长和宽． （1）利用图中关系首先求出宽，然后求出长； （2）利用长方体的体积公式求解即可． 【详解】（1）解：宽为：， 长为：， 答：长方体盒子的长为，宽为。 （2）解：体积：， 答：这个包装盒的体积是． 1．（2025·河北邯郸·模拟预测）用相同尺寸的长方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒．先在纸板上画出其表面展开图（需剪掉阴影部分），两种裁剪方案如图1和图2所示，图中A，B，C均为正方形： 下列说法正确的是（　　） A．方案 1中的 B．方案2中的 C．方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积 D．方案1所得的长方体纸盒的底面积与方案2所得的长方体纸盒的底面积相同 【答案】C 【分析】本题考查图形的展开与折叠，考查学生的运算能力、推理能力、空间观念．分别求出a和b的值，方案1和方案2的容积即可得到答案． 【详解】解：方案1：，故A选项错误， 所折成的无盖长方体的底面积为． 容积为． 方案2：，故B选项错误， 所折成的无盖长方体的底面积为． 容积为． ∴方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积， 故选：C． 2．（24-25七年级上·广东梅州·期中）在课题学习中，老师要求用长为，宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图1，盒子底面的四边形是正方形． 乙：如图2，盒子底面的四边形是正方形． 丙：如图3，盒子底面的四边形是长方形，． 将三位同学折成的无盖的长方体的容积按从小到大的顺序排列为 ． 【答案】乙甲丙 【分析】本题考查了几何题的展开图，根据展开图分别求出每个同学的无盖长方体的容积，再比较大小即可． 【详解】解：由图形并结合题意可得： 甲所折成的无盖长方体的容积为， 乙所折成的无盖长方体的容积为， 丙所折成的无盖长方体的容积为， 所以从小到大排列顺序为乙甲丙， 故答案为：乙甲丙． 3．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）某几何体的展开图如图所示． (1)该几何体是 ；(填名称) (2)求这个几何体的体积． 【答案】(1)长方体 (2) 【分析】（1）根据长方体有6个面，相对两个面的形状大小完全相同可知该几何体为长方体． （2）由该长方体的平面展开图可知宽为，高为，长为，根据才给他体积公式即可可求得该长方体的体积． 本题主要考查了长方体的平面展开图，熟练掌握长方体的特征是解题的关键． 【详解】（1）解：该几何体是长方体. 故答案为：长方体 （2）解：该长方体的宽是，高是，长是， 所以这个几何体的体积是. 4．（24-25七年级上·广东佛山·期中）综合与实践 【问题情境】在一次数学实践活动课上，同学们利用一张边长为的正方形纸板开展了“长方体纸盒的制作”实践活动 （1）图1中，是无盖正方体的表面展开图的是______．（填序号） 【操作探究】如图2，勤学小组的同学先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，制成了一个无盖的长方体纸盒． 如图3，善思小组的同学先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制成了一个有盖的长方体纸盒． 【计算分析】 （2）①图2中的长方体纸盒的底面周长为______； ②图3中的长方体纸盒的体积为______； 【问题解决】 （3）请你利用边长为的正方形纸板制作一个长方体纸盒（无盖，有盖均可），仿照图2，图3的绘图方式，画出2种不同的裁剪设计图． 【答案】（1）①；（2）①40；②294；（3）见解析 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握棱柱展开图的特征是正确解答的关键． （1）根据正方体表面展开图的特征进行判断即可； （2）①根据裁剪方法得出底面是边长为的正方形即可；②得出长方体的长、宽、高，再根据长方体的体积的计算方法进行计算即可； （3）根据棱柱的展开与折叠的方法进行解答即可． 【详解】解：（1）根据正方体表面展开图的“田凹应弃之”可得，是无盖正方体的表面展开图的是①， 故答案为：①； （2）①图1中的正方体的底面是边长为的正方形，因此底面周长为， 故答案为：40； ②由折叠可知，图2中长方体纸盒的长为，宽为，高为， 所以体积为， 故答案为：294； （3）利用边长为的正方形纸板，利用按照图3、图4的裁剪方法可制作一个有盖的长方体纸盒． 【典型例题八 求展开图上两点折叠后的距离】 【例1】（2025·福建福州·模拟预测）如图，在正方体的平面展开图中A、B两点间的距离为6，折成正方体后A、B两点是正方体的顶点，则这两个顶点的距离是（　　） A．3 B． C．6 D．3 【答案】D 【详解】∵AB=6， ∴把正方形组合起来之后会发现A. B在同一平面的对角线上， ∴该正方体A. B两点间的距离为3， 故选D. 【例2】（2025·山东·模拟预测）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】D 【分析】根据题意画出立体图形，即可求解． 【详解】解：折叠之后如图所示，    则K与点D的距离最远， 故选D． 【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，学生需要有一定的空间想象能力． 【例3】（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据A、B两点在展开图上的位置，确定其在正方体上的位置是解题关键．将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线，据此即可得到答案． 【详解】解：将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线， 因为展开图中，即两倍对角线为8， 那么对角线的长度就是4， 即正方体A、B两点间的距离为4， 故答案为：4． 【例4】（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图所示，图（1）为一个长方体，AD=AB=10,AE=6,图2为图1的表面展开图字在外表面上，请根据要求回答问题： （1）面“句 ”的对面是面______； （2）如果面“居”是右面,面“宜”在后面,哪一面会在上面？ （3）图（1）中，M、N为所在棱的中点，试在图（2）中画出点M、N的位置；并求出图（2）中三角形ABM的面积. 【答案】（1） “爱”；（2） “句”面会在上面；（3）25或105. 【分析】（1）根据长方体展开图的特征判断即可； （2）根据长方体展开图的特征和题意判断即可； （3）结合图（1）和图（2）即可判断M、N的位置（其中M有两种情况），然后再计算三角形ABM的面积即可. 【详解】解：（1）根据长方体展开图的特征：面“句”的对面是面“爱”； （2）由图可知，如果面“居”是右面，面“宜”在后面，“句”面会在上面； （3）由图（1）和图（2）即可判断M、N的位置（其中M有两种情况），如图所示； 根据三角形边长求出，△ABM的面积为10×5×=25或10×21×=105. 【点睛】此题考查的是长方体的展开图，掌握长方体展开图的特征是解决此题的关键. 1．（2025·河南焦作·模拟预测）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，把图形围成立体图形求解． 【详解】解：把图形围成立方体如图所示： 所以与顶点距离最远的顶点是， 故选：A． 2．（24-25七年级上·重庆·期中）如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是，，的长方体的顶点爬到顶点，它从顶点沿着棱直接爬到点所走的路程，比它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程少 ． 【答案】4 【分析】本题考查了几何体的展开图，两点之间线段最短，勾股定理，先展开，三角形的一条直角边为，另一边为，勾股定理计算即可． 【详解】如图，根据题意，得，， 则， 故答案为：4． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，即可． 【详解】解：如答图，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，点D即为所求．    4．（24-25七年级上·内蒙古包头·阶段练习）一只蚂蚁要从正方体纸箱的一个顶点沿表面爬行到顶点．（蚂蚁不能在纸箱底面爬行）请在原纸箱图上画出蚂蚁爬行的所有可能最短路线． 【答案】见解析 【分析】从正方体展开图的角度结合两点之间、线段最短，分正面与上面、正面与右侧面、左侧面与上面、左侧面与后面四种情况解答即可． 【详解】解：蚂蚁爬行的所有可能最短路线如图所示： 【点睛】本题考查了正方体的展开图和两点之间线段最短，属于基本题目，正确理解题意、明确解答的方法是关键． 1．（2025·陕西商洛·模拟预测）如图是某一个几何体的表面展开图，则该几何体是（　　） A．圆柱 B．正方体 C．长方体 D．圆锥 【答案】D 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据表面展开图中有1个扇形，1个圆，由此即可判断出此几何体为圆锥． 【详解】解：观察图形，可知表面展开图中有1个扇形，1个圆， ∴该几何体是圆锥， 故选：D． 2．（2025·河北唐山·模拟预测）七巧板是中国古代人民创造的益智玩具.如图，用一副七巧板拼出了“灵蛇开运”图.若七巧板中的那两块最大等腰直角三角形的直角边的长为，则拼出右边的“灵蛇开运”图的面积是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题考查七巧板．熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系是解题的关键．根据小三角形的面积是小正方形面积的一半；平行四边形和最左侧腰直角三角形的面积与小正方形的面积相等；大三角形的面积是小正方形面积的2倍，即可求出结果． 【详解】解：两块最大等腰直角三角形的直角边的长为， 两块最大等腰直角三角形的面积为， 平行四边形和最左侧腰直角三角形的面积与小正方形的面积相等，且等于大三角形的面积的一半， 平行四边形、最左侧腰直角三角形、小正方形的面积都为， 小三角形的面积是小正方形面积的一半， 小三角形的面积是， “灵蛇开运”图的面积是， 故选：B． 3．（24-25七年级上·云南昆明·期末）如图，一个正方体的六个面上各有一个字，连起来就是“中国梦，我的梦”，其中“中”的对面是“梦”，“的”对面也是“梦”，则它的平面展开图可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点对格选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形． 解：A、“中”对面不是“梦”，与“我”相对，因此选项A不符合题意； B、中”的对面是“梦”，“的”对面也是“梦”，但“国”是前面，“中”是上面，“我”是左面，与题意矛盾，因此选项B不符合题意； C、“中”的对面是“梦”，“的”对面也是“梦”，选项C符合题意； D、“的”对面不是“梦”，因此选项D不符合题意． 故选：C． 4．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要是正方体的展开图形，将一个正方体展开，可能得到的形状有以下几种：①“一四一”型；②“二三一”型或“一三二”型；③“二二二”型；④“三三”型；结合题中所给的图形，运用正方体常见展开的几种形式分析求解即可． 【详解】解：根据正方体的表面展开图，选A、B、C、D四个位置即可． 故选：D． 5．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的小正方形的边长从变为时，长方体纸盒的容积（   ） A．减少了 B．减少了 C．增加了 D．增加了 【答案】A 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，分别求得剪去的正方形边长从变为后，长方体的纸盒容积即可得到结论． 【详解】解：当剪去的正方形边长从变为后，长方体的纸盒容积从变为． 故长方体的纸盒容积变小了． 即长方体纸盒的容积减少了． 故选：A． 6．（24-25七年级上·福建泉州·期末）把边长为1厘米的6个相同正方体摆成如图的形状，则该立体图形正视图的面积为 平方厘米． 【答案】4 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，熟练画出从正面看到的图形是解题关键．先画出这个立体图形的从正面看到的图形，再计算面积即可得． 【详解】解：这个立体图形从正面看到的图形如下： 则该立体图形正视图的面积为（平方厘米）， 故答案为：4． 7．（2025七年级上·全国·专题练习）用平面截几何体可得到平面图形，在表示几何体的字母后填上它可截出的平面图形的号码． 如：A(1，5，6)，则B(________)；C(________)；D(________)． 【答案】B(1，2，3，4)；C(5)；D(3，5，6)． 【分析】根据所给几何体结合所给的截面形状进行分析解答即可. 【详解】B（正方体）的截面图形可能有（1，2，3，4）；C（球体）的截面图形可能有（5）；D（圆柱）的截面图形可能有（3，5，6）. 故答案为：B(1，2，3，4)；C(5)；D(3，5，6)． 【点睛】熟悉“常见几何体的常见截面图形”是解答本题的关键. 8．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图1，是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，现将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图2）后，与线段重合的线段是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了展开图折叠成几何体，由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题，熟练掌握其展开图的特点是解决此题的关键． 【详解】将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒， 则和重合，和重合，和重合， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·浙江·开学考试）一个长方体的展开图如图所示，每个面分别标上的了1﹣6六个数字（数字在长方体的内侧），已知3、5、6三面面积之和是，且5号面是一个边长3厘米的正方形．如果2号面是长方体底面，那么 号面是长方体上面，这样围成长方体后每相连两个面上的数字之和是质数（可重复）的有 组，这个长方体的体积是 ．    【答案】 6 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握长方体表面展开图的“相间、端是对面”是解题的关键． 根据长方体表面展开图的“相间、端是对面”判断出相对的面，进而得到相邻的面，再由邻面中数字之和为质数的组数，再根据3、5、6三面面积之和是，且5号面是一个边长3厘米的正方形．求出3、6两个面的长，进而得到长方体的长、宽、高，最后由体积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：根据长方体的面积展开图的“相间、端是对面”可得： “1”与“3”，“2”与“6”，“4”与“5”是对面， “1和3”的邻面有“2、4、5、6”，其中，，，，，即相连两个面上的数字和为质数有5组， “2和6”的邻面有“1、3、4、5”，其中，，，，，即相连两个面上的数字和为质数有5组， “4和5”的邻面有“1、2、3、6”，其中，，，，即相连两个面上的数字和为质数有4组， 综上所述，围成长方体后每相连两个面上的数字之和是质数（可重复）的共有（组）； 由相对的面可知， 当2号面是长方体底面时，则6号面位长方体的上面， 3、5、6三面面积之和是，且5号面是一个边长3厘米的正方形， 5、6号面的较长的边长为， 因此这个长方体可以看作底面是边长为的正方形，高为， 体积为， 故答案为：6，，． 10．（24-25七年级上·山东日照·期末）小明在数学活动课中制作了一个长方体包装纸盒（图1），图2是该包装盒平面展开图（粘贴部分忽略不计），相关数据如图2所示，经过测量得出该包装纸盒的长比宽多． (1)设长方体的宽为，则长为______，高为______（都用含的代数式表示）； (2)求长方体包装盒的体积． 【答案】(1)，，或 (2)长方体包装盒得体积是 【分析】（1）设长方体的宽为，由长比宽多，得到长为，用总长为时，则高为，用总长为时，则高为，解答即可． （2）根据题意，得，解得，后根据体积公式解答即可． 本题考查了长方体的展开图，体积计算，熟练掌握展开图是解题的关键． 【详解】（1）解：设长方体的宽为，由长比宽多，则长为， 用总长为时，则高为， 用总长为时，则高为， 故答案为：，，或． （2）解：根据题意，得， 解得 长：，高：． 答：长方体包装盒得体积是． 11．（24-25七年级上·吉林长春·期中）如图是由6个棱长为1的小正方体组成的简单几何体，请在方格纸中分别画出该几何体的主视图、左视图和俯视图． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画小立方体组成的几何体的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键．根据主视图，左视图，俯视图分别是从正面，左面和上面看到的图形进行画图即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图①，②所示为用刀切去正方体一个角得到等边三角形截面的方法．请你实践并思考：将正方体用刀切去一块，它的截面可能是图③中的哪些图形？ 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了截一个几何体，关键在于弄明白平面截正方体时，穿过了几个面或与几条棱相交．若穿过了三个面或与三条棱相交，那么截面是三角形；若穿过了四个面或与四条棱相交，那么截面是四边形(正方形或长方形或梯形)，依此类推，由于正方体只有六个面，所以截面最多的是六边形，而不会是七边形、八边形 【详解】解：根据题意，截面过三条棱，那么截面就是三角形，若截的三条棱长度不一，得到第一个图形，有两条相等得到第三个图形，三条都相等得到第二个图形； 沿上下底面一条对角线垂直上下底面切，得到截面是长方形第五个图形； 沿垂直上下底面或侧面的平面切，得到正方形的截面第六个图形； 不垂直上下底面，且切过上下底面各2条棱，得到梯形截面第七个图形； 切过六条棱，得到正六边形截面第八个图形． 无论怎么切，得不到截面是直角三角形，则截面不可能是第四个图形． 13．（24-25七年级上·广西柳州·阶段练习）如图，左面立．体图形中四边形表示平面截正方体的截面，请在右面展开图中画出四边形的四条边． 【答案】见解析 【分析】先补充图中缺少的字母，然后确定四边形的四条边所在的平面，继而即可求解． 【详解】 解：截面的线在展开图中，如图 【点睛】此题考查正方体的展开图，解决此题的关键是抓住四边形APQC四个顶点所在的位置，再进一步确定四边形的四条边所在的平面就可容易地画出． 14．（2025七年级上·全国·专题练习）如图所示的八棱柱，它的底面边长都是5厘米，侧棱长都是6厘米，回答下列问题： (1)这个八棱柱一共有多少个面？它们的形状分别是什么？图形哪些面的形状、面积完全相同？ (2)这个八棱柱一共有多少条棱？它们的长度分别是多少？ (3)沿一条侧棱将其侧面全部展成一个平面图形，这个图形是什么形状？面积是多少？ 【答案】(1)共有10个面，其中上、下两个底面，8个侧面；上、下底面是八边形，侧面都是长方形；上、下底面的形状、面积完全相同，8个侧面的形状、面积完全相同 (2)共有24条棱，其中侧棱的长度都是6厘米，其他棱长都为底面边长5厘米 (3)240平方厘米 【分析】本题考查了棱柱的相关知识，解决本题的关键是应理解棱柱的构造特点． （1）根据正八棱柱的特征答题； （2）n棱柱有个面，条棱，据此求解； （3）侧面展开图为长方形，求出长为厘米，宽是6厘米，即可求出面积． 【详解】（1）解：这个八棱柱一共有10个面，其中上、下两个底面，8个侧面；上、下底面是八边形，侧面都是长方形；上、下底面的形状、面积完全相同，8个侧面的形状、面积完全相同； （2）解：这个八棱柱一共有条棱，其中侧棱的长度都是6厘米，其他棱长都为底面边长5厘米； （3）解：将其侧面沿一条棱展开，展开图是一个长方形，长为厘米，宽是6厘米，因而面积是（平方厘米）． 15．（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）综合与实践 【问题情境】如图，将边长为10cm的正方形纸片，四角各剪去边长为的小正方形，折成无盖长方体纸盒，当x取何值时，纸盒的容积有最大值？ 【整理·汇总】x的值按如表的整数值依次变化时，纸盒的容积如表所示： 边长 1 2 3 4 5 纸盒容积 64 a b 16 0 (1)【操作·分析】 ①上表中，a=______，b=______； ②随着x的增大，纸盒的容积V变化情况是______（单选题）； A．一直增大    B．一直减小    C．先增大后减小    D．先减小后增大 (2)【思考·猜想】观察上表中的边长x与纸盒容积V变化情况可得：当x为______cm（x为整数）时，纸盒的容积最大，为______cm3： (3)【反思·拓展】当纸盒的容积V最大时，边长x的值未必恰好就是整数，会不会是小数呢？针对这个问题，请你写出解决方案（x精确到0.1cm，V精确到）． 【答案】(1)①，②C (2) (3)见解析，当时， 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，掌握长方体体积的计算方法是正确解答的关键． （1）①根据长方体的体积计算方法进行计算即可；②由表格中对应值的变化关系得出结论； （2）由表格中对应值的变化关系得出结论． （3）利用“夹逼法”分别计算当计算体积V的值，进而得出结论． 【详解】（1）① 故答案为： ②根据表格中数据的对应值的变化关系可知，随着x的增大，纸盒的容积V变化情况是先增大后减小， 故答案为：C （2）表格中的边长x与纸盒容积V变化情况可得：当（x为整数）时，纸盒的容积最大，为 故答案为： （3）由题意得： 当时， 当时， 当时， 当时， 所以，当时， 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 从立体图形到平面图形（3大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 从不同方向看几何体 典型例题二 几何体展开图的认识 典型例题三 正方体几种展开图的识别 典型例题四 正方体相对两面上的字 典型例题五 截一个几何体 典型例题六 由展开图计算几何体的表面积 典型例题七 由展开图计算几何体的体积 典型例题八 求展开图上两点折叠后的距离 知识点01 从不同方向看几何体 1、从不同的方向看同一物体时，从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图，即物体的三视图． 2、画三视图时，应注意：主俯长相等，主左高相等，俯左宽相等． 几何体的三视图 一个物体在三个投影面（正面、侧面、水平面）内同时进行投影，得到不同的图形，便有三视图： (1)主视图：是在正面内得到的由前向后观察物体得到的视图； (2)左视图：是在侧面内得到的由左向右观察物体得到的视图； (3)俯视图：是在水平面内得到的由上向下观察物体得到的视图． 常见的几何体从不同方向看它所得到的平面图形如下表： 实际上，要正确画出一个几何体的从不同方向看它得到的平面图形，必须注意以下三点： (1)正确的视图方向：从不同的方向看一个几何体，视线要与几何体保持水平，而垂直于几何体的面，这样才能保证看图的准确性和真实性，此时看到的面就是这一方向看到的几何体的平面图形． (2)合理的想象方法：在保证正确的视图方向的情况下，可以看成是几何体被压缩成纸片后的图形或者是视线投射下的阴影． (3)观察者所处的位置不同，其视图的结果也不一样． 知识点02平面图形的概念 1.平面图形:有些几何图形的各部分都在平面内,它们是平面图形,例如,点、线段、直线、三角形 长方形、圆等 2.立体图形与平面图形的区别与联系 区别:立体图形的各部分不都在同一平面内,平面图形的各部分都在同一平面内联系: ①立体图形的某些部分是平面图形: ②从不同的方向看立体图形,一般会得到不同形状的平面图形: ③有些立体图形是由一些平面图形围成的,将立体图形适当剪开,可以展开成平面图形 知识点03 展开与折叠 1.正方体的展开图 正方体展开图共计 11 种，分为“2 排型”和“3 排型”两种构型 （1）2 排型： 3+3（共 1 种） （2）3 排 型 ： 1+3+2（共 3 种） 2+2+2（共 1 种） 1+4+1（共 6 种） 2.圆柱、圆锥、正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥、正三棱柱的展开图： 【典型例题一 从不同方向看几何体】 【例1】（2025·河北张家口·模拟预测）如下列各图片所示的景德镇瓷器中，若不考虑瓷器花纹等因素，从正面和左面看到的图形形状相同的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·河南开封·模拟预测）如图是从上面看到的由12个小立方块所搭成的几何体的形状图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，从左面看该几何体的形状图是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，是一个几何体从正面看、上面看和从左面看到的图形，摆这个几何体需要______个小正方体． 【例4】（24-25七年级上·广东揭阳·阶段练习）【问题背景】 用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如图所示，从上面看到形状中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数． 【初步探究】（1）表示的数是______，表示的数是______，表示的数是______； 【深入探究】（2）这个几何体最少由____个小立方块搭成，最多由_____个小立方块搭成。 （3）当，时，画出从左面看这个几何体的形状． 1．（24-25七年级上·广东深圳·期末）鲁班锁（如图）亦称孔明锁、别闷棍、六子联方、莫奈何、难入木等，它起源于中国占代建筑中首创的榫卯结构．传说是春秋时代鲁国工匠鲁班用根木条制作一件可拼可拆的智力玩具，如图是鲁班锁的一个组件的示意图，该组件的俯视图是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河南商丘·期中）根据下列从三个方向看到的几何体的形状图（如图），填上对应几何体的名称： 图（1）所对应的几何体是 ；图（2）所对应的几何体是 ． 3．（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图是由7个棱长为1的小正方体搭成的几何体，请分别画出这个几何体的从左面看和从上面看的形状； 4．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）小林所在的综合实践小组准备制作一些大小相同的正方体纸盒，用来收纳班级讲台上的粉笔（盒盖单独制作）． (1)图1是综合实践小组的同学画出的一些形状图，其中______（填序号）经过折叠能围成一个无盖正方体形纸盒． (2)综合实践小组的同学用制作的8个正方体形纸盒摆成如图2所示的几何体． ①在图3中画出从正面观察图2的几何体所看到的形状图； ②如果在图2的几何体上再添加一些大小相同的正方体形纸盒，并保持从上面看到的形状图和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个正方体形纸盒． 【典型例题二 几何体展开图的认识】 【例1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）下列图形中，不是长方体展开图的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·江苏淮安·模拟预测）将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·广东佛山·期中）如图是某个立体图形的展开图，请你从不同的角度描述这个几何体的特点（写出三点）： ． 【例4】（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒的展开图． (1)这个食品包装盒的几何体名称是________； (2)根据图中所给数据，求这个食品包装盒的侧面积． 1．（24-25七年级上·山西临汾·阶段练习）如图是某几何体的展开图，该几何体是（   ） A．四棱锥 B．三棱锥 C．四棱柱 D．圆柱 2．（24-25七年级上·广东深圳·期中）如图1为一个长方体，，，M为所在棱的中点，图2为图1的表面展开图，则图2中三角形的面积为 ； 3．（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图是一个几何体的展开图： (1)写出该几何体的名称_______________； (2)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是______________（填序号）； ①三角形；②四边形；③五边形；④六边形． (3)根据图中标注的长度（单位：），求该几何体的体积． 4．（24-25七年级上·山东滨州·阶段练习）观察下面左图，把罐头盒的商标纸如下图所示沿高剪开，再展开． (1)把圆柱侧面展开后，得到_____（填图形名称）；这个图形的各边与圆柱有什么关系？其中运用什么数学思想方法？ (2)观察上面右图，圆柱的表面是由哪几部分组成的？ (3)圆柱的表面积计算公式是：_________．（写字母表达式） 【典型例题三 正方体几种展开图的识别】 【例1】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，正方体的六个面上有三个面有图案，它的展开图可能是（      ） A． B． C． D． 【例2】（2025·河南驻马店·模拟预测）年月日，我国成功发射天链二号星．小亮准备制作一个正方体，使其每个表面上分别写有“天”“链”“二”“号”“”“星”．如图是他做的无盖的正方体的展开图，需再补充一个写着“星”的正方形，则该正方形不能补充在（   ） A．①处 B．②处 C．③处 D．④处 【例3】（24-25七年级上·福建厦门·期末）在数学活动课上，同学们通过“剪一剪、画一画、折一折”的方法学习立体图形的展开图．如图，其中标注序号的图形都是正方形，小艺认为它可以作为一个正方体的展开图，则她的判断 （填“正确”或“错误”），理由是 ．    【例4】（24-25七年级上·山东烟台·期中）将正方体沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，可以得到其表面展开图． (1)下列图形属于正方体的表面展开图的有______个． (2)若一个正方体的平面展开图如图，若要把它粘成一个正方体，那么与点重合的点是点______． (3)通过对正方体的展开图的研究，你发现至少剪开______条棱，就能将它展成平面图形． 1．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图所示，图中每个小正方形的大小都相同，有4个涂了阴影，另外8个都标了字母，若从标了字母的8个正方形中抽出一个，能和4个阴影部分一起折成一个无盖的正方体盒子的共有（  ）个． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 2．（24-25七年级上·辽宁丹东·期中）图1、图2均是正方体，图3是由一些大小相同的正方体搭成的几何体从正面看和左面看得到的形状图，小敏同学经过研究得到如下结论： ①若将图1中正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，至少需要剪开7条棱； ②用一个平面从不同方向去截图1中的正方体，得到的截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形； ③用一个平面去截图1中的正方体得到图2，截面三角形ABC中； ④如图3，要搭成该几何体的正方体的个数最少是6． 其中结论正确的为 （填写序号）．    3．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）综合实践小组准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 【操作探究】（）综合实践小组准备制作一个无盖的正方体纸盒，如图中只有四个正方形，请在原图上补画一个正方形，使其经过折叠能围成无盖的正方体纸盒； 【问题解决】（）图是综合实践小组的设计图，把它折成无盖的正方体纸盒后与有“卫”字一面的相对面上的字是______；（字在盒外） 【拓展探究】（）如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个相同的小正方形，折成一个无盖长方体纸盒.当四角剪去的小正方形的边长为时，请求出纸盒的容积．（纸张厚度忽略不计） 4．（24-25七年级上·重庆·期末）【问题情境】元旦节，班级需要进行文化布置，各个学习小组分工制作装饰品： (1)小颖所在的综合实践小组准备制作一些无盖正方体纸盒收纳班级讲台上的小物件．图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？______（填序号）． (2)小志组准备制作一个有盖的大正方体盒子，他们先用5个大小一样的正方形制成如图2，3所示的拼接图形（阴影部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图2，图3中的图形上再各拼接一个位置不同的正方形（用阴影表示），使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．    (3)小亮组制作了若干个小正方体盒子，搭成几何体的形状，它从正面和上面看到的图形如图4所示，则这样的几何体有______种？它最多需要______个小立方块？最少需要______个小立方块？请分别画出需要小立方块最少时，从左面看到的几何体的形状图．（画出所有可能的情况） 【典型例题四 正方体相对两面上的字】 【例1】（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）把下列图形折成正方体的盒子，折好后与“心”相对的字是（   ） A．想 B．祝 C．事 D．成 【例2】（2025·河北沧州·模拟预测）将“燕赵多豪杰”这五个字写在一个正方体的五个面上．如图是该正方体的一种展开图，则原正方体中与“★”所在面相对面上的汉字是（    ） A．多 B．燕 C．豪 D．杰 【例3】（24-25七年级上·四川乐山·期末）如图是正方体的展开图，则正方体相对两个面上的数字之和的最大值是 【例4】（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图是一个正方体的展开图，如果正方体的相对两个面上所标注的式子的值互为相反数，求x的值. 1．（24-25七年级上·广东深圳·期末）小明受到了飞行棋游戏中骰子的启发，自己也做了一个特别的正方体“骰子”（如图），该“骰子”的六个面分别写着，，，，，，小明用自己做的正方体“骰子”进行了次投掷，他看到的情形如图所示，那么“”对面的数字是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）一个正方体的相对的表面上所标的数的和都相等，如图是这个正方体的表面展开图，那么的值是 ． 3．（24-25七年级上·广东梅州·期中）国庆节快到了，小明同学准备了一份礼物送给自己的好朋友．他设计了一个正方体盒子进行包装，如图所示，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子．任意画出一种成功的设计图（在图中补充），并将，，，1，2，3这些数字分别填入六个小正方形，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0（直接在图中填上即可）． 4．（24-25七年级上·广东东莞·期末）综合与实践 问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的______经过折叠能围成无盖正方体纸盒； (2)如图，是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是______； (3)如图，有一张边长为30cm的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒： ①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的体积． 【典型例题五 截一个几何体】 【例1】（24-25七年级上·贵州毕节·期末）用一个平面分别去截下列几何体，截面形状不可能是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）玲玲用两种不同的方法分别去截同一个几何体，分别得到了如图所示的图形，这个几何体可能是（    ） A．球 B．圆柱 C．长方体 D．圆锥 【例3】（24-25七年级上·江西景德镇·期中）一根长方体的木料，正好可以截成两个同样的正方体，这时表面积增加了24平方厘米，这根长方体木料原来的表面积是 平方厘米． 【例4】（24-25七年级上·广东汕头·自主招生）在一个棱长为的正方体木块的每面中心挖一个相通的洞，洞口是边长为的正方形（如图）挖洞后正方体木块的体积是多少立方厘米？ 1．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，一个棱长为15的正方体木块，从它的八个顶点处依次截去棱长分别为1，2，3，4，5，6，7，8的小正方体，最后得到的几何体的表面积是（    ） A． B． C．或 D．或 2．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，把一个长方体平均切成若干个小正方体，除底面外，其他面全部涂上颜色．两面涂色的小正方体有 个，一面涂色的小正方体有 个． 3．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）如图所示的正方体被竖直截取了一部分： (1)画出被截取几何体图形，并写出名称． (2)求被截取的那一部分的体积．（棱柱的体积底面积高） 4．（24-25七年级上·山东青岛·期末）图1是三棱柱和圆柱，将图1中的圆柱沿竖直方向切开后，得到图2的剩余几何体． (1)图2中的几何体与棱柱、圆柱有很多相同点，请你列举2条与棱柱或圆柱的相同点； (2)如何能求出图2中几何体的体积？请写出你的想法． 【典型例题六 由展开图计算几何体的表面积】 【例1】（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）如图中，甲的表面积（   ）乙的表面积． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【例2】（24-25七年级上·北京东城·期末）树体表面涂白可以减少“日烧”和冻害，也可以防治病虫害．如图，一棵树的部分树体的表面被涂白，这部分树体可以看作圆柱，直径约为，高度约为，则该部分树体的涂白面积约为（   ）（注：取） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·江苏常州·期末）正三棱柱（底面为正三角形）的展开图如图所示，则该正三棱柱的侧面积为 ．（用含a，b的代数式表示） 【例4】（24-25七年级上·河南郑州·期中）如图所示三棱柱，高为，底面是一个边长为的等边三角形． (1)该三棱柱有____________条棱，有____________个面，有____________个顶点； (2)用一个平面去截该三棱柱，截面形状不可能是____________（填序号）； ①三角形；②长方形；③五边形；④六边形；⑤圆形； (3)求该三棱柱的所有侧面的面积之和． 1．（24-25七年级上·全国·阶段练习）如图，把一个棱长是40厘米的正方体削成一个最大的圆柱体，圆柱的侧面积是多少平方厘米？正确的列式是　　 A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如图是某几何体从不同方向看所得图形，根据图中数据，求得该几何体的侧面积为 （结果保留）．    3．（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）如图1，这个长方体的高为，底面是一个边长为的正方形． (1)该长方体有___________个面，___________条棱． (2)如图2是该长方体表面展开图的一部分，请将它补充完整． (3)该长方体的侧面积是多少平方厘米？ 4．（24-25七年级上·山东滨州·期末）综合与实践 某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为18cm的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 动手操作一： 根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为ncm的小正方形，再沿虚线折合起来． (1)问题解决： 若，则该长方体纸盒的底面边长为________cm；该长方体纸盒的体积为________； 动手操作二： 根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为ncm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． (2)拓展延伸：若，该长方体纸盒的表面积为多少？ 【典型例题七 由展开图计算几何体的体积】 【例1】（24-25七年级上·西藏·开学考试）我国古代数学名著《九章算术》中指出：底面为正方形的长方体体积是“方自乘，以高乘之即积尺”．即先用底面边长乘边长，再乘高得到长方体的体积．如果底面边长为a，高为h，底面积为S，体积为V，能完整表述这个方法的选项是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的正方形的边长从变为后，长方体纸盒的容积（    ）． A．增加了28 B．减少了28 C．增加了8 D．减少了8 【例3】（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图为一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），可知该无盖长方体的容积为 ． 【例4】（24-25七年级上·全国·期末）小明同学周末帮妈妈拆完快递后，将包装盒展开，进行了测量，结果如图所示．已知长方体盒子的长比宽多，高是． (1)求长方体盒子的长和宽． (2)求这个包装盒的体积． 1．（2025·河北邯郸·模拟预测）用相同尺寸的长方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒．先在纸板上画出其表面展开图（需剪掉阴影部分），两种裁剪方案如图1和图2所示，图中A，B，C均为正方形： 下列说法正确的是（　　） A．方案 1中的 B．方案2中的 C．方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积 D．方案1所得的长方体纸盒的底面积与方案2所得的长方体纸盒的底面积相同 2．（24-25七年级上·广东梅州·期中）在课题学习中，老师要求用长为，宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图1，盒子底面的四边形是正方形． 乙：如图2，盒子底面的四边形是正方形． 丙：如图3，盒子底面的四边形是长方形，． 将三位同学折成的无盖的长方体的容积按从小到大的顺序排列为 ． 3．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）某几何体的展开图如图所示． (1)该几何体是 ；(填名称) (2)求这个几何体的体积． 4．（24-25七年级上·广东佛山·期中）综合与实践 【问题情境】在一次数学实践活动课上，同学们利用一张边长为的正方形纸板开展了“长方体纸盒的制作”实践活动 （1）图1中，是无盖正方体的表面展开图的是______．（填序号） 【操作探究】如图2，勤学小组的同学先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，制成了一个无盖的长方体纸盒． 如图3，善思小组的同学先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制成了一个有盖的长方体纸盒． 【计算分析】 （2）①图2中的长方体纸盒的底面周长为______； ②图3中的长方体纸盒的体积为______； 【问题解决】 （3）请你利用边长为的正方形纸板制作一个长方体纸盒（无盖，有盖均可），仿照图2，图3的绘图方式，画出2种不同的裁剪设计图． 【典型例题八 求展开图上两点折叠后的距离】 【例1】（2025·福建福州·模拟预测）如图，在正方体的平面展开图中A、B两点间的距离为6，折成正方体后A、B两点是正方体的顶点，则这两个顶点的距离是（　　） A．3 B． C．6 D．3 【例2】（2025·山东·模拟预测）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【例3】（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为 ． 【例4】（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图所示，图（1）为一个长方体，AD=AB=10,AE=6,图2为图1的表面展开图字在外表面上，请根据要求回答问题： （1）面“句 ”的对面是面______； （2）如果面“居”是右面,面“宜”在后面,哪一面会在上面？ （3）图（1）中，M、N为所在棱的中点，试在图（2）中画出点M、N的位置；并求出图（2）中三角形ABM的面积. 1．（2025·河南焦作·模拟预测）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（24-25七年级上·重庆·期中）如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是，，的长方体的顶点爬到顶点，它从顶点沿着棱直接爬到点所走的路程，比它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程少 ． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    4．（24-25七年级上·内蒙古包头·阶段练习）一只蚂蚁要从正方体纸箱的一个顶点沿表面爬行到顶点．（蚂蚁不能在纸箱底面爬行）请在原纸箱图上画出蚂蚁爬行的所有可能最短路线． 1．（2025·陕西商洛·模拟预测）如图是某一个几何体的表面展开图，则该几何体是（　　） A．圆柱 B．正方体 C．长方体 D．圆锥 2．（2025·河北唐山·模拟预测）七巧板是中国古代人民创造的益智玩具.如图，用一副七巧板拼出了“灵蛇开运”图.若七巧板中的那两块最大等腰直角三角形的直角边的长为，则拼出右边的“灵蛇开运”图的面积是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 3．（24-25七年级上·云南昆明·期末）如图，一个正方体的六个面上各有一个字，连起来就是“中国梦，我的梦”，其中“中”的对面是“梦”，“的”对面也是“梦”，则它的平面展开图可能是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的小正方形的边长从变为时，长方体纸盒的容积（   ） A．减少了 B．减少了 C．增加了 D．增加了 6．（24-25七年级上·福建泉州·期末）把边长为1厘米的6个相同正方体摆成如图的形状，则该立体图形正视图的面积为 平方厘米． 7．（2025七年级上·全国·专题练习）用平面截几何体可得到平面图形，在表示几何体的字母后填上它可截出的平面图形的号码． 如：A(1，5，6)，则B(________)；C(________)；D(________)． 8．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图1，是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，现将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图2）后，与线段重合的线段是 ． 9．（24-25七年级上·浙江·开学考试）一个长方体的展开图如图所示，每个面分别标上的了1﹣6六个数字（数字在长方体的内侧），已知3、5、6三面面积之和是，且5号面是一个边长3厘米的正方形．如果2号面是长方体底面，那么 号面是长方体上面，这样围成长方体后每相连两个面上的数字之和是质数（可重复）的有 组，这个长方体的体积是 ．    10．（24-25七年级上·山东日照·期末）小明在数学活动课中制作了一个长方体包装纸盒（图1），图2是该包装盒平面展开图（粘贴部分忽略不计），相关数据如图2所示，经过测量得出该包装纸盒的长比宽多． (1)设长方体的宽为，则长为______，高为______（都用含的代数式表示）； (2)求长方体包装盒的体积． 11．（24-25七年级上·吉林长春·期中）如图是由6个棱长为1的小正方体组成的简单几何体，请在方格纸中分别画出该几何体的主视图、左视图和俯视图． 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图①，②所示为用刀切去正方体一个角得到等边三角形截面的方法．请你实践并思考：将正方体用刀切去一块，它的截面可能是图③中的哪些图形？ 13．（24-25七年级上·广西柳州·阶段练习）如图，左面立．体图形中四边形表示平面截正方体的截面，请在右面展开图中画出四边形的四条边． 14．（2025七年级上·全国·专题练习）如图所示的八棱柱，它的底面边长都是5厘米，侧棱长都是6厘米，回答下列问题： (1)这个八棱柱一共有多少个面？它们的形状分别是什么？图形哪些面的形状、面积完全相同？ (2)这个八棱柱一共有多少条棱？它们的长度分别是多少？ (3)沿一条侧棱将其侧面全部展成一个平面图形，这个图形是什么形状？面积是多少？ 15．（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）综合与实践 【问题情境】如图，将边长为10cm的正方形纸片，四角各剪去边长为的小正方形，折成无盖长方体纸盒，当x取何值时，纸盒的容积有最大值？ 【整理·汇总】x的值按如表的整数值依次变化时，纸盒的容积如表所示： 边长 1 2 3 4 5 纸盒容积 64 a b 16 0 (1)【操作·分析】 ①上表中，a=______，b=______； ②随着x的增大，纸盒的容积V变化情况是______（单选题）； A．一直增大    B．一直减小    C．先增大后减小    D．先减小后增大 (2)【思考·猜想】观察上表中的边长x与纸盒容积V变化情况可得：当x为______cm（x为整数）时，纸盒的容积最大，为______cm3： (3)【反思·拓展】当纸盒的容积V最大时，边长x的值未必恰好就是整数，会不会是小数呢？针对这个问题，请你写出解决方案（x精确到0.1cm，V精确到）． 学科网（北京）股份有限公司 $$