第01讲 生活中的立体图形（1大知识点+6大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025年暑假新七年级数学衔接讲义（北师大版2024）

第01讲 生活中的立体图形（1大知识点+6大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 常见的几何体 典型例题二 组合几何体的构成 典型例题三 立体图形的分类 典型例题四 几何体中的点、棱、面 典型例题五 点、线、面、体四者之间的关系 典型例题六 平面图形旋转后所得的立体图形 知识点01 立体图形 1.定义： 图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体、圆柱、圆锥、球等．棱柱、棱锥也是常见的立体图形． 拓展： 常见的立体图形有两种分类方法： 2.棱柱的相关概念： 在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱． 通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……（如下图） 拓展：（1）棱柱所有侧棱长都相等．棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形． （2）长方体、正方体都是四棱柱． （3）棱柱可分为直棱柱和斜棱柱．直棱柱的侧面是长方形，斜棱柱的侧面是平行四边形． 3．点、线、面、体： 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点．从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系． 此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体． 【典型例题一 常见的几何体】 【例1】（24-25七年级上·重庆大渡口·期末）下列图形中，是圆柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据几何体的分类逐项判断即可．本题主要考查几何图形，牢记几何体的分类是解题的关键． 【详解】A、为球，该选项不符合题意； B、为圆锥，该选项不符合题意； C、为正方体，该选项不符合题意； D、为圆柱，该选项符合题意． 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·广东佛山·期中）下面四个物体中，最接近圆柱的是（   ） A．篮球 B．灯罩 C．茶叶罐 D．冰箱 【答案】C 【分析】本题考查了认识立体图形，比较简单，熟悉圆柱体是解题的关键． 观察所给图形，根据圆柱体的特点即可做出判断． 【详解】解：最接近圆柱的是茶叶罐． 故选：C． 【例3】（2024七年级上·黑龙江·专题练习）积木是很多同学小时候玩过的一种玩具，对于锻炼手眼协调能力，培养科学思维很有帮助．如图所示是用积木拼成的小车，写出你能看出的立体图形： ．（写两种即可）    【答案】长方体、三棱柱（答案不唯一） 【分析】本题考查了立体图形．根据立体图形的定义求得即可． 【详解】解：立体图形有长方体、三棱柱、圆柱体． 故答案为：长方体、三棱柱（答案不唯一）． 【例4】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，一个直五棱柱的底面边长都是，侧棱长为． （1）它有 个侧面； （2）它的侧面的形状是 ，它的所有侧面的面积之和是 ． 【答案】 5 长方形 【分析】本题考查的是棱柱的认识，棱柱的侧面积的计算； （1）根据图形可得直五棱柱有个侧面； （2）由图形可得侧面是长方形，再利用长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：（1）一个直五棱柱有个侧面； 故答案为： （2）直五棱柱的侧面是长方形， 所有侧面的面积之和是． 故答案为：长方形， 【例5】（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）有一个硬纸做成的礼品盒（结果保留） (1)做这样一个礼品盒至少要硬纸多少平方厘米？ (2)这个礼品盒的体积是多少？ 【答案】(1)做这样一个礼品盒至少要硬纸平方厘米 (2)这个礼品盒的体积是立方厘米 【分析】本题考查了几何体的表面积和圆柱体的体积，解题的关键是掌握几何体的表面积和圆柱体的体积计算公式． （1）根据几何体的表面积计算即可； （2）根据圆柱体的体积公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得： （平方厘米）； 答：做这样一个礼品盒至少要硬纸平方厘米． （2）； 答：这个礼品盒的体积是立方厘米． 1．（24-25七年级上·四川广元·期末）如图所示是一款茶叶的包装盒，它对应的立体图形的名称是（   ） A．圆柱 B．长方体 C．五棱柱 D．六棱柱 【答案】D 【分析】本题考查了立体图形的认识，底面是六边形的柱体是六棱柱，据此即可作答． 【详解】解：结合茶叶的包装盒，得出底面是六边形的柱体， ∴它对应的立体图形的名称是六棱柱， 故选：D 2．（2025·河南商丘·模拟预测）端午节吃粽子是我国传统节日里的一大亮点．2025年端午节前夜，小红包了一个粽子后发现它每个面均是等边三角形，如图所示，这个粽子可以近似看作（   ） A．长方体 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥 【答案】D 【分析】本题考查了几何体，熟练掌握各基本几何体的特征是解题的关键． 根据三棱锥的形态特征进行判断即可． 【详解】解：小红包了一个粽子后发现它每个面均是等边三角形，这个粽子可以近似看作三棱锥， 故选：D． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）对于粉笔盒、三棱镜、乒乓球、易拉罐、书本这些生活中的物品，其形状类似于棱柱的有 ． 【答案】粉笔盒、三棱镜、书本 【分析】本题考查了棱柱的特征，熟练掌握棱柱的特征是解题的关键； 棱柱所有侧棱长都相等，底面是多边形，上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形． 【详解】解：粉笔盒、三棱镜、书本可以看成棱柱，乒乓球是球体，易拉罐瓶是圆柱； 故答案为：粉笔盒、三棱镜、书本 4．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的物体中都类似于哪些几何体？将这些几何体进行分类，并说明分类理由． 【答案】①类似于长方体，②类似于圆锥，③类似于圆柱，④类似于球体，⑤类似于正方体，⑥类似于棱锥．可按锥体、柱体、球体进行分类：则有图①③⑤为柱体；图②⑥为锥体；图④为球体 【分析】本题考查了几何体的分类，掌握几何体的形状和特征，制定恰当的分类标准是关键． 根据所给的几何体的形状和特征，找出由一个曲面围成的几何体；由常见几何体的形状和特征，找出其中有顶点的锥体；观察所给图形的形状和特征，把剩下的放到一组． 【详解】解：①类似于长方体，②类似于圆锥，③类似于圆柱，④类似于球体，⑤类似于正方体，⑥类似于棱锥． 可按锥体、柱体、球体进行分类：则有图①③⑤为柱体；图②⑥为锥体；图④为球体． 5．（24-25七年级上·山西晋城·期末）综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： (1)通过数上面图形中每个多面体的顶点数（）、面数（）和棱数（），填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 20 30 通过填表发现：顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是 ，这就是伟大的数学家欧拉（L.Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： (2)已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是 棱柱； (3)已知一个多面体只有8个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 【答案】(1)表见解析， (2)五 (3)6 【分析】（1）通过观察，发现棱数顶点数面数； （2）根据棱柱的定义进行解答即可； （3）由（1）得出的规律进行解答即可． 【详解】（1）解：填表如下： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是， 故答案为：； （2）解：一个棱柱只有七个面，必有2个底面， 有个侧面， 这个棱柱是五棱柱， 故答案为：五； （3）解：由题意得：棱的总条数为（条）， 由可得, 解得：， 故该多面体的面数为6． 【点睛】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，正确看出图形中各量之间的关系是解题的关键． 【典型例题二 组合几何体的构成】 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）用棱长1分米的小正方体木块，拼成一个较大的正方体，大正方体的体积不可能是（　　）立方分米． A．4 B．8 C．27 D．64 【答案】A 【分析】 本题考查正方体的体积，根据正方体的体积公式解答即可． 【详解】 解：∵，，， ∴可以用8个小正方体拼成棱长2分米的大正方形， 可以用27个小正方体拼成棱长3分米的大正方形， 可以用64个小正方体拼成棱长4分米的大正方形， ∴用棱长1分米的小正方体木块，拼成一个较大的正方体，大正方体的体积不可能是4立方分米． 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·山东青岛·单元测试）如图中的长方体是由三个部分拼接而成，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，其中第三部分所对应的几何体应是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了认识立体图形，找到长方体中第三部分所对应的几何体的形状是解题的关键．观察长方体，可知第三部分所对应的几何体在长方体中，上面有二个正方体，下面有二个正方体，再在各个选项中根据图形作出判断． 【详解】解：由长方体和第三部分所对应的几何体可知， 第三部分所对应的几何体上面有二个正方体，下面有二个正方体，并且与选项C相符． 故选：C． 【例3】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，能看到的正方体有 块，看不到的正方体有 块． 【答案】 16 14 【分析】本题考查的是立体图形，解决本题的关键是利用总的正方体个数减去看到的正方体个数，得到看不到的正方体的个数．看到的正方体个数直接数出来就可以了，看不到的正方体个数用总的正方体个数减去看到的正方体个数即可． 【详解】解：看到的正方体有（块， 总的正方体个数有（块， 看不到的正方体有（块． 故答案为：16，14． 【例4】（24-25七年级上·广东佛山·期末）如图是一个几何体，请你描述这个几何体的特点（写出三点）： ． 【答案】①有六个顶点；②有九条棱；③有五个面（答案不唯一） 【分析】本题考查了几何体的结构特征，根据点、棱、面可写出三个特点，了解几何体的结构特征是解题的关键． 【详解】解：由图可得：该几何体有六个顶点， 有九条棱， 有五个面，其中两个面是三角形，三个面是四边形， 故答案为：①有六个顶点；②有九条棱；③有五个面． 【例5】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，请写出下列立体图形是由哪些几何体组合而成的． 【答案】见解析． 【分析】根据生活中常见的几何体的特征进行求解即可得到答案． 【详解】解：图①是由底面完全重合的圆锥和圆柱组合而成的； 图②是由底面完全重合的两个圆锥组合而成的； 图③是由完全相同的四个正方体组合而成的． 【点睛】本题主要考查了立体图形中的几何体，解题的关键在于能够熟练掌握常见的几何体的特征． 1．（24-25七年级上·广东·单元测试）下列说法中错误的是（   ） A．棱柱有两个互相平行，形状相同，大小相等的面 B．棱锥除一个面外，其余各面都是三角形 C．圆柱的侧面可能是长方形 D．正方体是四棱柱，也是六面体 【答案】C 【分析】根据棱柱、棱锥、圆柱、正方体的概念选择即可． 【详解】解：A．棱柱有两个完全相同且相互平行的面，故选项正确，符合题意； B．棱锥的底面是多边形，侧面是三角形，故选项正确，符合题意； C．圆柱的侧面是曲面，侧面展开图是长方形，故选项不正确，不符合题意；． D．正方体是四棱柱，棱柱都是多面体，正方体有六个面，所以是六面体，故选项正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了棱柱、棱锥、圆柱、正方体的概念，解题的关键是熟悉相关概念． 2．（2025·江苏常州·模拟预测）若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积超过7，则正方体的个数至少是 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：∵要求塔形露在外面的面积超过7（不包括下底面），最下面的立方体棱长为1， ∴最下面的立方体露出的面积为：4×（1×1）+0.5=4.5； 那么上面一层假如有立方体的话露出的面积为4×0.5+0.5×0.5=2.25，这两层加起来的面积为：6.75． 那么上面一层假如还有立方体的话露出的面积为4×0.25+0.25×0.25=1.0625，这三层加起来的面积为：7.8125． ∴立方体的个数至少是3． 故选B． 3．（2025·江苏南京·模拟预测）玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为 ． 【答案】 【分析】本题考查组合体的体积，将图中组合体分成上下两部分，上面部分为圆柱的一半，下半部分为圆柱，再根据圆柱的体积公式即可求解． 【详解】解：如图，将水的体积分成上下两部分，上面部分为圆柱的一半，下半部分为圆柱， 上半部分的体积为：， 下半部分的体积为：， 故杯中水的体积为：， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）由5个相同的小立方块搭出的下列几何体如图所示． (1)从左面看到的图形是的几何体有______，从上面看到的图形是的几何体有______，从正面看到的图形是的几何体有______；（填序号） (2)如果小立方块棱长都为，求图③这个几何体的表面积． 【答案】(1)①②⑤，④，①③ (2) 【分析】本题考查了从不同方向看几何体、几何体的表面积，具备较强的空间想象能力是解题关键． （1）分别画出5个几何体从不同方向看得到的图形，由此即可得； （2）根据该几何体的表面正方形的个数求解即可得． 【详解】（1）解：图①从左面、上面、正面看得到的图形如下： 图②从左面、上面、正面看得到的图形如下： 图③从左面、上面、正面看得到的图形如下： 图④从左面、上面、正面看得到的图形如下： 图⑤从左面、上面、正面看得到的图形如下： 则从左面看到的图形是的几何体有①②⑤，从上面看到的图形是的几何体有④，从正面看到的图形是的几何体有①③； 故答案为：①②⑤，④，①③． （2）解：图③这个几何体的表面积为， 答：图③这个几何体的表面积为． 5．（2025·福建龙岩·模拟预测）根据国际标准，系列纸为矩形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸…… 将纸按如图1所示的方式折叠． (1)观察图1的折叠过程，可知纸矩形的宽与长的比值为___________； (2)某兴趣小组在实践活动中尝试用纸板做一个无盖的长方体纸盒，要求如下：把一张纸板分割成个矩形纸板，用其中一个作为底面，其余个作为侧面，恰好能粘接成一个无盖的长方体纸盒，小鑫同学画出了如图2所示的设计示意图，该长方体纸盒底面的面积为． 请你在图3，图4所示的纸板中画出两种与小鑫同学不同的设计示意图，并在图中直接标出长方体纸盒的底面和底面的面积． 【答案】(1) (2)作图见解析，不唯一 【分析】本题考查长方体的认识，二次根式的运算，正方形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握长方体的侧面和底面的关系是解题的关键． （1）设纸的长为，宽为，第一次翻折：由图可知，，得出，第一次翻折中，则，即可求解； （2）纸宽为，先利用图2的底面积得出，分别利用长方体的特征得到如图3和图4，再将底面积分别用含的代数式表示出来，再将代入即可求解． 【详解】（1）解：设纸的长为，宽为， 第一次翻折：由图可知，， ∴四边形是正方形， ∴， 第一次翻折：， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵纸的宽与长的比值为， ∴如图，设，， 由题可知， ∴底面积为， 得， 作法不唯一，如图3，按此方法分割，其中，，可以接成无盖的长方体， 此时，， ∴， ∴底面积为， 此时如图： 如图4，按此方法分割，其中，，可以接成无盖的长方体， 此时，， ∴， ∴底面积为， 此时如图： 【典型例题三 立体图形的分类】 【例1】（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）下列几何体中，属于棱柱的是（      ） A．①②③⑥ B．①② C．①③⑥ D．①⑥ 【答案】C 【分析】本题主要考查立体图形，掌握棱柱的定义是解题的关键． 根据棱柱的定义即可求解 【详解】解：①棱柱；②圆柱；③棱柱；④棱锥；⑤圆锥；⑥棱柱． 属于棱柱的有：①③⑥； 故选：C 【例2】（2025·河南南阳·模拟预测）分别观察下列几何体，其中只有曲面的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了认识立体图形，熟练掌握每一个几何体围成的面是平面还是曲面是解题的关键． 根据图形观察，围成立体图形的各个面是平面还是曲面逐一判断即可． 【详解】 解：A. 只有曲面，故该选项符合题意； B. 有曲面也有平面，故该选项不符合题意； C. 有曲面也有平面，故该选项不符合题意； D. 只有平面，故该选项不符合题意； 故选：A． 【例3】（2024七年级上·山东·专题练习）如图，图中柱体的个数是 个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了柱体的识别，一个多面体有两个面互相平行且全等，余下的每个相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体就为柱体，柱体分为圆柱和棱柱，据此进行判断即可． 【详解】解：柱体有①③④⑤⑥，共5个． 故答案为：5． 【例4】（2025七年级上·全国·专题练习）对几何体分类时，首先确定标准，即： （1）从形状方面，按柱体、 、球划分； （2）从面的方面，按组成的面有无 划分； （3）从顶点方面，按有无 划分． 【答案】 锥体 曲的面 顶点 【分析】根据不同的分类标准的要求即可求解． 【详解】解：（1）从形状方面，按柱体、__锥体______、球划分； （2）从面的方面，按组成的面有无____曲的面______划分； （3）从顶点方面，按有无____顶点____划分． 故答案为（1）锥体，（2）曲的面，（3）顶点． 【点睛】本题考查立体图形的不同分类方法，掌握各种分类标准及要求是解题关键． 【例5】（24-25七年级上·贵州毕节·阶段练习）指出如图所示的立体图形中的柱体、锥体、球． (1)如果按“柱、锥、球”来分，柱体有 ，锥体有 ，球有 ； (2)如果按“有无曲面”来分，有曲面的有 ，无曲面的有 ． 【答案】(1)（），（），（）；（）（）；（）； (2)（），（），（）；（），（），（）． 【分析】（）根据立体图形的分类即可求解； （）根据立体图形的分类即可求解； 本题考查了立体图形，熟练掌握立体图形的特点是解题的关键． 【详解】（1）按“柱、锥、球”来分，柱体有（），（），（），锥体有（）（），球有（）， 故答案为：（），（），（）；（）（）；（）； （2）按“有无曲面”来分，有曲面的有（），（），（），无曲面的有（），（），（）， 故答案为：（），（），（）；（），（），（）． 1．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）下列图形中，立体图形有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形，正确理解立体图形的定义是解题关键； 根据立体图形的定义即可求解； 【详解】解：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形； 可以看到第二个图形和第四个图形是立体图形； 故选：B 2．（2025七年级上·全国·专题练习）物理实验室有高度同为10cm的圆柱形容器A和B（如图），它们的底面半径分别为2cm和4cm，用一水龙头单独向A注水，3分钟后可以注满容器．在实验室课上，某同学将两容器在它们高度的一半用一个细水管连通（连接细管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，问6分钟后容器A中水的高度是（    ）cm．（注：若圆柱体底面半径为r，高为h，体积为V，则） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】3分钟后可以注满容器A，可以算出水的流速，从而可以得出6分钟内水龙头的出水量，然后得出答案． 【详解】解：3分钟后可以注满容器A，A容器的体积为． 则6分钟的注入水量为， 设6分钟后容器A中水的高度是， 当时，，注入水量． 当时，，注入水量． 当时，，注入水量 故选：B． 【点睛】本题考查了认识立体图形，解题关键是要读懂题目的意思，也考查了同学们的物理知识和分类讨论的思想． 3．（2025七年级·全国·专题练习）常见几何体的分类： （1）按形状 （2）按围成几何体的面 （3）按有无顶点 【答案】①柱体②锥体 【分析】立体几何按形状分类可分为：柱体、锥体和球体，根据立体图形的特征分类即可． 【详解】解：按形状分类，圆柱和棱锥属于柱体，圆锥和棱锥属于锥体， 故答案为：柱体；锥体． 【点睛】本题考查立体几何图形的分类，熟练掌握分类方法和图形的特征是解题的关键． 4．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）将下列几何体进行分类．    【答案】见详解 【分析】根据分类首先要确定标准，可以可以按柱、锥、球来划分，进而得出答案； 【详解】分类首先要确定标准，按可以按柱、锥、球来划分： ①②长方体和正方体，属于柱体； ③球体，属于球体； ④圆锥，属于锥体； ⑤六棱柱，属于柱体； ⑥五棱锥，属于锥体； ⑦三棱柱，属于柱体； ⑧圆柱，属于柱体； 按柱、锥、球来划分：①②⑤⑦⑧是一类，即柱体； ④⑥是一类，即锥体； ③是球体； 【点睛】此题主要考查了认识立体图形，正确确定分类依据是解题关键． 5．（24-25六年级·上海·阶段练习）淘气和笑笑去参观温室无土蔬菜养植园．    (1)养植园是个长方形，画在的图纸上，长，宽，这个养植园实际的长和宽各是多少米？ (2)养植园外形是一个半圆柱形（如图1），半圆柱形外覆盖了一层塑料薄膜，需要多少平方米的塑料薄膜？ (3)利用如图2中的阴影部分铁皮，刚好能做成一个园区内的圆柱形营养液蓄储桶（接口处忽略不计），这个营养液蓄储桶的容积是多少？ 【答案】(1)100米；30米 (2)5416.5平方米 (3)803.84升 【分析】（1）根据实际距离等于图上距离除以比例尺，进行换算即可； （2）养殖园的长等于圆柱的高，养殖园的宽等于圆柱底面直径，塑料薄膜面积等于圆柱底面积和侧面积的和除以2，据此列式解答； （3）圆柱侧面沿高展开是个长方形，观察可知，长方形的长等于圆柱底面周长，底面直径乘以2等于圆柱的高，设底面直径是x分米，根据底面直径加底面周长等于33.12分米，列出方程求出底面直径，再根据圆柱体积等于底面积乘以高，求出容积即可． 【详解】（1）解；， ， 答：这个养植园实际的长和宽各是100米、30米； （2）解： （平方米） 答：需要5416.5平方米的塑料薄膜； （3）解：解：设底面直径是x分米， （立方分米） （升） 答：这个营养液蓄储桶的容积是803.84升． 【点睛】关键是掌握图上距离与实际距离的换算方法，熟悉圆柱特征，掌握并灵活运用圆柱表面积和体积公式． 【典型例题四 几何体中的点、棱、面】 【例1】（24-25七年级上·广东惠州·期末）对于如图所示的几何体，说法正确的是（   ） A．几何体是三棱锥 B．几何体有6条侧棱 C．几何体的侧面是三角形 D．几何体有3个侧面 【答案】D 【分析】根据三棱柱的特征，逐一判断选项，即可．本题考查了认识立体图形，熟练掌握三棱柱的特征是解题的关键． 【详解】解：∵该几何体是三棱柱， ∴底面是三角形，侧面是四边形，有3条侧棱， ∴D说法正确，A、B、C说法错误， 故选D． 【例2】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）若围成一个几何体的面全是平的，则这个几何体可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了认识立体图形，关键是掌握立体图形的形状．根据立体图形的形状可直接得到答案． 【详解】解：A、圆锥的侧面是曲面，故不符合题意； B、三棱柱的面都是平面，故符合题意； C、圆柱的侧面是曲面，故不符合题意； D、球是由一个曲面围成的，故不符合题意． 故选：B． 【例3】（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图，该几何体是一个直棱柱，它的名称是 ，它有 个顶点， 条棱． 【答案】 四棱柱 8 12 【分析】本题考查了认识立体图形，根据四棱柱的特征即可得出答案． 【详解】解：该几何体是一个直棱柱，它的名称是四棱柱，它有8个顶点12条棱． 故答案为：四棱柱，8，12． 【例4】（24-25七年级上·宁夏银川·期末）银川承天寺塔（如图），始建于西夏天佑垂圣元年（公元1050年），是宁夏现存古塔中最高的一座砖塔．它是一座八角十一层楼阁式砖塔，它可以近似地看作由十一个八棱柱构成．请问：一个八棱柱一共有 角 条棱， 有 面， 有 个顶点． 【答案】 【分析】本题考查立体几何的知识，解题的关键是掌握八棱柱的立体图形，根据图形，进行解答，即可． 【详解】解：八棱柱是一个有个侧面的棱柱，每个侧面都是矩形，有两个底面，每个底面都是都是一个八边形，每个底面有个顶点；每个底面有条棱，每个底面的顶点都于另一个底面对应的顶点相连； ∴八棱柱有个角；有条棱；有个面；有个顶点； 故答案为：；；；． 【例5】（24-25七年级上·陕西西安·期末）一个直五棱柱的模型如图所示，它的底面边长都为，侧棱长都为．求该直五棱柱所有侧面的面积之和． 【答案】该直五棱柱所有侧面的面积之和为 【分析】本题考查了求几何体的侧面积，有理数的乘法，由底面边长都是可知每个侧面的面积都相等，用一个侧面的面积乘以侧面的个数即可． 【详解】解：． 答：该直五棱柱所有侧面的面积之和为 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的几何体中，面与面相交形成几条线？（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查简单几何体，熟练掌握简单几何体的特征是解题的关键； 根据面与面相交成线即可求解； 【详解】解：面与面相交成条线；即侧面与上面相交的一条曲的和一条直的线，侧面与下面相交的一条曲的和一条直的线，侧面上的曲面与平面相交成两条直的线，共条线； 故选：B 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线剪裁，最后将图④中的纸片打开铺平，所得到的图案是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中所给剪纸方法，进行动手操作，答案就会很直观地呈现． 【详解】解：严格按照图中的顺序进行操作，展开得到的图形如选项B中所示， 故选：B． 【点睛】本题考查了剪纸问题，动手能力及空间想象能力，解题的关键是学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现． 3．（24-25七年级上·北京房山·期末）棱锥的顶点数（V），面数（F），棱数（E）之间存在一定的数量关系，如下表： 名称 图形 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 三棱锥 四棱锥 五棱锥 六棱锥 ① （1）根据以上信息，表格中①处应填 ； （2）请用，，表示棱锥的顶点数、面数、棱数之间的数量关系 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何体中点，面，棱之间的数量关系，数字类的规律探索； （1）根据观察六棱锥的棱数为底面6条棱与侧面6条棱，即可求解． （2）观察表格中的数据可知，顶点数和面数的和减去棱数刚好等于，据此规律即可求解． 【详解】解：（1）六棱锥的棱数为底面6条棱与侧面6条棱，共有条棱， 故答案为：． （2） …… ∴ 故答案为：． 4．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）一个直棱柱的所有棱长之和为，它共有12条棱，且所有棱的长度相等 (1)填空：__________； (2)这个直棱柱有几个面？几个顶点？ (3)求这个直棱柱的表面积． 【答案】(1)4 (2)有6个面，8个顶点 (3)表面积为 【分析】本题主要考查了直棱柱的基本性质，包括棱数、面数、顶点数的计算公式以及表面积的计算等知识点．解题的关键是熟知直棱柱的相关概念． （1）根据n直棱柱的总棱数为即可求解； （2）根据n直棱柱的总面数为即可求解； （3）根据所有棱长之和与总棱数可求得每条棱长，再根据直四棱为正方体即可求得直棱柱的表面积． 【详解】（1）已知直棱柱共有12条棱，对于n直棱柱，总棱数为，则，解得． （2）对于n直棱柱，面的数量为，顶点数量为． 当时，面的数量为个，顶点数量为个． 答：直棱柱有6个面，8个顶点． （3）因为所有棱的长度相等，设棱长为a，所有棱长之和为，总棱数为12条，则，解得，因此该直四棱柱是一个正方体， 其表面积 答：这个直棱柱的面积为． 5．（24-25七年级上·全国·阶段练习）如图所示是一些常见的多面体． (1)数一下每一个多面体具有的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F），并且把结果记入表中： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正四面体 4 4 6 正方体 正八面体 正十二面体 正二十面体 12 20 30 (2)观察表中数据，猜想多面体的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F）之间的关系； (3)若已知一个多面体的顶点数，棱数，请你用（2）中的结果求这个多面体的面数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)100 【分析】本题是对欧拉公式的考查，观察图形准确数出各图形的顶点数、面数、棱数是解题的关键． （1）中根据图形数出顶点数，面数，棱数，填入表格即可； （2）根据表格数据，由顶点数与面数的和减去棱数等于2进行解答； （3）中把顶点与棱数代入上步所得公式进行计算即可求解． 【详解】（1）所填数据如表所示： 正方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 （2）因为， 所以． （3）由，得，所以，所以这个多面体的面数为100． 【典型例题五 点、线、面、体四者之间的关系】 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）刷涂料时，毛刷拖动一次形成一个面，这说明了（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面面相交成线 【答案】B 【分析】本题主要考查了点、线、面、体之间的关系，掌握点动成线、线动成面、面动成体的知识点是解题的关键． 根据点动成线、线动成面、面动成体的知识点解题即可． 【详解】解：刷涂料时，可将毛刷看作一条线，毛刷拖动一次形成一个面，这说明了线动成面． 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·重庆秀山·期末）数学知识在生活中应用广泛，同学们用过如图这种折扇吧，因为它折起来便于携带，所以深受人们的喜爱、折扇展开的过程运用的数学原理是（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面与面相交的地方是线 【答案】B 【分析】本题考查了点、线、面、体，从运动的观点来看：点动成线，线动成面，面动成体，点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．根据线动成面即可得出答案． 【详解】解：折扇展开的过程运用的数学原理是线动成面． 故选：B． 【例3】（24-25七年级上·四川成都·期中）折扇的每一根扇骨可以看作是一条线，当我们打开折扇时，众多扇骨同时运动，这些扇骨运动所形成的区域就构成了一个扇面，从数学的角度来解释，这种现象说明了 ． 【答案】线动成面 【分析】本题考查了线、面的关系，根据题意，结合线动成面的数学原理：某一条线在运动过程中留下的运动轨迹会组成一个平面图形，这个平面图形就是一个面，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，这种现象可以用数学原理解释为：线动成面． 故答案为：线动成面 【例4】（24-25七年级上·河北廊坊·期末）如图，将一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周，得到的几何体是圆锥，这一现象能用数学知识解释，其为 ．（填“点动成线”“线动成面”或“面动成体”） 【答案】面动成体 【分析】本题主要考查了点线面体的关系，掌握点线面体的关系成为解答本题的关键．根据一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周得到圆锥即可解答． 【详解】解：∵一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周得到圆锥， ∴体现了面动成体． 故答案为：面动成体． 【例5（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）如图，已知（即直角三角形）的两条直角边分别为，，以该三角形的一条直角边所在直线为轴，将其旋转一周，形成什么几何体？并求其体积．（结果保留）    【答案】绕它的一条直角边旋转一周，形成的几何体是圆锥，得到的几何体的体积是或 【分析】分两种情况讨论：①以的直角边为轴旋转；②以的直角边为轴旋转，得到的几何体为圆锥，再利用圆锥的体积公式即可得到答案． 【详解】解：以三角形的一条直角边所在直线为轴，将其旋转一周，形成的几何体是圆锥； ①以的直角边为轴旋转，得到的是一个底面半径为，高为的圆锥， 体积是：， ②以的直角边为轴旋转，得到的是一个底面半径为，高为的圆锥， 体积是：， 答：绕它的一条直角边旋转一周，形成的几何体是圆锥，得到的几何体的体积是或． 【点睛】本题考查了点、线、面、体，圆锥的体积公式，解题关键是理解点、线、面、体，熟记圆锥体积公式． 1．（24-25七年级上·湖北咸宁·期末）几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映“点动成线”的是（   ） A．流星划过夜空 B．打开折扇 C．汽车雨刷的转动 D．旋转门的旋转 【答案】A 【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A、流星划过夜空是“点动成线”，故本选项符合题意； B、打开折扇是“线动成面”，故本选项不合题意； C、汽车雨刷的转动是“线动成面”，故本选项不合题意； D、旋转门的旋转是“面动成体”，故本选项不合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了点、线、面、体的知识，主要是考查学生立体图形的空间想象能力及分析问题，解决问题的能力． 2．（2025·湖北荆门·模拟预测）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为(   )    A．120m B．60m C．60m D．120m 【答案】B 【分析】根据题意作出图形，即求的长，求得∠BAC＝30°，进而解即可求解． 【详解】如图，    ∵底部是边长为120m的正方形， ∴BC＝×120＝60m， ∵AC⊥BC，∠ABC＝60°， ∴∠BAC＝30°， ∴AB＝＝120m， ∴AC＝＝m． 答：这个金字塔原来有米高． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键． 3．（2025七年级上·上海·专题练习）如图，在长方体中，可以把面与面组成的图形看作直立于面上的合页型折纸，从而说明棱 ⊥面．    【答案】 【分析】根据直线与平面垂直的定义进行判断即可． 【详解】解：∵面与面组成的图形看作直立于面上的合页型折纸， ∴棱面， 故答案为：． 【点睛】本题考查认识立体图形，理解直线垂直平面的定义是正确判断的前提． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，把一长方形在直线上翻滚，请在图中画出点所经过的路径．    【答案】     【分析】本题考查了点动成线以及利用圆规画图等知识，画图时找准两段弧的半径是解答本题的关键． 根据点动成线，找到两段弧的半径画弧即可解答． 【详解】解：如图所示：    5．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）课本重现：如图，已知长方形的长为、宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙 (1)甲乙圆柱体形成的过程可以解释为________ A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)当，时 ①通过计算比较甲、乙圆柱体的侧面积的大小关系 ②求甲圆柱体与乙圆柱体的体积比 (3)请直接写出甲、乙圆柱体的侧面积有什么关系，体积比有什么关系？（用字母和表示） 【答案】(1)C (2)①侧面积相等  ②体积比为 (3)侧面积相等；体积比为 【分析】此题考查了点、线、面、体之间的关系以及圆柱的侧面积和体积公式，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据平面旋转后得到圆柱体即可知道是面动成体； （2）① 分别计算出甲、乙圆柱体的侧面积，然后比较大小即可； ②分别计算出甲、乙圆柱体的体积，求出其比值即可； （3）根据（2）计算的结果得出甲、乙圆柱体侧面积的关系以及体积比的关系． 【详解】（1）解：根据题意得：甲乙圆柱体形成的过程可以解释为面动成体， 故选：C； （2）解：①甲圆柱的侧面积为：， 乙圆柱的侧面积为：， 所以甲乙两圆柱的侧面积相等； ②甲圆柱的体积为：， 乙圆柱的体积为：， 所以甲乙两圆柱的体积比为：； （3）解：由（2）知甲、乙圆柱体的侧面积相等，体积比． 【典型例题六 平面图形旋转后所得的立体图形】 【例1】（2025·福建厦门·模拟预测）如图，在矩形中，，将该矩形绕直线旋转一周可得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握面动成体得到的几何体的形状是解题的关键．根据矩形绕一边旋转一周得到圆柱体解答． 【详解】解：四边形是矩形，， ，是长边． 则该矩形绕直线旋转一周可得到的立体图形是较高的圆柱体． 故选：B． 【例2】（2025·云南红河·模拟预测）如图，的斜边，直角边，现以较长直角边所在直线为轴，将这个三角形旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆锥的计算和点、线、面、体等知识点，掌握圆锥的侧面公式（底面周长与母线长的积的一半）成为解题的关键． 由题意可知可得圆锥的底面半径为，母线长为，再根据圆锥的侧面积公式求解即可． 【详解】解：圆锥的侧面积为． 故选：B． 【例3】（24-25七年级上·宁夏银川·期中）现有一个长为，宽为的长方形，以它的一边所在的直线为轴旋转一周，得到的几何体的体积是 （结果保留）． 【答案】或 【分析】本题考查的是面动成体，圆柱的体积计算； 分别画出以长、宽为旋转轴旋转后的圆柱，再利用圆柱的体积公式计算即可． 【详解】解：绕长方形的长所在的直线旋转一周得到的几何体是底面半径为，高为的圆柱，如图， 该圆柱的体积为：． 绕长方形的宽所在的直线旋转一周得到的几何体是底面半径为，高为的圆柱，如图， 该圆柱的体积为：． 故答案为：或． 【例4】（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为，若将此长方形纸片绕它的宽所在直线旋转一周，得到一个几何体，这个几何体的侧面积为 （结果保留）． 【答案】/ 【分析】本题考查几何体的表面积，正确记忆相关几何体的特征是解题关键． 根据面动成体可知，将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，根据圆柱的侧面积公式计算即可． 【详解】解：∵长方形纸片绕它的宽所在直线旋转一周，得到的是底面半径为，高为的圆柱， ∴它的侧面积为， 故答案为：． 【例5】（24-25七年级上·上海·期中）【问题一】如图1，汽车上有电动雨刷装置，雨刷呈扇形摆动的圆心角为，则雨刷在车窗玻璃上刷过的区域的面积为________ （结果保留）． 【问题二】如图2所示，有一个边长为的正方形和一个直角边长为、斜边长为的等腰直角三角形组成的直角梯形，求：绕这个直角梯形的一边所在直线，顺时针旋转一周所得立体图形的体积（结果保留）． 【答案】（1）（2）或或或 【分析】（1）根据圆的面积列式进行计算，即可作答． （2）理解题意，分别分析出每种顺时针旋转一周所得立体图形，运用圆柱体积公式，圆锥体积公式，以及圆台的体积公式列式计算，即可作答． 本题考查了圆的面积公式，圆柱体积公式，圆锥体积公式，以及圆台的体积公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：（1）解：∵雨刷呈扇形摆动的圆心角为，且过程图1，得 雨刷在车窗玻璃上刷过的区域的面积为， 故答案为：； （2）依题意，当绕着所在的直线顺时针旋转一周，如图所示： ∴此时形成的几何体是圆台，且上底圆的半径是，下底圆的半径是， 则体积； 当绕着所在的直线顺时针旋转一周，如图所示： ∴此时形成的几何体是组合体：上面是圆锥，下面是圆柱，且底圆的半径是，圆锥和圆柱的高都是， 则体积； 当绕着所在的直线顺时针旋转一周，如图所示： ∴此时形成的几何体是由圆柱挖掉一个圆锥，且上底圆的半径是，圆柱的高是， 则体积； 当绕着所在的直线顺时针旋转一周，如图所示： 则连接， ∴ 过点作所在的直线交于点E， 则点A到的距离，即， ∴， 综上：顺时针旋转一周所得立体图形的体积为或或或． 1．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）如图，分别以直角梯形的下底和上底所在的直线为轴，将梯形旋转一周得到A，B两个几何体，则，两个几何体的体积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱和圆锥的体积、图形的旋转，熟练掌握图形的旋转是解题关键．几何体的体积等于圆柱的体积与圆锥的体积之和，几何体的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，由此即可得． 【详解】解：几何体的体积为， 几何体的体积， 则，两个几何体的体积之比是， 故选：C． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，长方形的长为3cm，宽为2cm．分别以该长方形的长、宽所在直线为轴，将其旋转一周，分别形成甲、乙两个圆柱，其体积分别记作，，其侧面积分别记作，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，，．因为，所以．因为，，所以． 3．（24-25七年级上·广东惠州·期末）如图，将一个含的三角板绕着斜边旋转一周，得到一个由两个底面重合的圆锥组成的几何体，如果三角板的斜边长为，则这个几何体的表面积是 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，点、线、面、体，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．先求直角三角形斜边上的高，再根据圆锥的侧面积公式求解． 【详解】解：如图： 过作， 则， 此几何体的表面积是：． 故答案为：． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）有一张直角三角形纸片，它的两条直角边分别为和，将这张直角三角形纸片分别以它的两条直角边所在直线为轴旋转一周，得到两个圆锥体（如图①、图②）．试猜想哪个圆锥体的体积大，并通过计算证明你的猜想．（注：，共中为圆锥的体积，为圆锥的底面半径，为圆锥的高） 【答案】绕边长为a的直角边旋转一周得到的圆锥的体积较大，见解析 【分析】本题主要考查了平面图形的旋转、圆锥的体积计算，正确的计算出圆锥的体积并比较它们的大小是解题的关键． 分别计算出绕边长为的直角边旋转一周时，得到的圆锥的体积；绕边长为的直角边旋转一周时，得到的圆锥的体积，然后再比较它们的大小即可得出结论． 【详解】解：绕边长为的直角边旋转一周得到的圆锥的体积较大，理由如下： 绕边长为的直角边旋转一周时，得到的圆锥的底面半径为，高为， 则该圆锥的体积为：， 绕边长为的直角边旋转一周时，得到的圆锥的底面半径为，高为， 则该圆锥的体积为：， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故绕边长为的直角边旋转一周得到的圆锥的体积较大． 5．（2025·陕西商洛·模拟预测）如图①，将一张长为，宽为的矩形卡片过顶点A剪去一个角后分别以为轴旋转一周，得到两个几何体（图②，图③）．试猜想哪个几何体的体积更大，并通过计算证明自己的猜想． 【答案】图③中圆锥的体积更大，理由见解析 【分析】此题考查了点、线、面、体中的面动成体，解题关键是：分两种情况分别计算几何体的体积，再比较大小，先计算体积，再作差比较大小即可. 【详解】解：图③中圆锥的体积更大．理由如下： 设图②中圆锥的体积为，图③中圆锥的体积为， 则， ∴． ∴，则， ∴图③中圆锥的体积更大． 1．（24-25七年级上·山东淄博·期中）夜晚时，我们看到的流星划过属于（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】把流星视为点，流星的轨迹是一条线，符合点动成线的原理． 【详解】∵把流星视为点，流星的轨迹是一条线，符合点动成线的原理， ∴选A． 【点睛】本题考查了点动成线的原理，正确理解题意是解题的关键． 2．（2025·广东汕头·模拟预测）围成下列几何体的面有平面或曲面，其中面数最多的几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查立体图形中几何体的面；分别数出各几何体的面数即可求出． 【详解】解：A．有3个面； B．有4个面； C．有5个面； D．有6个面； ∴面数最多的几何体是D； 故选：D． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）十个棱长为a的正方体摆放成如图的形状，这个图形的表面积是（    ） A．36a2 B．24a2 C．6a2 D．30a2 【答案】A 【分析】由题意可得该图形的表面积为各个面的小正方形的面积之和，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可得该图形的表面积为各个面的小正方形的面积之和， ∴该几何体前后左右上下各都有6个小正方形，共36个小正方形， ∵小正方体的棱长为 a， ∴该图形的表面积为 36a2， 故选：A． 【点睛】本题主要考查几何图形与同底数幂的乘法，熟练掌握正方体的表面积及同底数幂的乘法是解题的关键． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）将长方形绕一边所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面图形旋转后所得的立体图形，将长方形绕一边所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是圆柱，由此即可得解． 【详解】解：将长方形绕一边所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是圆柱， 故选：A． 5．（24-25七年级上·湖南邵阳·自主招生）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2．则三棱锥C1﹣A1DB的体积为（　　） A．24 B．16 C．12 D．8 【答案】D 【分析】利用长方体的体积公式和三棱锥的体积公式即可求解． 【详解】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为：， 三棱锥的体积为：， 三棱锥的体积为：， 三棱锥的体积为：， 三棱锥的体积为：， 故三棱锥的体积为：， 故选D． 【点睛】本题考查了长方体和三棱锥的体积计算，将所求三棱锥的体积转化为长方体的体积与另外几个三棱锥体积的差是解题的关键． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图是一个直棱柱，这个棱柱的底面是 边形．共有 个面， 个顶点， 条棱． 【答案】 五 7 10 15 【分析】本题主要考查的是棱柱的认识，掌握棱柱的概念是解题的关键． 根据n棱柱的底面是n边形，n棱柱有个面， 个顶点，条棱求解即可 ． 【详解】解：这个棱柱的底面是五边形， 它有7个面，有10个顶点，有15条棱． 故答案为：五；7；10；15． 7．（24-25七年级上·山东青岛·期末）观察下列由长为1的小正方体摆成的图形，如图①所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见：如图②所示：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见：如图③所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见…按照此规律继续摆放： （1）第④个图中，看不见的小立方体有 个： （2）第n个图中，看不见的小立方体有 个． 【答案】 27 【分析】（1）根据规律可以得第④个图中，看不见的小立方体有27个． （2）由题意可知，共有小立方体个数为序号数×序号数×序号数，看不见的小正方体的个数=（序号数-1）×（序号数-1）×（序号数-1），看得见的小立方体的个数为共有小立方体个数减去看不见的小正方体的个数． 【详解】解：∵当第1个图中，1=1，0=（1-1）3=03； 当第2个图中，8=23，1=13=（2-1）3； 当第3个图中，27=33，8=（3-1）3=23； 当第4个图中，64=43，27=（4-1）3=33； 当第5个图中，125=53，64=（5-1）3=43； ∴当第n个图中，看不见的小立方体的个数为（n-1）3个． 故答案为：（1）27；（2）（n-1）3． 【点睛】本题考查的是立体图形，分别根据排成的立方体的高为1个立方体、2个立方体、3个立方体、4个立方体时看见的正方体与看不见的正方体的个数，找出规律即可进行解答． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）学科素养·数形结合 用，，，代表四种简单几何图形（线段、正三角形、正方形、圆）中的一种．如图是由，，，中的两个图形组合而成的（组合用“&”表示）．如图所示的组合图形中表示&的是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查学生通过观察、分析识别图形的的能力，解决此题的关键是通过观察图形确定、、、各代表什么图形． 根据已知图形中两个图形中共同含有的图形，就可以判断每个符号所代表的图形，图中第一个图形和第二个图形都有圆，即表示圆，那么表示正方形，表示三角形，由图中第三个图形可知表示线段． 【详解】解：由题图中第一个图形和第二个图形都有圆知是圆，所以是正方形，是三角形，由题图中第三个图形可知是线段，所以组合图形中表示&的是， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·全国·课前预习）立体图形和平面图形的区别： ①所含平面数量不同． 是存在于一个平面上的图形 是由一个或者多个平面形成的图形，各部分不在同一平面内，且不同的立体图形所含的平面数量不一定相同． ②性质不同． 平面图形是由 的点组成的，而立体图形是由不同的 构成的．由构成原理可知平面图形是构成立体图形的基础． ③观察角度不同． 平面图形只能从 角度观察，而立体图形可从不同的角度观察，如左视图，正视图、俯视图等，且观察结果不同． ④具有属性不同． 平面图形只有长宽属性，没有高度；而立体图形具有长宽高的属性． 【答案】 平面图形 立体图形 不同 平面图形 一个 【解析】略 10．（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图，大长方形长，宽，小长方形长，宽，以两长方形长边中点连线（图中的虚线l）为轴，将八边形旋转一周得到的几何体的表面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查圆柱的表面积计算，解题关键是根据线动成面的知识得出旋转后的图形． 长方形旋转后形成圆柱，根据题意求出大圆柱的侧面积和小圆柱的侧面积，再加上大圆柱的上下两圆的面积，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：大圆柱的侧面积； 小圆柱的侧面积； 大圆柱上下圆的面积为：， ∴几何体的表面积． 故答案为：． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，下列物体与哪种立体图形相类似？把相应的物体和图形连接起来． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了认识立体图形和对同学们从实物中抽象出立体图形的能力的考查，解决本题的关键是熟练掌握长方体、圆锥、圆柱、球体、正方体等立体图形的形状和特点． 根据长方体、圆锥、圆柱、球体、正方体等立体图形的形状和特点，从实物中抽象出立体图形进行连线即可． 【详解】解：如图所示： 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，指出图中物体分别是由哪些几何体组成的． 【答案】见解析 【分析】本题考查了组合几何体的构成．熟练掌握常见的几何体是解题的关键． 根据常见的几何体的特征作答即可． 【详解】解：由题意知，①是由一个正方体、一个圆柱体、一个圆锥体组成的组合体； ②是由一个圆柱体、一个长方体、一个三棱柱组成的组合体； ③是由一个五棱柱、一个球体组成的组合体． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）如图是一些常见的几何体，请将图中的几何体进行分类，并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了几何体的分类，解题的关键在于先根据立体图形的底面的个数，确定它是柱体、锥体还是球体，再根据其侧面是否为多边形来判断它是圆柱(锥)还是棱柱(锥)． 首先要确定分类标准，可以按组成几何体的面的平或曲来划分，也可以按柱、锥、球来划分． 【详解】解：可以按柱体，锥体，球体来分类： 属于柱体的有：①，③，④，⑤，⑥，⑧； 属于锥体的有：②； 属于球体的有；⑦． （答案不唯一，合理即可） 14．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）如图是一张长方形纸片，AB长为，BC长为．若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周 (1)得到的几何体是 ，这个现象用数学知识解释为 ； (2)若将这个长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，求形成的几何体的体积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱，面动成体 (2)形成的几何体的体积是cm或cm． 【分析】（1）旋转后的几何体是圆柱，用数学知识解释为面动成体； （2）分两种情况，根据圆柱的体积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱，这个现象用数学知识解释为面动成体； 故答案为：圆柱，面动成体 （2）情况①，绕AB边所在直线旋转： （cm）； 情况②，绕BC边所在直线旋转： （cm）； 故形成的几何体的体积是cm或cm． 【点睛】本题主要考查的是点、线、面、体，根据图形确定出圆柱的底面半径和高的长是解题的关键． 15．（24-25七年级上·河南驻马店·阶段练习）欧拉为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献，他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数、棱数、面数之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式． (1)观察下列多面体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 五棱柱 正八面体 图形 顶点数 4 6 棱数 6 面数 4 (2)分析表中的数据，请写出、、之间的等量关系：___________； (3)某个饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和五边形两种多边形拼接而成的，且有36个顶点，每个顶点处都有3条棱，请问该多面体表面三角形与五边形的个数之和是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)该多面体表面三角形与五边形的个数之和是20． 【分析】本题考查了探索规律，几何体中的点、棱、面，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察图形，直接写出答案即可； （2）分析表格中的数据，发现； （3）根据有36个顶点，每个顶点处都有3条棱，得到总棱数，根据即可求解． 【详解】（1）解：依题意， 名称 三棱锥 三棱柱 五棱柱 正八面体 图形 顶点数 4 6 10 6 棱数 6 9 15 12 面数 4 5 7 8 （2）解：分析表中的数据，能发现、、之间的关系为：， 故答案为：； （3）解：依题意，设该多面体表面三角形的个数为个，五边形的个数为个， 有36个顶点，每个顶点处都有3条棱， 共有（条， ，解得． ． ∴该多面体表面三角形与五边形的个数之和是20． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 生活中的立体图形（1大知识点+6大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 常见的几何体 典型例题二 组合几何体的构成 典型例题三 立体图形的分类 典型例题四 几何体中的点、棱、面 典型例题五 点、线、面、体四者之间的关系 典型例题六 平面图形旋转后所得的立体图形 知识点01 立体图形 1.定义： 图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体、圆柱、圆锥、球等．棱柱、棱锥也是常见的立体图形． 拓展： 常见的立体图形有两种分类方法： 2.棱柱的相关概念： 在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱． 通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……（如下图） 拓展：（1）棱柱所有侧棱长都相等．棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形． （2）长方体、正方体都是四棱柱． （3）棱柱可分为直棱柱和斜棱柱．直棱柱的侧面是长方形，斜棱柱的侧面是平行四边形． 3．点、线、面、体： 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点．从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系． 此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体． 【典型例题一 常见的几何体】 【例1】（24-25七年级上·重庆大渡口·期末）下列图形中，是圆柱的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·广东佛山·期中）下面四个物体中，最接近圆柱的是（   ） A．篮球 B．灯罩 C．茶叶罐 D．冰箱 【例3】（2024七年级上·黑龙江·专题练习）积木是很多同学小时候玩过的一种玩具，对于锻炼手眼协调能力，培养科学思维很有帮助．如图所示是用积木拼成的小车，写出你能看出的立体图形： ．（写两种即可）    【例4】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，一个直五棱柱的底面边长都是，侧棱长为． （1）它有 个侧面； （2）它的侧面的形状是 ，它的所有侧面的面积之和是 ． 【例5】（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）有一个硬纸做成的礼品盒（结果保留） (1)做这样一个礼品盒至少要硬纸多少平方厘米？ (2)这个礼品盒的体积是多少？ 1．（24-25七年级上·四川广元·期末）如图所示是一款茶叶的包装盒，它对应的立体图形的名称是（   ） A．圆柱 B．长方体 C．五棱柱 D．六棱柱 2．（2025·河南商丘·模拟预测）端午节吃粽子是我国传统节日里的一大亮点．2025年端午节前夜，小红包了一个粽子后发现它每个面均是等边三角形，如图所示，这个粽子可以近似看作（   ） A．长方体 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥 3．（2024七年级上·全国·专题练习）对于粉笔盒、三棱镜、乒乓球、易拉罐、书本这些生活中的物品，其形状类似于棱柱的有 ． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的物体中都类似于哪些几何体？将这些几何体进行分类，并说明分类理由． 5．（24-25七年级上·山西晋城·期末）综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： (1)通过数上面图形中每个多面体的顶点数（）、面数（）和棱数（），填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 20 30 通过填表发现：顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是 ，这就是伟大的数学家欧拉（L.Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： (2)已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是 棱柱； (3)已知一个多面体只有8个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 【典型例题二 组合几何体的构成】 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）用棱长1分米的小正方体木块，拼成一个较大的正方体，大正方体的体积不可能是（　　）立方分米． A．4 B．8 C．27 D．64 【例2】（24-25七年级上·山东青岛·单元测试）如图中的长方体是由三个部分拼接而成，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，其中第三部分所对应的几何体应是（    ）． A． B． C． D． 【例3】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，能看到的正方体有 块，看不到的正方体有 块． 【例4】（24-25七年级上·广东佛山·期末）如图是一个几何体，请你描述这个几何体的特点（写出三点）： ． 【例5】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，请写出下列立体图形是由哪些几何体组合而成的． 1．（24-25七年级上·广东·单元测试）下列说法中错误的是（   ） A．棱柱有两个互相平行，形状相同，大小相等的面 B．棱锥除一个面外，其余各面都是三角形 C．圆柱的侧面可能是长方形 D．正方体是四棱柱，也是六面体 2．（2025·江苏常州·模拟预测）若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积超过7，则正方体的个数至少是 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2025·江苏南京·模拟预测）玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为 ． 4．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）由5个相同的小立方块搭出的下列几何体如图所示． (1)从左面看到的图形是的几何体有______，从上面看到的图形是的几何体有______，从正面看到的图形是的几何体有______；（填序号） (2)如果小立方块棱长都为，求图③这个几何体的表面积． 5．（2025·福建龙岩·模拟预测）根据国际标准，系列纸为矩形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸…… 将纸按如图1所示的方式折叠． (1)观察图1的折叠过程，可知纸矩形的宽与长的比值为___________； (2)某兴趣小组在实践活动中尝试用纸板做一个无盖的长方体纸盒，要求如下：把一张纸板分割成个矩形纸板，用其中一个作为底面，其余个作为侧面，恰好能粘接成一个无盖的长方体纸盒，小鑫同学画出了如图2所示的设计示意图，该长方体纸盒底面的面积为． 请你在图3，图4所示的纸板中画出两种与小鑫同学不同的设计示意图，并在图中直接标出长方体纸盒的底面和底面的面积． 【典型例题三 立体图形的分类】 【例1】（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）下列几何体中，属于棱柱的是（      ） A．①②③⑥ B．①② C．①③⑥ D．①⑥ 【例2】（2025·河南南阳·模拟预测）分别观察下列几何体，其中只有曲面的是 （    ） A． B． C． D． 【例3】（2024七年级上·山东·专题练习）如图，图中柱体的个数是 个． 【例4】（2025七年级上·全国·专题练习）对几何体分类时，首先确定标准，即： （1）从形状方面，按柱体、 、球划分； （2）从面的方面，按组成的面有无 划分； （3）从顶点方面，按有无 划分． 【例5】（24-25七年级上·贵州毕节·阶段练习）指出如图所示的立体图形中的柱体、锥体、球． (1)如果按“柱、锥、球”来分，柱体有 ，锥体有 ，球有 ； (2)如果按“有无曲面”来分，有曲面的有 ，无曲面的有 ． 1．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）下列图形中，立体图形有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025七年级上·全国·专题练习）物理实验室有高度同为10cm的圆柱形容器A和B（如图），它们的底面半径分别为2cm和4cm，用一水龙头单独向A注水，3分钟后可以注满容器．在实验室课上，某同学将两容器在它们高度的一半用一个细水管连通（连接细管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，问6分钟后容器A中水的高度是（    ）cm．（注：若圆柱体底面半径为r，高为h，体积为V，则） A．6 B．5 C．4 D．3 3．（2025七年级·全国·专题练习）常见几何体的分类： （1）按形状 （2）按围成几何体的面 （3）按有无顶点 4．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）将下列几何体进行分类．    5．（24-25六年级·上海·阶段练习）淘气和笑笑去参观温室无土蔬菜养植园．    (1)养植园是个长方形，画在的图纸上，长，宽，这个养植园实际的长和宽各是多少米？ (2)养植园外形是一个半圆柱形（如图1），半圆柱形外覆盖了一层塑料薄膜，需要多少平方米的塑料薄膜？ (3)利用如图2中的阴影部分铁皮，刚好能做成一个园区内的圆柱形营养液蓄储桶（接口处忽略不计），这个营养液蓄储桶的容积是多少？ 【典型例题四 几何体中的点、棱、面】 【例1】（24-25七年级上·广东惠州·期末）对于如图所示的几何体，说法正确的是（   ） A．几何体是三棱锥 B．几何体有6条侧棱 C．几何体的侧面是三角形 D．几何体有3个侧面 【例2】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）若围成一个几何体的面全是平的，则这个几何体可能是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图，该几何体是一个直棱柱，它的名称是 ，它有 个顶点， 条棱． 【例4】（24-25七年级上·宁夏银川·期末）银川承天寺塔（如图），始建于西夏天佑垂圣元年（公元1050年），是宁夏现存古塔中最高的一座砖塔．它是一座八角十一层楼阁式砖塔，它可以近似地看作由十一个八棱柱构成．请问：一个八棱柱一共有 角 条棱， 有 面， 有 个顶点． 【例5】（24-25七年级上·陕西西安·期末）一个直五棱柱的模型如图所示，它的底面边长都为，侧棱长都为．求该直五棱柱所有侧面的面积之和． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的几何体中，面与面相交形成几条线？（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线剪裁，最后将图④中的纸片打开铺平，所得到的图案是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·北京房山·期末）棱锥的顶点数（V），面数（F），棱数（E）之间存在一定的数量关系，如下表： 名称 图形 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 三棱锥 四棱锥 五棱锥 六棱锥 ① （1）根据以上信息，表格中①处应填 ； （2）请用，，表示棱锥的顶点数、面数、棱数之间的数量关系 ． 4．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）一个直棱柱的所有棱长之和为，它共有12条棱，且所有棱的长度相等 (1)填空：__________； (2)这个直棱柱有几个面？几个顶点？ (3)求这个直棱柱的表面积． 5．（24-25七年级上·全国·阶段练习）如图所示是一些常见的多面体． (1)数一下每一个多面体具有的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F），并且把结果记入表中： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正四面体 4 4 6 正方体 正八面体 正十二面体 正二十面体 12 20 30 (2)观察表中数据，猜想多面体的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F）之间的关系； (3)若已知一个多面体的顶点数，棱数，请你用（2）中的结果求这个多面体的面数． 【典型例题五 点、线、面、体四者之间的关系】 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）刷涂料时，毛刷拖动一次形成一个面，这说明了（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面面相交成线 【例2】（24-25七年级上·重庆秀山·期末）数学知识在生活中应用广泛，同学们用过如图这种折扇吧，因为它折起来便于携带，所以深受人们的喜爱、折扇展开的过程运用的数学原理是（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面与面相交的地方是线 【例3】（24-25七年级上·四川成都·期中）折扇的每一根扇骨可以看作是一条线，当我们打开折扇时，众多扇骨同时运动，这些扇骨运动所形成的区域就构成了一个扇面，从数学的角度来解释，这种现象说明了 ． 【例4】（24-25七年级上·河北廊坊·期末）如图，将一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周，得到的几何体是圆锥，这一现象能用数学知识解释，其为 ．（填“点动成线”“线动成面”或“面动成体”） 【例5（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）如图，已知（即直角三角形）的两条直角边分别为，，以该三角形的一条直角边所在直线为轴，将其旋转一周，形成什么几何体？并求其体积．（结果保留）    1．（24-25七年级上·湖北咸宁·期末）几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映“点动成线”的是（   ） A．流星划过夜空 B．打开折扇 C．汽车雨刷的转动 D．旋转门的旋转 2．（2025·湖北荆门·模拟预测）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为(   )    A．120m B．60m C．60m D．120m 3．（2025七年级上·上海·专题练习）如图，在长方体中，可以把面与面组成的图形看作直立于面上的合页型折纸，从而说明棱 ⊥面．    4．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，把一长方形在直线上翻滚，请在图中画出点所经过的路径．    5．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）课本重现：如图，已知长方形的长为、宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙 (1)甲乙圆柱体形成的过程可以解释为________ A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)当，时 ①通过计算比较甲、乙圆柱体的侧面积的大小关系 ②求甲圆柱体与乙圆柱体的体积比 (3)请直接写出甲、乙圆柱体的侧面积有什么关系，体积比有什么关系？（用字母和表示） 【典型例题六 平面图形旋转后所得的立体图形】 【例1】（2025·福建厦门·模拟预测）如图，在矩形中，，将该矩形绕直线旋转一周可得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·云南红河·模拟预测）如图，的斜边，直角边，现以较长直角边所在直线为轴，将这个三角形旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·宁夏银川·期中）现有一个长为，宽为的长方形，以它的一边所在的直线为轴旋转一周，得到的几何体的体积是 （结果保留）． 【例4】（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为，若将此长方形纸片绕它的宽所在直线旋转一周，得到一个几何体，这个几何体的侧面积为 （结果保留）． 【例5】（24-25七年级上·上海·期中）【问题一】如图1，汽车上有电动雨刷装置，雨刷呈扇形摆动的圆心角为，则雨刷在车窗玻璃上刷过的区域的面积为________ （结果保留）． 【问题二】如图2所示，有一个边长为的正方形和一个直角边长为、斜边长为的等腰直角三角形组成的直角梯形，求：绕这个直角梯形的一边所在直线，顺时针旋转一周所得立体图形的体积（结果保留）． 1．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）如图，分别以直角梯形的下底和上底所在的直线为轴，将梯形旋转一周得到A，B两个几何体，则，两个几何体的体积之比是（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，长方形的长为3cm，宽为2cm．分别以该长方形的长、宽所在直线为轴，将其旋转一周，分别形成甲、乙两个圆柱，其体积分别记作，，其侧面积分别记作，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·广东惠州·期末）如图，将一个含的三角板绕着斜边旋转一周，得到一个由两个底面重合的圆锥组成的几何体，如果三角板的斜边长为，则这个几何体的表面积是 ．（结果保留π） 4．（2024·陕西西安·模拟预测）有一张直角三角形纸片，它的两条直角边分别为和，将这张直角三角形纸片分别以它的两条直角边所在直线为轴旋转一周，得到两个圆锥体（如图①、图②）．试猜想哪个圆锥体的体积大，并通过计算证明你的猜想．（注：，共中为圆锥的体积，为圆锥的底面半径，为圆锥的高） 5．（2025·陕西商洛·模拟预测）如图①，将一张长为，宽为的矩形卡片过顶点A剪去一个角后分别以为轴旋转一周，得到两个几何体（图②，图③）．试猜想哪个几何体的体积更大，并通过计算证明自己的猜想． 1．（24-25七年级上·山东淄博·期中）夜晚时，我们看到的流星划过属于（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 2．（2025·广东汕头·模拟预测）围成下列几何体的面有平面或曲面，其中面数最多的几何体是（   ） A． B． C． D． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）十个棱长为a的正方体摆放成如图的形状，这个图形的表面积是（    ） A．36a2 B．24a2 C．6a2 D．30a2 4．（2025·陕西西安·模拟预测）将长方形绕一边所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·湖南邵阳·自主招生）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2．则三棱锥C1﹣A1DB的体积为（　　） A．24 B．16 C．12 D．8 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图是一个直棱柱，这个棱柱的底面是 边形．共有 个面， 个顶点， 条棱． 7．（24-25七年级上·山东青岛·期末）观察下列由长为1的小正方体摆成的图形，如图①所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见：如图②所示：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见：如图③所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见…按照此规律继续摆放： （1）第④个图中，看不见的小立方体有 个： （2）第n个图中，看不见的小立方体有 个． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）学科素养·数形结合 用，，，代表四种简单几何图形（线段、正三角形、正方形、圆）中的一种．如图是由，，，中的两个图形组合而成的（组合用“&”表示）．如图所示的组合图形中表示&的是 ． 9．（24-25七年级上·全国·课前预习）立体图形和平面图形的区别： ①所含平面数量不同． 是存在于一个平面上的图形 是由一个或者多个平面形成的图形，各部分不在同一平面内，且不同的立体图形所含的平面数量不一定相同． ②性质不同． 平面图形是由 的点组成的，而立体图形是由不同的 构成的．由构成原理可知平面图形是构成立体图形的基础． ③观察角度不同． 平面图形只能从 角度观察，而立体图形可从不同的角度观察，如左视图，正视图、俯视图等，且观察结果不同． ④具有属性不同． 平面图形只有长宽属性，没有高度；而立体图形具有长宽高的属性． 10．（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图，大长方形长，宽，小长方形长，宽，以两长方形长边中点连线（图中的虚线l）为轴，将八边形旋转一周得到的几何体的表面积为 ．（结果保留） 11．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，下列物体与哪种立体图形相类似？把相应的物体和图形连接起来． 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，指出图中物体分别是由哪些几何体组成的． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）如图是一些常见的几何体，请将图中的几何体进行分类，并说明理由． 14．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）如图是一张长方形纸片，AB长为，BC长为．若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周 (1)得到的几何体是 ，这个现象用数学知识解释为 ； (2)若将这个长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，求形成的几何体的体积．（结果保留） 15．（24-25七年级上·河南驻马店·阶段练习）欧拉为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献，他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数、棱数、面数之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式． (1)观察下列多面体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 五棱柱 正八面体 图形 顶点数 4 6 棱数 6 面数 4 (2)分析表中的数据，请写出、、之间的等量关系：___________； (3)某个饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和五边形两种多边形拼接而成的，且有36个顶点，每个顶点处都有3条棱，请问该多面体表面三角形与五边形的个数之和是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$