精品解析：陕西省安康市2024-2025学年八年级下学期5月期中考试数学试题

2024-2025学年度第二学期第三阶段创新作业 八年级数学（北师大版） 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的，请将正确答案的序号填在题前的答题栏中） 1. 若分式有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，，若，则的理由是（　　） A. B. C. D. 4. 如果分式中的、都扩大为原来的2倍，那么分式的值(　　) A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的3倍 D. 扩大为原来的4倍 5. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，将沿着的方向平移得到，连接，若，则的周长为（　　） A. 19 B. 22 C. 24 D. 30 8. 已知，则的值为（　　） A. 36 B. 25 C. 5 D. 无法确定 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 下列各式：、、、中，分式共有___________个． 10. 把提公因式后一个因式是，则另一个因式是___________． 11. 计算的结果为___________． 12. 不等式的解集如图所示，则实数的是___________． 13. 如图，在中，平分交于点于点，下列结论：①；②；③；④点在线段的垂直平分线上；⑤，其中正确的有___________．(填序号) 三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程） 14. 分解因式：． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图三个顶点的坐标分别为． （1）请画出绕点逆时针旋转得到的； （2）请画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标． 17. 下面是小夏同学进行分式化简的过程： 化简：． 解：原式第一步 第二步 第三步 （1）小夏同学的化简过程从第___________步开始出现错误； （2）请写出正确的化简过程． 18. 已知、、为的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 19. 甲、乙两个工程队合修一条公路．已知甲工程队每天修，乙工程队每天修（其中），则甲工程队修所用时间是乙工程队修所用时间的多少倍？ 20. 如图，在中、、于点、是的垂直平分线，求证：平分． 21. 甲、乙两人做数字游戏，甲每次选择一个正整数，然后乙根据的值计算代数式的值． （1）填空： ①___________； ②___________． （2）求证：总能被4整除． 22. 如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成16块，其中有三块是边长都为的大正方形，三块是边长都为的小正方形，十块是长为，宽为的全等小矩形，且．（以上长度单位：） （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为___________； （2）若每块小矩形的面积为，六个正方形的面积和为，试求图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和． 23. 为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，某中学组织学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队26名学生，则还剩2名学生没有老师带；若每位老师带队27名学生，就有一位老师少带7名学生．现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 30 25 租金（元/辆） 310 270 学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过2690元． （1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？ （2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？ 24. 定义一种新运算：，例：．根据这种运算法则，完成下列各题： （1）计算：； （2）计算：． 25. 如图，在中，，过点作于点，平分交于点，过作于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的长． 26. 阅读以下材料 材料：因式分解： 解：将“”看成整体，令，则原式， 再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）试证明：无论为何值，式子的值一定是一个不小于2的数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期第三阶段创新作业 八年级数学（北师大版） 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的，请将正确答案的序号填在题前的答题栏中） 1. 若分式有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不能为0得到，进而求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，解得， 故选：D． 2. 下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是判断是否是因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解的定义． 根据因式分解的定义： 把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解,逐一判断即可． 【详解】解：．不符合几个最简整式的乘积的形式，不是因式分解，不符合题意，选项错误； ．不符合几个最简整式的乘积的形式，不是因式分解，不符合题意，选项错误； ．符合因式分解定义，符合题意，选项正确； ．不符合几个最简整式的乘积的形式，不是因式分解，不符合题意，选项错误． 故选：． 3. 如图，，若，则的理由是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，能熟练地运用全等三角形的判定定理进行推理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵在和中 ， ∴． 故选：C． 4. 如果分式中的、都扩大为原来的2倍，那么分式的值(　　) A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的3倍 D. 扩大为原来的4倍 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据，判断作答即可． 【详解】解：由题意知，和都扩大为原来的 2倍， 则， ∴分式的值扩大为原来的 2 倍． 故选：B． 5. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解-运用公式法，能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差，据此判断． 【详解】解：A、不能运用平方差公式进行因式分解，故本选项不符合题意； B、不能运用平方差公式进行因式分解，故本选项不符合题意； C、不能运用平方差公式进行因式分解，故本选项不符合题意； D、，即能用平方差公式分解因式，故本选项符合题意． 故选：D． 6. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用一次函数图象解一元一次不等式，由图象得当时，，即可求解；会利用一次函数图象解一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：由图象得 当时，， 不等式的解集为； 故选：A． 7. 如图，在中，，，，将沿着的方向平移得到，连接，若，则的周长为（　　） A. 19 B. 22 C. 24 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，等边三角形的判定及性质；由平移的性质得，，，由等边三角形的判定得是等边三角形，即可求解；掌握平移的性质，等边三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：由平移得： ， ， ， ， 是等边三角形， 的周长为： ， 故选：C． 8. 已知，则的值为（　　） A. 36 B. 25 C. 5 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用．能通过对已知条件的变形得出的值是解题的关键．先由已知条件得出的值，再把化成完全平方的形式，再进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 下列各式：、、、中，分式共有___________个． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．根据分式的定义进行解答即可，即分母中含有字母的式子叫分式． 【详解】解：在、、、中，、中的分母含有字母，是分式，共2个， 故答案为：2． 10. 把提公因式后一个因式是，则另一个因式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，先提取公因式把原式分解因式，从而可以得到另一个因式，掌握“利用提公因式的方法分解因式”是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 计算的结果为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查异分母分式的加减法，先通分再做加减即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 不等式的解集如图所示，则实数的是___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法和一元一次不等式的解．先解一元一次不等式，然后结合数轴x的取值范围，建立一元一次方程，进而可求得a的值． 【详解】解：解不等式得：， 由图中x的解集是得， 解得：， 故答案为：3． 13. 如图，在中，平分交于点于点，下列结论：①；②；③；④点在线段的垂直平分线上；⑤，其中正确的有___________．(填序号) 【答案】①③④⑤ 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，垂直平分线的判定等知识，结论比较多，但把握含30度角的直角三角形的性质是解本题的关键．推导都是含30度角的直角三角形，是30度底角的等腰三角形，再根据含30度角的直角三角形的三边关系逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上，④正确； ，①正确； ∵，， ∴，， ∴，③正确； ∵于点， ∴，， ∴，即，②错误， ，⑤正确． 故答案为：①③④⑤． 三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程） 14. 分解因式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：原式 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式加减运算法则进行化简，然后代入数据求值即可．熟练掌握异分母分式加减运算法则，是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，则原式． 16. 如图三个顶点的坐标分别为． （1）请画出绕点逆时针旋转得到的； （2）请画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； 由图可知：． 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—旋转与中心对称，熟练掌握旋转的性质，中心对称的性质，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，画出即可； （2）根据中心对称的性质，画出，进而写出点的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 下面是小夏同学进行分式化简的过程： 化简：． 解：原式第一步 第二步 第三步 （1）小夏同学的化简过程从第___________步开始出现错误； （2）请写出正确的化简过程． 【答案】（1）二 （2） 解： ． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握相关法则是解题的关键． （1）根据去括号法则，去掉括号及其前面的，括号里的每一项都变号判断即可； （2）先根据分式的加减法法则计算括号内的，再根据分式的乘除法法则计算即可． 【小问1详解】 解：第二步通分进行分式加减法运算时，去括号错误； 故答案为：二； 【小问2详解】 略 18. 已知、、为的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】 是等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ， 即， 是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，由因式分解得，可得，即可求解；理解等腰三角形的定义，能熟练利用因式分解进行化简方程是解题的关键． 【详解】略 19. 甲、乙两个工程队合修一条公路．已知甲工程队每天修，乙工程队每天修（其中），则甲工程队修所用时间是乙工程队修所用时间的多少倍？ 【答案】甲工程队修所用时间是乙工程队修所用时间的倍． 【解析】 【分析】本题考查了分式除法的应用，由题意得甲工程队修所用时间为，乙工程队修所用时间为，则，然后根据分式运算法则进行求解即可，读懂题意，列出分式进行计算是解题的关键． 【详解】解：甲工程队修所用时间为，乙工程队修所用时间为， 故甲工程队修所用时间是乙工程队修所用时间的倍． 20. 如图，在中、、于点、是的垂直平分线，求证：平分． 【答案】 证明：， ． 又是的垂直平分线， ， 在和中， ， ， 平分． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，得到，即可得到结论． 【详解】略 21. 甲、乙两人做数字游戏，甲每次选择一个正整数，然后乙根据的值计算代数式的值． （1）填空： ①___________； ②___________． （2）求证：总能被4整除． 【答案】（1）①36，②144 （2） 证明： ， ∵n为正整数， ∴当时，（k为正整数），则， ∵一定能被4整除， ∴能被4整除； 当时，则（k为正整数），则， ∵一定能被4整除， ∴能被4整除； 综上所述，能被4整除． 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟知因式分解的方法是解题的关键． （1）①先计算乘方，再计算乘法即可得到答案；②先计算乘方，再计算乘法即可得到答案． （2）把原式分解因式得到，再分n是奇数和偶数两种情况进行证明即可． 【小问1详解】 解：① ； ② ； 【小问2详解】 略 22. 如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成16块，其中有三块是边长都为的大正方形，三块是边长都为的小正方形，十块是长为，宽为的全等小矩形，且．（以上长度单位：） （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为___________； （2）若每块小矩形的面积为，六个正方形的面积和为，试求图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，完全平方公式，理解题意，利用数形结合求解是解题的关键． （1）利用数形结合的思想，表示大长方形的面积，根据大长方形的面积等于长乘以宽，即可得出结论； （2）由题意，得到，利用完全平方公式求出，然后求出结果即可． 【小问1详解】 解：由图可知：表示大长方形的面积， 大长方形的边长分别为：， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：依题意得，， ， ， ， ， ， 图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和为： ． 23. 为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，某中学组织学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队26名学生，则还剩2名学生没有老师带；若每位老师带队27名学生，就有一位老师少带7名学生．现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 30 25 租金（元/辆） 310 270 学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过2690元． （1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？ （2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？ 【答案】（1）参加此次劳动实践活动的老师有9人，学生有236人 （2）一共有3种租车方案：租甲型客车4辆，乙型客车5辆或租甲型客车5辆，乙型客车4辆或租甲型客车6辆，乙型客车3辆 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的实际应用，弄清题意，找准各量间的关系是解题的关键． （1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，根据参加实践活动的学生人数的两种不同表示方法作为等量关系列方程即可； （2）首先判断车辆总数为9，设租甲型客车m辆，则租乙型客车辆，根据题意列出不等式组求出整数解即可． 【小问1详解】 解：设参加此次劳动实践活动的老师有人， 根据题意，得， 解得， ， 故参加此次劳动实践活动的老师有9人，学生有236人； 【小问2详解】 解：师生总数为（人）， 每位老师负责一辆车的组织工作， 一共租9辆车． 设租甲型客车辆，则租乙型客车辆， 根据题意，得 ， 解得， 为整数， 的值可取4，5，6， 一共有3种租车方案：租甲型客车4辆，乙型客车5辆或租甲型客车5辆，乙型客车4辆或租甲型客车6辆，乙型客车3辆． 24. 定义一种新运算：，例：．根据这种运算法则，完成下列各题： （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减计算，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义可得原式等于，据此通分求解即可； （2）根据新定义可得原式等于，据此通分求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， 【小问2详解】 解：由题意得， ． 25. 如图，在中，，过点作于点，平分交于点，过作于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查垂直的定义，角平分线的定义，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． (1)先证明，得到，继而证明 即可证明是等腰三角形； （2）由，可证 ，即可推到出，则，即可解答． 【小问1详解】 （1）略 【小问2详解】 ， ． ， ， ．又， ， ， ． 26. 阅读以下材料 材料：因式分解： 解：将“”看成整体，令，则原式， 再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）试证明：无论为何值，式子的值一定是一个不小于2的数． 【答案】（1） （2） （3）证明：令， 原式 ， 将还原， 原式， 无论为何值， ， 即式子的值一定是一个不小于2的数． 【解析】 【分析】本题考查换元法因式分解和因式分解的应用，读懂题意，理清这个因式分解方法是解题的关键． （1）令，则原式可化为，运用完全平方公式因式分解，再将“”还原即可； （2）令，则原式可化为运用完全平方公式因式分解，再将“”还原，注意还原之后能继续因式分解要继续分解； （3）令，则原式可化为，配方法得到，将“”还原之后可化为，根据即可得解． 【小问1详解】 解：令， 原式， 将“”还原，得原式； 【小问2详解】 解：令， 原式 ， 将“”还原，得： 原式 ； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $