四川省成都市石室天府中学2025-2026学年一试模拟（二）数学试题

2025赛季一试模拟（二) 一、 填空题（每小题8分，共64分） 1.如果fx)=1一log,2+log,9-log,:64,则使f(z)<0的x的取值范厘是 2巳知制面+芳-1a>b>0)内-点P,),情高过点P的再素位A想.GD, 演足市=P克，市-P币，当直线BD的斜率为一时，精图的高心率一 3.对于所有非负整数m、n(m≥n),数列a,a1,a1,…情足： ah十an-m+n-1-2a十ae. 若a1=3,则a。= 4.若一个多边形的所有顶点均在一个正方体的表面或内部时，称此多边形校正方体所 包含，则被校长为4的正方体所包含的正方形面积的最大值为 5.四次方程x‘一18x3+x2+200x一1984=0的四个根中的两个根的采积是-32，则 k= 6.已知A,B、C为△ABC的三个内角，则-3m号+4sA-45B的最大 值为一· 7.设x、yk=1,2,3)均为非负实数，则 √(2022-y为-y-y)+z+V+z++十x1+z1+x了 的最小值为 B.从正2十1边形的顶点中随机地取三个不同的顶点，构成一个三角形，则这个正多边 形的中心位于这个三角形内部的概率为 二、解答题（共56分） 9.16分)已知抛物线y=一2x2+红-日和点A片，君），过点F(片-君)任作直 线，交抛物线于B、C两点， (I)求△ABC的重心的轨迹方程，并表示成y=f(x)的形式； (②)若数列✉l,0<工<合满是zn=f.试证：2-<号 10.(20分)设正实数a、b、c及非负实数x、y满足条件： a+b"+c‘=3,(x+1)2+y2≤2， 1 求，I-2ax+b'y+26'z十cy+2c'z+a'y的最小值，并证明. 11,(20分)设A1,A2,,A,是单位圆（圆心在原点，半径为1的圆）上依次排列的六 个点。1,2，…，6分别为复平面内A1,A,…,A,所对应的复数，已知w是方程之2十 之十1=0的-个根，且满足z1w2十×仙十6=0，x2w”十之@十=0，求证1 |名-之2十州z红一名十一十州4一十-十州一名= 3|名1-4=3|z1-6=8|-. 2025赛季一试模拟（二)答案 1.1<x<9 解析，显然x>0,x≠1，因为 f(x)-1-log.2+log9-log:64 =1-log,2+log,3-log,4 3x -log,8' 又了x)<0,当：>1时，0<普<1，得1<<号当0<z<1时，号>1无， 除上的取值范服是1<：<骨， 29 解析：由题意得AC∥BD,且易得AC、BD中点的连线过点O、P,则 ko·kp=一号 故e= 3 3.n2+n+1解折：令m=n=0,得a。=1,m=1,n=0,进而 2a,-2=2a:ta. 得a,=7. 令a=0,得a.十e.-m-1=a十a,进而 aa=4a。-2m-3。 ① 令n=1,得 ah十al-m= 2(a+a). ② 由①②得，aH十a1=2a.十2等价于 a1-am=（am-a。-）十2. 所以数列{a,一a-}是以2为首项，2为公差的等差数列. 因此a.一a1=2m,故a,=n3十n十1， 4.18解析：以正方体的一顶点为坐标原点建立空间直角坐标系， 如图所示，则考虑顶点为(3,0,0)，(0,3,0)，(4,1,4)，(1,4,4)的 正方形满足条件。 故正方形的边长a≤3瓦. (第4题) 下证1a>3反不成立，假设有-个边长a>3反的正方形放正方体包含。 首先，可以银设正方体的中心和正方形的中心是重合的。否则，考惠三个过正方体中心，且 交集为该中心的平面： 先考康其中一个平面（记作）.若正方形的中心不在平圆。上，则其肯定在正方体被平面 ā分成的两块中的一块内，从丽，通过正方形的中心并与平圃▣平行可以得到一个平面，平面月 把正方形分成相等的网部分，且把正方体分成两块，其中一块比另一块小。正方形有一半是在小 的那一块中，则能构道一个从平面。到平面的转换，它精使正方形仍然在正方体的里面，且使正 方形的中心在平面。内。 用男外的两个平面分别重复这个过程，则正方体的中心将和正方形的中心完金重合。 作一个球S,使球心和正方形及正方体的中心重合，并且半径为号。，局如竖。>3，生意 到，正方形的各个顶点将在球S的表面，且正方形的对角战是球的直径。故正方形的四个顶点应 在球面被正方体分成的八个区域（该区域在正方体内）的表面上，将其中一个顶点所在区城记为 R,其相对的顶点所在区城记为T。 现在考虑R及其相邻的一个区域，这两个区域在正方体共顶点的三条棱上的投影的最大距 离为4、x、x。 由上已说用了球S的半径比3大，即x<2√3一(2)1，故这两个区城里面任意两点 的最大距离小于√十2z=3瓦，即正方形的两个厦点不可能同时出现在相邻的区域内。从 而，区域R除了三个区域，区域T#除了另外的三个区娘，即正方形的另外两个顶点不被任何 区城所包含，导出矛盾。 所以，能被这个正方体所包含的正方形的最大边长为3瓦，故S-=18. 5.86解折：解法一：设方程的4个根为1，T1、、r4,并设其积为一32的两个根为T1、 r.则 m==-198=62, niri -32 则对某个力和g,有 x'-18x'+kx'+200z-1984 =(x-)(x-r)(x-r)(x-r) =(x-虹-32)(x2-9g十62) =x-(p+g)z3+(62+9-32)x2+（-62p+320)x-1984, p+9=18, 比较恒等式两边的系数，得一62中十32q=200,解得p=4,9=14. k=62+9-32. 于是k=62十4×14一32=86. 解法二设方程的4个根为万、：、了、r,并设其积为一32的两个根为r1、,则由韦达定 理得 r++r+r,=18, rnn十rr十rr+rn+rr十rrk, nnr+nnn+rrr+ririn=-200, nrrr=-1084. 由nr=一32，得rr1=82,学是nr(r1十r)+r1r(r1+r）=-200等价于 31(r+r)-10(r1+r)m-100, 可得久+n4. m十n=14. 解得A=-2+(十r十)+03-80， &万解桥一Sm号+做A-4B =-m号+4《oA+hB).(hA-bB) =-m号+16（向生9.om气(m生.血42） 2 -m号+4M+B)aM-B) -m号+偏c血M-n 号+恤c C 8tan 2 1+rC' 设：=m号0<：<，上式将价于 f0=-a+i平eo, f')=-3+81+)-24.8 (1+) =-3+ (1-2) 1+z') =-3r-14r+5 (1+) 食f>0,得0<<号f)<0,得>青： 所u当：=5时，f0最大，f)=f得》-5，当且仅当A=105,B=15,C=60°时 等号成立。 7.2022解折：在直角坐标系中，作点 0(0,0),A(0,2022),P1(x1十x1+x1y), P(x十y1十y1):P,(x1,y十y1+y), 则 √2022-y-为-%)++√+可+√+++x1+x1+z7 -A京+HP,P1+P,+P古1（应用三角不等式） ≥l可1+P,P1+州Pb1 ≥l1+P,古1≥1a61-2022, 当A-P,=P,=P,等价于x1=x1一1=0，y1=2022,1一y1-0时，原式取到最小值2022。 息名解析：设三角形的一个点为A,步边形的浅余点能时针方向的个顶点按 次记为：A,A,,A,顺时针方向的n个顶点侬次记为A4…A4,“,A-,者要多边形的 中心位于三角形的内部，则需演足另可个点分别为P,P(k,1∈(1,2，一，n),且满足k十 1>,质儿为顶点，霸足条件的三角形共有m十(a-)+a一2)十一十1一心十卫.又因 2 为正2红十1边形共有2m十1个顶点，每个点棱同一个三角形计数3次，所以情足条件的三角形 (2+1Dma+1) 共有么+D+卫个，所以所求板率为 6 =月十1 6 4m-29 3D过F(侣，吉)的直线方程为y十言-业-)混B1,,C,为. +培--》 由 -2g+红- 02x+-1D江-兰-0。由韦达定理有 十1=-2，-台 所以n+=+红4-》-名=-管-÷： 21+x2+ 4 {=3-2 3 12 设△ABC的重心坐标为(x,y),则 y 3 8 y ++ 6+ 8· 3 消去k,即得△ABC的重心轨迹方程为y=一6x'十3x, (②)因为0<1<分，z1=fa,）=-6=i+3z1=3z1-2红，所以 0<4=1-2a<1+g-2z'-是· 2 上式右边等号成立当且仅当x1-之1由此得到0<<骨-2,3，)。 从面有0<名=n<)‘-D-()门<： 0不名 一有 , Ipasydy2za N ≥2ax+6y+Wz+c'y+2公'a+ay 9 -2aa+by Fu'=+dy +2'x +ay (性意，(a+b'+c)'≤8(a+6'+c)=) 3 ≥2x+y≥2x+2-红+1可 ≥， 当且仅当a=b=c=1,x=0,y=1时，等号成立。 11.正勇：由。是方程2十x十1=0的根，知 a2+m+1=0Hw2=1, 得1如=1,2=-w-1, 又1四2十w十马=0，得(1一）十1仙十=0，进面 一南一1创十创十=0， 故（一■一4· 则1-eH1-4l得1-曰-l, 同夏1一马曰一l,所以 1-断同1-同-11. 同理|马一名曰4-4曰4-. 即△A:A,A:,△A:AA,均是等边三角形。 如图，由平面几何的结论局知A1A,十A1A,■A,A,(成设点用两 点间距真公式证明)。 代人对应的复数得引一什州一1曰1一4. 同2,14-名十l一✉1一4 (第11■】 |4-Hl-4l同- 又|1一4曰1-4回-，所以 |1一z十州名一名什|名一：十24一6十6-十州6一名11 =3|名1-=3|之2一=3|名-41. 原题得证。