专题1.3 复数（六类核心考点精讲）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点突破】精讲(新教材新高考)

专题1.3 复数 目录 目录 1 一、5年高考•真题感悟 2 二、课程标准•考情分析 4 【课程标准】 4 【考情分析】 4 【2026考向预测】 5 三、知识点•逐点夯实 5 知识点1、复数的概念 4 知识点2、复数的四则运算 5 四、重点难点•分类突破 6 考点1 复数的基本概念 6 考点2 复数的四则运算 8 考点3 复数的几何意义 9 考点4 复数相等与共轭复数 11 考点5 复数的三角形式 13 考点6 与复数有关的最值问题 15 五、分层训练 19 A、基础保分 19 B、综合提升 23 一、5年高考•真题感悟 1．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【详解】由，则. 故选：A 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】在各象限内点对应复数的特征、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断. 【详解】因为， 则所求复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 3．（2022·全国乙卷·高考真题）设，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出． 【详解】因为R，，所以，解得：． 故选：A. 4．（2022·全国甲卷·高考真题）若．则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出． 【详解】因为，所以，所以． 故选：D. 5．（2019·全国III卷·高考真题）若，则 A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】复数的除法运算 【解析】根据复数运算法则求解即可. 【详解】．故选D． 【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题． 6．（2018·全国I卷·高考真题）设，则 A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【详解】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模. 详解： ， 则，故选c. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 二、课程标准•考情分析 【课程标准】 1.理解复数的基本概念； 2.理解复数相等的充要条件； 3.了解复数的代数表示法及其几何意义； 4.会进行复数代数形式的四则运算； 5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． 【5年考情分析】 5年考情分析 考题示例 考点分析 难易程度（简单、一般、较难、很难） 2025年新I卷，第1题,5分 复数的四则运算及概念 简单 2025年新Ⅱ卷，第2题,5分 复数的四则运算 简单 2024年新I卷，第2题，5分 复数的四则运算 简单 2024年新Ⅱ卷，第1题，5分 复数的模 简单 2023年新I卷，第2题，5分 复数的四则运算、共轭复数 简单 2023年新Ⅱ卷，第1题，5分 复数的四则运算、复数的几何意义 简单 2024年新I卷，第2题，5分 复数的四则运算 简单 【2026考向预测】 高考对复数的考查相对稳定，每年必考题型，分值固定是5分，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．复数的运算、概念、复数的模、复数的几何意义是常考点，难度较低，预测高考在此处仍以简单题为主． 三、知识点•逐点夯实 知识点一、复数的概念 （1）叫虚数单位，满足，当时，． （2）形如的数叫复数，记作． ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，． 知识点二、复数的加、减、乘、除的运算法则 1、复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 注意：复数加、减法的几何意义 以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 2、复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 3、复数的三角形式 （1）复数的三角表示式 一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式． （2）辐角的主值 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式． （3）三角形式下的两个复数相等 两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． （4）复数三角形式的乘法运算 ①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即 ． ②复数乘法运算的三角表示的几何意义 复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积． （5）复数三角形式的除法运算 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即 四、重点难点•分类突破 考点1 复数的基本概念 例1．（2025·云南红河·三模）若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】复数的相等 【分析】根据复数相等直接求解即可. 【详解】因为，所以，所以． 故选：C 例2．（山西省部分地区2024-2025学年高三下学期期中联合考试数学试卷）复数的虚部为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数的乘法运算，求解即可得出答案. 【详解】由已知. 所以，复数的虚部为. 故答案为：. 【变式训练1】．（24-25高三下·贵州黔南·期中）若复数，则z的虚部为（   ） A．1 B．i C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】根据复数虚部的定义求解即可. 【详解】复数的虚部为. 故选：C. 【变式训练2】．（安徽卓越县中联盟&皖豫名校联盟2024-2025学年高三下学期期中检测数学试卷）若复数: 的虚部大于0，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、求复数的实部与虚部 【分析】解不等式可求数a的取值范围. 【详解】由复数z的虚部大于0，得 ，解得 故答案为： 考点2 复数的四则运算 例3．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】复数代数形式的乘法运算 【分析】利用复数的乘法运算可得答案. 【详解】因为，所以. 故选：B 例3．（2025·河南周口·二模）已知复数，则（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】根据复数的除法运算化简复数，从而可得共轭复数，再根据复数的乘法运算即可得答案. 【详解】复数， 所以，则. 故选：B. 【变式训练3】．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复数代数形式的乘法运算 【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 【变式训练4】．（2024·山东潍坊·一模）已知是虚数单位，若复数满足，则 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】利用复数除法法则进行计算出答案.. 【详解】，故. 故答案为： 考点3 复数的几何意义 例5．（2025·北京平谷·一模）在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】利用复数的除法运算化简，即可根据几何意义求解. 【详解】由可得， 故复数z对应的点为，位于第二象限. 故选：B 例6．（2024·北京东城·二模）若复数满足.则在复平面内，对应的点的坐标是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复数的坐标表示、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数的乘法运算求，再结合复数的几何意义分析求解. 【详解】因为，可得， 所以对应的点的坐标是. 故答案为：. 【变式训练5】．（2024·湖南邵阳·模拟预测）已知复数，则在复平面内，所对应的点的坐标为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复数的坐标表示、复数的除法运算、复数的乘方 【分析】根据给定条件，利用复数的乘方及除法运算求出，再求出所对应的点的坐标. 【详解】依题意，， 所以对应的点的坐标为. 故答案为： 【变式训练6】．（2024·北京东城·二模）若复数满足.则在复平面内，对应的点的坐标是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复数的坐标表示、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数的乘法运算求，再结合复数的几何意义分析求解. 【详解】因为，可得， 所以对应的点的坐标是. 故答案为：. 考点4 复数的相等与共轭复数 例7．（2021·全国乙卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】复数的相等、共轭复数的概念及计算、根据复数的加减运算结果求参数 【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数. 【详解】设，则，则， 所以，，解得，因此，. 故选：C. 例8．（2023·上海宝山·二模）已知复数（其中为虚数单位），则实数 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复数的相等 【分析】利用复数相等的条件即可求解. 【详解】由题意可知，，解得, 所以实数. 故答案为：. 例9．（2023·北京海淀·二模）在复平面内，复数z所对应的点为，则 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算、在各象限内点对应复数的特征 【分析】根据复数的几何意义可得，由乘法运算即可求解. 【详解】由题意可知 ，所以， 故答案为：2 【变式训练7】．（2023·四川成都·一模）已知为复数单位，，则的模为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】复数的除法运算、复数的相等、复数代数形式的乘法运算、求复数的模 【分析】根据复数运算的乘除法则，结合复数相等的定义可求得，进而可求得，再结合模长公式即可求解. 【详解】由可得，所以， 所以，则. 故选：A. 【变式训练8】．（2024·吉林长春·一模）若，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复数的相等、复数的乘方 【分析】利用复数的运算法则求解. 【详解】由于， 则 所以，，即. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：复数运算的常用技巧在解题中的运用，若，则； 若，则，，. 【变式训练9】、（2024·广东广州·模拟预测）设复数的共轭复数为，若，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复数的相等、求复数的模 【分析】设，代入已知式利用复数相等的定义求得，得，再由复数模的概念求得结论． 【详解】设，则. 因为，所以， 所以解得所以，所以. 故答案为：． 考点5 复数的三角形式 例10．（2023·湖北恩施·模拟预测）任意一个复数都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复数，，则，已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方、共轭复数的概念及计算、复数的三角表示、复数乘、除运算的三角表示 【分析】将化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得的值，即可求得答案. 【详解】由题意可得， 故， 所以 . 故选：B 例11．（2023·江苏南通·模拟预测）任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．则（    ） A．1 B． C． D．i 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】复数的三角表示 【分析】现将复数 表示为三角形式，再利用棣莫弗定理求解. 【详解】， ； 故选：B． 【变式训练10】．（2023·四川成都·模拟预测）欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位.依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．为虚数 B．函数不是周期函数 C．若，则 D．的共轭复数是 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的三角表示、特殊角的三角函数值、复数的分类及辨析 【分析】 A选项，根据题意计算出，A错误；B选项，由是周期函数，得到答案；C选项，根据欧拉公式得到，C错误；D选项，计算出，得到共轭复数. 【详解】A选项，，为实数，A错误； B选项，，由于是最小正周期为的函数，所以是周期函数，B错误； C选项，由题意得，所以， 又时，，故C错误； D选项， ， 故共轭复数是，D正确. 故选：D 【变式训练11】．（2022·湖北·一模）欧拉公式（e为自然对数的底数，为虚数单位）由瑞士数学家Euler（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则（    ） A． -1 B．1 C．- D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】复数的三角表示 【分析】根据题已知中欧拉公式，直接计算可得答案. 【详解】由题意得：， 故选：A 考点6 与复数有关的最值问题 例12．（23-24高一下·吉林四平·阶段练习）已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】几何意义为圆上的点，理解为圆上的点到的距离，利用圆的性质求最值即可. 【详解】设，， 则， 即，表示以为圆心，为半径的圆， 所以可理解为圆上的点到的距离， 所以的最大值为. 故选：C. 例13．（2023·山东·模拟预测）复数满足，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据复数的几何意义，作图，利用点到直线距离公式，可得答案. 【详解】设复数在复平面上的对应点为， 则可表示为复平面上点到的距离， 可表示为复平面上点到的距离， 由题意可知：点在线段的中垂线上，如下图：    线段的中点为，直线的斜率， 则的轨迹方程为，整理可得， 由可表示为点到的距离， . 故选：A. 【变式训练12】．（2024·安徽·模拟预测）若为虚数单位，，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据复数的几何意义可得复数对应的点的轨迹为以点为圆心，1为半径的圆，进而求出的最大值. 【详解】根据题意，复数对应的点的轨迹为以点为圆心，1为半径的圆， 所求式子的几何意义表示点到圆上点的距离的最大值， 如图所示，最大值为. 故选：D. 【变式训练13】．（23-24高三下·浙江·开学考试）已知复数，其中且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数的坐标表示 【分析】由复数模的几何意义，问题转化为点到直线的距离. 【详解】复数，其中且， 复数在复平面内对应的点，在直线上， 的几何意义是点到点的距离， 其最小值为点到直线的距离，最小值为. 故选：D 四、分层训练 一、单选题 1．（2025·安徽芜湖·二模）若，其中为虚数单位，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】根据复数的除法运算和共轭复数的概念即可得到答案. 【详解】， 则. 故选：D. 2．（2025·浙江·三模）若复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】由复数除法及复数模计算公式可判断选项正误. 【详解】由题可得， 则. 故选：C. 3．（2025·福建宁德·三模）复数满足，则复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】首先根据已知条件求出复数，然后利用共轭复数的定义求得答案. 【详解】因为复数满足，所以. 将其化简得：. 根据复数的定义可求得共轭复数为. 故选：B. 4．（2025·河南郑州·三模）若复数z满足，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求复数的模、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】由复数的除法运算得到，由共轭复数的定义得，再由复数的模的运算得. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：C. 二、多选题 5．（2025·福建龙岩·二模）已知复数，则（   ） A．复数的模长为2 B．复数在复平面内对应的点在第二象限 C．复数是方程在复数集内的解 D．若复数满足，则 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数范围内方程的根、判断复数对应的点所在的象限 【分析】由向量模的运算即可判断A；由向量的几何意义即可判断B；将代入方程即可判断C；根据复数的几何意义即可判断D． 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，复数在复平面内对应的点坐标为，在第四象限，故B错误； 对于C，将代入方程，得，故C正确； 对于D，设复数对应向量为，复数对应的向量为， 由得，，对应点在圆心为半径为1的圆上， 所以，即，故D正确； 故选：ACD． 6．（2025·江苏南京·模拟预测）若复数 ，则（    ） A． B．在复平面内对应的点位于第四象限 C． D．复数满足，则的最大值为 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】利用复数除法求出，再结合共轭复数、复数的模及几何意义逐项判断. 【详解】复数， 对于A，，A错误； 对于B，在复平面内对应的点位于第四象限，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，由，得在复平面内复数对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 表示该圆上的点与点的距离，所以的最大值为，D正确. 故选：BCD 三、填空题 7．（2025·山东·一模）若复数满足，则 ． 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义可得结果. 【详解】因为，则，故. 故答案为：. 8．（2025·湖南湘潭·三模）复数的实部与虚部之和为 ． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算 【分析】应用复数的乘法计算结合复数的概念计算求解. 【详解】因为， 所以z的实部为1，虚部为3，和为4， 故答案为:4． 9．（2025·上海普陀·二模）已知复数，其中i为虚数单位，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】根据复数的运算求出，再根据共轭复数的概念求解即可. 【详解】因为， . 故答案为： 10．（2025·北京朝阳·二模）若复数z满足，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】根据复数的除法可求得，结合模长公式运算求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 11．（2025·河南·三模）若复数z满足，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、共轭复数的概念及计算 【分析】根据已知有，确定对应点的轨迹，再应用圆上点到定点距离范围的求法得到的范围. 【详解】由，即对应点在以复平面的原点为圆心，1为半径的圆上， 由表示上述圆上点到点的距离，结合圆的性质，易知. 故选：D 12．（2025·上海青浦·模拟预测）已知复数满足（i是虚数单位），则的最大值是 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】由模长运算，可得复数的模长，根据复数的几何意义与圆的性质，可得答案. 【详解】已知，则. 因为，所以， 表示复数所对应的点到所对应的点的距离， 说明对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上， 所以的最大值为圆心到点的距离加上半径，即. 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 复数 目录 目录 1 一、5年高考•真题感悟 2 二、课程标准•考情分析 4 【课程标准】 4 【考情分析】 4 【2026考向预测】 5 三、知识点•逐点夯实 5 知识点1、复数的概念 4 知识点2、复数的四则运算 5 四、重点难点•分类突破 6 考点1 复数的基本概念 6 考点2 复数的四则运算 8 考点3 复数的几何意义 9 考点4 复数相等与共轭复数 11 考点5 复数的三角形式 13 考点6 与复数有关的最值问题 15 五、分层训练 19 A、基础保分 19 B、综合提升 23 一、5年高考•真题感悟 1．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C．10 D． 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2022·全国乙卷·高考真题）设，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 4．（2022·全国甲卷·高考真题）若．则（    ） A． B． C． D． 5．（2019·全国III卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2018·全国I卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 二、课程标准•考情分析 【课程标准】 1.理解复数的基本概念； 2.理解复数相等的充要条件； 3.了解复数的代数表示法及其几何意义； 4.会进行复数代数形式的四则运算； 5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． 【5年考情分析】 5年考情分析 考题示例 考点分析 难易程度（简单、一般、较难、很难） 2025年新I卷，第1题,5分 复数的四则运算及概念 简单 2025年新Ⅱ卷，第2题,5分 复数的四则运算 简单 2024年新I卷，第2题，5分 复数的四则运算 简单 2024年新Ⅱ卷，第1题，5分 复数的模 简单 2023年新I卷，第2题，5分 复数的四则运算、共轭复数 简单 2023年新Ⅱ卷，第1题，5分 复数的四则运算、复数的几何意义 简单 2024年新I卷，第2题，5分 复数的四则运算 简单 【2026考向预测】 高考对复数的考查相对稳定，每年必考题型，分值固定是5分，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．复数的运算、概念、复数的模、复数的几何意义是常考点，难度较低，预测高考在此处仍以简单题为主． 三、知识点•逐点夯实 知识点一、复数的概念 （1）叫虚数单位，满足 ，当时，． （2）形如的数叫复数，记作． ①复数与复平面上的点一一对应， 叫z的实部， 叫z的虚部；Z点组成实轴； ，叫虚数； ，叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部 ，虚部 的复数互为共轭复数． ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，． 知识点二、复数的加、减、乘、除的运算法则 1、复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 注意：复数加、减法的几何意义 以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 2、复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点 ； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的 距离． 3、复数的三角形式 （1）复数的三角表示式 一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的角． 叫做复数的三角表示式，简称三角形式． （2）辐角的主值 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式． （3）三角形式下的两个复数相等 两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． （4）复数三角形式的乘法运算 ①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即 ． ②复数乘法运算的三角表示的几何意义 复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积． （5）复数三角形式的除法运算 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即 四、重点难点•分类突破 考点1 复数的基本概念 例1．（2025·云南红河·三模）若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（    ） A． B． C． D． 例2．（山西省部分地区2024-2025学年高三下学期期中联合考试数学试卷）复数的虚部为 ． 【变式训练1】．（24-25高三下·贵州黔南·期中）若复数，则z的虚部为（   ） A．1 B．i C． D． 【变式训练2】．（安徽卓越县中联盟&皖豫名校联盟2024-2025学年高三下学期期中检测数学试卷）若复数: 的虚部大于0，则实数a的取值范围是 . 考点2 复数的四则运算 例3．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 例3．（2025·河南周口·二模）已知复数，则（   ） A．3 B． C．2 D． 【变式训练3】．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ． 【变式训练4】．（2024·山东潍坊·一模）已知是虚数单位，若复数满足，则 ． 考点3 复数的几何意义 例5．（2025·北京平谷·一模）在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例6．（2024·北京东城·二模）若复数满足.则在复平面内，对应的点的坐标是 . 【变式训练5】．（2024·湖南邵阳·模拟预测）已知复数，则在复平面内，所对应的点的坐标为 ． 【变式训练6】．（2024·北京东城·二模）若复数满足.则在复平面内，对应的点的坐标是 . 考点4 复数的相等与共轭复数 例7．（2021·全国乙卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 例8．（2023·上海宝山·二模）已知复数（其中为虚数单位），则实数 ． 例9．（2023·北京海淀·二模）在复平面内，复数z所对应的点为，则 ． 【变式训练7】．（2023·四川成都·一模）已知为复数单位，，则的模为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【变式训练8】．（2024·吉林长春·一模）若，则 . 【变式训练9】、（2024·广东广州·模拟预测）设复数的共轭复数为，若，则 . 考点5 复数的三角形式 例10．（2023·湖北恩施·模拟预测）任意一个复数都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复数，，则，已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 例11．（2023·江苏南通·模拟预测）任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．则（    ） A．1 B． C． D．i 【变式训练10】．（2023·四川成都·模拟预测）欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位.依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．为虚数 B．函数不是周期函数 C．若，则 D．的共轭复数是 【变式训练11】．（2022·湖北·一模）欧拉公式（e为自然对数的底数，为虚数单位）由瑞士数学家Euler（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则（    ） A． -1 B．1 C．- D． 考点6 与复数有关的最值问题 例12．（23-24高一下·吉林四平·阶段练习）已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 例13．（2023·山东·模拟预测）复数满足，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【变式训练12】．（2024·安徽·模拟预测）若为虚数单位，，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式训练13】．（23-24高三下·浙江·开学考试）已知复数，其中且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 四、分层训练 一、单选题 1．（2025·安徽芜湖·二模）若，其中为虚数单位，则（   ） A． B． C． D．1 2．（2025·浙江·三模）若复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·福建宁德·三模）复数满足，则复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河南郑州·三模）若复数z满足，则（   ） A． B．2 C． D．3 二、多选题 5．（2025·福建龙岩·二模）已知复数，则（   ） A．复数的模长为2 B．复数在复平面内对应的点在第二象限 C．复数是方程在复数集内的解 D．若复数满足，则 6．（2025·江苏南京·模拟预测）若复数 ，则（    ） A． B．在复平面内对应的点位于第四象限 C． D．复数满足，则的最大值为 三、填空题 7．（2025·山东·一模）若复数满足，则 ． 8．（2025·湖南湘潭·三模）复数的实部与虚部之和为 ． 9．（2025·上海普陀·二模）已知复数，其中i为虚数单位，则 . 10．（2025·北京朝阳·二模）若复数z满足，则 ． 11．（2025·河南·三模）若复数z满足，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 12．（2025·上海青浦·模拟预测）已知复数满足（i是虚数单位），则的最大值是 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$