精品解析： 2025年山东省菏泽市定陶区中考二模数学试题

定陶区中考模拟数学试题 本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 我国是最早认识和使用负数的国家，下列各数中，最大的负数是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数大小比较以及正数和负数，掌握两个负数大小比较方法是解答本题的关键．两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵，， ， ， 最大的负数是， 故选：C 2. 下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，即一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，则这个图形是轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；根据轴对称图形和中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，本选项符合题意； 故选：D． 3. 截止2025年3月，我国已全面掌握14纳米芯片量产技术，7纳米工艺进入风险试产阶段．已知1纳米米，则14纳米用科学记数法表示为（ ）米 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据用科学记数法表示绝对值小于1的方法，进行解答即可． 【详解】解：14纳米用科学记数法表示为 米，故B正确． 故选：B． 4. 如图所示几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三视图的知识，从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图．据此解答即可． 【详解】解：该几何体的俯视图是 ， 故选：D． 5. 下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式．根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找到未知数系数为负数，并且不等式的解为x≤5的即为所求． 【详解】解：A、，解得x≤5，未知数系数为正数，不符合题意； B、，未知数系数为正数，不符合题意； C、-2x≥-10，解得x≤5，符合题意； D、-2x≤-10，解得x≥5，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂的除法、平方差公式、单项式乘以单项式的运算法则、合并同类项法则逐项判断即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算正确，符合题意； 、，该选项计算错误，不合题意； 故选：． 7. 2025年春节档热映多部精彩影片，小亮、小明分别从《哪吒2》、《唐人街探案3》、《射雕英雄传》三部影片中随机选取一部观看，两人都选择观看《哪吒2》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两人都选择观看《哪吒2》的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设分别用A、B、C表示《哪吒2》、《唐人街探案3》、《射雕英雄传》三部电影，列表如下： 小亮 小明 由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中两人都选择观看《哪吒2》的结果数有1种， ∴两人都选择观看《哪吒2》的概率为， 故选：B． 8. 如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则n的值是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键．由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得出结论． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 9. 下列命题：①平行四边形的对角线互相平分；②若，则；③若三角形的三边、、满足，则该三角形是直角三角形；④全等三角形的对应角相等． 其中逆命题是真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】考查了命题与定理的知识，先写出命题的逆命题，再利用全等三角形的性质、勾股定理的逆定理，平行四边形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①平行四边形的对角线互相平分的逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故为真命题， ②若，则的逆命题为：若，则，该命题为假命题，∵若，则或， ③若三角形的三边、、满足，则该三角形是直角三角形的逆命题为：直角三角形的斜边满足，该命题为假命题，∵未明确直角三角形的斜边． ④全等三角形的对应角相等的逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，该命题为假命题，例如相似三角形． 综上：只有①的逆命题是真命题， 故选：B 10. 如图，在矩形中，，点分别是边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最短路径问题，考查了点与圆的位置关系，轴对称图形的性质，勾股定理，关键在于将所求折线转化为两点之间的距离. 根据题意得到点在以为圆心，以为半径的圆在与矩形重合的弧上运动，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，此时的值最小，根据勾股定理求出，即可得到答案. 【详解】解：在矩形中，，，， 点分别是边上的两动点，且，点为的中点， 如图，连接 点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 如图，作点关于的对称点，连接交于点，交于点， ， 此时的值最小， ，， ， 的最小值为， 故选：B. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式∶_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知是一元二次方程的两个根，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：，，根据得出，进而直接得出即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 13. 如图，菱形中，，，交于点，于点，连接，则的长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键． 由菱形的性质可得，，再运用勾股定理可得长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：∵是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，已知点，点分别在轴和轴上；将线段绕点顺时针旋转至线段，连，将沿轴正方向平移至；当双曲线恰好同时经过点，时，的值等于______． 【答案】6 【解析】 【分析】先求出点的坐标，再根据平移，用表示出，的坐标，然后根据双曲线恰好同时经过点，时，列出方程求解． 【详解】解：设平移了个单位， ∵将线段绕点顺时针旋转至线段，点，点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点， ∵将沿轴正方向平移至， ∴，，，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 当双曲线恰好同时经过点，时，， 解得：，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用平移的性质求解，反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式，根据旋转的性质求解，解题的关键是根据反比例函数图象上的横纵坐标的积为求解． 15. 已知是关于的整式，我们定义的导出整式为．例如，的导出整式为．若是关于的二次多项式，且关于的方程的解为负整数，则当为整数时，_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查定义新概念问题，解体的关键是理解定义新概念及整式的定义． 根据题目已知的定义新概念，写出导出整式，再用m表示出方程的解．根据解为负整数，则当为整数时，即可求出答案． 【详解】解：由导出整式的定义可知， ∴，解得． 由于的解为负数，则，且或， 解得或， 由于是关于x的二次多项式，则，即 综上所述，． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握各运算法则和运算顺序． （1）利用绝对值，负整数指数幂，零指数幂和特殊角的三角函数值进行运算，然后合并解答即可； （2）利用分式的混合运算法则进行化简，然后再代数求值． 【详解】解：（1）原式 （2）原式． 当时，原式． 17. 联合国新闻部将中国传统节气“谷雨”这一天定为中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉造字的贡献．某校为加强学生对中文历史发展的学习与了解，彰显中文和中华文化的魅力，举行了“感受中文魅力，弘扬中华文化”的趣味知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（用表示，百分制）分成四组：；；；，将所得数据进行收集、整理、描述和分析： 收集数据： 七年级20名学生的竞赛成绩是：81，86，99，95，89，99，98，82，88，99，80，86，97，94，88，99，99，83，88，100 八年级20名学生的竞赛成绩在组中的数据是：94，94，91，93，95，91 整理数据： 分析数据： 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 　　　年级 统计量 七年级 八年级 平均数 91.5 92 中位数 91.5 众 数 99 100 应用数据： 根据以上信息，解答下列问题： （1）的值为 ，补全频数分布直方图； （2）若该中学七年级有600人，八年级有400人参加了此次竞赛活动． ①估计参加此次竞赛活动学生获得成绩的平均分为 分； ②估计参加此次竞赛活动学生获得优秀(90分以上)成绩的总人数； （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“中文的历史发展”知识了解的更多？并说明理由（写出一条即可）． 【答案】（1）94； 补全条形统计图如下： （2）①91.7；②580人 （3） 八年级学生对“中文的历史发展”知识了解的更多． 理由：八年级所抽学生的平均成绩大于七年级的平均成绩．（从中位数或者从众数的角度分析均可．） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图以及扇形统计图，中位数的定义，加权平均数的定义，用样本估计总体即可．以及利用平均数作决策即可． （1）根据中位数的定义求解m．先算出七年级D组的人数，然后补全条形统计图即可． （2）①根据加权平均数的定义求解即可；②用样本估计总体即可． （3）利用平均数作决策即可． 【小问1详解】 解：人， 则八年级的中位数位于C组的第10位和11位的平均数： ∴， 七年级D组的人数为：(人)； 【小问2详解】 解：①（分） 则参加此次竞赛活动学生获得成绩的平均分为（分） ②（人） 则参加此次竞赛活动学生获得优秀(90分以上)成绩的总人数为580人． 【小问3详解】 略 18. 小明同学利用直尺和圆规进行了如下操作：如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交和于点；分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线交边于点，连接交于点． （1）求证：； （2）若，，求． 【答案】（1） 证明：由题意得平分， ， 又四边形是平行四边形， ，，， ， ， ； （2）25 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，三角形的面积公式和相似三角形的判定和性质． （1）利用角平分线的定义结合平行线的性质求得，再利用等角对等边，即可证明； （2）由作图得垂直平分，再根据三角形面积公式求出和的面积关系，再根据相似三角形的性质求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 设，则， ， 由作图知，垂直平分线段， ， ． ∵， ，， ． ， ， ． 19. 年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． （1）求的度数； （2）机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图2中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位，参考数据：） 【答案】（1）度 （2） 解：在规定范围内，理由如下： 过点作于，则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴在中，， ∵在中，，， ∴， ∴此时手绢端点与舞者距离为， ∵机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为， ∴此时手绢端点与舞者距离在规定范围内． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （）由题意得，再根据锐角三角函数求出即可求解； （）过点作于，解和求出的长，进而求出手绢端点与舞者距离即可判断求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 20. 如图，一次函数与反比例函数交于两点，为常数． （1）求和的值； （2）根据图象直接写出不等式的解集为_____； （3）点为轴上一点．若的面积为2，求点坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点． （1）将点代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式，再将点代入已求出的反比例函数解析式求出的值，进而得点的坐标，然后将点，的坐标代入一次函数的解析式即可； （2）观察函数的图象，找出一次函数的图象在反比例函数的上方所对应的的取值范围即可； （3）设点坐标，由（1）得点，，故，根据面积法计算即可. 【小问1详解】 将点代入之中，得：， 将点代入得： 将点代入之中，得：． 【小问2详解】 观察函数的图象可知：不等式的解集为：或． 故答案为：或． 【小问3详解】 设点坐标， 由（1）得直线为：，易得点，． 故． 又因为即 故．所以或6． 故点坐标为或． 21. 如图，是的直径，弦与相交于点．过点作，交的延长线于点，，． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的半径 【答案】（1）为的切线， 理由如下：连接， ，, ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 为的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，相似三角形的性质与判定等知识，正确作出辅助线是解题关键． （1）连接，根据三角形内角和定理角定理和等腰三角形的性质求得，由圆周角定理求出，由平行线的性质求得，根据切线的判定定理即可证得结论； （2）先证明，求出，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， 又， ， ， 即， ， ， 即的半径为． 22. （1）如图1，在矩形中，，点为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点落在边上的点处．求及的长； （2）如图2，展开后，将沿线段向右平移，使点的对应点与点重合，得到，与交于点，求线段的长； （3）在图1中，将绕点旋转至三点共线时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）1；（3）或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，折叠的性质，结合勾股定理进行求解即可； （2）求出的长，平移的性质求出，进而求出，证明，列出比例式求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可； （3）分旋转到左侧和旋转到右侧两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：为矩形，，折叠， ，， ； 设长为则：， ，解得：， 的长为3，的长为． （2）解：由（1）知 由题意得：平移距离为2，故， ． 为平移后的图形 ， ， ， ； （3）或． 解：将绕点旋转至三点共线， 分以下两种情况：①当旋转到左侧时，如图所示： 作，交的延长线于点，由（2）可知， 由旋转性质可知，， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ②当旋转到右侧时，如图所示：作，交的延长线于点， 由（2）可知，由旋转性质可知，， ， ， 四边形为矩形， ， ， ． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，折叠的性质，平移的性质，旋转的性质，勾股定理和相似三角形的判定和性质，熟练掌握掌握相关知识点，是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）①抛物线的对称轴为直线_____； ②求证：该函数的图象与轴总有两个公共点； （2）当时，函数值的取值范围是． ①求和的值； ②将该抛物线在间的部分记为，将在直线下方的部分沿翻折，其余部分保持不变．得到的新图象记为．设的最高点、最低点的纵坐标分别为，若，求的取值范围． 【答案】（1）①； ②令，则， ， 该函数的图象与轴总有两个公共点． （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式组、二次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，根据函数的对称轴是直线，进而可以得解； （2）①依据题意，由函数对称轴为直线，当时，函数值y的取值范围是，故是函数的最小值，即抛物线的顶点为，进而可以计算得解； ②依据题意，分在点H下方、上方两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 ①由题意得，函数的对称轴是直线． 故答案为： ②略 【小问2详解】 ①由题意，函数对称轴为直线，当时，函数值的取值范围是， 是函数的最小值，即抛物线的顶点为． ． ． 抛物线的表达式为：． ， 当时，取最大值． ． ②设图象折叠后顶点的对应点为，点是函数所处的位置，图象为区域， 点，点，则点， 当点在点下方时，． 函数的最高点为，最低点为， ． ． ． 当点在点上方时，同理可得：； ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定陶区中考模拟数学试题 本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 我国是最早认识和使用负数的国家，下列各数中，最大的负数是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 截止2025年3月，我国已全面掌握14纳米芯片量产技术，7纳米工艺进入风险试产阶段．已知1纳米米，则14纳米用科学记数法表示为（ ）米 A. B. C. D. 4. 如图所示几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式．根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 2025年春节档热映多部精彩影片，小亮、小明分别从《哪吒2》、《唐人街探案3》、《射雕英雄传》三部影片中随机选取一部观看，两人都选择观看《哪吒2》的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则n的值是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 9. 下列命题：①平行四边形的对角线互相平分；②若，则；③若三角形的三边、、满足，则该三角形是直角三角形；④全等三角形的对应角相等． 其中逆命题是真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 如图，在矩形中，，点分别是边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式∶_____． 12. 已知是一元二次方程的两个根，若，则___________． 13. 如图，菱形中，，，交于点，于点，连接，则的长为_____． 14. 如图，已知点，点分别在轴和轴上；将线段绕点顺时针旋转至线段，连，将沿轴正方向平移至；当双曲线恰好同时经过点，时，的值等于______． 15. 已知是关于的整式，我们定义的导出整式为．例如，的导出整式为．若是关于的二次多项式，且关于的方程的解为负整数，则当为整数时，_____． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 17. 联合国新闻部将中国传统节气“谷雨”这一天定为中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉造字的贡献．某校为加强学生对中文历史发展的学习与了解，彰显中文和中华文化的魅力，举行了“感受中文魅力，弘扬中华文化”的趣味知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（用表示，百分制）分成四组：；；；，将所得数据进行收集、整理、描述和分析： 收集数据： 七年级20名学生的竞赛成绩是：81，86，99，95，89，99，98，82，88，99，80，86，97，94，88，99，99，83，88，100 八年级20名学生的竞赛成绩在组中的数据是：94，94，91，93，95，91 整理数据： 分析数据： 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 　　　年级 统计量 七年级 八年级 平均数 91.5 92 中位数 91.5 众 数 99 100 应用数据： 根据以上信息，解答下列问题： （1）的值为 ，补全频数分布直方图； （2）若该中学七年级有600人，八年级有400人参加了此次竞赛活动． ①估计参加此次竞赛活动学生获得成绩的平均分为 分； ②估计参加此次竞赛活动学生获得优秀(90分以上)成绩的总人数； （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“中文的历史发展”知识了解的更多？并说明理由（写出一条即可）． 18. 小明同学利用直尺和圆规进行了如下操作：如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交和于点；分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线交边于点，连接交于点． （1）求证：； （2）若，，求． 19. 年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． （1）求的度数； （2）机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图2中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位，参考数据：） 20. 如图，一次函数与反比例函数交于两点，为常数． （1）求和的值； （2）根据图象直接写出不等式的解集为_____； （3）点为轴上一点．若的面积为2，求点坐标． 21. 如图，是的直径，弦与相交于点．过点作，交的延长线于点，，． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的半径 22. （1）如图1，在矩形中，，点为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点落在边上的点处．求及的长； （2）如图2，展开后，将沿线段向右平移，使点的对应点与点重合，得到，与交于点，求线段的长； （3）在图1中，将绕点旋转至三点共线时，请直接写出的长． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）①抛物线的对称轴为直线_____； ②求证：该函数的图象与轴总有两个公共点； （2）当时，函数值的取值范围是． ①求和的值； ②将该抛物线在间的部分记为，将在直线下方的部分沿翻折，其余部分保持不变．得到的新图象记为．设的最高点、最低点的纵坐标分别为，若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $