专题1.4 集合专题中的命题陷阱（7类必考点）-2025-2026学年高一数学人教A版2019必修第一册

专题1.4 集合专题中的命题陷阱 【陷阱1：元素与集合，集合与集合关系混淆】 1 【陷阱2：集合中元素重复】 2 【陷阱3：隐含条件】 4 【陷阱4：代表元的变化】 4 【陷阱5：参数取值不完整造成漏解】 6 【陷阱6：子集中的空集】 8 【陷阱7：新定义】 10 【陷阱1：元素与集合，集合与集合关系混淆】 陷阱预防：表面看是集合与集合之间的关系，实质上是元素与集合之间的关系，这类题目防范办法是把集合用列举法表示出来. 1．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖南衡阳·开学考试）已知集合.则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，则集合A与B之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）已知集合，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·重庆·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·广东韶关·期中）设集合，，则集合和集合的关系是 A． B． C． D． 7．（2024高三上·广东·学业考试）已知， 设集合， ，则（ ） A．​ B．​ C．  ​ D．​ 8．（24-25高一上·天津滨海新·期中）下列六个写法：①；②；③；④Ø；⑤Ø；⑥Ø⫋{0}，其中错误写法的个数为（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【陷阱2：集合中元素重复】 陷阱预防：对于两个集合相等或子集问题，涉及元素问题，必须要保证集合元素的互异性. 1．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）若，则的所有可能的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知集合，，则a的值为（   ）. A． B． C．1 D． 3．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ． 4．（24-25高一上·四川成都·期中）已知集合，，则 ． 5．（24-25高一上·重庆渝中·阶段练习）已知集合，其中，则实数 . 6．（24-25高一·上海·课堂例题）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值． 7．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知含有两个元素的集合，其中． (1)实数m不能取哪些数？ (2)若，求实数m的值． 8．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 【陷阱3：隐含条件】 陷阱预防：注意两个集合代表元的条件，容易忽视集合中元素属于整数的条件. 1．（24-25高二下·浙江·阶段练习）设全集为，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广西柳州·阶段练习）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·贵州·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（浙江省五校联盟2024-2025学年高二下学期5月教学质量检测数学试题）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）已知集合，，，，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·四川南充·期中）把集合用列举法表示为 . 7．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，则 . 8．（2025高三·全国·专题练习），若表示集合中元素的个数，则 ，则 ． 【陷阱4：代表元的变化】 陷阱预防：解这类问题需要注意集合代表元是什么，是数集还是点集. 1．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）下列各组中的、表示同一集合的个数是（    ） ①，； ②，； ③， ④，. A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）下面说法中，正确的为（    ） A．且或 B． C． D．集合不满足元素的互异性 3．（24-25高一上·河北·阶段练习）已知集合，则下列与相等的集合个数为（    ） ① ② ③ ④ A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2025·湖南邵阳·三模）若集合，，则的元素的个数是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·宁夏中卫·二模）已知集合，，则中元素个数为（    ） A． B． C． D．或或 6．（24-25高三上·四川成都·开学考试）已知集合，则集合的元素个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（2025·山东青岛·模拟预测）设集合，，则集合中元素的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 8．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下列说法错误的是（   ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为{为所有实数}或 C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 D．集合与是同一个集合 【陷阱5：参数取值不完整造成漏解】 陷阱预防：对参数必须全面考虑，注意分类讨论思想的应用. 1．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）设A={x|2≤x≤8}，B={x|2a≤x≤a+4}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（    ） A．{a|1≤a≤4} B．{a|a>4} C．{a|a≥1} D．{a|1<a<4} 2．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知，，若，则的取值的集合为 A． B． C． D． 5．（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）设，．若，则实数组成的集合为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·吉林通化·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 7．（24-25高一上·全国·课后作业）设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 8．（24-25高一上·云南·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 【陷阱6：子集中的空集】 陷阱预防：对于含参数的子集问题，一定要做到看到子集要想到空集. 1．（24-25高一上·全国·课后作业）集合的子集为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知集合，非空集合A满足，则符合条件的集合A的个数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·浙江衢州·期中）若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广西桂林·阶段练习）（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． 5．（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知集合有且仅有两个子集，求实数的值及对应的两个子集. 6．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 7．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合． (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 8．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知集合且，且 (1)写出集合的子集，真子集； (2)求集合的子集数，非空真子集数． 【陷阱7：新定义】 陷阱预防：对于集合的新定义问题首先读懂题意，把问题转化为已经高中的基础知识后解答. 1．（24-25高一上·全国·课后作业）设P，Q为两个非空实数集合，定义．若，，则中元素的个数为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 2．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）当一个非空数集G满足“如果，则，且时，”时，我们称G就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）[多选题]对于数集A，B，它们的积，则（   ） A． B．若，则 C． D．集合表示y轴所在直线 4．（2025·湖北黄冈·模拟预测）对于集合、，定义运算：且，.若，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知A，B是非空集合，若，且满足，则称a，b是集合A，B的一对“基因元”．若集合，则A，B的“基因元”的对数是 ． 6．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 7．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，是的子集，定义集合且，若，则称集合是的恰当子集. (1)若，，求并判断集合是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求的值并说明理由. 8．（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，、是的非空子集.记集合除以的余数.若正整数满足：存在非空集合、，使得两两的交集为空集，且，则称为“好的”. (1)设，，当时，求，并直接判断是否为“好的”； (2)证明：是“好的”，是“好的”； (3)求所有“好的”正整数. 第 1 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 集合专题中的命题陷阱 【陷阱1：元素与集合，集合与集合关系混淆】 1 【陷阱2：集合中元素重复】 4 【陷阱3：隐含条件】 8 【陷阱4：代表元的变化】 11 【陷阱5：参数取值不完整造成漏解】 15 【陷阱6：子集中的空集】 20 【陷阱7：新定义】 23 【陷阱1：元素与集合，集合与集合关系混淆】 陷阱预防：表面看是集合与集合之间的关系，实质上是元素与集合之间的关系，这类题目防范办法是把集合用列举法表示出来. 1．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系进行判断即可. 【详解】，所以A错误； 集合是点集，集合{2}数集，没有包含关系，故B错误； 是有理数集，，所以C错误； 空集是任何集合的子集，所以D正确. 故选：D. 2．（24-25高一上·湖南衡阳·开学考试）已知集合.则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定集合中的元素，进而逐项判断即可； 【详解】 A，C选项使用符号错误，，B错，，D对； 故选：D 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，则集合A与B之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定集合，再进行选项判断. 【详解】集合A中所有的元素都是集合B的子集， 即集合A是由集合B的子集组成的集合， 所以， 故B是集合A中的一个元素，D正确． 故选：D 4．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）已知集合，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合包含与属于的概念与符号，一一判断即可. 【详解】根据题意，可知集合. 对于选项A，，故A错； 对于选项B，“”表示集合与集合之间的包含关系，不是元素与集合的属于关系，故B错； 对于选项C，是集合的一个子集，故C正确； 对于选项D，“”表示元素与集合间的属于关系，而不是集合与集合间的包含关系，故D错. 故选：C. 5．（24-25高一上·重庆·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：D. 6．（24-25高一上·广东韶关·期中）设集合，，则集合和集合的关系是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据子集概念即可作出判断. 【详解】∵集合，， ∴， 故选：B 【点睛】本题考查子集的概念，考查集合间的包含关系，属于基础题. 7．（2024高三上·广东·学业考试）已知， 设集合， ，则（ ） A．​ B．​ C．  ​ D．​ 【答案】D 【分析】先求出全集，从而判断四个选项的正误，可得答案. 【详解】由题意，, 得, 故，A错误；,故B错误， ，故属于集合间符号使用不正确， C错误， ,D正确， 故选：D 8．（24-25高一上·天津滨海新·期中）下列六个写法：①；②；③；④Ø；⑤Ø；⑥Ø⫋{0}，其中错误写法的个数为（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据集合与集合、集合与元素及空集的性质判断各项的正误，即可确定错误写法的个数. 【详解】①两个集合之间只有包含、被包含关系，故错误； ②0.3是有理数，即，故错误； ③所含元素相同，正确； ④空集没有任何元素，故错误； ⑤任意集合与空集的交集为空集，故错误； ⑥空集是任意非空集合的真子集，故正确. 故错误的有①②④⑤. 故选：B. 【陷阱2：集合中元素重复】 陷阱预防：对于两个集合相等或子集问题，涉及元素问题，必须要保证集合元素的互异性. 1．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）若，则的所有可能的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】讨论参数对应的元素，结合集合元素互异性确定参数取值集合即可. 【详解】当，则，显然集合元素不满足互异性； 当，则，此时集合为，满足； 当，即或，（其中舍）， 若，此时集合为，满足； 若，此时集合为，满足； 综上，的取值集合为. 故选：D 2．（多选）（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知集合，，则a的值为（   ）. A． B． C．1 D． 【答案】BD 【分析】由题意可得或或，求出对应的a值，结合集合的特征依次验证即可. 【详解】，集合， 得或或， 解得或或， 当时，，，不符合集合中元素的互异性，故舍去； 当时，，，，满足题意； 当时，，，，满足题意. 故选：BD. 3．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ． 【答案】3 【分析】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合的互异性，由此可得答案. 【详解】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. 4．（24-25高一上·四川成都·期中）已知集合，，则 ． 【答案】1 【分析】根据给定的元素与集合关系列式，结合集合元素的互异性求解. 【详解】由集合，，得或， 当时，，此时，不符合题意，； 当时，显然，解得，集合，符合题意， 所以. 故答案为：1 5．（24-25高一上·重庆渝中·阶段练习）已知集合，其中，则实数 . 【答案】 【分析】由题意可得或，求出，进而求出，结合集合的互异性和，即可得出答案. 【详解】①当时，解得， 当时，与集合元素的互异性矛盾，所以舍去； 当时，， 得到与矛盾，所以舍去； ②当时，解得， 当时，， 得到与矛盾，所以舍去； 当时，， 得到，符合题意，所以. 故答案为：. 6．（24-25高一·上海·课堂例题）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值． 【答案】 【分析】本题根据集合相等以及集合元素的互异性列出等式得出的值，再计算 即可. 【详解】由可得0且（否则不满足集合中元素的互异性）． 所以，或 解得，或． 经检验，满足题意． 所以． 7．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知含有两个元素的集合，其中． (1)实数m不能取哪些数？ (2)若，求实数m的值． 【答案】(1)不能取0和4； (2)． 【分析】（1）根据集合元素的互异性，列式算出答案； （2）若4为集合A的元素，结合（1）的结论可知，从而算出实数m的值． 【详解】（1）根据题意，可得，解得且， 因此，实数m不能取0和4； （2）由（1）的结论，可知m≠4， 若，则，解得（不符合题意）， 因此，实数m的值是． 8．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，直接解出集合即可； （2）解方程，对实数的取值进行分类讨论，求出集合，根据集合的元素之和为进行检验或求出的值，即可得解. 【详解】（1）当时，， 解得或或，故． （2）因为， 解该方程可得或或． 根据集合中元素的互异性知当方程有重根时， 重根只能算作集合的一个元素， 当时，可得，不符合题意； 当，即时，可得，符合题意； 当且时，，则， 解得，此时，符合题意． 综上，实数的值为或； 当时，；当时，． 【陷阱3：隐含条件】 陷阱预防：注意两个集合代表元的条件，容易忽视集合中元素属于整数的条件. 1．（24-25高二下·浙江·阶段练习）设全集为，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为，，所以. 故选：D. 2．（24-25高三上·广西柳州·阶段练习）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】集合，集合，因此，. 故选：A. 3．（2025·贵州·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合的交运算求即可. 【详解】由题设，集合，， 所以. 故选：B 4．（浙江省五校联盟2024-2025学年高二下学期5月教学质量检测数学试题）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可先分别分析集合与集合所代表的元素特征，再根据交集的定义求出. 【详解】已知集合，其中表示整数集. 当取遍所有整数时，表示所有的偶数，即集合是由所有偶数组成的集合. 已知集合，其中表示自然数集（包括）. 当时，；当时，；当时，；以此类推. 所以集合是由所有大于等于的自然数组成的集合. 由于集合是所有偶数组成的集合，集合是所有大于等于的自然数组成的集合，那么就是所有大于等于的偶数组成的集合. 大于等于的偶数可以表示为（），其中表示正整数集. 所以. 故选：C. 5．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）已知集合，，，，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对描述法表示的集合的理解，设出的表示形式，得到，判断其与集合的关系即可. 【详解】因为，， 则由题意可设，，其中， 则，且， 故， 故选：D． 6．（24-25高一上·四川南充·期中）把集合用列举法表示为 . 【答案】 【分析】当取时，对应的值为，再根据列举法即可求解. 【详解】当取时，对应的值为， 所以. 故答案为：. 7．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，则 . 【答案】 【分析】根据题意，依次验证分别取0,1,2三种情况即可判断答案. 【详解】若，符合题意；若，不符合题意；若，符合题意. 故答案为：. 8．（2025高三·全国·专题练习），若表示集合中元素的个数，则 ，则 ． 【答案】 【分析】解不等式可得，再考虑的整数部分，从而的值. 【详解】当时，，故，即，， 由于不能整除3，且， 故从到，3的倍数共有682个， . 故答案为：，. 【陷阱4：代表元的变化】 陷阱预防：解这类问题需要注意集合代表元是什么，是数集还是点集. 1．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）下列各组中的、表示同一集合的个数是（    ） ①，； ②，； ③， ④，. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用集合相等的概念判断. 【详解】在①中，是数集，是点集，二者不是同一集合，故①错误； 在②中，，表示的不是同一个点，故②错误； 在③中，，，二者表示同一集合，故③正确； 在④中，表示数集，表示点集，故④错误. 故选：B. 2．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）下面说法中，正确的为（    ） A．且或 B． C． D．集合不满足元素的互异性 【答案】C 【分析】根据集合的定义以及集合相等的定义逐项分析判断. 【详解】对于选项A：例如且，但或， 所以且或，故A错误； 对于选项B：集合是点集，集合是数集， 两个集合的元素不相同，所以，故B错误； 对于选项C：因为集合元素相同， 所以，故C正确； 对于选项D：集合只有一个元素，符合集合的互异性，故D错误； 故选：C. 3．（24-25高一上·河北·阶段练习）已知集合，则下列与相等的集合个数为（    ） ① ② ③ ④ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】解方程组可化简①，由偶次根式有意义可计算②，分别研究n为奇数、n为偶数可计算③，由定义可得④，依次判断即可求得结果. 【详解】对于①，； 对于②，中解得，故； 对于③，当n为奇数时，；当n为偶数时，， 所以； 对于④，. 所以与M相等的集合个数有2个. 故选：C. 4．（2025·湖南邵阳·三模）若集合，，则的元素的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用交集的定义可求得结果. 【详解】因为集合，， 所以， 因此，的元素的个数是. 故选：C. 5．（2025·宁夏中卫·二模）已知集合，，则中元素个数为（    ） A． B． C． D．或或 【答案】A 【分析】由两集合表示的元素的特征可知交集为空集，由此得到结果. 【详解】集合为数集，集合为点集，，中的元素个数为. 故选：A. 6．（24-25高三上·四川成都·开学考试）已知集合，则集合的元素个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由集合的表示及交集的概念即可得解. 【详解】由可得， 所以，有1个元素. 故选：B. 【点睛】本题考查了描述法表示集合及集合的交集运算，属于基础题. 7．（2025·山东青岛·模拟预测）设集合，，则集合中元素的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】用列举法写出集合的元素即可. 【详解】因为集合，， 所以集合中元素为，共4个. 故选：C 8．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下列说法错误的是（   ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为{为所有实数}或 C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 D．集合与是同一个集合 【答案】BD 【分析】A选项，解方程，得到方程的解，故用列举法表示为，故A正确；B选项，表示实数集，实数集为错误表示，故B错误；C选项，根据描述法定义得到C正确；D选项，两集合一个为数集，一个为点集，D错误. 【详解】对于A，集合中只含有两个元素0和1， 所以用列举法表示为，故A正确； 对于B，因为花括号本身就具有所有的意义， 所以在描述内容中不能再出现“所有”这样的字眼， 另外表示实数集，实数集为错误表示，故B错误； 对于C，根据描述法表示集合可得集合为，故C正确； 对于D，集合为的取值集合，为数集， 集合表示抛物线上点的集合，为点集， 所以两个集合不是同一个集合，故D错误． 故选：BD 【陷阱5：参数取值不完整造成漏解】 陷阱预防：对参数必须全面考虑，注意分类讨论思想的应用. 1．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）设A={x|2≤x≤8}，B={x|2a≤x≤a+4}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（    ） A．{a|1≤a≤4} B．{a|a>4} C．{a|a≥1} D．{a|1<a<4} 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系，讨论、列不等式组，求参数a的范围. 【详解】当时，，有符合题设； 当时，，有符合题设； 综上，. 故选：C 2．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分情况讨论集合是否为空集，再根据集合间的包含关系列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围. 【详解】当为空集时，时.解不等式，可得. 因为空集是任何集合的子集，所以当时，. 当不为空集时，时，解不等式，可得. 此时，要使，那么集合中的元素都要满足集合的范围.    已知，，所以需满足. 解不等式，可得. 综合可得，又因为前提是，所以取交集得. 综合两种情况，将和两种情况综合起来，取并集可得. 能使成立的所有组成的集合为， 故选： C. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据子集的含义可得集合A为空集或非空集合，进而对参数a分类讨论即可求解. 【详解】，， 故当时，易求； 当时，由得，或, 所以所有的取值构成的集合为， 故选：C. 4．（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知，，若，则的取值的集合为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解方程得集合，由得，结合方程可得可能为，，，分别代入解出即可. 【详解】因为， 由于得，结合可知： 当，即时，满足题意； 当，即时，满足题意； 当，即时，满足题意； 故的取值的集合为， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了由集合关系求参数的值，考查了分类讨论思想，属于中档题. 5．（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）设，．若，则实数组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程可求得集合；根据包含关系，分别讨论和的情况即可求得结果. 【详解】由得：或，； 当时，，此时满足； 当时，由得：，即， ，或，解得：或； 综上所述：实数组成的集合为. 故选：C. 6．（23-24高二下·吉林通化·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分和，得到不等式，求出的取值范围. 【详解】，若，则，解得， 若，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 7．（24-25高一上·全国·课后作业）设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)． (2)或． 【分析】（1）由集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素，结合，求得的值，即可得到答案； （2）先求得，根据，所以集合可能是，，，，分情况讨论，结合二次函数的性质，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）解：由集合， 因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素， 故，所以， 所以实数的取值范围是． （2）解：由，解得或，所以， 因为，所以集合可能是，，，； 当时，即方程无实数根， 则，解得； 当时，即方程有且只有一个根0， ，解得； 当时，即方程有且只有一个根， 则，方程组无解； 当时，方程有两根和， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围是或． 8．（24-25高一上·云南·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)的值为或 (2) 【分析】（1）由条件可得，代入计算，然后检验，即可得到结果； （2）化简集合，分，以及讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为，所以，将代入中的方程， 得，解得或， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件， 综上，的值为或. （2）对于集合，. 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，要想使，则， 此时，该方程组无解， 综上的取值范围是. 【陷阱6：子集中的空集】 陷阱预防：对于含参数的子集问题，一定要做到看到子集要想到空集. 1．（24-25高一上·全国·课后作业）集合的子集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合子集的定义，即可求解. 【详解】由集合， 根据集合子集的定义，可得， 故选：D. 2．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知集合，非空集合A满足，则符合条件的集合A的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得符合条件的集合A的个数即为的非空子集个数. 【详解】根据题意，得，即求的非空子集个数， ，的非空子集个数是， 所以集合A的个数是3． 故选：A． 3．（24-25高一上·浙江衢州·期中）若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据子集关系分析求解即可. 【详解】因为，则， 所以. 故选：D. 4．（24-25高一上·广西桂林·阶段练习）（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． 【答案】（1）子集：；真子集：. （2）子集：；真子集：. 【分析】根据题意，由子集与真子集的定义，即可得到结果. 【详解】（1）集合的子集：；集合的真子集. （2）集合的子集：； 集合的真子集：. 5．（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知集合有且仅有两个子集，求实数的值及对应的两个子集. 【答案】实数的值是1或2．当时，集合的两个子集是，；当，此时集合的两个子集是，． 【解析】若恰有两个子集，则为单元素集，所以关于的方程恰有一个实数解，分类讨论能求出实数的取值范围． 【详解】解：由题意可得集合为单元素集 （1）当时，此时集合的两个子集是， （2）当时则解得，此时集合的两个子集是， 实数的值是1或2．当时，集合的两个子集是，；当，此时集合的两个子集是，． 【点睛】本题考查根据子集与真子集的概念，实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分析法、讨论法和等价转化法的合理运用． 6．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2)，，，，，，. 【分析】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【详解】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 7．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合． (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 【答案】(1) (2)0或 【分析】（1）求出集合A，进而求出其子集即得. （2）按a的值是否为0，分类求解即得. 【详解】（1）若，则， 所以集合A的所有子集是：， （2）当时，方程，符合题意，因此， 当时，集合A中仅含有一个元素，则，解得， 所以实数a的值为0或. 8．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知集合且，且 (1)写出集合的子集，真子集； (2)求集合的子集数，非空真子集数． 【答案】(1)答案见解析 (2)16，14 【分析】（1）根据集合的子集和真子集的概念即可求解； （2）利用集合的子集和非空真子集个数的求解公式，即可得出其相应的个数． 【详解】（1）， 的子集有：，，，，，，，； 的真子集有：，，，，，，． （2）， 有4个元素，的子集数为个， 的非空真子集数为个． 【陷阱7：新定义】 陷阱预防：对于集合的新定义问题首先读懂题意，把问题转化为已经高中的基础知识后解答. 1．（24-25高一上·全国·课后作业）设P，Q为两个非空实数集合，定义．若，，则中元素的个数为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】根据给定的定义，按分别求出即可. 【详解】当时，；当时，； 当时，，， 所以，共有8个元素. 故选：B 2．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）当一个非空数集G满足“如果，则，且时，”时，我们称G就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据新定义，逐项判断分析即可. 【详解】对①：当时，有，所以0是任何数域的元素，故①正确； 对②：取非0实数，则，再由，则，可得任意正整数属于，故②正确； 对③：若为数域，取，，则不成立，故③错误； 对④：任取有理数，，令，，则， ， ，且，所以有理数集是数域，故④正确. 所以正确的有：①②④. 故选：B. 3．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）[多选题]对于数集A，B，它们的积，则（   ） A． B．若，则 C． D．集合表示y轴所在直线 【答案】BCD 【详解】由题知，表示数集A中的数表示横坐标，数集B中的数表示纵坐标所组成的点的全体，故，A错误；若，则，B正确；，则，C正确；集合表示y轴所在直线，D正确． 4．（2025·湖北黄冈·模拟预测）对于集合、，定义运算：且，.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题中定义以及集合运算逐项判断即可. 【详解】对于A选项，根据题中信息可得，A对； 对于B选项，根据题意可得，故，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：ABD. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知A，B是非空集合，若，且满足，则称a，b是集合A，B的一对“基因元”．若集合，则A，B的“基因元”的对数是 ． 【答案】13 【详解】，当a取2时，分别为1，1，4，6，共3对；当a取3时，分别为2，0，3，5，共3对；当a取5时，分别为4，2，1，3，共3对；当a取9时，分别为8，6，3，1，共4对．． 6．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 【答案】(1)证明见解析 (2)不一定，举例见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据闭集合定义及集合交集运算即可证明； （2）根据闭集合定义及集合并集运算即可判断； （3）根据闭集合定义、真子集及集合并集运算即可证明. 【详解】（1）且为闭集知：，成立， 故而，从而命题成立. （2）取， 知不一定是闭集合. （3）若或，且均是的真子集，命题显然成立， 故不妨设存在满足，且存在满足, 取知，否则 或者而得出矛盾，故命题成立. 7．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，是的子集，定义集合且，若，则称集合是的恰当子集. (1)若，，求并判断集合是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求的值并说明理由. 【答案】(1)，集合是的恰当子集 (2)，或，；理由见解析 【分析】（1）利用给定定义求出集合并进行判断即可. （2）利用给定定义求出，进而建立关于的方程，求解参数值即可. 【详解】（1）若，有， 由，则， 满足，集合是的恰当子集. （2）若（）是的恰当子集，则 得到，由，则或 当时，，此时，，满足题意， 当时，，此时，，满足题意， 综上可得，或，. 8．（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，、是的非空子集.记集合除以的余数.若正整数满足：存在非空集合、，使得两两的交集为空集，且，则称为“好的”. (1)设，，当时，求，并直接判断是否为“好的”； (2)证明：是“好的”，是“好的”； (3)求所有“好的”正整数. 【答案】(1)，是“好的” (2)证明见解析 (3)除、、外的正整数 【分析】（1）根据题中定义可求出集合，并由此作出判断； （2）当时，取集合，；当时，取集合，，结合题中定义验证可得出结论； （3）先证明出：若正整数是“好的”，则也是“好的”，再证：为奇数是“好的”，不是“好的”，同理易知，不是“好的”，由此可得出结论. 【详解】（1）当时，由题中定义可得，且，故是“好的”. （2）时，取，，则的值为、、、，除以8的余数为4，7，5，0. 所以，此时，合乎题意； 时，取，， 的值分别为4，7，12，15，5，8，13，16，20，23，21，24，除以16的余数为4，7，12，15，5，8，13，0. 所以，则，满足条件. 故是“好的”，是“好的”. （3）①首先证明：若正整数是“好的”，则也是“好的”.（*） 事实上，若正整数是“好的”， 设，，，此时集合、满足时条件. 时，考虑，， 则也满足条件，（*）得证. ②再证：为奇数是“好的”.（**） 事实上，取，，则满足条件，（**）得证. 由（*）（**）及（2）知除1，2，4外的正整数均为“好的”. ③再证：不是“好的”. 对集合，记为中元素个数，由条件，. 若，则，矛盾. 若或，则，则，矛盾. 于是不是“好的”. 同理易知，2不是“好的”. 所以，所求为除1，2，4外的正整数. 第 1 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $$