精品解析：上海市金山中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题

2024-2025学年上海市金山中学高一年级下学期 期中数学试卷 2025.4 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分． 1. 已知集合，，则_____． 2. 已知，若，则__________． 3. 已知为实数，且函数是偶函数，则________. 4. 如果，那么___________ 5. 已知，若，则向量与的夹角的余弦值为__________. 6. 已知正数满足，则的最小值为______. 7. 已知，则实数的取值范围为_____. 8. 已知的内角的对边分别为，若，则__________． 9. 已知正方形ABCD的边长为2，且，，则__________． 10. 在沪教版教材必修第一册第四章的章首语中有这样一段话：“通过固定等式中的三个量中的一个量，研究另两个量的相互关系和变化规律，定义三种基本而应用广泛的函数——幂函数､指数函数和对数函数”.若令（是自然对数的底数），将视为自变量，则为的函数，记作，若不等式对任意的恒成立，则实数的值为__________. 11. 定义在上的函数（，，），其图象与水平直线的交点从左往右分别记为，，…．若，则的最大值是_____． 12. 设平面上四点、、、满足：，，若，则的最小值为________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知实数，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分也非必要 15. 在平面上，已知定点，动点.当在区间上变化时，动线段所形成图形的面积为（ ） A. B. C. D. 16. 已知满足，有下列四个结论： ①、可能都是锐角；②、中一定存在钝角；③；④． 以上结论中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 设是两个不共线的非零向量 （t∈R） （1）记，那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？ （2）若且与夹角为，那么实数x为何值时的值最小？ 18. 已知 （1）若，求函数的值域； （2）若存在，使得，求实数的取值范围． 19. 如图，是边长为2的正三角形，P在平面上且满足，记． （1）若，求PB的长； （2）用表示，并求的取值范围． 20. 设函数的表达式为，其中． （1）设，，若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围； （2）若对任意的，皆有成立，且函数在区间上是严格增函数，求函数的最小正周期； （3）若存在，，且，使得成立，求的取值范围． 21. 设函数的定义域为，集合．若中有且仅有一个元素，则称为函数的一个“值”． （1）设，求的值； （2）定义，设，若的函数值中不存在值，求实数取值的集合； （3）已知定义域为的函数的图象是一条连续曲线，且函数的所有函数值均为值，若，证明：在上为严格增函数的一个充要条件是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网命组卷网 2024-2025学年上海市金山中学高一年级下学期 期中数学试卷 2025.4 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1已知集合A=(,),B=N,则AnB=」 【答案】0 【解析】 【分析】由交集的运算即可求解 【详解】由A=(),B=N, 得：AnB={0} 故答案为 .{0y 2.已知i=(2,,b=0,若a∥6，则x= 【答案】2拼0.5 【解析】 【分析】由平面向量共线的坐标表示即可求解， 1 x= 【详解】由ā∥b得2x-1=0,解得2 1 故答案为：2. 3.已知a,b为实数，且函数y=x++lx∈b,4是偶函数，则a-b= 第1页/共22页 命学科网 6组卷网 【答案】4 【解析】 a,b 【分析】根据函数的奇偶性与二次函数的对称性即可得的值，从而得所求 【详解】因为函数y=术+心+lx∈[h,4刊是偶函数。 所以函数定义域关于原点对称，且函数图象关于你y轴对称， a =0→a=0 所以b=-4,且2 所以a-b=0-(-4)=4 故答案为：4. 4.如果tana=3,那么sina.cosa= 3 【答案】10拼0.3 【解析】 tan a 【分析】利用平方关系和商数关系将sina.cosa化为tana+1,代入tana=3即可求解. 【详解】因为tana=3, sina·cosa tana 3 lna·cosa= 所以 sin2a+cos2a tan2a+1 10. 3 故答案为：10 5.已知日=因=1，若(2a-b)16,则向量a与方的夹角的余弦值为 【答案】2#0.5 【解析】 第2页/共22页 6学科网命组卷网 【分析】设向量“与b的夹角为9，根据向量垂直运算可得答案 【详解】设向量a与b的夹角为0(0e[0,x)】 若(2a-16,则(2a-b列6=0 所以2a-6-6=2a%lcos日-=2cos日-1=0， 可得 OS0= 故答案为：2. 1.3 =1 6.已知正数a,b满足a'b,则ab的最小值为一 【答案】12 【解析】 【分析】利用基本不等式求解即可 13 13 1=-+≥2 【详解】因为a b"a b,所以ab≥12 1_3 当且仅当ab,即a=2,b=6时等号成立，所以ab的最小值为12. 故答案为：12. 7.已知x+3+-5=8 则实数x的取值范围为一 【答案】【3,5] 【解析】 【分析】应用分类讨论去绝对值符号求解 【详解】由x+3到+x-列=8 第3页/共22页 6学科网命组卷网 当x<-3时，则-x-3+5-x=8,解得x=-3(舍)， 当x>5时，则x+3+x-5=8,解得x=5(舍)， 当-3≤x≤5时，则x+3+5-x=8恒成立 所以实数的x的取值范围为[一3，] 故答案为： [-3,5] 8.己知A4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosC=V3 3,a=2V36,则co 【答案】3 【解析】 【分析】根据余弦定理可得C=3b,再利用余弦定理即可得c0SA的值， 【详解】由余弦定理可得C=a+b-2abc0sC=122+6-2x2V56× -9 3 所以c=3b, 年是有oA2+c-0B+96-122B 2bc 2b.3b 662=-3 1 故答案为：3. 9已知正方形ABCD的边长为2，且C正=CD,AE,BD=2,则1= 【答案】2.5 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算及数量积运算即可求解. 第4页/共22页 学科网命组卷网 【详解】由题意，CE=ACD,则DE=I-2)DC 所以A正=AD+DE=AD+(1-A)DC,BD=BA+AD=AD-DC, 所以AE.BD=[AD+(I-)DC](AD-DC) =AD+(1-元-1)AD.DC-(1-2)DC =4-4(1-2)=2 故答案为：. o E B 10.在沪教版教材必修第一册第四章的章首语中有这样一段话：“通过固定等式 °=C中的三个量 ,b,c 中的一个量，研究另两个量的相互关系和变化规律，定义三种基本而应用广泛的函数一一幂函数、指数函 数和对数函数”若令C=(是自然对数的底数)，将“视为自变量 x>0,x≠D.则b为”的函数。 记作b=f(女)，若不等式(x-2)f(x)>0对任意的x∈(0，U(,+o)恒成立，则实数k的值为 第5页/共22页 6学科网6组卷网 【答案】2拼0.5 【解析】 【分析】根据指对互化以及换底公式得出 (因)=nx进而分x(0,0,以及xe（仙，+)，得出f)的 符号，进而列出k的关系式，求解即可得出答案. x=e 【详解】由己知可得， b=logxe= Ine 1 则 InxInx, 所以，(x)三nx,x>0,2 当x∈(0，时，有f()<0, 由(x-2)f()>0可得，x-2k<0, 所>5在(@上面成立，所人 2 当x∈(+o)时，有f()>0, 由(x-2k)(✉>0可得，x-2k>0, 以k<气在化+国上通欧文，所s号 综上所述，要使不等式(-2)f()>0对任意的x∈(0,1U(L,+)恒成立. 第6页/共22页 命学科网 命组卷网 故答案为：2 1.定义在[0，+o)上的函数y=4sin(@x+p)(A>0,0>0,0≤p<元)，其图象与水平直线y=l 的交点从左往右分别记为乃，B,B.若RB=2八，则9的微大值是 5π 【答案】6 【解析】 【分折】振幅A仅是保证y=1与y=4sin(@r+p(4>0,@>0,0≤p<)总有交点，0的变化仅是改 变西数的周期，与线段长度的比无关，今@=1即可，由题意研究y=si血(x+px之0,0≤p<列图象解 出P的取值范围即可： f(x)=sinx 【详解】 0π23玩45元6d7元8x 由腿意，振幅A仅是保证y=1与'=4si(ar+94>0,o>0,0≤9<2m）有交点， 且它们的交点不可能为正弦型函数的最值点或零点，否则P=B引】 故t≠士A且t≠0， 又0的变化仅改变函数的周期（长度），与线段长度的比无关， 要使PB=2B,第一与第二个交点距离大于半个周期长，而第二与第三个交点距离小于半个周期长。 不妨令0=1，A=1,作出 y=sinx 注意*代换x+P且x+p之0的图象， 如图：由B=2B,且0≤p<π，PB+B=2R=2B,到 第7页/共22页 6学科网命组卷网 4 1 所以P33B-专不，由图象符： 1 sinp≥ sinp≤- 2,或 2,结合0≤p<π， 5π 所以p的取值范围为： 66 5π 所以P的最大值是6 5π 故答案为：6 12设平面上四点P、Q、M、N满足：PM=PW=4,PO=2,若QM·ON=0,则MW的最 小值为 2√7-2 【答案】 【解析】 m= 6 【分析】首先分析向量关系，建立平面直角坐标系，设点的坐标，根据已知条件得到rsin0,消去m 得到i功0 36 -r4+16r2,借助三角函数的值域得到r的取值范围，最后最后求(MN)的最小值即可. 【详解】已知2M·ON=0,则这两个向量垂直，所以2MLQN.则Q再以N为直径的圆上 以原点0建立平面直角坐标系，设Mr,0),N(-r,0),P0,reos0,.rsin) 由OP2+0M2=16,可得广+m=16,对于广cos0+(si血0-m=4, 从r2+m2=16解出m=±V16-广，代入广c0s0+rsin8-m=4中，经过化简可以得到 6 m=- rsine 第8页/共22页 命学科网命组卷网 6 2+ 36 sin20= 36 m= =16 将 rsin0代入r2+m2=16,得到2sin200,进一步变形为 -r4+16r2. 36 因为sin'0e0,,所以-+162∈(0， 36 当-+167=l时，解方程-+16r2-36=0, 令1=r,则方程变为+161-36=0，可得1=8士27 因为=r2>0,所以P=8+2万”=8-2万合去)，则=万+1： 36 当-中16r=0时，-r+162→+m,2→0，r-→t0或者r→0， 又因为>0且存在其他条件限制，所以”∈[N7-l,V7+U(4,+∞) 因为MN=2r,当r取最小值m=V7-l时，(MW=2(V7-)=2万-2. 2W7-2 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13.下列函数中，在区间(0，+o)上是严格增函数且存在零点的是() A.=e B.y=Vx+2 C.y=-logx 2 D.y=(x-2)2 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的零点为方程的根，结合解析式判断函数的单调性，即可得答案. 第9页/共22页 学科网命组卷网 【详解】对于A:因为'e>0 ,所以不存在零点，故A错误： 对于B:令y=Vx+2=0→Vx=-2没有实数解，所以不存在零点，故B错误： 对于C:令y=og!x=0x=1,所以零点为1，又因为'=-08=18：x. 2 2 所以'=-18在(Q+切)为增函数，放C正瑞： 对于D,y=(x-2在(2，切）单调递增，在(0,2)单调递减，故D错误 故选：C 11 14.已知实数a≠0，则“a>2”是“a2”的()条件. A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既非充分也非必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式不等式化简可得a>2或a<0,即可根据集合间的关系求解. 112-a<0 【详解】由a2得2a,解得a>2或a<0, 由于{ala>2￥{ala>2或a<0y, 11 故“a>2”是“a2”的充分不必要条件， 故选：A [ππ 15.在平面上，已知定点AV2,0）,动点P(sina,cosa)当a在区间-4'4上变化时，动线段AP 所形成图形的面积为() 第10页/供22页 6学科网 命组卷网 B3、z π 4 3 C.6 D.4 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，确定点P的轨迹图形，结合图象可求得线段AP所形成图形的面积 【详解】因为8in2a+c0s2a=l,所以点P(sina,cos四）在单位圆+y广=1上， 由于sina=cos π -. cosa=sin A 前.Pem任小n(经-a刃足与：正方的有的有为40P-号 ae[晋引侧a层] 所以，点p的轨迹是劣弧CB' 所以，动线段AP所形成图形为阴影部分区域， 因为S△Bc=S△OC,因此，阴影部分区域的面积为 S=S扇形0m、/ 4P、 2 4 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查动线段运动轨迹图形的面积，解题的关键在于确定动点P的轨迹图形，数 形结合求出图形的面积， 第11页/共22页 学科网命组卷网 I6已知AMBC满足tan tan=tan(4+B）,有下列四个结论： ①A、B可能都是锐角；②A、B中一定存在钝角，③{dx=si血C=(0,1),@{x=sinC}c(0,1) 以上结论中正确的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】 【分析】假设A,B都是锐角，可得an(4+B)>tanAtan,与己知矛盾，从而可得以A,B中一定存 在钝角，则角C为锐角，从而可判断结论的真假 【详解】假设A,B都是锐角，则 0<tan Atan B=tan(4+B) ,故M+B是锐角 则tan Atan B=tan(A+B)>tanA→tanB>l,同理tanA>l,从而" A+B>π+ππ 442,矛盾 故A,B中必定有一个为钝角，②对①错 不妨设A为钝角，则B，,C为锐角 tan Atan B=tan(A+B)→tan Atan(π-A-C)=-tanC→tan Atan(A+C)=tanC tan 4+tan C tan A =tan C 1-tan Atan C tan2+(tan2 C+tan C)tan 4-tan C=0 看成关于tanA的一元二次方程，注意到-tanC<0, 则判别式△=(anC+tanC)'+4anC>0恒成立，且两根之积为负数。 从而对任意锐角C,必存在唯一钝角A符合关系式，因为tan Atan(M+C)=tanC>0, 第12页/供22页 学科网命组卷网 所以A+C也为钝角，所以B为锐角.故C可取遍任意锐角， 所0 <sinC<1,即{x=sinC}=(0,) ,③正确， 又因为任意一个集合都是自身的子集，则{dx=si血Cc(0,1),放④正确。 故选：C 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 17.设、b是两个不共线的非零向量(1ER) 起01=aoi=6,oc-a+ ,那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？ (2)若aHbl且a与i夹角为l20°，那么实数x为何值时a-xb的值最小？ f=- 【答案】(1)2 1 2 【解析】 【分析】(1)由三点A,B,C共线，必存在一个常数t使得4B=BC 由此等式建立起关于，t的方 程求出t的值： (2)由题设条件，可以Q-表示成关于实数x的函数，根据所得的函数判断出它取出最小值时的x的 值. 【小问1详解】 由三点A,B,C共线，必存在一个常数入使得B=BC 第13页/共22页 6学科网6组卷网 则有OB-01=A(OC-0B 又1=ao丽=doc-a+0 6-a=写4a+0- ,又、b是两个不共线的非零向量， +-=0 [2=-3 解得 1 t= 2 1 I= 故存在2时，A、B、C三点共线： 【小问2详解】 aHb卡1且a,b两向量的夹角是120°， :a-xbP=-2xa.6+x2b2=1+x+x2= 1 :当x=-2时，1石-61的值最小为2 x2-ax,x≥0 18己知f)= 1 x+-,x<0 ()若a=1,求函数'=f四 的值域： 2)）若存在”∈(0,4，使得f(sinp)=f(cosp),求实数a的取值范围 【答案】（4)（←0，-2U-4+o) 第14页/供22页 6学科网6组卷网 (2)(4,V2) 【解析】 【分析】(1)把a=1代入，结合二次函数性质及对勾函数的单调性分段求出求出值域即可得解. (2)由给定条件，可得f(=x2-a ,再代入化简并结合辅助角公式及正弦函数的性质求出范围. 【小问1详解】 x2-x,x≥0 当时，函数)= 。1 x+-,x<0, a=1 当x≥0时， 因=父-=-分，收当方时索行号. 当x<0时，f=x+ x在（一o,-上单调递增，在[-l,0)上单调递减，f()≤f(-l)=-2, 所以国数y=f)的值域是0-2U[4o) 【小问2详解】 当D∈(0， 4时，sinp>0,cosp>0,由f(sinp)=f(cosp),得f(x)=x2-a, 则sin2p-asinp=cos2p-acosp,整理得 singcospsin( o+元e,simp+月e(),0,因此ae化2， 2 所以实数“的取值范围4，V2) 19.如图，△ABC是边长为2的正三角形，P在平面上且满足CP=CA,记∠CAP=0. 第15页/供22页 6学科网命组卷网 (1)若3，求PB的长： (2)用9表示S,并求S,P的取值范国。 【答案】(1)2V3 (2)(0,2+v3] 【解析】 【分析】(1)先根据思意求得∠PAB= 3，PA=2,再利用余弦定理求解即可： (2)先根据题意得到∠CPA=B,则∠PCA=π-20，再利用正弦定理得到AP=4cos0,再结合三角形的 面积公式得到 S.ran =2sin 20+ +3 再根据三角形的内角关系得到0<0<)】 2,再结合正弦函数的 性质求解即可. 【小问1详解】 0sπ 由3，且△ABC是边长为2的正三角形， 则∠PAB=2 ,且PA=CP=CA=2: 所以在△PAB中， 由余弦定理得 +-2PA-A8-c0PA+4-8x2 第16页/供22页 6学科网列组卷网 所以PB=2V5 【小问2详解】 由CP=CA,则LCAP=∠CPA=0,则LPCA=元-20， AP -BC=2 在△PAC中，由正弦定理有sin(π-20)sin0sin0,得AP=4cos0, 2+im0co00++si202sin0 又0<8<π，且0<π-20<元， 则00分，则百20骨智 中33， mfn}(5则2mo}5eo2同， 故S的取值范围为(0,2+5]】 20.设函数'=的表达式为()=sin(@x),其中0>0 )设0=1，meR,若有且只有个e@,m叫，发得西数=+ 4取得最小值，求m的取值 范围； ②青对在意价rR皆有+得-小-0皮立，且医数y-内区同司及0上足特的 函数，求函数'=闪的最小正周期 第17页/供22页 命学科网命组卷网 1 (3)若存在x,x3∈[om,2om],且x≠x'使得f(x)+1f(s)+1成立，求o的取值范围. 5π13π 【答案】(1)44 2元 (2)3 【解析】 【分析】()求x+子的范围，结合条件列不等式求m的取值范国： (2)由条件列关系式，确定0的值，再由周期公式求周期： (3)由题意存在x,名∈[om,2m],且x≠x,使得(：=/(：=l成立，由此即可得解 【小问1详解】 当0=1时， f(x)=sinx 所以酒数=(+》加(+到在区同a)上有-个®个道点 <x+ π< +m 又因为444 白正弦函数的图象可知：2cm+不众 5π 13π 42,解得4<m≤ 4, 5π 13π 所以m的取值范围为4’4 【小问2详解】 第18页/供22页 6学科网6组卷网 山+(-小-0，可西y=因天于（导0资 ,0 ，0 由于函数在区间 8 8,所以= 结合0=3k,其中k为整数，所以0<0≤8， 又0=3k,其中k为整数，所以0=3或0=6， 当0=6时，f女=si血(6)，函数在区间80 上不是严格增函数， 当o=3时，f(x)=sin(3x),函数在区间 0 不0 8 上是严格增函数，且关于点(3)对称.所以 0=3 因此函数y=f(x)的最小正周期为T-2 【小问3详解】 me以=aa份s小7GJ 又f(x)+1f(s)+1,则当且仅当f(x=f(x》=1时成立，即1=sinox, 令t=r,则当，名∈[or,20m]时，4,4∈[o,2m'π]」 T(k为整数)，且： 周同c2]内至地两个不的+》a 第19页/供22页 学科网列组卷网 1 k+1+ ≤2o2 2 设存在整数 满足 1 k ≥02 k 2 3 当k=1时，4 5≤02，当k=2时.s25J 2:当w25 2时，符合题意： 21.设函数y=f()的定义域为R,集合M={df(女)=a,x∈R.若M中有且仅有一个元素，则称a 为函数’=f冈的一个S值”. 1设()=r-2x,求=f(的s值： a,a<b 2)完义mina,6}=6.a≥有，设g()=min{+2c+k,-2x-,若)y=g(y的函数值中不 存在S值，求实数k取值的集合： (3)己知定义域为R的函数'=h(的图象是一条连续曲线，且函数'=h()的所有函数值均为S值， 若m<n,正明：y=h(在[m川上为严格指函数的一个充要条件是(m)<hm) 【答案】(1)-1： (2) 2: (3) 必要性：因为m<n,y-h()是[m,川上的严格增函数，所以h(m<h(m, 充分性：假设y=h()不是区间m,川上的严格增函数。 第20页/共22页 6学科网列组卷网 则存在m≤x<名≤n,使得h()≥h()】 由'=h()的所有函数值均为s值，而h(x)≠h(x),得h()>h)。 ①若=m,由h(m<h(m）,得h(x)大h(m,又h()>h() 构适函数H(冈=h)-h(,则H()<0,H(四)>0，且函数)=H(的图象是一连续曲线， 由零点存在性定理得：存在名∈(：，m）使得H(x)=0,即()=h() 这与y=(所有函数值都是S值矛盾； ②若m<书<n ①)若h(x)=h(m,这与y=h(所有函数值都是S值，矛盾； i若h(x)>h(m) 若h(名)>hA(m）,构造函数H(=h()-h(s), 则H(m)<0H()>0且函数y=H(四的图象是一条连续曲线， 由零点存在性定理得：存在∈(m,),使得H()=0,即h)=h()】 这与y=()所有函数值都是S值矛盾； 若h(3)=h(m）,这与y=h()所有函数值都是S值矛盾； 若h(名)大(m）,同理可证矛盾， (i若h()<h(m）,同理可证矛盾， 则假设不成立，因此y=()是[m,川上的严格增函数， 第21页/供22页 6学科网6组卷网 所以y=h(四在m,川上为严格增函数的-个充要条件是(m)<h( 【解析】 【分析】4)根据题意可知（女）=0有唯一解，由△=0可求出结果 (2)求出函数8()给定两段上的最小值，再结合己知求出k的取值范围 (3)根据给定条件，从充分性以及必要性两种情况证明命题. 【小问1详解】 依题意，设a为函数y=f()的S值， 则方程r-2x-a=0 有唯一解， 由△=2+4a=0,解得：a=-1, 所以y=f()的s值为1 【小问2详解】 依题意，+2c+k=(c+k-2+k,x2-2x-1=(x-1-2. 由'=8()的函数值中不存在S值，得两个二次函数的最小值应该相同， 则+k=-2,解得《=2，k=-,当=-时，两个函数相同，不符合S值的要求， 所以实数《取值的集合为2) 【小问3详解】 略 第22页/供22页