精品解析：安徽省合肥一中2024～2025学年高三第二次教学质量检测数学试卷含答案

合肥一中2024~2025学年度高三第二次教学质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位． 2．答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效． 4．考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求集合N，由题意可得图中阴影部分所表示的集合是，进而运算求解即可. 【详解】，所以阴影部分． 故选：A． 2. 命题“，使”的否定是（ ） A. ，使 B. 不存在，使 C. ，使 D. ，使 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由特称命题的否定是全称命题，即可得到结果. 【详解】命题“，使”的否定是，使． 故选：D． 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的定义域、特殊位置可排除法得出结果. 【详解】易知函数的定义域为，故可排除C，D； 又，所以可排除B， 故选:A． 4. “曲线恒在直线的下方”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据恒成立，分离参数，然后构造函数，利用导数求解单调性，进而可得最值求解充要条件，即可根据真子集关系求解充分不必要条件. 【详解】由曲线恒在直线下方，可得， 恒成立， 记， 当单调递减，当单调递增， 故，故， 所以“曲线恒在直线的下方”的充要条件是， 结合选项可知， 故是“曲线恒在直线的下方”的一个充分不必要条件， 故选：C． 5. 当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强．已知某海域6米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为（ ） （参考数据：，） A. 0.2 B. 0.18 C. 0.15 D. 0.14 【答案】C 【解析】 【分析】理解题意，代值后，将指数式化成对数式，取近似值计算即得. 【详解】依题意得，，化成对数式，， 解得，． 故选：C． 6. 在中，内角的对边分别为，已知，，则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将等式中用替换得到边的齐次式，再利用正弦定理化角为边，利用余弦定理求角可得，结合正弦定理求得外接圆半径，进而求出面积. 【详解】因为，且， 所以， 由正弦定理，可得， 即， 所以， 由，所以， 则外接圆的半径为， 所以外接圆的面积为． 故选：C. 7. 已知函数的图象关于直线对称，且在上没有最小值，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称轴，得到解得，再根据在上没有最小值，得到，计算即可. 【详解】由的图象关于直线对称可得，， 而，故，. 若，则，故由可知在上有最小值. 所以，. 故选：A． 8. 已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据可知O为的重心；根据点M在内，判断出当M与O重合时，最小；当M与C重合时，的值最大，因不含边界，所以取开区间即可． 【详解】因为是内一点，且 所以O为的重心 在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时 所以，即 当M与C重合时，最大，此时 所以，即 因为在内且不含边界 所以取开区间，即 所以选B 【点睛】本题考查了向量在三角形中的线性运算，特殊位置法的应用，属于难题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平面向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用平面向量的坐标表示及数量积的坐标运算公式计算即可. 【详解】由题意可知，即， 所以，即A，C，D正确，B错误. 故选：ACD 10. 已知，若对任意的，不等式恒成立，则（ ） A. B. C. 的最小值为32 D. 最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】依题意可得恒成立，分析可得时，，当时，，从而得到且，即可判断A、B；利用基本不等式判断C；利用基本不等式及二次函数的性质判断D. 【详解】对于A、B：因为，即恒成立， 又因为，， 所以当时，，当时，， 因为对任意的，不等式恒成立， 所以当时，，当时，， 所以对于函数，必有，单调递减，且零点为， 所以，所以，所以A正确，B正确； 对于C，因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，与条件不符，所以C错误； 对于D， ， 令，则，当且仅当时，等号成立． 则原式， 由二次函数的性质可得的最小值为， 此时，，所以D正确， 故选：ABD． 11. 已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的一个对称中心为 B. C. 函数为周期函数，且一个周期为4 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先应用函数为奇函数代入化简得出对称中心判断A，根据函数为偶函数结合赋值法判断B,特殊值法判断C，赋值法得出函数值判断D. 【详解】对于A，因为为奇函数，所以， 即，所以， 所以，所以函数的图象关于点对称，所以A正确， 对于B，在中，令，得，得， 因为函数为偶函数，所以， 所以，所以， 令，则，所以，得，所以B正确， 对于C，因为函数的图象关于点对称，， 所以，所以，所以4不是的周期，所以C错误， 对于D，在中令，则， 令，则，因为，所以， 因为，所以，所以D正确， 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式求得，利用三角恒等变换将化为，即可求得答案. 【详解】由得： ， 即得 ， 故， 故答案为： 13. 已知函数，方程有四个不同根，，，，且满足，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，可得出当直线与函数的图象有四个交点时的各根取值范围，求出实数t的取值范围，将代数式转化为关于t的函数，利用双勾函数的基本性质求出的取值范围. 【详解】作出函数图像可得， 从而得，且，从而得， 原式， 令，，， 令，则，， 在单调递增，， 最大值为． 故答案为： 14. 定义表示实数，中的较大者，若，，是正实数，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】讨论与的大小关系，在每种情况中分别用基本不等式和不等式的性质确定的范围，即可得解． 【详解】按和分类：记， 当时，，， 当且仅当，，时，等号成立； 当时，，， 当且仅当，，时，等号成立． 综上所述，的最小值是． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是在利用基本不等式和不等式的性质时，特别注意同向不等式的应用和基本不等式成立的条件. 四、解答题：本题共5小题，第15题满分13分，第16题、第17题满分15分，第18题、第19题满分17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）若，，求面积； （2）若角为钝角，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正、余弦定理以及三角恒等变换可得，利用余弦定理可得，即可得； （2） 利用正弦定理以及三角恒等变换可得,即可得解； 【小问1详解】 因为， 所以由余弦定理得， 所以由正弦定理得， 又因为， 所以，因为，所以， 因为，所以， 因为，， 所以由余弦定理得， 所以，所以， 所以的面积. 【小问2详解】 因为角为钝角，所以，所以， 因为，所以， 代入得, 因为，所以，即， 所以的取值范围为. 16. 已知函数． （1）当时，关于的方程在区间内有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； （2）求函数在区间上的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用导数分析函数的单调性，进而结合题意求解即可； （2）先对函数求导，然后分，，三种情况讨论函数的单调性，进而求解最小值. 【小问1详解】 当时，， 则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 且，，，， 要使关于的方程在区间内有两个不相等的实数根， 则，即实数取值范围为. 【小问2详解】 由，， 则，由得． ①当，即时，，在上为增函数， 则； ②当，即时，在时，，为减函数， 在时，，为增函数， 则； ③当，即时，，在上为减函数， 则． 综上所述，． 17. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min． （1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； （2）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：m）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1m）． 参考公式：．参考数据：，． 【答案】（1），． （2），，7.2m 【解析】 【分析】（1）首先旋转的角速度和初相，结合三角函数，列出与的函数关系； （2）根据（1）的结果，结合两人的角度差，分别计算和，并利用参考公式化简高度差函数，根据t的取值范围，结合三角函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系． 设时，游客甲位于点，以为终边的角为； 根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度约， 由题意可得，． 【小问2详解】 如图，甲、乙两人的位置分别用点，表示，则． 经过后甲距离地面的高度为， 点相对于点始终落后，此时乙距离地面的高度为． 则甲、乙距离地面的高度差， 利用，可得，． 当（或），即（或22.8）时，的最大值为． 所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2m． 18. 已知函数． （1）当时，，求实数的取值范围； （2）若，求证：； （3）若，，为正实数，且，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）特殊值探求的范围，再分类讨论，利用导数分析函数的单调性，求的取值范围； （2）构造函数由导数确定函数的单调性即可求解； （3）由（2）结论放缩化简可证不等式右边，利用基本不等式化简证明左边即可得证. 【小问1详解】 首先，，故， 设，则，，由， 可知当时，，在区间上单调递增， 故，满足题意； 当时，由在区间上单调递增，且，， 故存在，使得，且时，，单调递减， 此时，，与题设矛盾． 综上所述，实数的取值范围． 【小问2详解】 令. ，因为在上单调递减， 所以， 在上单调递减，所以， 即， 也就. 【小问3详解】 一方面，由于， 故可令，其中，， 结合第（2）问的结论， ， 另一方面， ， 综上可得，． 【点睛】关键点点睛：对不等式进行等价变形，或者放缩变形后，根据不等式两边结构，构造函数，利用导数求出函数的单调性，是处理此类问题的重要技巧. 19. 已知实数集，定义：（与可以相同）．记为集合中的元素个数． （1）若，请直接给出和； （2）若均为正数，且，求的最小值； （3）若，求证：． 【答案】（1），； （2）24 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件定义即可求解； （2）根据已知条件，转化为关于的二次函数即可求得最大值. （3）根据题意，分两种情况讨论，当中元素均为非负数和当中元素至少有一个为负数，结合所给定义证明. 【小问1详解】 ，； 【小问2详解】 一方面，积有个，另一方面，积有个， 故，当中所有元素互素时，等号成立． 要使得时，最小，可令中所有元素互素，此时，， 解得：， 故的最小值为24； 【小问3详解】 考虑集合中所有元素变为原来的相反数时，集合不改变， 不妨设中正数个数不少于负数个数． ①当中元素均为非负数时，设， 于是，， 此时，集合中至少有，，，…，，，，…，这18个元素， 即； ②当中元素至少有一个为负数时， 设是中全体元素，且， 于是，． 由是中的个元素，且非正数； 又是中的7个元素，且为正数， 故中元素不少于17个， 即； 另外，当时，， 满足， 故． 【点睛】思路点睛：解决新高考模式下的数学新概念题型抓住以下两点： （1）紧扣题目所给的定义；（2）结合已学数学知识进行解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥一中2024~2025学年度高三第二次教学质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位． 2．答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效． 4．考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，使”的否定是（ ） A. ，使 B. 不存，使 C. ，使 D. ，使 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. “曲线恒在直线的下方”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 当阳光射入海水后，海水中光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强．已知某海域6米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为（ ） （参考数据：，） A. 0.2 B. 0.18 C. 0.15 D. 0.14 6. 在中，内角的对边分别为，已知，，则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象关于直线对称，且在上没有最小值，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 8. 已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9 已知平面向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，若对任意的，不等式恒成立，则（ ） A. B. C. 的最小值为32 D. 最小值为 11. 已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的一个对称中心为 B. C. 函数为周期函数，且一个周期为4 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________． 13. 已知函数，方程有四个不同根，，，，且满足，则的最大值为______． 14. 定义表示实数，中的较大者，若，，是正实数，则的最小值是______． 四、解答题：本题共5小题，第15题满分13分，第16题、第17题满分15分，第18题、第19题满分17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）若，，求的面积； （2）若角为钝角，求的取值范围. 16. 已知函数． （1）当时，关于的方程在区间内有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； （2）求函数在区间上的最小值． 17. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min． （1）游客甲坐上摩天轮座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； （2）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：m）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1m）． 参考公式：．参考数据：，． 18. 已知函数． （1）当时，，求实数的取值范围； （2）若，求证：； （3）若，，为正实数，且，求证：． 19. 已知实数集，定义：（与可以相同）．记为集合中的元素个数． （1）若，请直接给出和； （2）若均为正数，且，求的最小值； （3）若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $