2026年高三数学一轮复习课时作业2：集合常用逻辑用语

1.2　常用逻辑用语 【基础练】 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.“x<0”是“=-x”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.命题“∃x∈R，ex>ln x+1”的否定是(　　) A.∀x∈R，ex≤ln x+1 B.∃x∈R，ex≤ln x+1 C.∀x∉R，ex>ln x+1 D.∃x∉R，ex>ln x+1 3.(2025·常州调研)已知a，b∈R，则“b=ea”是“a=ln b”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.(2025·朔州模拟)已知A，B为实数，则“AB<0”是“Ax2+By2=1为双曲线方程”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.下列叙述错误的是(　　) A.命题“∃x∈R，x2-1≤-1”的否定是“∀x∈R，x2-1>-1” B.若幂函数y=(m2-2m-2)x2-4m在(0，+∞)上单调递增，则实数m的值为-1 C.∀x∈(0，+∞)，2x>log2x D.设a∈R，则“a2>3”是“a>”的充分不必要条件 6.(2024·南通模拟)若“∃x∈(0，π)，sin 2x-ksin x<0”为假命题，则k的取值范围为(　　) A.(-∞，-2] B.(-∞，2] C.(-∞，-2) D.(-∞，2) 7.(2025·宁波模拟)命题“∃x∈[-2，1]，x2-x-a>0”为假命题的一个充分不必要条件是(　　) A.a≤- B.a≤0 C.a≥6 D.a≥8 8.(2023·新高考全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列，则(　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.下列既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A.∃x∈R，|x|<0 B.∃x∈Z，cos x=-1 C.至少有一个x∈Z，使x能同时被3和5整除 D.每个平行四边形都是中心对称图形 10.下列说法正确的是(　　) A.命题“∃x≥1，x2>1”的否定是“∀x<1，x2≤1” B.“a>0且Δ=b2-4ac≤0”是“一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R”的充要条件 C.“a>0”是“a>1”的必要不充分条件 D.已知a，b∈R，则“|a+b|=|a|+|b|”的充要条件是“ab>0” 11.下列说法正确的为(　　) A.异面直线所成的角的范围是[0，π] B.已知A={x|-1≤x≤2}，B={x|2x-a<0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是a>4 C.若命题“∃x∈R，mx2+mx+1<0”是假命题，则0<m<4 D.已知p：0<x≤1，q：4x+2x-m≤0，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为m≥6 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明：　　　　　　　　　　　　　.  13.(2025·晋城联考)已知集合P={y|y=x+a，-1<x≤2}，Q={x|ln(2-x)<0}，若x∈P是x∈Q的必要不充分条件，则实数a的取值范围为　　　　　　.  14.已知命题“∃x∈[-1，2]，x2-3x+a>0”是假命题，则实数a的取值范围是　　　　　　.  【提升练】 15.(2025·秦皇岛模拟)下列说法正确的是(　　) A.“a>b”是“a2>b2”的必要不充分条件 B.命题“∀x∈(0，+∞)，x+>1”的否定是“∀x∈(0，+∞)，x+≤1” C.“ω=π”是“函数f(x)=2sin(ωx+φ)的最小正周期为2”的充分不必要条件 D.“cos2α+sin2β=1”的充要条件是“α=β” 16.(多选)十七世纪法国数学家费马提出猜想：“对任意正整数n>2，关于x，y，z的方程xn+yn=zn没有正整数解”.经历三百多年，由数学家安德鲁·怀尔斯证明了费马猜想，使它终成为费马大定理.根据前面叙述，则下列命题正确的为(　　) A.至少存在一组正整数组(x，y，z)是关于x，y，z的方程x3+y3=z3的解 B.关于x，y的方程x3+y3=1有正有理数解 C.关于x，y的方程x3+y3=1没有正有理数解 D.当整数n>3时，关于x，y，z的方程xn+yn=zn有正实数解 17.(多选)已知p：∀x∈[0，1]，不等式2x-2≥m2-3m恒成立，q：∃x∈[1，3]，不等式x2-ax+4≤0，则下列说法正确的是(　　) A.p的否定是：∃x∈[0，1]，不等式2x-2<m2-3m B.q的否定是：∀x∈[1，3]，不等式x2-ax+4≤0 C.若p为真命题，则1≤m≤2 D.若q为假命题，则a<4 18.若“∃x∈(0，m)，使得x>”为假命题，则m的最大值为　　　　　　.  答案精析 1.A　2.A 3.A　[根据指数式和对数式的互化公式可知b=ea⇔a=ln b，所以“b=ea”是“a=ln b”的充要条件.] 4.C　[当Ax2+By2=1表示双曲线时，AB<0，而当AB<0时，Ax2+By2=1表示的是双曲线，所以“AB<0”是“Ax2+By2=1为双曲线方程”的充要条件.] 5.D　[对于A，命题“∃x∈R，x2-1≤-1”的否定是“∀x∈R，x2-1>-1”，A正确； 对于B，由解得m=-1，B正确； 对于C，当x>0时，函数y=2x的图象在直线y=x上方，函数y=log2x的图象在直线y=x下方，则2x>log2x，C正确； 对于D，由a2>3，得a<-或a>，因此“a2>3”是“a>”的必要不充分条件，D错误.] 6.A　[依题意知命题“∃x∈(0，π)，sin 2x-ksin x<0”为假命题，则“∀x∈(0，π)，sin 2x-ksin x≥0”为真命题，所以2sin xcos x≥ksin x，则k≤2cos x在x∈(0，π)时恒成立，解得k≤-2，所以k的取值范围为(-∞，-2].] 7.D　[若命题“∃x∈[-2，1]，x2-x-a>0”为假命题， 则命题的否定“∀x∈[-2，1]，x2-x-a≤0”为真命题， 即a≥x2-x，x∈[-2，1]恒成立， 对于函数y=x2-x=-，x∈[-2，1]， 当x=-2时，取得最大值y=6， 所以a≥6，选项中只有{a|a≥8}是{a|a≥6}的真子集， 所以命题“∃x∈[-2，1]，x2-x-a>0”为假命题的一个充分不必要条件为a≥8.] 8.C　[方法一　甲：{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d，则Sn=na1+d，=a1+d=n+a1--=， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列， 即-==为常数，设为t， 即=t， 则Sn=nan+1-t·n(n+1)， 有Sn-1=(n-1)an-t·n(n-1)，n≥2， 两式相减得an=nan+1-(n-1)an-2tn， 即an+1-an=2t，对n=1也成立， 因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 方法二　甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d， 即Sn=na1+d， 则=a1+d=n+a1-， 因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列， 设数列的公差为D， 则-=D，=S1+(n-1)D， 即Sn=nS1+n(n-1)D， 当n≥2时， Sn-1=(n-1)S1+(n-1)(n-2)D， 上边两式相减得 Sn-Sn-1=S1+2(n-1)D， 所以an=a1+2(n-1)D， 当n=1时，上式成立， 又an+1-an=a1+2nD-[a1+2(n-1)D]=2D为常数，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件.] 9.BC　[选项A为存在量词命题，因为所有实数的绝对值非负， 即|x|≥0，所以A是假命题； 选项B为存在量词命题，当x=2时，满足cos=cos π=-1，所以B既是存在量词命题又是真命题； 选项C为存在量词命题，15能同时被3和5整除，所以C既是存在量词命题又是真命题； 选项D是全称量词命题，所以D不符合题意.] 10.BC　[对于A，命题的否定是“∀x≥1，x2≤1”，故A错误； 对于B，若a>0且Δ=b2-4ac≤0，则不等式的解集为R，充分性成立，若不等式的解集为R，则a>0且Δ=b2-4ac≤0，即必要性成立，故B正确； 对于C，若a>0，不可以推出a>1，例如a=，即充分性不成立，若a>1，可以推出a>0，即必要性成立，故C正确； 对于D，例如a=b=0，可以推出|a+b|=|a|+|b|，即|a+b|=|a|+|b|不可以推出ab>0，故D错误.] 11.BD　[对于A，异面直线所成的角的范围是，A错误； 对于B，由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，得集合A真包含于集合B，所以>2，即a>4，B正确； 对于C，若命题是假命题，则“∀x∈R，mx2+mx+1≥0”是真命题，故m=0或解得0≤m≤4，C错误； 对于D，由p是q的充分条件，则p⇒q，即对于0<x≤1，4x+2x-m≤0恒成立，令t=2x，t∈(1，2]，则m≥t2+t对于t∈(1，2]恒成立，又y=t2+t=-∈(2，6]，则m≥6，D正确.] 12.存在一个素数不是奇数 解析　因为命题“所有的素数都是奇数”是假命题，则命题“存在一个素数不是奇数”为真命题，所以为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明存在一个素数不是奇数. 13.[0，2] 解析　由y=x+a，-1<x≤2，则a-1<y≤a+2， 所以P={y|a-1<y≤a+2}， 由ln(2-x)<0，即ln(2-x)<ln 1，解得1<x<2， 所以Q={x|1<x<2}， 因为x∈P是x∈Q的必要不充分条件，则Q⫋P， 所以 解得0≤a≤2. 所以实数a的取值范围为[0，2]. 14.(-∞，-4] 解析　由题意得，“∀x∈[-1，2]，x2-3x+a≤0”是真命题，则a≤-x2+3x对∀x∈[-1，2]恒成立，在区间[-1，2]上，-x2+3x的最小值为-(-1)2+3×(-1)=-4，所以a≤(-x2+3x)min=-4，即a的取值范围是(-∞，-4]. 15.C　[对于A，“若a>b，则a2>b2”是假命题， 例如1>-2，而12<(-2)2， “若a2>b2，则a>b”是假命题，例如(-2)2>12，而-2<1， 即“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，A错误； 对于B，命题“∀x∈(0，+∞)，x+>1”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 因此它的否定是“∃x∈(0，+∞)，x+≤1”，B错误； 对于D，当α=，β=时，cos2α+sin2β=1成立，因此cos2α+sin2β=1成立，不一定有α=β，D错误； 对于C，当ω=π时，函数f(x)=2sin(ωx+φ)的最小正周期为2， 当函数f(x)=2sin(ωx+φ)的最小正周期为2时，ω=π或ω=-π. 所以“ω=π”是“函数f(x)=2sin(ωx+φ)的最小正周期为2”的充分不必要条件，C正确.] 16.CD　[当正整数n>2时，关于x，y，z的方程xn+yn=zn没有正整数解，故方程x3+y3=z3没有正整数解，A错误； x3+y3=z3没有正整数解，即+=1(z≠0)没有正有理数解，B错误，C正确； 方程xn+yn=zn，当x=y=1，z=时满足条件，故有正实数解，D正确.] 17. ACD [p的否定是：∃x∈[0，1]，不等式2x-2<m2-3m，A正确； q的否定是：∀x∈[1，3]，不等式x2-ax+4>0，B错误； 若p为真命题，则(2x-2)min≥m2-3m，x∈[0，1]，即m2-3m+2≤0， 解得1≤m≤2，C正确； 若q为假命题，则x2-ax+4>0，x∈[1，3]恒成立，即a<x+，x∈[1，3]恒成立， 因为x+≥2=4，当且仅当x=，即x=2时取等号，所以a<4，D正确.] 18. 15 解析　因为“∃x∈(0，m)，使得x>”为假命题， 所以“∀x∈(0，m)，x≤”为真命题， 因为===5×5lg 3×3lg 2， 设5lg 3=t>0，所以log5t==lg 3， 所以=lg 5， 所以log3t=lg 5，所以t=3lg 5，所以5lg 3=3lg 5， 所以=5×3lg 5×3lg 2=5×3lg 5+lg 2=15， 即∀x∈(0，m)，x≤15， 所以0<m≤15，所以m的最大值为15. 学科网（北京）股份有限公司 $$