精品解析：广东省江门第二中学2024-2025学年下学期第二次模拟考试九年级数学试题

江门二中2024—2025学年第二学期第二次模拟九年级数学试题 （120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 学习情境·检测零件小梦在实验室检测四个物理电学元件的质量（单位：），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的元件是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正负数的意义，绝对值的意义，有理数比较大小，掌握正负数的意义是解题的关键． 分别求出绝对值，根据绝对值的意义，有理数比较大小的方法即可求解． 【详解】解：，，，， ∵， ∴最接近标准质量的是， 故选：D ． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选C． 3. 科幻作品《三体》一书中，三体人计划通过智子的多维展开来限制地球人的科学技术发展，已知智子的直径是0.00000000000016厘米，用科学记数法表示这个数（ ） A. 米 B. 米 C. 厘米 D. 厘米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：厘米厘米米； 故选C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据积的乘方、合并同类项、完全平方公式及多项式除单项式的运算法则逐项计算作出判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，计算正确，故选项符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：A． 5. 如图，几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，从上面看到的图形是俯视图．根据从上面看到的图形解答即可． 【详解】解：从上面看到的图形为： 故选：D． 6. 月球车工作时所需的电能都是由太阳能电池板提供的．当太阳光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多，某一时刻太阳光的照射角度如图所示，如果要使此时接收的太阳光能最多，那么应将太阳光板绕支点顺时针旋转的最小角度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质的应用（根据平行线的性质求角的度数），熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据题意，画出图形，由平行线的性质得到，进而求出的度数即可． 【详解】解：将太阳光板绕支点P顺时针旋转到位置时，太阳光，， ， ， ， ， ， 故选：D． 7. 如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的上弦米，，则中柱（D为底边中点）的长为（ ）米 A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、正弦的定义，由等腰三角形的性质可得，再由正弦的定义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：米，， ∴，即， ∵， ∴， ∴米， 故选：B． 8. 如图，正六边形的边长为，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质，勾股定理，直角三角形性质，弧长公式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 连接，交于点，连接，，由正六边形性质得，垂直平分，垂直平分，，则有，，通过勾股定理得出，然后由弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于点，连接，， ∵六边形是正六边形， ∴，垂直平分，垂直平分，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的长度为， 故选：． 9. 新冠疫情给各地经济带来很大影响． 为了尽快恢复经济，某企业加大生产力度，四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个． 若该企业五、六月份平均每月的增长率为，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一般增长后的量＝增长前的量×（1＋增长率），如果该企业五、六月份平均每月的增长率为，那么可以用分别表示五、六月份的产量，然后根据等量关系：四月份生产的零件个数＋五月份生产的零件个数＋六月份生产的零件个数＝182可列出方程． 【详解】解：设该企业五、六月份平均每月的增长率为，依题意得 ∴五月份的生产的零件个数为：， 六月份的生产的零件个数为：， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10. 如图①，在平行四边形中，，连接，，与相交于点，点从点出发，沿以的速度匀速运动到点，图②是点运动时，线段的长随时间变化的函数关系图象，其中，分别是两段曲线的最低点，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象．根据图②中点的纵坐标为，可得此时时的值为；根据点的纵坐标为可得时的值为，由平行线的性质知，由此可得的长，即为的长．结合图象得到动点在相应位置时的长度是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，分别是两段曲线的最低点，点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴中边上的高为，中边上的高为， ∵， ∴， 解得：， ∴， 即的长为． 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 把多项式分解因式，应提取的公因式为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了提取公因式法，直接根据公因式的定义分析得出答案．正确找出公因式是解题关键． 【详解】解：把多项式分解因式，应提取公因式：． 故答案为：． 12. 为了估计学校池塘中鱼的数量，九年级一班的同学采用如下方法：从池塘中捕上50条鱼做上标记，然后放回池塘，经过一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，再捕上50条，若其中带有标记的鱼有10条，则池塘中鱼估计有_______条． 【答案】250 【解析】 【分析】根据捕上50条鱼，发现其中带标记的鱼有10条，求出有标记的鱼占的百分比，再根据共有50条鱼做上标记，即可得出答案．此题考查了用样本估计总体，关键是求出带标记的鱼占的百分比，运用了样本估计总体的思想． 【详解】解：捕上50条，其中带有标记的鱼有10条， 有标记的鱼占， 从池塘中捕上50条鱼做上标记 鱼塘中估计有（条）． 故答案为：250． 13. 若a，b是一元二次方程的两个根，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求解即可．本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，对于一元二次方程，若它的两个根为，，则满足，．熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个根， ∴，， ． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的顶点在轴上，垂直于轴，点，分别在函数（）和（）的图象上，若的面积为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的意义，平行线间的距离，掌握知识点的应用是解题的关键． 连接，设与轴交点为，根据平行线间的距离相等得出，所以，即，然后求出的值即可． 【详解】解：如图，连接，设与轴交点为， ， ∵垂直于轴， ∴， ∴ ∴， ∴ 解得：， ∵ ∴， 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，，，点，分别在，上，且，连接交于点，则的度数为_____；连接，则的最小值为_____． 【答案】 ①. ##度 ②. 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是关键． 根据菱形的性质得到，，如图所示，连接，可证，，由三角形外角的性质可得，即可得到，根据题意得到点四点共圆，设圆心为，连接，如图所示，可证，得，，得，在中，由，得，当点三点共线时，，此时的值最小，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， 如图所示，连接， ∴是等边三角形，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点四点共圆，设圆心为，连接，如图所示， ∵， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， 当点三点共线时，，此时的值最小， 故答案为：①；② ． 三、解答题（一）：共3小题，每小题8分，共24分 16. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了含三角函数的混合运算、绝对值、负整数指数幂、零指数幂，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值． 先算三角函数、负整数指数幂、零指数幂、去绝对值，再算加减即可． 【详解】解： 17. 如图，在中，点E为中点，交于点D． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）； （2）试判断（1）中得到的四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） 解：如答图所示，为所求， （2） 解：四边形为平行四边形，理由如下： 由（1）得， ∴ ∵， ∴四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图---作一个角等于已知角，平行四边形的判定，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据作一个角等于已知角的方法即可作图； （2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可求证． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 18. 口袋公园是城市微更新的一项重要举措，近年太原市充分利用城市的边角地、闲置地“见缝插绿”，让口袋公园成为附近居民休闲的好去处．2024年太原全市范围内（含古交）以新建“街角型和社区型”两种口袋公园为主，其中建设的街角型口袋公园的数量比社区型的数量多13个，一个街角型口袋公园的平均占地面积是一个社区型口袋公园的．已知2024年建设的街角型和社区型口袋公园占地总面积分别是12公顷和公顷，分别求建设一个街角型和一个社区型口袋公园的平均占地面积． 【答案】建设一个社区型口袋公园的平均占地面积为公顷，则建设街角型口袋公园的平均占地面积为公顷． 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，设建设一个社区型口袋公园的平均占地面积为公顷，则建设街角型口袋公园的平均占地面积为公顷，结合题意可得，再解方程即可． 【详解】解：设建设一个社区型口袋公园的平均占地面积为公顷，则建设街角型口袋公园的平均占地面积为公顷，则 ， 解得：， 经检验：是原方程的根，且符合题意； ∴， 答：建设一个社区型口袋公园的平均占地面积为公顷，则建设街角型口袋公园的平均占地面积为公顷． 四、解答题（二）：共3小题，每小题9分，共27分 19. 某校在推进新课程改革的过程中，自主开发了五门校本课程，分别是：．人工智能探索；．传统文化寻根；．体质与健康；．山歌唱四方；．书香润心．每名同学根据自己的爱好只能选择其中一门课程，学校对全校同学的选课情况进行了随机抽样调查，制成了如图所示的两幅不完整的统计图． （1）补全条形统计图，课程所在的扇形的圆心角的度数是____； （2）若该校有名学生，请你估计该校选择课程的学生有多少名？ （3）某班有名同学，其中名同学选择课程，名同学选择课程，名同学选择课程．若从这名同学中随机抽取名同学，请你用列表法或画树状图的方法求抽取的这名同学都是选择课程的概率． 【答案】（1） 补全统计图，如图， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息综合，求扇形统计图圆心角度，样本估计总体，列表法求概率； （1）根据题意先求得样本的人数，进而求得的人数，补全统计图，根据的占比乘以求得圆心的度数； （2）用乘以的占比，即可求解； （3）根据列表法求概率，即可求解． 【小问1详解】 解：抽取的人数为：人， 选择课程的人数为：人， 选择课程的人数为：人， 图略； 课程所在的扇形的圆心角的度数是 故答案为：． 【小问2详解】 ∴估计该校选择课程的学生有名 【小问3详解】 解：列表如下， 共有种等可能的选法；抽取的这名同学都是选择课程的有2种， ∴抽取的这名同学都是选择课程的概率为． 20. 如图，监控摄像头D固定在与构成的支架上，与地面垂直，，若该摄像头的可视角为的平分线，且，点在同一直线上，过点D作为垂足． （1）求 的度数； （2）求摄像头的最远可视点G与支架底部A之间的距离．（精确到）参考数据：（） 【答案】（1） （2）摄像头的最远可视点G与支架底部A的距离约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据题意可得：，从而可得，进而可得，再利用角平分线的定义可得，最后根据垂直定义可得：，从而可得，进而可得； （2）在中，利用含 30 度角的直角三角形的性质可得，从而可得，求得，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， 由题意得：， ， ， ， ∵为的平分线，， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：由题意得：， ， ， ， ， ， 在中，， ， 摄像头的最远可视点G与支架底部A的距离约为． 21. 综合运用 如图，中，，D为中点，，是的外接圆．是的直径． （1）求证：是的切线； （2）求的长； （3）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴是的切线； （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得是的切线； （2）先证明，得到，即可解答； （2）过点A作于点F，设，则，，根据勾股定理构造方程，求得，根据正弦的定义即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵，D为中点， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点A作于点F， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 整理得：， 解得，（舍去）， ∴，， ∵与都是所对的圆周角， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题是圆的综合题，考查相似三角形的判定及性质，解直角三角形，圆周角定理，掌握各种定理和判定方法是解题的关键． 五、解答题（三）：共2小题，22题13分，23题14分，共27分 22. 综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求A，B两点的坐标及直线的函数表达式． （2）M为直线下方抛物线上一点，其横坐标为m，过点M作于点D，当线段最长时，求点M的坐标． （3）在（2）的条件下，连接．在y轴上是否存在一点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，； （2）点M的坐标为； （3）存在，点P的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）先求出点、、的坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点M作轴交于点E，由题意可得点M的坐标为，点E的坐标为，在中，，，解直角三角形并结合二次函数的性质即可得解； （3）作的垂直平分线交x轴于点F，连接，则，过点M作轴于点N，则，设，由勾股定理求出，再由，求出即可得解． 【小问1详解】 解：当时，， 解得，． 点A在点B的左侧， A，B两点的坐标分别为，． 当时，， 点C的坐标为． 设直线的函数表达式为， 把，代入，得， 解得， 直线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：如图，过点M作轴交于点E， 点B的坐标为，点C的坐标为， ，． 在中，根据勾股定理可得． 为直线下方抛物线上一点，其横坐标为m，轴交于点E， 点M的坐标为，点E的坐标为， ． 轴， ， ． 在中，，， ， 当时，线段最长， 点M的坐标为 【小问3详解】 解：存在，点P的坐标为或． 如图，作的垂直平分线交x轴于点F，连接，则，过点M作轴于点N， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 点M的坐标为，A，B两点的坐标分别为，， ，， ，， 在中，根据勾股定理得， 即， 解得， ， ， 当时，， ， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、求一次函数解析式、二次函数综合—线段问题、二次函数综合—角度问题、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 23. 综合与实践 在综合与实践课上，赵老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平．连接并延长交于点Q，连接． （1）数学思考： 如图1，当点M在上时，与的数量关系是_______． （2）拓展再探： 如图2，当改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），使点M不在上时，判断（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）迁移应用： 在（2）的探究中，连接，已知正方形纸片的边长为6，当的周长最小时，的长为多少？ 【答案】（1）； （2）解：成立，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠得，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）当的周长最小时，的长为 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识： （1）由折叠得，证明，得到，再根据平角定义和三角形内角和定理可得结论； （2）方法同（1）； （3）的周长表示为，，当取最小值时，的周长最小，设，则，由勾股定理列方程求解即可 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠得，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由折叠得，， ∴的周长为， 当取最小值时，的周长最小， ∵点的轨迹是以点为圆心，的长为半径的圆弧； 以点为圆心，的长为半径画圆，当点D，M，B共线时，最小， 设，则， 由折叠得，，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江门二中2024—2025学年第二学期第二次模拟九年级数学试题 （120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 学习情境·检测零件小梦在实验室检测四个物理电学元件的质量（单位：），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的元件是（　　） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 科幻作品《三体》一书中，三体人计划通过智子的多维展开来限制地球人的科学技术发展，已知智子的直径是0.00000000000016厘米，用科学记数法表示这个数（ ） A. 米 B. 米 C. 厘米 D. 厘米 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 月球车工作时所需的电能都是由太阳能电池板提供的．当太阳光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多，某一时刻太阳光的照射角度如图所示，如果要使此时接收的太阳光能最多，那么应将太阳光板绕支点顺时针旋转的最小角度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的上弦米，，则中柱（D为底边中点）的长为（ ）米 A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 如图，正六边形的边长为，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中的长度为（ ） A. B. C. D. 9. 新冠疫情给各地经济带来很大影响． 为了尽快恢复经济，某企业加大生产力度，四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个． 若该企业五、六月份平均每月的增长率为，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，在平行四边形中，，连接，，与相交于点，点从点出发，沿以的速度匀速运动到点，图②是点运动时，线段的长随时间变化的函数关系图象，其中，分别是两段曲线的最低点，则的长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 把多项式分解因式，应提取的公因式为_____． 12. 为了估计学校池塘中鱼的数量，九年级一班的同学采用如下方法：从池塘中捕上50条鱼做上标记，然后放回池塘，经过一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，再捕上50条，若其中带有标记的鱼有10条，则池塘中鱼估计有_______条． 13. 若a，b是一元二次方程的两个根，则的值是___________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的顶点在轴上，垂直于轴，点，分别在函数（）和（）的图象上，若的面积为，则的值为______． 15. 如图，在菱形中，，，点，分别在，上，且，连接交于点，则的度数为_____；连接，则的最小值为_____． 三、解答题（一）：共3小题，每小题8分，共24分 16. 计算：． 17. 如图，在中，点E为中点，交于点D． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）； （2）试判断（1）中得到的四边形的形状，并说明理由． 18. 口袋公园是城市微更新的一项重要举措，近年太原市充分利用城市的边角地、闲置地“见缝插绿”，让口袋公园成为附近居民休闲的好去处．2024年太原全市范围内（含古交）以新建“街角型和社区型”两种口袋公园为主，其中建设的街角型口袋公园的数量比社区型的数量多13个，一个街角型口袋公园的平均占地面积是一个社区型口袋公园的．已知2024年建设的街角型和社区型口袋公园占地总面积分别是12公顷和公顷，分别求建设一个街角型和一个社区型口袋公园的平均占地面积． 四、解答题（二）：共3小题，每小题9分，共27分 19. 某校在推进新课程改革的过程中，自主开发了五门校本课程，分别是：．人工智能探索；．传统文化寻根；．体质与健康；．山歌唱四方；．书香润心．每名同学根据自己的爱好只能选择其中一门课程，学校对全校同学的选课情况进行了随机抽样调查，制成了如图所示的两幅不完整的统计图． （1）补全条形统计图，课程所在的扇形的圆心角的度数是____； （2）若该校有名学生，请你估计该校选择课程的学生有多少名？ （3）某班有名同学，其中名同学选择课程，名同学选择课程，名同学选择课程．若从这名同学中随机抽取名同学，请你用列表法或画树状图的方法求抽取的这名同学都是选择课程的概率． 20. 如图，监控摄像头D固定在与构成的支架上，与地面垂直，，若该摄像头的可视角为的平分线，且，点在同一直线上，过点D作为垂足． （1）求 的度数； （2）求摄像头的最远可视点G与支架底部A之间的距离．（精确到）参考数据：（） 21. 综合运用 如图，中，，D为中点，，是的外接圆．是的直径． （1）求证：是的切线； （2）求的长； （3）若，求的半径． 五、解答题（三）：共2小题，22题13分，23题14分，共27分 22. 综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求A，B两点的坐标及直线的函数表达式． （2）M为直线下方抛物线上一点，其横坐标为m，过点M作于点D，当线段最长时，求点M的坐标． （3）在（2）的条件下，连接．在y轴上是否存在一点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 综合与实践 在综合与实践课上，赵老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平．连接并延长交于点Q，连接． （1）数学思考： 如图1，当点M在上时，与的数量关系是_______． （2）拓展再探： 如图2，当改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），使点M不在上时，判断（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）迁移应用： 在（2）的探究中，连接，已知正方形纸片的边长为6，当的周长最小时，的长为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $