精品解析：辽宁省大连市高新园区2024-2025学年八年级下学期期中数学试题　

2025年八年级（下）期中学情调查 数 学 试 卷 （本试卷共23 小题 满分120分 考试时长120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的知识，由题意根据最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B、，被开方数含开的方的因式，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C、，是最简二次根式，故该选项符合题意； D、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列各组线段中，能构成直角三角形的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形，据此判断即可求解，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能构成直角三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴不能构成直角三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴不能构成直角三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴能构成直角三角形，该选项符合题意； 故选：． 3. 如图，在中，D，E分别是边，的中点，，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：∵D，E分别是边，的中点，， ∴， 故选：A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．根据二次根式的运算法则逐一计算可得． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意． 故选：D． 5. 如图，数轴上点A 表示的数为a，化简 的结果为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数轴，二次根式的性质，掌握是解题关键．由数轴可得，，再根据二次根式的性质化简求值即可． 【详解】解：由数轴可得： ， 故选：B． 6. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可． 【详解】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等． 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如：矩形的对角线相等；四个角都是直角等． 7. 下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，结合选项根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、平行四边形不是轴对称图形，本选项正确； B、矩形是轴对称图形，本选项错误； C、菱形是轴对称图形，本选项错误； D、正方形是轴对称图形，本选项错误． 故选：A． 8. 如图，阴影部分（正方形）的四个顶点在的网格格点上，试估计阴影部分的边长在哪两个整数之间，则正确的是（ ） A. 2和3 B. 3和4 C. 4和5 D. 5和6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，由图求得阴影部分的面积是解题关键． 【详解】解：如图可知：阴影部分的面积为：， ∴阴影部分的边长为， ∵， ∴， 故选：B． 9. 如图，在平行四边形中，，过点A作于G，作于H，，，则平行四边形的面积是（ ） A. B. 12 C. D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，先证明，求解，再进一步求解即可. 【详解】解： 四边形是平行四边形，， ∴，，， ， ∴是等腰直角三角形，而， ， ， 平行四边形的面积是， 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点的坐标分别为，顶点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，平面直角坐标系的特点，掌握菱形的性质，勾股定理是关键． 根据点的坐标得到，由勾股定理得到，结合菱形的性质即可求解． 【详解】解：顶点的坐标分别为， ∴，且， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴顶点的坐标为， 故选：B ． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：若代数式有意义， 则有，解得：． 故答案为：． 12. 如图，在中，为线段的中点，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，解答本题的关键要明确：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．先运用勾股定理求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出的长． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得： 又为的中点， ， 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，对角线，交于点，要使矩形成为正方形，应添加的一个条件是______. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据正方形的判定添加条件即可． 【详解】解：添加的条件可以是AB＝BC． 理由如下： ∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC， ∴四边形ABCD是正方形． 故答案为AB＝BC（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键，注意：有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形．此题是一道开放型的题目，答案不唯一，也可以添加AC⊥BD． 14. 古今中外的不少学者对三角形面积的计算做出了诸多思考，尤其值得一提的是古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶均提出了类似的计算办法：若三角形三边长分别为a，b，c，记，则三角形的面积为，因此后人将他们的发现合称为海伦－秦九韶公式．若中，，，请你利用海伦－秦九韶公式计算的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，三角形面积的计算，读懂题意，弄清海伦公式的计算方法是解题的关键． 先根据的三边长求出的值，然后再代入面积公式，进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：，， ， ， 故答案为：． 15. 如图，以的顶点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交边，于点A，B，连接，再分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，，．若，四边形的面积为 ，则的长为_________（用含a的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用尺规作图推导图形的特征，掌握菱形的性质与判定方法，会利用对角线积表示面积达到解题目的．由作法知四边形为菱形，利用菱形面积公式对角线乘积的一半，可求，然后求出，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：由作图得：， 四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． （1）先利用二次根式的性质和二次根式的乘除法运算化简，再合并，即可求解； （2）根据完全平方公式及二次根式的性质，先化简，再合并，即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 在中，． （1）若，，求； （2）若，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质及二次根式乘法，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）根据题意易证，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， 由根据勾股定理，得， ， ； 【小问2详解】 解：在中，，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ． 18. 如图1，平行四边形中，点在对角线上，且，连接，． （1）求证：； （2）如图2，连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判的性质是关键． （1）根据平行四边形的性质证明，即可求解； （2）根据题意得到，，根据平行四边形的判定方法即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 又， ， ； 【小问2详解】 证明：由（1）得， ， ，即， ， ， 四边形是平行四边形． 19. 观察下列各式： ①；②；③；…． （1）根据上列式子的规律，直接写出 ； （2）①根据上列式子的规律，直接写出 ； ②小明同学将99…9写成，将写成，进而验证了①中规律正确性．请你根据小明同学的思路，证明①中你写出的结果． 【答案】（1） （2）①；②见解析 【解析】 【分析】本题考查规律型—实数运算的规律题，算术平方根，完全平方公式，弄清题中的规律是解题的关键． （1）仿照已知中的①②③，以及算术平方根的定义即可得出结果； （2）①观察一系列等式，得出一般规律，即可确定所求式子的结果； ②按小明的思路作变形，然后进行化简，即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①观察下列等式： ， ， ， ， ∴， 故答案为：； ②证明： ， ∴， 即①中结论成立． 20. 如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小强同学将绳子拉直，绳子末端落在地面点 C 处，点C到旗杆底部点B的距离为9米． （1）求旗杆的高度； （2）小强在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，点E到地面的距离为2米，求小强后退的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，） 【答案】（1）12米 （2）2.2米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）设旗杆的高度为米，则为米，在中，运用勾股定理建立方程求解； （2）如图，过作于点，则四边形是矩形，根据矩形的性质求出相关边长，在中，根据勾股定理求得得（米），再由即可求解． 【小问1详解】 解：设旗杆的高度为米，则为米， 在中，， ， 米， ， 解得：， 答：旗杆的高度为12米； 【小问2详解】 解：如图，过作于点， ， ， 四边形是矩形， 米，， （米）， 由（1）可知，（米）， 在中，， 根据勾股定理，得（米）， 米， 米， 答：小强后退的距离约为2.2米． 21. 如图，在平行四边形中，平分交边于点E，过E作交边于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若平行四边形的周长为22，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，再证明四边形是平行四边形，再证明，根据菱形的判定证明即可； （2）先证明四边形是平行四边形，求得，，再利用菱形的性质结合30度的直角三角形的性质求得，再根据勾股定理计算即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵平行四边形的周长为22， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质以及等边三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 22. 如图，在矩形中，对角线，交于点O，过O作，交边于点E． （1）如图1，连接，求证：； （2）如图2，过E作于F，若，，求的值； （3）过A作于G，交边于点H． ①如图3，当点H在点E左侧时，猜想与的数量关系，并证明； ②如图4，当点H在点E右侧时，直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1）见解析 （2） （3）①，证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）利用矩形性质，得，结合，证是垂直平分线，推出，，进而．再由矩形对角线相等且互相平分，得，推出．通过角的等量代换，证得． （2）先根据矩形性质及勾股定理求出对角线长度，进而得的值．利用矩形面积公式求出面积，再由是中点，得面积，根据面积等于与面积和，结合，列出关于的等式，求解得出其值． (3)①取中点或利用构造中位线，结合平行关系证明平行四边形，通过边的等量代换得出．构造全等三角形，证明与其他三角形全等，再结合中位线或其他线段关系，得到与的数量关系．通过中位线得到线段平行，利用角的等量关系证明全等或相似，进而推出．②取中点，连接、，类比第一小问思路，得到、．由，将代入；再根据，把与的关系代入等式，经过等式变形和化简，最终得出． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ． 又， 是线段的垂直平分线， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ； 【小问2详解】 四边形是矩形， ， ，， 在中， 根据勾股定理，得 ， ， ， ， 为中点， ． ， ， ， ； 【小问3详解】 ①猜想：． 证明：方法一：如图1，取中点，连接，， 为中点，为中点， 为的中位线， ． ， ， ． 于， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 又， 四边形是平行四边形， ， ， ； 方法二：如图2，延长交于，延长，交于点． 四边形是矩形， ，． ． 又， ， ， ． ， ， ， 于， ， ， ， ， ， ， ． ， ，， ， ， ，即， ； 方法三：如图3，取的中点，连接． 四边形是矩形， ， 为中点， 是的中位线， ， ． 四边形是矩形， ，，， ， ， ． ，于， ． ，，， ， ， ． 又， ． ， ， ； 方法四：如图4，延长交于点，过作于， 四边形是矩形， ，． ， 又， ，即． 于， ， 又四边形是矩形， ， 四边形为矩形， ． 四边形为矩形， ，，， ， ， 于， ， ， ， ，， ， ， ， ； 方法五：如图5，在上取点，使，连接， 四边形是矩形． ， 又， 是中位线． ，． ， 四边形是矩形， ，，， ， ． ， ， 于， ， ， ， ． 四边形是矩形， ，． ， ，； 方法六：如图6，延长至，使，连接， 四边形是矩形， ，， 是中位线， ，． 四边形是矩形， ，，， ， ． 于，， ． ，， ． ， ， ， ， ． 方法七：如图7，连接并延长至点，使，过作于． 四边形是矩形， ， 是的中位线， ，． 四边形是矩形， ， ， ， ． 又， ， ． 四边形是矩形． ，，， ， ， 于， ， ， ， ， ， ， ， ． 又， ， ， ； ②． 解析：如图8，取中点，连接，， 同理可得，． ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、中位线定理、平行四边形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 23. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 操作一：如图1，在正方形纸片的边上选一点E（点E不与点A，D重合），将正方形沿折叠，使点A落在正方形内部的点G处，得到折痕，延长交边于点F，连接． （1）求的度数． 【深入探究】 操作二：如图2，在操作一的基础上，将沿着折叠，使点D落在正方形的内部，点D的对应点为H，在折叠的过程中，同学们发现，随着点E的位置改变，点H的位置也随之改变，当点E在边上的某一位置时，点H恰好落在上，此时与交于点M，把正方形纸片展平． （2）求的度数； （3）求证：． 【拓展延伸】 操作三：如图3，在操作一的基础上，连接交于点P，连接，调整点E的位置，使． （4）求证： 【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）由正方形和折叠的性质可得，则可证明得到，据此可得； （2）由折叠和全等三角形的性质得到，则可求出，由折叠的性质可得； （3）可证明，由折叠的性质可得，则可证明是等腰直角三角形，得到，证明，即可证明； （4）如图所示，延长到Q，使得，连接，证明是等腰直角三角形，得到，再证明，得到，由勾股定理可得，则． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）由折叠的性质可得， 由（1）可得， ∴， ∴， ∵， ∴， 由矩形性质可得， ∴， ∴， 由折叠的性质可得； （3）由（2）可得， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴； （4）如图所示，延长到Q，使得，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年八年级（下）期中学情调查 数 学 试 卷 （本试卷共23 小题 满分120分 考试时长120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式中，是最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段中，能构成直角三角形的一组是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，D，E分别是边，的中点，，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，数轴上点A 表示数为a，化简 的结果为（ ） A. B. 5 C. D. 6. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A. 对边相等 B. 对角相等 C 对角线相等 D. 对角线互相平分 7. 下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 8. 如图，阴影部分（正方形）的四个顶点在的网格格点上，试估计阴影部分的边长在哪两个整数之间，则正确的是（ ） A. 2和3 B. 3和4 C. 4和5 D. 5和6 9. 如图，在平行四边形中，，过点A作于G，作于H，，，则平行四边形的面积是（ ） A. B. 12 C. D. 18 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点的坐标分别为，顶点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是 _____． 12. 如图，在中，为线段的中点，则______． 13. 如图，在矩形中，对角线，交于点，要使矩形成为正方形，应添加的一个条件是______. 14. 古今中外的不少学者对三角形面积的计算做出了诸多思考，尤其值得一提的是古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶均提出了类似的计算办法：若三角形三边长分别为a，b，c，记，则三角形的面积为，因此后人将他们的发现合称为海伦－秦九韶公式．若中，，，请你利用海伦－秦九韶公式计算的面积为________． 15. 如图，以的顶点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交边，于点A，B，连接，再分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，，．若，四边形的面积为 ，则的长为_________（用含a的代数式表示）． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）计算： 17. 在中，． （1）若，，求； （2）若，，求． 18. 如图1，在平行四边形中，点在对角线上，且，连接，． （1）求证：； （2）如图2，连接，求证：四边形是平行四边形． 19. 观察下列各式： ①；②；③；…． （1）根据上列式子的规律，直接写出 ； （2）①根据上列式子的规律，直接写出 ； ②小明同学将99…9写成，将写成，进而验证了①中规律的正确性．请你根据小明同学的思路，证明①中你写出的结果． 20. 如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小强同学将绳子拉直，绳子末端落在地面点 C 处，点C到旗杆底部点B的距离为9米． （1）求旗杆的高度； （2）小强在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，点E到地面的距离为2米，求小强后退的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，） 21. 如图，在平行四边形中，平分交边于点E，过E作交边于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若平行四边形的周长为22，，，求的长． 22. 如图，矩形中，对角线，交于点O，过O作，交边于点E． （1）如图1，连接，求证：； （2）如图2，过E作于F，若，，求的值； （3）过A作于G，交边于点H． ①如图3，当点H在点E左侧时，猜想与的数量关系，并证明； ②如图4，当点H在点E右侧时，直接写出，，之间的数量关系． 23. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 操作一：如图1，在正方形纸片的边上选一点E（点E不与点A，D重合），将正方形沿折叠，使点A落在正方形内部的点G处，得到折痕，延长交边于点F，连接． （1）求的度数． 【深入探究】 操作二：如图2，在操作一的基础上，将沿着折叠，使点D落在正方形的内部，点D的对应点为H，在折叠的过程中，同学们发现，随着点E的位置改变，点H的位置也随之改变，当点E在边上的某一位置时，点H恰好落在上，此时与交于点M，把正方形纸片展平． （2）求的度数； （3）求证：． 【拓展延伸】 操作三：如图3，在操作一的基础上，连接交于点P，连接，调整点E的位置，使． （4）求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$