2026年高三数学一轮复习课时作业1：集合

集　合 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.(2025·大同模拟)设集合A＝{x|－1<x≤4}，B＝{x|x2>4}，则A∩(∁RB)等于(　　) A.{x|－1≤x<2} B.{x|－1<x≤2} C.{x|－2≤x≤2} D.{x|－2<x<2} 答案　B 解析　由题意可得∁RB＝{x|0≤x2≤4}＝{x|－2≤x≤2}，∴A∩(∁RB)＝{x|－1<x≤2}. 2.设集合A＝{－1，0，1}，B＝{y|y＝x2，x∈A}，则下列选项中正确的是(　　) A.AB B.AB C.A＝B D.B＝∅ 答案　B 解析　由题意，在B＝{y|y＝x2，x∈A}中，A＝{－1，0，1}，(－1)2＝1，02＝0，12＝1，∴B＝{0，1}，∴AB. 3.(2024·怀化模拟)已知集合M＝{－1，1，2，3，4，5}，N＝{1，2，4}，P＝M∩N，则P的真子集共有(　　) A.3个 B.6个 C.7个 D.8个 答案　C 解析　因为M＝{－1，1，2，3，4，5}，N＝{1，2，4}，所以P＝M∩N＝{1，2，4}，所以P的真子集共有23－1＝7(个). 4.(2024·宝鸡模拟)若集合A＝{x∈R|ax2－2x＋1＝0}中只有一个元素，则实数a等于(　　) A.1 B.0 C.2 D.0或1 答案　D 解析　当a＝0时，由ax2－2x＋1＝0可得x＝，满足题意； 当a≠0时，由ax2－2x＋1＝0只有一个根需满足Δ＝(－2)2－4a＝0，解得a＝1. 综上，实数a的值为0或1. 5.(2025·安徽皖南八校模拟)已知集合A＝{x∈N*|x2－5x－14<0}，B＝{x|log2(x－2)<2}.则图中阴影部分表示的集合为(　　) A.{3，4，5} B.{1，2} C.{3，4，5，6} D.{1，2，6} 答案　D 解析　由题意知A＝{x∈N*|x2－5x－14<0}＝{x∈N*|－2<x<7}＝{1，2，3，4，5，6}， 因为函数y＝log2x是增函数， 所以B＝{x|log2(x－2)<2}＝{x|0<x－2<22}＝{x|2<x<6}， 所以A∩B＝{3，4，5}， 所以图中阴影部分表示的集合为{1，2，6}. 6.(2025·攀枝花模拟)已知集合A＝{1，a2}，B＝{1，4，a}，若A⊆B，则实数a组成的集合为(　　) A.{－2，－1，0，2} B.{－2，2} C.{－1，0，2} D.{－2，0，2} 答案　D 解析　由A⊆B，则有或解得a＝2或a＝－2或a＝0，实数a组成的集合为{－2，0，2}. 7.某学校教师中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若会至少其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为(　　) A.15 B.20 C.25 D.35 答案　B 解析　设A＝{x|x是会打乒乓球的教师}，B＝{x|x是会打羽毛球的教师}，C＝{x|x是会打篮球的教师}， 由题意得card(A)＝30，card(B)＝60，card(C)＝20，card(A∪B∪C)＝80，card(A∩B∩C)＝5， 所以card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)， 所以card(A∩B)＋card(B∩C)＋card(A∩C)＝30＋60＋20＋5－80＝35， 而card(A∩B)＋card(B∩C)＋card(A∩C)中，含有3次card(A∩B∩C)， 所以会且仅会其中两个体育项目的教师人数为35－3×5＝20. 8.设集合I＝{1，3，5，7}，若非空集合A同时满足：①A⊆I；②card(A)≤min(A)(其中card(A)表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为I的一个“好子集”，则I的所有“好子集”的个数为(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 答案　B 解析　当card(A)＝1，即集合A中元素的个数为1时，A的可能情况为{1}，{3}，{5}，{7}； 当card(A)＝2，即集合A中元素的个数为2时，A的可能情况为{3，5}，{3，7}，{5，7}； 当card(A)＝3，即集合A中元素的个数为3时，A的可能情况为{3，5，7}， 综上所述，I的所有“好子集”的个数为8. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.已知A，B是全集U的两个非空真子集，下列说法中一定正确的是(　　) A.A∩B＝∅ B.A⊆(A∪B) C.(∁UA)∪A＝U D.(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B) 答案　BCD 解析　如图所示，A∩B≠∅，A选项错误；A⊆(A∪B)，(∁UA)∪A＝U，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)，BCD选项正确. 10.若集合M＝{x|x≥0}，N＝{x|(x－1)(x－2)<0}，则(　　) A.M⊆N B.M∪N＝M C.(∁RM)∩N＝∅ D.M∪(∁RN)＝R 答案　BCD 解析　解一元二次不等式(x－1)(x－2)<0， 得1<x<2，所以N＝(1，2)， ∁RN＝(－∞，1]∪[2，＋∞)， 由于M＝{x|x≥0}，结合补集的定义∁RM＝(－∞，0)， 显然N⊆M，选项A不正确； 同时可得M∪N＝M，选项B正确； 由于∁RM＝(－∞，0)，且N＝(1，2)， 可得(∁RM)∩N＝∅，选项C正确； 由于M＝{x|x≥0}，且∁RN＝(－∞，1]∪[2，＋∞)， 可得M∪(∁RN)＝R，选项D正确. 11.有限集合S中元素的个数记作card(S)，设A，B都为有限集合，下列选项正确的是(　　) A.A∩B＝∅⇔card(A∪B)＝card(A)＋card(B) B.A⊆B⇒card(A)≤card(B) C.A⊆B⇐card(A)≤card(B) D.A＝B⇔card(A)＝card(B) 答案　AB 解析　对于A，A∩B＝∅，说明集合A，B没有相同元素， 因此card(A∪B)＝card(A)＋card(B)，反之也成立，故A正确； 对于B，A⊆B，说明集合A的元素都属于集合B，故card(A)≤card(B)，故B正确； 对于C，card(A)≤card(B)，只能说明集合A的元素个数不多于集合B中元素个数， 不能说明集合A的元素都属于集合B，故C错误； 对于D，A＝B，说明两集合元素相同，可得到card(A)＝card(B)， 反之，两集合元素个数相同，但不能说明两集合元素相同， 故由card(A)＝card(B)不能得到A＝B，故D错误. 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.已知集合A＝{m|1<m<4}，B＝{y|y＝x3，x∈R}，则A∩B＝　　　　　　.  答案　{m|1<m<4} 解析　因为B＝{y|y＝x3，x∈R}＝R， 因此，A∩B＝{m|1<m<4}. 13.(2025·南京模拟)已知非空集合A＝{x|a－1<x<2a＋3}，B＝{x|－2≤x≤4}.A∩(∁RB)＝A，则实数a的取值范围为　　　　.  答案　 解析　因为A为非空集合，则a－1<2a＋3， 解得a>－4，∁RB＝{x|x<－2或x>4}， 若A∩(∁RB)＝A，则A⊆(∁RB)， 则2a＋3≤－2或a－1≥4， 解得a≤－或a≥5，又a>－4， 综上所述，实数a的取值范围为. 14.已知集合M＝{1，2，3，4，…，10}，A是集合M的非空真子集，把集合A中的各元素之和记为S(A)，则满足S(A)＝8的集合A的个数为　　　　　　；S(A)的所有不同取值的个数为　　　　　　.  答案　6　54 解析　由题意，满足S(A)＝8的集合A有{1，2，5}，{1，3，4}，{1，7}，{2，6}，{3，5}，{8}，共6个. 对于S(A)来说，由于它是集合A中的各元素之和，同时A又是集合M的非空真子集， 因为1＋2＋3＋…＋10＝55， 由题意，易知S(A)将取尽1到54的所有整数， 所以S(A)的所有不同取值的个数为54. 15，17，18题每小题5分，16题6分，共21分 15.设集合A的最大元素为M，最小元素为m，记A的特征值为XA＝M－m，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知A1，A2，A3，…，An是集合N*的元素个数均不相同的非空真子集，且＋…＋＝120，则n的最大值为(　　) A.14 B.15 C.16 D.18 答案　C 解析　由题意，要想n的值最大，则特征值要尽可能的小，可令＝0，＝1，＝2，…，＝n－1，则0＋1＋2＋…＋(n－1)＝＝120，解得n＝16或n＝－15(舍去). 16.(多选)设集合Ak={x|x=2nk+1，n∈Z}(k=1，2，3)，则下列结论正确的是(　　) A.2 025∈A1∩A2 B.若a∈A2，且ab∈A3，则b∉A1 C.若a∈A2，b∈A3，则ab∈A1 D.若a∈A2，b∈A3，则3a+2b∈A2 答案　ACD 解析　A选项，A1={x|x=2n+1，n∈Z}， A2={x|x=4n+1，n∈Z}， 由题意可得A1∩A2={x|x=4n+1，n∈Z}. 因为2 025=4×506+1，所以2 025∈A1∩A2，则A正确； B选项，A3={x|x=6n+1，n∈Z}， 当a=5∈A2，b=11∈A1时，ab=55=6×9+1∈A3，则B错误； C，D选项，由a∈A2，b∈A3， 可设a=4n1+1，b=6n2+1(n1，n2∈Z)， 则ab=24n1n2+4n1+6n2+1 =2(12n1n2+2n1+3n2)+1， 3a+2b=12n1+3+12n2+2=4(3n1+3n2+1)+1. 因为n1，n2∈Z， 所以12n1n2+2n1+3n2∈Z，3n1+3n2+1∈Z， 所以ab∈A1，3a+2b∈A2，则C，D正确. 17.戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空子集A与B，且满足A∪B＝Q，A∩B＝∅，A中的每一个元素都小于B中的每一个元素.请给出一组满足A中无最大元素且B中无最小元素的戴德金分割　　　　　　.  答案　A＝{x∈Q|x<π}，B＝{x∈Q|x≥π}(答案不唯一) 解析　以无理数分界写出一组即可，如A＝{x∈Q|x<π}，B＝{x∈Q|x≥π}(答案不唯一). 18.设Sn={a|a=(a1，a2，…，an)，ai∈{0，1}，i=1，2，…，n(n∈N*，n≥2)}，定义a的差分运算为D(a)=(|a2-a1|，|a3-a2|，…，|an-an-1|)∈Sn-1.用Dm(a)表示对a进行m(m∈N*，m≤n)次差分运算，显然，Dm(a)是一个(n-m)维数组.称满足Dm(a)=(0，0，…，0)的最小正整数m的值为a的深度.若这样的正整数m不存在，则称a的深度为n. (1)已知a=(0，1，1，1，0，1，1，1)∈S8，则a的深度为　　　　.  (2)Sn中深度为d(d∈N*，d≤n)的数组个数为　　　　.  答案　(1)4　(2)2d-1 解析　(1)因为a=(0，1，1，1，0，1，1，1)∈S8， 则D(a)=(1，0，0，1，1，0，0)， D2(a)=(1，0，1，0，1，0)， D3(a)=(1，1，1，1，1)， D4(a)=(0，0，0，0)，所以a的深度为4. (2)易知Sm中仅有一组(0，0，0，…，0)， Sm+1中深度d=1的数组仅1组(1，1，1，…，1)， Sm+2中深度d=2的数组仅2组， Sm+3中深度d=3的数组仅4组， …， Sm+k中深度d=k的数组仅2k-1组， …， 所以Sn中深度为d的数组仅有2d-1组. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 集　合 【基础练】 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.(2025·大同模拟)设集合A＝{x|－1<x≤4}，B＝{x|x2>4}，则A∩(∁RB)等于(　　) A.{x|－1≤x<2} B.{x|－1<x≤2} C.{x|－2≤x≤2} D.{x|－2<x<2} 2.设集合A＝{－1，0，1}，B＝{y|y＝x2，x∈A}，则下列选项中正确的是(　　) A.AB B.AB C.A＝B D.B＝∅ 3.(2024·怀化模拟)已知集合M＝{－1，1，2，3，4，5}，N＝{1，2，4}，P＝M∩N，则P的真子集共有(　　) A.3个 B.6个 C.7个 D.8个 4.(2024·宝鸡模拟)若集合A＝{x∈R|ax2－2x＋1＝0}中只有一个元素，则实数a等于(　　) A.1 B.0 C.2 D.0或1 5.(2025·安徽皖南八校模拟)已知集合A＝{x∈N*|x2－5x－14<0}，B＝{x|log2(x－2)<2}.则图中阴影部分表示的集合为(　　) A.{3，4，5} B.{1，2} C.{3，4，5，6} D.{1，2，6} 6.(2025·攀枝花模拟)已知集合A＝{1，a2}，B＝{1，4，a}，若A⊆B，则实数a组成的集合为(　　) A.{－2，－1，0，2} B.{－2，2} C.{－1，0，2} D.{－2，0，2} 7.某学校教师中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若会至少其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为(　　) A.15 B.20 C.25 D.35 8.设集合I＝{1，3，5，7}，若非空集合A同时满足：①A⊆I；②card(A)≤min(A)(其中card(A)表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为I的一个“好子集”，则I的所有“好子集”的个数为(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.已知A，B是全集U的两个非空真子集，下列说法中一定正确的是(　　) A.A∩B＝∅ B.A⊆(A∪B) C.(∁UA)∪A＝U D.(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B) 10.若集合M＝{x|x≥0}，N＝{x|(x－1)(x－2)<0}，则(　　) A.M⊆N B.M∪N＝M C.(∁RM)∩N＝∅ D.M∪(∁RN)＝R 11.有限集合S中元素的个数记作card(S)，设A，B都为有限集合，下列选项正确的是(　　) A.A∩B＝∅⇔card(A∪B)＝card(A)＋card(B) B.A⊆B⇒card(A)≤card(B) C.A⊆B⇐card(A)≤card(B) D.A＝B⇔card(A)＝card(B) 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.已知集合A＝{m|1<m<4}，B＝{y|y＝x3，x∈R}，则A∩B＝　　　　　　.  13.(2025·南京模拟)已知非空集合A＝{x|a－1<x<2a＋3}，B＝{x|－2≤x≤4}.A∩(∁RB)＝A，则实数a的取值范围为　　　　.  14.已知集合M＝{1，2，3，4，…，10}，A是集合M的非空真子集，把集合A中的各元素之和记为S(A)，则满足S(A)＝8的集合A的个数为　　　　　　；S(A)的所有不同取值的个数为　　　　　　.  【提升练】 15.设集合A的最大元素为M，最小元素为m，记A的特征值为XA＝M－m，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知A1，A2，A3，…，An是集合N*的元素个数均不相同的非空真子集，且＋…＋＝120，则n的最大值为(　　) A.14 B.15 C.16 D.18 16.(多选)设集合Ak={x|x=2nk+1，n∈Z}(k=1，2，3)，则下列结论正确的是(　　) A.2 025∈A1∩A2 B.若a∈A2，且ab∈A3，则b∉A1 C.若a∈A2，b∈A3，则ab∈A1 D.若a∈A2，b∈A3，则3a+2b∈A2 17.戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空子集A与B，且满足A∪B＝Q，A∩B＝∅，A中的每一个元素都小于B中的每一个元素.请给出一组满足A中无最大元素且B中无最小元素的戴德金分割　　　　　　.  18.设Sn={a|a=(a1，a2，…，an)，ai∈{0，1}，i=1，2，…，n(n∈N*，n≥2)}，定义a的差分运算为D(a)=(|a2-a1|，|a3-a2|，…，|an-an-1|)∈Sn-1.用Dm(a)表示对a进行m(m∈N*，m≤n)次差分运算，显然，Dm(a)是一个(n-m)维数组.称满足Dm(a)=(0，0，…，0)的最小正整数m的值为a的深度.若这样的正整数m不存在，则称a的深度为n. (1)已知a=(0，1，1，1，0，1，1，1)∈S8，则a的深度为　　　　.  (2)Sn中深度为d(d∈N*，d≤n)的数组个数为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$