精品解析：云南省昭通市昭通一中教研联盟2024～2025学年高二下学期期中数学试题（A卷）

昭通一中教研联盟2024~2025学年下学期高二年级期中质量检测 数学（A卷） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的展开式中按x的升幂排列的第3项的系数为（ ） A. 26 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得第3项系数即含的项的系数，则分别计算，中的二次项，一次项系数，据此可得答案. 【详解】展开式中按x的升幂排列的第3项，即展开式中含的项. 的2次项，1次项分别为； 的2次项，1次项为. 则的2次项为. 故选：B． 2. 某城市高中数学会考，假设考试成绩服从正态分布．如果成绩按照从高到低排列且以16％，34％，34％，16％的比例将考试成绩分为A，B，C，D四个等级，则C等级的分数线为（ ）（精确到1） （附：若随机变量，则；；） A. 70 B. 83 C. 67 D. 75 【答案】C 【解析】 【分析】由正态分布的对称性即可求解. 【详解】设分数达到及以上的就是等级，分数达到但小于的就是等级，分数达到但小于的就是等级， 根据题意，可得，，， ， 因为，所以. 故选：C． 3. 安排4名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） A. 240种 B. 120种 C. 600种 D. 360种 【答案】A 【解析】 【分析】按照排列组合中部分均匀分组方法，分布计算求出结果. 【详解】根据题意，将5项工作分成4组，有一组两项工作，其他三组每组一项工作，再全排列把工作分配给四个人，则有种不同的安排方式. 故选：A． 4. 已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（ ） X 0 a 2 P b A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分布列的性质，期望、方差公式及性质计算得解. 【详解】依题意，，解得， 由，得，解得， 则，解得， 因此 ， 所以. 故选：D 5. 已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图象可得，则，则，据此可得解集. 【详解】观察图象知，是函数的极小值点，求导得， 则，解得，当时，；当时，， 则是函数的极小值点，满足图象. 则，， 不等式，解得或， 所以不等式的解集为. 故选D． 6. 若函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得在上恒成立，即在恒成立，据此可得答案. 【详解】因为， 而时，函数单调递减，所以在恒成立， 即恒成立，因为，所以， 即在恒成立， 因为在上单调递增， 则，所以. 故选：A． 7. 用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架（接口处与损耗忽略不计），若制作的容器的底面的一边长比另一边长0.5m．则长方体容积的最大值为（ ） A. 1.8 B. 2 C. 1.4 D. 2.2 【答案】A 【解析】 【分析】设底面短边长为，求出容器的容积的表达式，再利用导数求出最大值即可. 【详解】设该容器底面矩形的短边长为，则另一边长为， 此容器的高为， 于是，此容器的容积为：，其中， 即，得，（舍去）， 因为在内只有一个极值点，且时，，函数递增；时，，函数递减； 所以，当时，函数有最大值， 故选：A． 8. 某人在次射击中击中目标的次数为，且，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若确定，则当时，有最小值 C. 若，，则当或时，取得最大值 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，根据直接计算即可；对于B，根据，直接写出即可判断；对于C，根据直接写出，然后根据取最大值列式计算即可判断；对于D，根据直接计算即可. 【详解】对于A，在次射击中击中目标的次数，则，故A不正确； 对于B，，当时，取得最大值，故B不正确； 对于C，在次射击中击中目标的次数， 当时对应的概率， 因为取最大值，所以， 即，即，解得， 因为且，所以或，取得最大值，故C正确； 对于D，在次射击中击中目标的次数， ，故D不正确. 故选：C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列的第五项为（ ） A. 180 B. 112 C. 16 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用等差等比数列通项，建立方程组可求解，即可作出判断. 【详解】设前三项的公比为，后三项的公差为，则数列的各项依次为，，80，，． 于是得，解方程组，得或， 所以这个数列是20，40，80，96，112或180，120，80，16，， 故选：BD． 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导，利用导数研究函数的单调性、极值和零点，即可判断A，B；根据函数的对称性判断C；利用导数的几何意义求的切线方程，即可判断D. 【详解】由得，令得：， 令得或；令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 所以有两个极值点为极大值点，为极小值点，故A正确； 又，， 而趋向于负无穷大时也趋向于负无穷大；趋向于正无穷大时也趋向于正无穷大； 所以仅有1个零点如图所示，故B错误； 又，所以，所以关于对称，故C正确； 对于D，设切点，在P处的切线为， 即， 若是其切线，则，则，此时切点为时， 切线方程直线，所以D正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题. 11. 甲乙两人参加三局两胜制比赛（谁先赢满两局则获得最终胜利且比赛结束）.已知在每局比赛中，甲赢的概率为0.6，乙赢的概率为0.4，且每局比赛的输赢相互独立.若用表示事件“甲最终获胜”，表示事件“有人获得了最终胜利时比赛共进行了两局”，表示事件“甲赢下第三局”.则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与互斥 D. 与独立 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于AB：用条件概率计算；对于C：利用互斥的概念来判断；对于D：利用相互独立的条件来判断. 【详解】对于A：， 则，A正确； 对于B：， 则，B正确； 对于C：N与Q不可能同时发生，故N与Q互斥，C正确； 对于D：，，， 故，故D错误. 故选：ABC. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数在处的切线方程为________． 【答案】##． 【解析】 【分析】令，可得，，然后由点斜式可得切线方程. 【详解】，令，则，，，切线方程为，即． 故答案为：． 13. 从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的五位数______． 【答案】1224 【解析】 【分析】分含0与不含0两类情况进行讨论，由分步乘法计数原理求各类情况下组成没有重复数字的五位数的方法，然后利用分类加法计数原理求和得到答案. 【详解】第一类：从0，2，4，6中任取3个数字不含0， 第一步：把2，4，6都取出，有1种方法； 第二步：从1，3，5中任取2个数字，有种方法； 第三步：把取出的5个数字任意排成一排组成五位数，有种方法； 根据分步乘法计数原理共有：种方法； 第二类：从0，2，4，6中任取3个数字含0， 第一步：把0取出，再从2，4，6中任取2个数字，有种方法； 第二步：从1，3，5中任取2个数字，有种方法； 第三步：先把0不放在首位，然后其余4个数字在其它4个位置上任意排列，有种方法； 根据分步乘法计数原理共有：种方法； 综上所述，共有种方法，即一共可以组成1224个没有重复数字的五位数. 故答案为：1224. 14. 已知数列的首项，的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用构造法，可得数列是以1为首项，以为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式可求得，最后可由此求得. 【详解】因为，即， 所以，又，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列， 所以，， 当时，， 所以， 当时，也成立，所以， 故答案为： 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某人工智能公司从2018至2024年的利润情况如下表所示： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 利润y（单位：亿元） 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （1）根据表中的数据，推断变量y与x之间是否线性相关．计算y与x之间的相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度； （2）求出y关于x的经验回归方程，并预测该人工智能公司2025年的利润； （3）把利润不超过4（亿元）的年份叫做“试销年”，从2018年到2024年这七年中任取2年，X表示取到“试销年”的个数，求X的分布列和数学期望． 参考数据：，，， 参考公式：对于一组数据， ①相关系数为：； ②经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别，． 【答案】（1），可以推断变量y与x成正线性相关且相关程度很强； （2），6.3亿元； （3） 期望为. 【解析】 【分析】（1）根据题意判断相关性，再应用相关系数公式求相关系数，即可得结论； （2）应用最小二乘法求回归直线方程，进而估计该人工智能公司2025年的利润； （3）由题意“试销年”的个数能取的值为并求出对应概率，即可得分布列，进而求期望. 【小问1详解】 由题设，易知y与x线性相关，且， ， 由于，可以推断变量y与x成正线性相关且相关程度很强． 【小问2详解】 由题设，，， 所以，因此关于x的回归方程为， 当时，，即预测该人工智能公司2025的利润为6.3亿元； 【小问3详解】 由题意，2018年到2024年这七年的“试销年”为三个， 因此从2018年到2024年这七年中任取2个，取到“试销年”的个数能取的值为， 则，，， 因此的分布列如下： 所以其数学期望为. 16. 求下列数列的和： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用分类讨论思想结合等差数列公式法和错位相减法求和； （2）先得到通项公式，再进行分组求和，以及利用等比数列求和公式求和即可. 【小问1详解】 当时，， 当时，记① ①：② ①－②：， 化简得：， 综上所述： 【小问2详解】 该数列为，其前项和为， 因为 ， ， ， ， ， …… 所以该数列的一个通项公式为， ． 17. 在信道内传输A，B，C信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两种字母的信号的概率均为．发送五个相同的信号，，的概率均为． （1）已知发送信号，求收到的信号为的概率； （2）求收到的信号只有三个A的概率； （3）已知收到的信号为，求发送信号为的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设事件表示“收到”，事件表示“发送”，则由题意及条件概率计算公式可得答案； （2）设事件，，分别表示“发送”、“发送”、“发送”，事件表示“收到的信号只有三个A”，由条件概率公式可得，然后由全概率公式可得答案； （3）设事件表示“收到”，事件，，表示“发送”“发送”“发送”，由题可得，，然后由条件概率公式可得答案. 【小问1详解】 设事件表示“收到”，事件表示“发送”， ． 【小问2详解】 设事件，，分别表示“发送”、“发送”、“发送”，事件表示“收到的信号只有三个”， ①当发送时，收到的信号只有三个的概率为 ； ②当发送时，收到的信号只有三个的概率为 ； ③当发送时，收到的信号只有三个的概率为 ， 所以 ． 【小问3详解】 设事件表示“收到”，事件，，表示“发送”“发送”“发送”， ， ， 所以． 18. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）当时，在单调递减； 当，在单调递减，在单调递增. （2）. 【解析】 【小问1详解】 的定义域为，， （ⅰ）若，则，所以在单调递减. （ⅱ）若，则由得. 当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 （ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点. （ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. ①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，由于，即，故没有零点； ③当时，，即. 又，故在有一个零点. 设正整数满足，则. 由于，因此在有一个零点. 综上，的取值范围为. 点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点. 19. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人． （1）求2次传球后球在甲手中的概率； （2）n次传球后球在甲手中的概率为． 证明：（i）为等比数列； （ii）当时，． 【答案】（1） （2）（i）记表示事件“经过次传球后，球在甲的手中”， 设次传球后球在甲手中的概率为，， 则有， 所以 ， 即，， 所以，且， 所以数列表示以为首项，为公比的等比数列． （ii）， 所以， 当为大于1的奇数时，， 当为正偶数时，， 综上所述，当时，． 【解析】 【分析】（1）记“经过2次传球后，球在甲手中”，利用全概率公式计算即可； （2）（i）设n次传球后球在手甲中的概率为，得到，，化简整理得，结合等比数列的定义，即可证明结论. （ii）结合第（i）问，可求出等比数列的通项公式，进而可得， 对n为奇数和偶数进行分情况，即可证明结论. 【小问1详解】 依题意，传球2次后球在甲手中包括两种情况，即：甲乙甲和甲丙甲，所以传球2次后球在甲手中的概率为． 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昭通一中教研联盟2024~2025学年下学期高二年级期中质量检测 数学（A卷） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的展开式中按x的升幂排列的第3项的系数为（ ） A. 26 B. C. 6 D. 2. 某城市高中数学会考，假设考试成绩服从正态分布．如果成绩按照从高到低排列且以16％，34％，34％，16％的比例将考试成绩分为A，B，C，D四个等级，则C等级的分数线为（ ）（精确到1） （附：若随机变量，则；；） A. 70 B. 83 C. 67 D. 75 3. 安排4名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） A. 240种 B. 120种 C. 600种 D. 360种 4. 已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（ ） X 0 a 2 P b A. B. C. D. 5. 已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架（接口处与损耗忽略不计），若制作的容器的底面的一边长比另一边长0.5m．则长方体容积的最大值为（ ） A. 1.8 B. 2 C. 1.4 D. 2.2 8. 某人在次射击中击中目标的次数为，且，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若确定，则当时，有最小值 C. 若，，则当或时，取得最大值 D. 若，，则 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列的第五项为（ ） A. 180 B. 112 C. 16 D. 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 11. 甲乙两人参加三局两胜制比赛（谁先赢满两局则获得最终胜利且比赛结束）.已知在每局比赛中，甲赢的概率为0.6，乙赢的概率为0.4，且每局比赛的输赢相互独立.若用表示事件“甲最终获胜”，表示事件“有人获得了最终胜利时比赛共进行了两局”，表示事件“甲赢下第三局”.则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与互斥 D. 与独立 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数在处的切线方程为________． 13. 从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的五位数______． 14. 已知数列的首项，的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为________． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某人工智能公司从2018至2024年的利润情况如下表所示： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 利润y（单位：亿元） 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （1）根据表中的数据，推断变量y与x之间是否线性相关．计算y与x之间的相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度； （2）求出y关于x的经验回归方程，并预测该人工智能公司2025年的利润； （3）把利润不超过4（亿元）的年份叫做“试销年”，从2018年到2024年这七年中任取2年，X表示取到“试销年”的个数，求X的分布列和数学期望． 参考数据：，，， 参考公式：对于一组数据， ①相关系数为：； ②经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别，． 16. 求下列数列的和： （1）； （2）． 17. 在信道内传输A，B，C信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两种字母的信号的概率均为．发送五个相同的信号，，的概率均为． （1）已知发送信号，求收到的信号为的概率； （2）求收到的信号只有三个A的概率； （3）已知收到的信号为，求发送信号为的概率． 18. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 19. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人． （1）求2次传球后球在甲手中的概率； （2）n次传球后球在甲手中的概率为． 证明：（i）为等比数列； （ii）当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $