2.4一元一次不等式 教学设计2024－2025学年北师大版数学八年级下册

教学内容 2.4 一元一次不等式（教学设计） - 2024 - 2025 学年北师大版数学八年级下册 授课人 某某某 教材分析 （1）本节课的主要教学内容是一元一次不等式。一元一次不等式是在学生学习了一元一次方程、不等式的基本性质之后的后续内容，是不等式知识体系的重要组成部分。它是解决实际问题中不等关系的有力工具，为后续学习一元一次不等式组以及函数等知识奠定基础。 （2）本节课主要介绍了一元一次不等式的概念、解法及其在实际问题中的应用。通过实例引入，让学生观察、分析实际问题中的数量关系，抽象出一元一次不等式的模型。在求解一元一次不等式的过程中，类比一元一次方程的解法，引导学生理解每一步变形的依据，掌握求解的一般步骤。通过实际问题的解决，让学生体会一元一次不等式在生活中的广泛应用，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。 （3）通过学习本节课，学生能够理解一元一次不等式的概念，熟练掌握一元一次不等式的解法，并能运用一元一次不等式解决实际生活中的问题。培养学生的逻辑思维能力、类比推理能力和数学建模能力。同时，让学生认识到数学与生活的紧密联系，提高学生对数学的兴趣和应用数学知识解决实际问题的意识，从而在日常生活中更加灵活地运用数学知识。 教学目标 （1）会用数学的眼光观察现实世界：通过创设生活情境，引导学生观察并发现生活中的不等关系，抽象出一元一次不等式的概念，培养学生从实际问题中获取数学信息的能力，让学生学会用数学的眼光看待生活中的现象，提高数学抽象素养。 （2）会用数学的思维思考现实世界：在探究一元一次不等式的解法过程中，类比一元一次方程的解法，通过分析、推理、归纳等思维活动，理解每一步变形的依据，掌握一元一次不等式的解法，培养学生的逻辑推理能力和类比思维能力。在解决实际问题时，能够将实际问题转化为一元一次不等式模型，运用数学思维分析问题、解决问题，提高学生的数学建模能力。 （3）会用数学的语言表达现实世界：通过课堂互动和练习，帮助学生用准确的数学语言描述一元一次不等式的概念、解法步骤以及实际问题中的不等关系。能够用数学符号和式子表达一元一次不等式，并能用规范的书写格式求解一元一次不等式，培养学生的数学语言表达能力和数学运算素养。 教学重难点 （1）理解一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的解法，并能用一元一次不等式解决实际生活中的问题。重点在于让学生熟练掌握一元一次不等式的解法步骤，理解每一步变形的依据，能够准确、规范地求解一元一次不等式。 （2）在真实情境中运用一元一次不等式知识，培养学生的数学思维和问题解决能力，体会数学与生活的紧密联系。难点在于引导学生将实际问题转化为一元一次不等式模型，准确找出实际问题中的不等关系，并合理设未知数、列不等式进行求解。 教学资源 （1）多媒体设备，包括投影仪和电脑，用于展示课件和互动环节，呈现教学内容和例题、练习等。 （2）练习卡片，包含一元一次不等式的概念判断、求解以及实际问题等不同类型的题目，供学生进行课堂练习和小组讨论。 教学过程 一、复习引入 师：同学们，之前我们学习了一元一次方程和不等式的基本性质。现在老师来考考大家，什么是一元一次方程呢？它的一般形式是怎样的？ （等待 1 分钟，学生思考） 学生：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是 1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是 ax + b = 0（a ≠ 0）。 师：非常好！那不等式的基本性质有哪些呢？ 学生：不等式的基本性质 1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质 2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质 3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 师：回答得很准确！其实，在生活中很多时候我们遇到的不仅仅是相等关系，还有大量的不等关系。比如，商场的促销活动中，商品的价格会有优惠上限；汽车行驶的速度会有最高限速等等。今天我们就来学习一种能很好地描述这些不等关系的数学模型——一元一次不等式。通过这节课的学习，我们将学会如何用一元一次不等式来解决生活中的实际问题。接下来，让我们一起探究《2.4 一元一次不等式》。 二、探究新知 环节一：一元一次不等式的概念 教师：同学们，我们来看这样一个实际问题。某学校组织学生参加社会实践活动，要求学生至少完成 30 小时的实践时长。设某学生完成的实践时长为 x 小时，那么可以得到怎样的关系式呢？ 学生：x ≥ 30。 教师：很好！再看另一个问题，某班学生的平均身高为 160cm，已知小明的身高比平均身高低，设小明的身高为 y cm，那么 y 与 160 之间有怎样的关系呢？ 学生：y ＜ 160。 教师：像这样，用不等号连接两个整式，并且含有一个未知数，未知数的次数是 1 的式子，我们就把它叫做一元一次不等式。比如刚才的 x ≥ 30 和 y ＜ 160 都是一元一次不等式。大家能再举几个一元一次不等式的例子吗？ （学生思考并举例） 学生 1：2x + 5 ＞ 10。 学生 2：3 - x ≤ 8。 教师：非常棒！大家对一元一次不等式的概念有了初步的理解。现在老师给出几个式子，大家来判断一下哪些是一元一次不等式。（教师给出式子：① 3x - 7 ＞ 0；② 2x + y ＜ 5；③ 1/x - 3 ≥ 2；④ 5x² - 3x + 1 ≤ 0；⑤ 4 - 2x ＞ 0） （学生思考并回答） 学生：①和⑤是一元一次不等式，②含有两个未知数，③中未知数在分母上，④中未知数的最高次数是 2，都不符合一元一次不等式的定义。 教师：回答得完全正确！通过这个练习，大家对一元一次不等式的概念理解得更加深刻了。一元一次不等式和一元一次方程有很多相似之处，但也有不同，大家要注意区分。 环节二：一元一次不等式的解法 教师：我们已经知道了什么是一元一次不等式，接下来我们要学习如何求解一元一次不等式。大家还记得一元一次方程是怎么求解的吗？比如求解方程 3x - 5 = 7。 学生：首先在方程两边同时加 5，得到 3x - 5 + 5 = 7 + 5，即 3x = 12，然后在方程两边同时除以 3，得到 x = 4。 教师：非常好！那我们类比一元一次方程的解法来求解一元一次不等式 3x - 5 ＞ 7。大家先思考一下，第一步应该怎么做呢？ 学生：在不等式两边同时加 5，根据不等式的基本性质 1，不等号方向不变，得到 3x - 5 + 5 ＞ 7 + 5，即 3x ＞ 12。 教师：很正确！那接下来呢？ 学生：在不等式两边同时除以 3，因为 3 是正数，根据不等式的基本性质 2，不等号方向不变，得到 x ＞ 4。 教师：非常棒！我们把求解一元一次不等式的过程详细地写出来。（教师板书解题过程） 解：3x - 5 ＞ 7 移项，得 3x ＞ 7 + 5（根据不等式的基本性质 1，在不等式两边同时加 5） 合并同类项，得 3x ＞ 12 系数化为 1，得 x ＞ 4（根据不等式的基本性质 2，在不等式两边同时除以 3） 教师：大家看，求解一元一次不等式的步骤和一元一次方程的步骤很相似，但是要特别注意在系数化为 1 的时候，如果不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向要改变。接下来，我们再看一个例子，求解不等式 -2x + 3 ＜ 7。大家先自己尝试做一下，然后小组内交流讨论。 （学生自主求解，小组交流） 教师：哪个小组愿意派代表来展示一下你们的解题过程呢？ 小组代表：解： -2x + 3 ＜ 7 移项，得 -2x ＜ 7 - 3（根据不等式的基本性质 1，在不等式两边同时减 3） 合并同类项，得 -2x ＜ 4 系数化为 1，得 x ＞ -2（根据不等式的基本性质 3，在不等式两边同时除以 -2，不等号方向改变） 教师：展示得非常好！大家在求解一元一次不等式时，一定要注意每一步变形的依据，特别是系数化为 1 时不等号方向的变化。现在大家总结一下求解一元一次不等式的一般步骤。 学生：求解一元一次不等式的一般步骤是：移项、合并同类项、系数化为 1。在移项时依据不等式的基本性质 1，系数化为 1 时要根据除数的正负，依据不等式的基本性质 2 或 3 来确定不等号方向是否改变。 教师：总结得很全面！通过这些例子，我们掌握了一元一次不等式的解法，下面我们通过更多的练习来巩固一下。 三、巩固练习 教师：同学们，我们来做一些练习题。首先求解不等式 5x - 2 ＞ 3x + 4。大家在练习本上独立完成，然后老师请一位同学到黑板上展示解题过程。 （学生独立完成，教师巡视指导，之后请一位同学到黑板上展示） 学生在黑板上的解题过程： 解：5x - 2 ＞ 3x + 4 移项，得 5x - 3x ＞ 4 + 2 合并同类项，得 2x ＞ 6 系数化为 1，得 x ＞ 3 教师：这位同学的解题过程非常规范，步骤和计算都正确。大家都做对了吗？如果有做错的同学，要仔细检查是哪一步出现了问题。 教师：接下来，求解不等式 -3x - 7 ≤ 2x + 8。同样，大家先自己做，然后小组内互相检查。 （学生自主求解，小组检查） 教师：在小组检查的过程中，大家要注意解题步骤是否规范，每一步变形的依据是否正确。哪个小组发现了比较典型的错误可以提出来大家一起分析。 小组代表：我们小组有同学在移项时没有变号，把 -3x - 7 ≤ 2x + 8 移项得到 -3x - 2x ≤ 8 - 7，这是错误的，应该是 -3x - 2x ≤ 8 + 7。 教师：非常好！这个小组发现了一个很常见的错误。移项是根据不等式的基本性质 1，在不等式两边同时加或减同一个数或式子，一定要注意变号。通过这个错误案例，大家要更加牢记移项的规则。 教师：再来看一个稍微复杂一点的不等式，求解 2(3x - 1) - 3(4x + 5) ＜ x - 4。大家先思考一下解题的思路，然后再动手求解。 （学生思考并求解，教师巡视指导） 教师：哪位同学来展示一下自己的解题过程呢？ 学生展示解题过程： 解：2(3x - 1) - 3(4x + 5) ＜ x - 4 去括号，得 6x - 2 - 12x - 15 ＜ x - 4 移项，得 6x - 12x - x ＜ -4 + 2 + 15 合并同类项，得 -7x ＜ 13 系数化为 1，得 x ＞ -13/7 教师：这位同学的解题过程很清晰，步骤完整。在解这个不等式时，首先要去括号，去括号时要注意使用乘法分配律，不要漏乘，并且要注意符号的变化。然后再按照移项、合并同类项、系数化为 1 的步骤进行求解。 教师：最后，我们来看一道实际问题。某商场为了促销，规定购买商品的金额满 200 元可以享受 8 折优惠。小明打算购买一些商品，设商品的原价为 x 元，当小明享受优惠后支付的金额小于 200 元时，求 x 的取值范围。 （学生思考并尝试列不等式求解） 教师：大家先分析一下题目中的数量关系，找到不等关系。小明享受 8 折优惠后支付的金额是 0.8x 元，题目中说享受优惠后支付的金额小于 200 元，所以可以列出不等式 0.8x ＜ 200。现在大家求解这个不等式。 （学生求解） 学生：解：0.8x ＜ 200 系数化为 1，得 x ＜ 200÷0.8，即 x ＜ 250。 教师：非常好！通过这个实际问题，大家看到了一元一次不等式在生活中的应用。在解决实际问题时，关键是要准确找出题目中的不等关系，然后列出不等式进行求解。 四、课堂小结 教师：通过今天的课程，我们学习了一元一次不等式的概念和解法。谁能来总结一下什么是一元一次不等式呢？ 学生：用不等号连接两个整式，并且含有一个未知数，未知数的次数是 1 的式子叫做一元一次不等式。 教师：很好！那求解一元一次不等式的一般步骤是什么呢？ 学生：求解一元一次不等式的一般步骤是移项、合并同类项、系数化为 1。移项依据不等式的基本性质 1，系数化为 1 时要根据除数的正负，依据不等式的基本性质 2 或 3 来确定不等号方向是否改变。 教师：总结得非常全面！我们还通过实际问题的解决，体会了一元一次不等式在生活中的应用。希望同学们在今后的生活中也能运用这些知识，用数学的眼光观察生活中的不等关系，用数学的思维分析问题，用数学的语言表达和解决问题。现在，请大家回顾一下今天所学的内容，看看还有哪些地方不太理解，有疑问的可以提出来。 作业设计 （1）书面作业：教材课后习题中关于一元一次不等式的概念、解法以及实际问题的题目，要求学生认真书写解题过程，规范格式。 （2）拓展作业：让学生观察生活中的实际问题，自己提出一个可以用一元一次不等式解决的问题，并列出不等式进行求解。 （3）小组作业：分组讨论一个较复杂的实际问题，如商场的促销策略优化问题等，每个小组将问题转化为一元一次不等式模型进行求解，并制作一份简单的报告，在下节课进行展示和交流。 学科网（北京）股份有限公司 $$