11：三角恒等变换（全国通用）讲义-2026年高考数学一轮总复习专题

2026数学高考一轮总复习讲义11：三角恒等变换（共17页） 目录 【链接高考】 1 【考向分析】 5 考向一：两角和、差的正、余弦公式 5 考向二：二倍角公式 5 考向三：三角恒等变换的综合 7 【高考解题速通】 8 【链接高考】 1．（2024·广东江苏·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 2．（2023·北京·高考真题）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1). (2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，. 【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值； （2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同． 【详解】（1）因为 所以， 因为，所以. （2）因为， 所以，所以的最大值为，最小值为. 若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在； 若选条件②：因为在上单调递增，且， 所以,所以,, 所以， 又因为，所以， 所以， 所以，因为，所以. 所以，； 若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，即. 以下与条件②相同． 3．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解. 【详解】[方法一]：直接法 由已知得：, 即：， 即： 所以 故选：C [方法二]：特殊值排除法 解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B； 再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C. [方法三]：三角恒等变换 所以 即 故选：C. 4．（2021·浙江·高考真题）设函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解； （2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解. 【详解】（1）由辅助角公式得， 则， 所以该函数的最小正周期; （2）由题意， ， 由可得， 所以当即时，函数取最大值. 【考向分析】 考向一：两角和、差的正、余弦公式 1．在中，内角所对的边分别为，已知 （1）求角的大小； （2）已知，的面积为6，求边长的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由二倍角的余弦公式把降次，再用两个角的和的余弦公式求，由三角形三内角和定理可求得，从而求得角； （2）根据三角形的面积公式求出边，再由余弦定理求边. 【详解】试题分析： （1）由已知得， 化简得， 故，所以， 因为，所以. （2）因为，由，，，所以， 由余弦定理得，所以. 【点睛】本题主要考查了两角和差公式的应用及利用余弦定理解三角形，属于基础题. 考向二：二倍角公式 1．（2025·甘肃白银·三模）函数的最小值和最小正周期分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平方关系及二倍角余弦公式化简，再根据三角函数的性质求解即可． 【详解】因为 ， 所以当时，函数取最小值， 函数的最小正周期为． 故选：C 2．（2025·河北·模拟预测）已知角、满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合两角差的正弦公式及同角三角函数的基本关系可求得，进而根据二倍角公式求解即可. 【详解】由， 则， 则， 则， 又， 则，即， 所以. 故选：D. 考向三：三角恒等变换的综合 1．已知函数 （I）求的值 （II）求的最小正周期及单调递增区间. 【答案】（I）2；（II）的最小正周期是，. 【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值． （Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间． 【详解】（Ⅰ）f（x）＝sin2x﹣cos2xsin x cos x， ＝﹣cos2xsin2x， ＝﹣2， 则f（）＝﹣2sin（）＝2， （Ⅱ）因为． 所以的最小正周期是． 由正弦函数的性质得 ， 解得， 所以，的单调递增区间是． 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解． 2．已知向量互相垂直，其中 （1）求和的值 （2）若，,求的值 【答案】（１）, ∴, 即又∵, ∴,即,∴ 又　,………………6分 (2)∵ ,, 即又, ∴ 【详解】试题分析：（１）, ∴, 即又∵, ∴,即,∴ 又　, (2)∵ ,, 即又, ∴ 考点：向量的数量积以及两角和差的公式 点评：主要是考查了向量的数量积以及两角和差公式的综合运用，属于基础题． 【高考解题速通】 1．（2025·海南·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，利用两角差的正弦公式可求得的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】由可得，即， 由题意可得，解得， 所以. 因此. 故选：D. 2．（2025·福建泉州·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用同角三角函数关系结合已知条件计算得出，再结合两角和余弦公式计算求解. 【详解】因为，且， 所以，， 则. 故选：A. 3．（2025·四川成都·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件求出，再利用倍角公式化简可得结果. 【详解】等式两边平方可得，，即.. 故选：C 4．（2025·广东茂名·二模）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用切化弦可求得，利用诱导化式与二倍角的余弦公式可求的值. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以. 故选：C. 5．（2025·天津和平·三模）设定义在上的函数，，且在区间上有最大值，无最小值，则当取最小值时，的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用二倍角公式和诱导公式化简原函数，得到，再结合题意并利用正弦函数的对称性得到，进而求出的最小值，检验其符合题意，最后利用正弦函数的最小正周期公式求出结果即可. 【详解】因为， 所以由二倍角公式得， 结合诱导公式得， 因为，所以关于对称， 令，则， 因为，所以当时，最小，此时，， 因为，所以， 令，则变为， 由正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 则此时最大值为，无最小值， 得到此时有最大值，无最小值，符合题意， 由正弦函数的最小正周期公式得，故B正确. 故选：B 6．若，则= 【答案】 【详解】试题分析：∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为． 考点：三角恒更变化． 7．（2025·重庆·三模）若，则 . 【答案】 【分析】利用降幂公式，辅助角公式化简条件，再利用二倍角的余弦公式，即可求解. 【详解】由条件可知，， 则，所以. 故答案为： 8．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）若，则 ． 【答案】/0.6 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的正弦公式，结合正余弦齐次式法求值. 【详解】当时， . 故答案为： 9．在中，角所对的边分别为，已知． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据三角形角的关系，代入化简三角函数式，即可求得，进而得角的大小； （2）根据余弦定理，由基本不等式即可求得，再结合三角形边关系求得的取值范围. 【详解】（1）∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． （2）由余弦定理可知， 代入可得， 当且仅当时取等号， ∴，又， ∴的取值范围是． 【点睛】本题考查了三角恒等变形的应用，由余弦定理及基本不等式求边的范围，属于中档题. 10．（2025·陕西·二模）已知函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)若，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由正余弦二倍角公式及辅助角公式化简得到，再由周期公式及整体代入法即可求解； （2）由余弦二倍角公式即可求解. 【详解】（1）， 最小正周期. 令，得. 因此的单调递增区间为. （2）由，得. 所以. 11．（2025·山东济南·一模）如图，已知给定线段长为2，以为底边作顶角为的等腰三角形，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰三角形……依次类推，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰三角形，得到三角形列.    (1)用表示出的外接圆半径； (2)当时，证明：各顶点均在外接圆上或其内部； (3)若各顶点均在外接圆上或其内部，求的取值范围. 【答案】(1); (2)证明见解析； (3)； 【分析】（1）根据三角函数定义即可得到其半径表达式； （2）计算和的表达式，作差得，从而得到的外接圆各点位于的外接圆上或其内部，再反复使用该结论即可； （3）计算得，利用得到不等式，解出，则得到范围. 【详解】（1）设的外接圆半径为，由题意知， ，， 又，故. 故的外接圆半径为. （2）设的外心为，外接圆半径为，的中点为，， 则，，.    注意到的中点也为，故的中垂线与中垂线重合. 由题意知，，均在的中垂线上. 而， ， 故. 另一方面，， 故的外接圆内切于的外接圆. 从而的外接圆各点位于的外接圆上或其内部.① 反复使用结论①可得，的外接圆位于外接圆上或其内部. 故各顶点均在外接圆上或其内部. （3）若满足题意，则位于在外接圆上或其内部，故. 由（2）知， ， 由题意，，即，解得. 故. 当，同上可得. 由（2）知，，共线，故，即. 故，故的外接圆位于外接圆上或其内部. 故各顶点均在外接圆上或其内部，故的范围为. 12．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数． (1)若，求的值域； (2)若关于x的方程有三个连续的实数根，，，且，，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将看成整体角，由求得，判断的单调性，求得函数的值域，继而得的值域； （2）结合函数的图象，得和，，求得，，由方程即可求得值. 【详解】（1） 因，令，则， 因在上单调递增，在上单调递减， 而，故． 则，的值域为． （2）如图，因的最小正周期为， 当时，易得，不满足，故舍去， 当时，依题意：，代入得：． 由，，可得，． 由，，代入，解得，． ，， 当时，，； 当时，，，    故的值为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026数学高考一轮总复习讲义11：三角恒等变换（共4页） 目录 【链接高考】 1 【考向分析】 2 考向一：两角和、差的正、余弦公式 2 考向二：二倍角公式 2 考向三：三角恒等变换的综合 2 【高考解题速通】 3 【链接高考】 1．（2024·广东江苏·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·北京·高考真题）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 3．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2021·浙江·高考真题）设函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的最大值. 【考向分析】 考向一：两角和、差的正、余弦公式 1．在中，内角所对的边分别为，已知 （1）求角的大小； （2）已知，的面积为6，求边长的值. 考向二：二倍角公式 1．（2025·甘肃白银·三模）函数的最小值和最小正周期分别为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北·模拟预测）已知角、满足，且，则（    ） A． B． C． D． 考向三：三角恒等变换的综合 1．已知函数 （I）求的值 （II）求的最小正周期及单调递增区间. 2．已知向量互相垂直，其中 （1）求和的值 （2）若，,求的值 【高考解题速通】 1．（2025·海南·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·福建泉州·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川成都·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广东茂名·二模）若，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·天津和平·三模）设定义在上的函数，，且在区间上有最大值，无最小值，则当取最小值时，的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 6．若，则= 7．（2025·重庆·三模）若，则 . 8．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）若，则 ． 9．在中，角所对的边分别为，已知． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围． 10．（2025·陕西·二模）已知函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)若，求的值. 11．（2025·山东济南·一模）如图，已知给定线段长为2，以为底边作顶角为的等腰三角形，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰三角形……依次类推，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰三角形，得到三角形列.    (1)用表示出的外接圆半径； (2)当时，证明：各顶点均在外接圆上或其内部； (3)若各顶点均在外接圆上或其内部，求的取值范围. 12．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数． (1)若，求的值域； (2)若关于x的方程有三个连续的实数根，，，且，，求a的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$