精品解析：重庆市万州第三中学教育集团2024-2025学年八年级下期四校联考数学试卷

重庆市万州第三中学教育集团2024-2025学年八年级下期四校联考数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，共40分．） 1. 在式子：，，，中，分式的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列图形中不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“炮”的点的坐标分别为，则表示棋子“車”的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将一次函数的图像向下平移2个单位长度后得到直线（ ） A. B. C D. 5. 如果把分式中的x和y都扩大到原来的4倍，那么分式的值（ ） A. 扩大到原来的2倍 B. 扩大到原来的4倍 C. 不变 D. 缩小到原来的 6. 上周周末，小江进行了一次“惊心动魄”的自行车之旅，小江匀速行驶一段路程后，发现了一处“世外桃源”，便停车享受美景，当小江准备拿手机拍照留影时，发现手机掉了，于是小江沿原路原速返回，在路途中幸运地找到了手机（停车捡手机的时间忽略不计），再掉头沿原计划路线以比原速大的速度行驶，则小江离出发点的距离s与时间t的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 分式方程无解，则a的值是( ) A. 3或2 B. 或3 C. -或3 D. 或2 8. 如图，在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，A、B是双曲线上的点，分别过A、B两点作x轴、y轴的垂线段．S1，S2，S3分别表示图中三个矩形的面积，若S3=1，且S1+S2=4，则k值为 （　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 有一组非负整数：．从开始，满足，某数学小组研究了上述数组，得出以下结论：①当，时，；②当，时，；③当，，时，x=3或9；④当，（k为正整数）时，（，n为整数）．其中正确的结论个数有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 据报道，在处理“量子随机线路取样”问题时，全球其他最快超级计算机用时2.3秒的计算量，我国研制的超导量子计算原型机“祖冲之二号”用时大约为0.00000023秒，把数字0.00000023用科学记数法表示为_____________． 12. 函数的自变量的取值范围是_____． 13. 若点在反比例函数图象上，则____（填“>”或“<”或“=”） 14. 已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是__________. 15. 若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为_______． 16. 对于一个四位自然数，各个数位上的数字均不为零，如果满足百位与十位数字之和小于千位数字，同时百位与十位数字之和大于个位数字，就称这个数为“通关数”．对于通关数，将其千位与百位的差替换原来的千位数字，其余数位保持不变，所得结果记为，将其千位与百位的差替换原来的百位数字，其余数位保持不变，所得结果记为，记．例如：当时，，，．若为最大的通关数，则_______；一个通关数的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，若能被6整数，且是一个完全平方数，则满足条件的通关数的最大值与最小值之和为_______． 三、解答题（本大题8个小题，共86分） 17. 计算或解方程： （1） （2） 18 已知y与成反比例函数关系，且当时，． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当时，求y的值． 19. 先化简，，然后从范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的两点，与轴交于点C． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）若点在轴上，且，求点的坐标． 21. 为加强校园消防安全，学校计划购买一批某种型号的水基灭火器和干粉灭火器．已知每个水基灭火器比干粉灭火器贵元，用元购买水基灭火器的个数恰好与用元购买干粉灭火器的个数相同． （1）求水基灭火器和干粉灭火器的单价； （2）学校决定购买水基灭火器、干粉灭火器共个，实际购买时，水基灭火器的售价打九折，干粉灭火器售价不变．学校用于购买两种灭火器的总费用不超过元，最多可购买多少个水基灭火器？ 22. 如图，在中，，，于点，动点P从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，到达点A时停止运动，设点P运动x秒，的面积为． （1）请直接写出y关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质； （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，请直接估计当时x的取值： ；（结果保留一位小数，误差不超过0.2）． 23. 阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ∴． ∴的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： （1）已知，则_________． （2）解分式方程组： （3）已知，，，求的值． 24. 如图1所示，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，． （1）直接写出点A的坐标； （2）在轴上是否存在点，使最小？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由； （3）如图2所示，若点C为x轴正半轴上一动点，以为直角边作等腰直角，，D点在第四象限，连接，求出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市万州第三中学教育集团2024-2025学年八年级下期四校联考数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，共40分．） 1. 在式子：，，，中，分式的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，对应两个整式A、B，其中B中含有字母，那么形如的式子叫做分式，据此求解即可． 【详解】解：在式子：，，，中，分式有，，共2个， 故选：B． 2. 下列图形中不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的概念，熟练掌握对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，是解题的关键． 根据函数的概念：对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，逐项判断即可． 【详解】解：A．对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，不符合题意． B．对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，不符合题意． C．对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，不符合题意． D．对于自变量x的每一个值，因变量y有2个值与它对应，所以y不是x的函数，符合题意． 故选：D． 3. 如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“炮”的点的坐标分别为，则表示棋子“車”的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用坐标表示位置，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据题意建立平面直角坐标系，进而写出棋子“車”的点的坐标即可． 【详解】解：由题意可知，棋子“馬”和“炮”的点的坐标分别为，建立平面直角坐标系如下： ∴表示棋子“車”的点的坐标为， 故选：C． 4. 在平面直角坐标系中，将一次函数的图像向下平移2个单位长度后得到直线（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键．根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可求解． 【详解】解：将一次函数的图像向下平移2个单位长度后得到直线为， 故选：B． 5. 如果把分式中的x和y都扩大到原来的4倍，那么分式的值（ ） A. 扩大到原来的2倍 B. 扩大到原来的4倍 C. 不变 D. 缩小到原来的 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ∴如果把分式中的x和y都扩大为原来的4倍，那么分式的值扩大为原来的4倍， 故选：B． 6. 上周周末，小江进行了一次“惊心动魄”的自行车之旅，小江匀速行驶一段路程后，发现了一处“世外桃源”，便停车享受美景，当小江准备拿手机拍照留影时，发现手机掉了，于是小江沿原路原速返回，在路途中幸运地找到了手机（停车捡手机的时间忽略不计），再掉头沿原计划路线以比原速大的速度行驶，则小江离出发点的距离s与时间t的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象：利用函数图象能直观地反映两变量的变化情况． 分三段看图象，然后根据每段图象大致位置进行判断． 【详解】解：小江先匀速行驶，函数图象为一条过原点的斜线段； 然后发现手机掉了，于是小江沿原路原速返回，函数图象为线段，向下倾斜的程度和第一条线段向上倾斜的程度一样； 然后再掉头沿原计划路线以比原速大的速度行驶，函数图象为斜向上的线段，且倾斜程度变大， 故选：C． 7. 分式方程无解，则a的值是( ) A. 3或2 B. 或3 C. -或3 D. 或2 【答案】A 【解析】 【分析】分两种情况讨论：①分式方程的分母为0时，无解；②分式方程化为形如的整式方程后，如果且，亦无解．据此即可解答． 【详解】解：将化为整式方程得： 整理得： ①∵分式方程无解， ∴ 将代入得： ∴． ②整式方程中， 当时，方程无解， 此时， 综合①②两种情况可知，a的值为3或2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查分式方程无解的情况，分情况讨论分式方程无解的条件是解题关键． 8. 如图，在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答，这也是解题常用的方法．根据正比例函数图象所在的象限判定的符号，根据的符号来判定一次函数图象所经过的象限． 【详解】解： 当时，正比例函数的图象经过一三象限，一次函数的图象应该经过第一、二、四象限，故选项B不符合题意； 当时，正比例函数的图象经过二四象限，一次函数的图象应该经过第一、三、四象限，故选项A不符合题意，选项C符合题意； 正比例函数与一次函数的自变量系数互为相反数，则两直线不平行，故D不符合题意； 故选：C． 9. 如图，A、B是双曲线上的点，分别过A、B两点作x轴、y轴的垂线段．S1，S2，S3分别表示图中三个矩形的面积，若S3=1，且S1+S2=4，则k值为 （　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据S1+S2=4，S1=S2，得出S1，再根据S3=1，得出S1+S3得值，即可求出k=3． 解：∵S1+S2=4， ∴S1=S2═2， ∵S3=1， ∴S1+S3=1+2=3， ∴k=3 故选C． 考点：反比例函数系数k的几何意义． 点评：主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 10. 有一组非负整数：．从开始，满足，某数学小组研究了上述数组，得出以下结论：①当，时，；②当，时，；③当，，时，x=3或9；④当，（k为正整数）时，（，n为整数）．其中正确的结论个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给的式子，分别将，代入计算并找出结果的规律即可得出答案． 【详解】当，时，代入可得： ， ， ， ， ， 故正确； 当，时，代入可得： ， ， ， ， ， ， ， ， ……， 上面的数据，从开始以，，为一个循环，依次出现 故错误； 当，，时，代入可得： ， ， ， 或 解得或 故正确； 当，，（为正整数）时，代入可得： ， ， 为正整数 ， 取时， 故错误 综合上所述错误，①正确 故选： 【点睛】本题考查了数字的变化规律，根据所给的式子，找到运算结果的规律是解题关键． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 据报道，在处理“量子随机线路取样”问题时，全球其他最快的超级计算机用时2.3秒的计算量，我国研制的超导量子计算原型机“祖冲之二号”用时大约为0.00000023秒，把数字0.00000023用科学记数法表示为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 函数的自变量的取值范围是_____． 【答案】x≤3且x≠2 【解析】 【详解】分析：根据分母不能为零且被开方数是非负数，可得答案． 详解：由题意，得 3-x＞0且x-2≠0， 解得x≤3且x≠2， 故答案为x≤3且x≠2． 点睛：本题考查了函数自变量的取值范围，利用分母不能为零且被开方数是非负数是解题关键． 13. 若点在反比例函数的图象上，则____（填“>”或“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】先确定的图像在一，三象限，且在每一象限内，随的增大而减小，再利用反比例函数的性质可得答案． 【详解】解：＞ 的图像在一，三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， ＞ ＜ 故答案为： 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，掌握利用反比例函数的图像与性质比较函数值的大小是解题的关键． 14. 已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是__________. 【答案】且 【解析】 【分析】解出分式方程，根据解是非负数求出m的取值范围，再根据x＝1是分式方程的增根，求出此时m的值，得到答案． 详解】去分母得， m−3＝x−1， 解得x＝m−2， 由题意得，m−2≥0， 解得，m≥2， x＝1是分式方程的增根，所有当x＝1时，方程无解，即m≠3， 所以m的取值范围是m≥2且m≠3． 故答案为：m≥2且m≠3． 【点睛】本题考查的是分式方程的解法和一元一次不等式的解法，理解分式方程的增根的判断方法是解题的关键． 15. 若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为_______． 【答案】11 【解析】 【分析】先解不等式组，再解分式方程，从而确定a的取值，进而解决此题． 【详解】解：解不等式，得． 解不等式，得． 关于的不等式组无解， ． ． ， ． ． ． ． 关于的分式方程有正整数解， 且或或或． 或（当，此时是增根，故舍去）或或． 综上：或7． 满足条件的整数和为． 故答案为：11． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组、解分式方程，熟练掌握一元一次不等式组以及分式方程的解法是解决本题的关键． 16. 对于一个四位自然数，各个数位上的数字均不为零，如果满足百位与十位数字之和小于千位数字，同时百位与十位数字之和大于个位数字，就称这个数为“通关数”．对于通关数，将其千位与百位的差替换原来的千位数字，其余数位保持不变，所得结果记为，将其千位与百位的差替换原来的百位数字，其余数位保持不变，所得结果记为，记．例如：当时，，，．若为最大的通关数，则_______；一个通关数的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，若能被6整数，且是一个完全平方数，则满足条件的通关数的最大值与最小值之和为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查数式的新定义计算，涉及有理数的运算，列代数式，整式的加减运算，不等式的性质，熟练读懂新定义，并可以根据新定义列式是解题的关键．根据定义即可得出最大的“通关数”为，再计算即可；由题意，可得，，， 求出，进而得到是3的倍数，的值可能为，再根据a的取值结合是一个完全平方数，来决定通关数的最大值与最小值，从而确定即可解答． 【详解】解：根据为最大的“通关数”， 当千位上的数字为9时，百位上的数字为7，则十位上的数字1，个位上的数字为7， ∴最大的“通关数”为， ∴， ∵， ∴，， ∴； 由题意，可得，，， ∴， ∴， ∵能被6整数， ∴是6的倍数， ∴是3的倍数， ∵，，，， ∴的值可能为：， ∵，， ∴，，， ∴， ∴或或或， 当最小时，即时，通关数可能存在最小值， 此时，没有符合的b值（舍去）； ∴当时，通关数可能存在最小值， 此时，符合条件，则， 当时，是一个完全平方数，即， ∴通关数的最小值为； 当最大时，即时，通关数可能存在最大值， 此时，时，通关数最大，则， ∴是一个完全平方数或是一个完全平方数， ∴或（舍去）， ∴通关数的最大值为； ∴通关数的最大值与最小值之和为， 故答案为：；． 三、解答题（本大题8个小题，共86分） 17. 计算或解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解分式方程，熟练掌握运算法则和解分式方程的步骤是解题的关键． （1）分别计算有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂和化简绝对值，再进行加减计算； （2）先去分母化为整式方程求解，再检验即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 解得：， 经检验：是增根， ∴原方程无解． 18. 已知y与成反比例函数关系，且当时，． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当时，求y的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了函数．熟练掌握待定系数法求函数解析式，求函数值，是解决问题的关键． （1）设该函数的解析式为根据时，，求得，即得； （2）把代入（1）中所得解析式即得． 小问1详解】 ∵y与成反比例函数关系， ∴设该函数的解析式为， ∵时，， ∴， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为：； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，． 19. 先化简，，然后从范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 【答案】，时，原式． 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代入一个使分式有意义的x的值计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∵， ∴当是，原式． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的两点，与轴交于点C． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）若点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，一次函数与几何综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B坐标，再把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数即可； （2）根据函数图象找到反比例函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案； （3）先求出点C坐标，再根据三角形面积公式建立方程求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解；把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 把代入到中得：，解得， ∴， 把，代入到中得：，解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由函数图象可得，当反比例函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或 ∴当时，或； 【小问3详解】 解；在中，当时，， ∴， ∵点在轴上，且， ∴，即， ∴， ∴点P的坐标为或． 21. 为加强校园消防安全，学校计划购买一批某种型号的水基灭火器和干粉灭火器．已知每个水基灭火器比干粉灭火器贵元，用元购买水基灭火器的个数恰好与用元购买干粉灭火器的个数相同． （1）求水基灭火器和干粉灭火器的单价； （2）学校决定购买水基灭火器、干粉灭火器共个，实际购买时，水基灭火器的售价打九折，干粉灭火器售价不变．学校用于购买两种灭火器的总费用不超过元，最多可购买多少个水基灭火器？ 【答案】（1）水基灭火器每个的价格是元，干粉灭火器每个的价格是元 （2）最多可购买个水基灭火器． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程以及一元一次不等式的应用，理清题意，正确列出分式方程和一元一次不等式是解答本题的关键． （1）设水基灭火器每个的价格是元，则干粉灭火器每个的价格是元，根据“用元购买水基灭火器的个数恰好与用元购买干粉灭火器的个数相同”列出分式方程，解之即可； （2）设购买个水基灭火器，则购买个干粉灭火器，根据“学校用于购买两种灭火器的总费用不超过元”列出一元一次不等式，解出的取值范围，即可得解． 【小问1详解】 解：设水基灭火器每个的价格是元，则干粉灭火器每个的价格是元， 根据题意得：，解得， 经检验，是原方程的解，也符合题意， ， 答：水基灭火器每个的价格是元，干粉灭火器每个的价格是元； 【小问2详解】 解：设购买个水基灭火器， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 最大取， 答：最多可购买个水基灭火器． 22. 如图，在中，，，于点，动点P从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，到达点A时停止运动，设点P运动x秒，的面积为． （1）请直接写出y关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质； （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，请直接估计当时x的取值： ；（结果保留一位小数，误差不超过0.2）． 【答案】（1）； （2）图象见解析，性质见解析 （3）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，三线合一定理，掌握一次函数与反比例函数综合应用是解题的关键． （1）由三线合一得到，则由勾股定理得到，进而可得；当点P在上时，过点D作于E，根据等面积法求出，则； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再写出对应函数的性质即可； （3）根据函数图象找到两函数的交点坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴， 由勾股定理得，， 如图，当点P在上时，， ∴， 即； 如图，点P在上时，过点D作于E， ， ∴， ∵， ∴， 综上所述，； 【小问2详解】 解：画图象： 列表： x ⋯ 1 3 ⋯ y ⋯ 2 6 ⋯ 描点连线得：如图， 画的图象： 列表： x ⋯ 3 8 ⋯ y ⋯ 6 0 ⋯ 描点连线得：如图，不包含和这两点 描点连线得：如图， 由函数图象可知，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小； 【小问3详解】 解：由图象得，当时，或． 23. 阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ∴． ∴的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： （1）已知，则_________． （2）解分式方程组： （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）3； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减法，解二元一次方程组，解分式方程，倒数，理解例题的思路是解答本题的关键． （1）已知等式变形求出的值即可； （2）由 ，解此方程组即可得解； （3）已知三等式变形后相加求出值，原式变形后代入计算即可求出值． 【小问1详解】 解：由，得到， ∴， ∴， 故答案为：3； 【小问2详解】 解：由 得 ∴， 得， ∴， 把代入得， ∴， 经检验，，是原方程的解， ∴原方程组的解为； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴ ． 24. 如图1所示，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，． （1）直接写出点A的坐标； （2）在轴上是否存在点，使最小？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由； （3）如图2所示，若点C为x轴正半轴上一动点，以为直角边作等腰直角，，D点在第四象限，连接，求出的度数． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，轴对称最短路径问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）过点A作于M，则可得到，据此可得答案； （2）作点A关于y轴的对称点G，连接，则， 由轴对称的性质可得，可证明当B、P、G三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此利用两点距离计算公式求出的长即可得到答案； （3）设，则，分三种情况讨论如下：①当点C在线段上时，过点D作轴于E，证和全等得，，据此可证为等腰直角三角形，则，由此可得的度数； ②当点C与点M重合时，此时点D与点C重合，不存在， ③当点C在的延长线上时，过点D作轴于N，同理可证和全等得，，进而再证为等腰直角三角形得，由此可得的度数，综上所述即可得的度数． 【小问1详解】 解：如图所示，过点A作于M， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，作点A关于y轴的对称点G，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当B、P、G三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴最小值为； 【小问3详解】 解；∵点C为x轴正半轴上一动点， ∴可设，则， 由（1）可知：，， 分三种情况讨论如下： ①当点C在线段上时，过点D作轴于E，如图2所示： 此时， ∵为等腰直角三角形，且， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， 则， 又∵， ∴； ②当点C与点M重合时，则， 此时点D与点C重合，不存在， ③当点C在的延长线上时，过点D作轴于N，如图3所示： 此时， 同理可证， ∴，， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ 又∵， ∴． 综上所述：当点D不与点M重合时，的度数为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$