串讲 幂的运算（考点串讲，5大考点+6大题型剖析+5个易错+押题预测）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版2024）

七年级数学下学期·期末复习大串讲 串讲 幂的运算（5考点&6题型） 目 录 01 02 04 03 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 五大常考点：知识梳理 六大题型典例剖析 五大易错易混经典例题+针对训练 精选5道期中真题对应考点练 考点透视 考点一：同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即， am·an＝am＋n (m，n都是正整数). 注：(1) 底数必须相同. (2) 适用于两个或两个以上的同底数幂相乘 (3) 逆运用常考am＋n= am·an 考点透视 考点二：幂的乘方与积的乘方 幂的乘方. 幂的乘方，底数不变，指数相乘. 即： (am)n＝amn(m，n都是正整数). 积的乘方. 积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即， (ab)n＝anbn(n是正整数). 考点透视 考点三：同底数幂的除法 同底数幂相除，底数不变，指数相减.即 am÷an＝am－n (a≠0，m，n都是正整数，m＞n). 注：(1)底数必须相同. (2)适用于两个或两个以上的同底数幂相除. (3)逆运用常考am-n= am÷an 考点透视 考点四：零指数幂与负整数指数幂 1.零指数幂. 任何不等于0的数的零次幂都等于1. a0＝1 （a≠0） 2.负整数指数幂. a≠0，p是正整数 考点透视 考点五：科学记数法 a×10-n（其中1≤|a|＜10，n是整数） 一般地，一个绝对值小于1的数可以用科学记数法表示为： (2) n从左起第一个非零数前零的个数. 注意: (1) 1≤|a|＜10 ， 题型剖析 题型一：同底数幂相乘 【例1】计算： (1)(–3)7×(–3)6 ； (2) ； (4) b2m·b2m+1 . (3) –x3·x5； 解： 注意： 1.公式中的底数和指数可以是一个数、字母或一个式子. 2.计算同底数幂的乘法时，要注意算式里面的负号是属于幂的还是属于底数的． 归纳总结 【变式】计算： (1) (-b)3·b·(-b)2 (2) （x-2)2·(x-2)3+(x-2)2·(2-x)3 (1)解:原式=-b3bb2 =-b3+1+2 =-b6 (2)解:原式=(x-2)2+3-(x-2)2+3 =(x-2)5-(x-2)5 =0 【变式】（1）已知a2=m，a3=n 求a5 （2）已知4×22m=16，求（m-2）2021-m 解:（1）a5=a2a3=mn (2)4×22m=22×22m=22+2m=24 ∴2+2m=4 ∴ m=1 （m-2）2021-m =(1-2)2021-1 =1 【变式】计算：(1)(x－y )2 • (x－y ) • (x－y )5； (2)(a＋b)2 • (a＋b)5； (3)(x＋3)3 • (x＋3)5 • (x＋3)． 解：(1)(x－y )2·(x－y )·(x－y )5＝(x－y )2＋1＋5＝(x－y )8； (2)(a＋b)2·(a＋b)5＝(a＋b)2＋5＝(a＋b)7； (3)(x＋3)3·(x＋3)5·(x＋3)＝(x＋3)3＋5＋1＝(x＋3)9. 题型剖析 题型二：幂的乘方 【例2】 计算： (1) (102)3； (2) (b5) 5 ； (3) (an) 3 (4) －(x2)m；(5) (y2)3 • y ； (6)2 (a2)6 － ( a3) 4 解：(1) (102)3= 102×3 = 106; (2) (b5)5 = b5×5 = b25 ; (3) (an) 3 = an×3 = a3n ; (4) －(x2)m = －x2×m = －x2m ; (5) (y2)3 • y = y2×3 • y = y7 ; (6)2 (a2)6－(a3)4=2a2×6－a3×4=2a12－a12=a12 . 归纳总结 幂的乘方，底数 ，指数 . (am)n=amn (m,n都是正整数) 不变 相乘 幂的乘方法则 注意：公式中的a可以是具体的数，也可以是单项式或 多项式，当底数为多项式时，应将其视为整体。 【变式】如果3m+2n=6，求8m×4n的值. 解： 8m×4n =(23)m·(22)n =23m·22n =23m+2n =26 =64 【变式】在255，344，433，522这四个幂中，数值最大的一个是—————. 解：255=25×11=(25)11=3211 344=34×11=(34)11=8111 433=43×11=(43)11=6411 522=52×11=(52)11=2511 所以数值最大的一个是344. 【变式】计算： (1) (103)3 ; (2) －(a2)5 ; (3) (x3)4 · x2 ; (4) [(－x)2 ]3 ; (5) (－a)2(a2)2; (6) x·x6 – (x2)2· x3 . 解: (1)(103)3=109； (2)－(a2)5=－a10； (3)(x3)4 · x2 =x12·x2=x14； (4) [(－x)2 ]3=(x2)3=x6； (5)(－a)2(a2)2=a2· a4=a6； (6)x·x6 – (x2)2· x3=x7-x4·x3=0 【变式】已知 am=2，an=3, 求:（1）a2m ，a3n的值； 解:(1) a2m =(am)2 =22 =4， a3n =(an)3 = 33=27； (3) a2m+3n = a2m. a3n =(am)2. (an)3 =4×27=108. （3）a2m+3n 的值. （2）am+n 的值; (2) am+n = am.an =2×3=6； 题型剖析 题型三：积的乘方 【例3】计算： (1) (3x)2； (2) (－b)5 ； (3) (－2xy)4； (4) (3a2)n . 解：(1) (3x)2 = 32x2 = 9x2 ； (2) (－b)5 = (－1)5b5 = －b5 ； (3) (－2xy)4 = (－2)4 x4y4 = 16x4y4 ； (4) (3a2)n = 3n(a2)n = 3na2n . 归纳总结 简单记忆：积的乘方=乘方的积 积的乘方等于每个因式分别乘方后的积. 想一想：三个或三个以上的积的乘方等于什么？ (abc)n = anbncn（n是正整数） (ab)n = anbn（n是正整数） 【变式】计算： 0.1252020×(-23)2021 解：0.1252020×(-23)2021 =0.1252020×(-8)2021 =0.1252020×(-8)2020×（-8） =[0.125×(-8)]2020×(-8) =(-1)2020×(-8) =-8 【变式】用简便方法计算： (1) (2)0.125 2019×(－8 2020)． 解：（1） (2)0.1252019×(－8 2020) ＝－0.1252019×8 2020 ＝－0.125 2019×82020×8 ＝－(0.125×8)2019×8 ＝－12019×8 ＝－8. 【变式】计算：（-3a2）3-a·a5+（4a3）2. 解：（-3a2）3-a·a5+（4a3）2 =-27a6-a6+16a6 =-12a6. 【变式】已知10x=a，5x=b，求50x的值. 【变式】已知2x+5y-9=0,求4x·32y的值.(结果用同底数幂表示) 解：50x=（10×5）x=10x×5x=ab． 解：由2x+5y-9=0，得2x+5y=9. 所以4x·32y=22x·25y=22x+5y=29. 【变式】计算： 已知3×9m×27m=321，求m的值； 解：因为3×9m×27m=321， 所以3×32m×33m=321. 所以31+5m=321. 所以1+5m=21. 解得m=4. 题型剖析 题型四：同底数幂的除法 【例4】计算： (1) a7÷a4 ； (2) (－x)6÷(－x)3 ； (3)－m8÷m2 ； (4) (xy)4÷(xy) ；(5) b2m + 2÷b2 ； 解：(1) a7÷a4 = a7－4 = a3 ； (2) (－x)6÷(－x)3 = (－x)6－3 = (－x)3 = －x3 ； (3)－m8÷m2=－m8-2=－m6； (4) (xy)4÷(xy) = (xy)4－1 = (xy)3 = x3y3 ； (5) b2m+2÷b2 =b2m + 2－2 =b2m. 归纳总结 这就是说，同底数幂相除，底数不变，指数相减. 一般地，设m、n为正整数，且m>n，a≠0 ，有： 同底数幂除法法则： am÷an=am-n ①同底数幂相除运算中，相同底数可以是不为0的数字或字母，或单项式、多项式． ②同底数幂相除运算中，也可以是两个或两个以上的同底数幂相除，幂的底数必须相同，相除时指数才能相减． 【变式】计算： (1)－m8÷m2 ÷m3； (2)(x－y)5÷(y－x)2. 分析：将相同底数幂直接利用同底数幂除法法则计算， 把不同底数幂化成相同底数幂，再利用同底数 幂除法法则计算可得结果． 解：(1) －m8÷m2÷m3 =－m8-2 ÷m3 =－m6÷m3 =－m6-2=－m4 ； (2)原式＝(x－y)5÷(x－y)2＝(x－y)5－2＝(x－y)3. 【变式】已知am＝12，an＝2，a＝3，求am－n－1的值． 解：∵am＝12，an＝2，a＝3， ∴am－n－1＝am÷an÷a＝12÷2÷3＝2. 【变式】计算：　　　　　　　　　　　　　 (1)4n＋1÷43n＋1; (2)8n÷8n＋2. 解：原式＝4n＋1－(3n＋1)＝4－2n＝ 解：原式＝8n－(n＋2)＝8－2＝ 【变式】已知3m＝5，3n＝2，求32m－3n＋1的值. 解：∵3m＝5，3n＝2 ∴原式＝(3m)2÷(3n)3×3 ＝52÷23×3 ＝25÷8×3 ＝ 题型剖析 题型五：零指数幂与负整数指数幂 【例5】用小数或分数表示下列各数： （1）10－3； （2）70×8－2； （3）1.6×10－4. 解：（1） （2） （3） 【变式】计算 的结果是(　　)　　　　　　　　　　　　　　 A. －4 B. 4 C. D. B 【变式】计算4－(－4)0的结果是(　　)　　　　　　　　　　　　　 A. 3 B. 0 C. 8 D. 4 A 【变式】计算：　　　　　　　　　　　　　　 (1) (2)a－4÷a－6. 解：原式＝ ＝27＝128 解：原式＝a－4－(－6)＝a2. 【变式】计算：　　　　　　　　　　　　　　 (3)5－4÷5－3; (4)(－3)0÷(－3)－3. 解：原式＝5－4－(－3)＝5－1＝ 解：原式＝(－3)0－(－3)＝(－3)3＝－27 题型剖析 题型六：科学记数法表示绝对值小于1的数 【例6】用科学记数法表示下列各数： (1)0.000 04；(2)0.034；(3)0.000 000 45. 解：(1)0.000 04＝4×10-5； (2)0.034＝3.4×10-2； (3)0.000 000 45＝4.5×10-7. 分析：数清每个数中左起第一个非0的数字前面有几个0，用科学记数法表示时10的指数就是负几. 【变式】纳米是非常小的长度单位，1nm=10-9m.把1nm3的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上，1mm3的空间可以放多少个1nm3的物体（物体之间隙忽略不计）？ 答：1mm3的空间可以放1018个1nm3的物体. 解： 【变式】把下列用科学记数法表示的数还原： (1)7.2×10-5；(2)1.5×10-4. 分析：(1)n＝－5，还原后的数中7前面有5个0(包括最后整数部分的那个0)； (2)n＝－4，还原后的数中1 前面有4个0(包括最后整数部分的那个0)． 解：(1)7.2×10－5＝0.000 072； (2)1.5×10－4＝0.000 15. 【变式】某颗粒物的直径是0.0000025米,把0.0000025用科学记数法表示为　　　　. 【变式】据测算,5万粒芝麻的质量约为200 g,那么一粒芝麻的质量约为　　　　g.(用科学记数法表示) 2.5× 10-6 4× 10-3 【变式】用科学记数法表示下列各数： 0.000 000 72； 0.000 861； 0.000 000 000 342 5 解：(1)0.000 000 72＝7.2×10-7. (2)0.000 861＝8.61×10-4. (3)0.000 000 000 342 5＝3.425×10-10. 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 1．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：A. ,故原计算错误，不符合题意； B. ,故原计算错误，不符合题意； C. ,故原计算正确，符合题意； D. ,故原计算错误，不符合题意； 故选：C ． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如果 ，那么a、b、c三数的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了有理数的大小比较，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握零指数幂和负整数指数幂的运算法则． 先由零指数幂和负整数指数幂，乘方的运算法则求出 ，再根据有理数的大小比较方法比较即可． 【详解】解： ， ∴ ， 故选：B． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若 ，则x的值为 ． 【详解】解：当 ，且 时， 解得 ； 当 时， ； 当 时， ，不符合题意． 所以x的值是 或4． 故答案为： 或4． 4．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知 ， ， ， 为正整数，则 （用 ， 表示）． 【详解】解： ， 故答案为： ． 5．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知 ， ， (1)求 的值； (2)求 的值； (3)直接写出a、b、c之间的数量关系为______． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ； （2）∵ ， ， ∴ ； （3）解：∵ ， ， ， ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 1．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）若 ，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：B． 2．（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知 ，则 的值为 ． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ； 故答案为：16． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知 ，则 的值为 ． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：8． 4．（24-25七年级下·江苏常州·期中）已知 ， ，求： (1) 的值； (2) 的值． 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴ ． （2）解：∵ ， ， ∴ ． 5．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如果 ，那么我们规定 ．例如：因为 ，所以 ． (1)根据上述规定，计算： ______， ______； (2)记 ， ， ．探究 、 、 三者之间的等量关系，并给出理由； (3)若 ，则 ______． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 故答案为： ； （2）解： ，理由如下， 记 ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解： 如果 ，那么我们规定 ， 设 ， ， 若 ，则 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，即 ， 故答案为： ． 6．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）若 （ 且 ，m、n是正整数），则 ．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果 ，求x的值； (2)如果 ，求x的值； (3)若 ， ，用含x的代数式表示y（结果需要化简）． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，解得： ； （2）∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （3）∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即 ． 7．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）定义一种幂的新运算： ，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求 的值； (2)若运算 的结果为108，求t的值； (3) ， ， ，则 的值为 ． 【详解】（1）解：由题意得： ． （2）解：由题意得： ， ∵运算 的结果为108， ∴ ， ∴ ， ∴ ． （3）解：∵ ， ， ， ∴ ， 故答案为：21． $$