甘肃省兰州市兰州交通大学附属中学2024-2025学年九年级下学期阶段性检测数学试卷

2024-2025学年度第二学期交大附中总、分校九年级阶段性检测 参考答案与试题解析 一．选择题（共11小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B B C A B C C A B A 二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 12．（3分）分解因式：ax2﹣2ax+a＝　a（x﹣1）2　 ． 13．（3分）如图1，太原古县城始建于明洪武八年（1375年），城内历史建筑遗存众多，十字街格局清晰，沿袭了晋阳古城“城池凤翔余”的古老建筑格局，犹如一只头北尾南的凤凰，自古就有“凤凰城”的美誉．如图2，现将古县城的三个景点放在平面直角坐标系中，若县衙和城隍庙两个景点的坐标分别为（﹣3，2），（﹣1，﹣3），则魁星楼的坐标为 　（2，1）　 ． 14．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为的中点，若∠D＝125°，则∠DAB的度数为　70　 °． 15．（3分）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AC＝6，BD＝8，则AE的长是 　　 ． 三．解答题（共11小题，满分75分） 16．（5分）计算：． 【解答】解： ＝431 ＝231 ＝﹣1． 17．（5分）已知x2+x﹣3＝0，求代数式的值． 【解答】解： • • ， ∵x2+x﹣3＝0， ∴x2+x＝3， 当x2+x＝3时，原式3． 18．（5分）用公式法解方程：3x2﹣4x﹣8＝0． 【解答】解：3x2﹣4x﹣8＝0， Δ＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣8）＝112＞0， ∴， ∴． 19．（7分）为大力弘扬中华优秀传统文化，引导学生从千年中华传统文化中汲取养分，推动文化自信自强．某校开展了“诵国家经典，承传统文化”朗诵比赛活动，七年级和八年级各有400名学生参加竞赛，学校为了解这两个年级的成绩情况，进行了抽样调查，过程如下： 收集数据 从七、八两个年级各随机抽取20名学生，在这次竞赛中他们的成绩如下： 七年级70 70 80 90 80 80 90 60 100 80 80 80 90 90 70 90 70 70 100 60 八年级60 70 80 70 70 90 60 90 90 90 70 90 100 70 70 60 90 90 90 100 整理数据 成绩x 人数 年级 60≤x≤75 75＜x≤90 90＜x≤100 七年级 7 11 2 八年级 9 9 2 （说明：优秀成绩为90＜x≤100，良好成绩为75＜x≤90，合格成绩为60≤x≤75） 分析数据 两组样本数据的平均分、中位数、众数、方差如表所示： 平均分 中位数 众数 方差 七年级 80 80 b 130 八年级 80 a 90 170 请解答下列问题： （1）a＝ 　85　 ；b＝ 　80　 ； （2）估计八年级参加此次竞赛的学生中达到良好成绩以上的学生有多少名？ （3）小明认为七，八年级竞赛成绩的平均数相等，因此两个年级的成绩一样好，你认为小明的说法正确吗？请你用所学的统计知识说明理由．（写出一条即可） 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）利用样本估计总体思想求解即可； （3）根据中位线和众数以及方差进行解答即可（答案不唯一）． 【解答】解：（1）∵八年级学生的竞赛成绩从小到大排列第10、11个数为80，90， ∴中位数a＝（80+90）÷2＝85， ∵七年级中得分80的人数最多， ∴众数b＝80； 故答案为：85，80； （2）400220（名）， 答：估计八年级参加此次竞赛的学生中达到良好成绩以上的学生有220名； （3）小明的说法不正确， 理由如下：因为两个年级的平均数相同，但八年级学生的中位线和众数都比七年级大，因此不能说两个年级成绩一样好． 【点评】本题主要考查平均数、方差、中位数、众数、用样本估计总体和频数（率）分布表，掌握各个概念和计算方法是解题的关键． 20．（7分）有这样一道尺规作图题： 如图，点A，B，C在⊙O上，连接AB，AC．求作：的中点D． 下面是小东的作法： 分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧在BC右侧交于点E，作射线OE交⊙O于点D，则点D即为所求． （1）在图中根据小东的作法画出点D，试判断小东的作法是否正确，并说明理由． （2）请在备用图中再给出一种作图方法．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【分析】（1）按照小东的作法作出点D，连接OB，OC，BE，CE，利用SSS可证△OBE≌△OCE，根据全等三角形的性质可证∠BOD＝∠COD，根据圆周角定理可证点D是的中点； （2）利用尺规作图作∠BAC的平分线交⊙O于点D，根据圆周角定理可知点D即为的中点． 【解答】解：（1）小东的作法正确，理由如下： 如图所示，连接OB，OC，BE，CE， 在△OBE和△OCE中， ， ∴△OBE≌△OCE（SSS）， ∴∠BOD＝∠COD， ∴D是的中点； （2）如图所示，以点A为圆心，任意长度为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F，分别以点E、F为圆心大于为半径画弧，两弧交于点P，连接AP交⊙O于点D，点D即为所求． 【点评】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定与性质． 21．（7分）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A的坐标为（2，1）． （1）求反比例函数的表达式和点B的坐标． （2）当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围． （3）过点A作AC⊥y轴于点C，连接BC．求△ABC的面积． 【分析】（1）利用待定系数法可求出反比例函数的表达式，根据对称性可求出点B的坐标； （2）根据图像即可求解； （3）根据题意可求出点C的坐标，进而求出OC的值，最后根据，即可求解． 【解答】解：（1）把A（2，1）代入， 得：k＝2×1＝2， ∴反比例函数的表达式为， ∵A、B关于原点对称， ∴B（﹣2，﹣1）； （2）根据图像可知，当y1＞y2时，x的取值范围为：﹣2＜x＜0或x＞2； （3）根据题意得：C（0，1）， ∴OC＝1， ∴． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，解题的关键是数形结合． 22．（7分）甘肃黄河楼，耸立在黄河之滨，见证了母亲河的壮丽与传奇，是弘扬黄河文化的标志性建筑．如图，小军想利用无人机测量黄河楼的高度BC，无人机在点A处测得黄河楼顶部点B的俯角∠DAB为45°，黄河楼底端点C的俯角∠DAC为71.5°，此时无人机与黄河楼的水平距离AD为47m，点D、B、C在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求黄河楼的高度BC．（参考数据：sin71.5°≈0.95，cos71.5°≈0.32，tan71.5°≈3.00） 【分析】在Rt△ABD和Rt△ACD中，分别利用锐角三角函数求出BD，CD的长，即可得BC的长． 【解答】解：∵无人机在点A处测得黄河楼顶部点B的俯角∠DAB为45°，黄河楼底端点C的俯角∠DAC为71.5°， ∴∠BAD＝45°，∠DAC＝71.5°， 在Rt△ABD中，AD＝47m， ∴BD＝ADtan∠BAD＝47•tan45°＝47（m）， 在Rt△ACD中，∠DAC＝71.5°， ， 解得CD＝141， ∴BC＝CD﹣BD＝141﹣47＝94（m）． ∴黄河楼的高度BC为94m． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 23．（7分）投掷实心球是一项重要的体育项目，一般情况下，实心球在空中运动的曲线符合抛物线的一部分．某学生在实心球投掷过程中，监测到球在头部上方出手的瞬间高度是1.8米，水平距离3米时达到最大高度，最大高度为3.2米． （1）如图，以该学生所在直线为y轴，球落地的水平距离所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求该实心球运动时符合的抛物线解析式（不必写出取值范围）； （2）若实心球落地后距离投掷点8.4米以上为满分，通过计算说明这名同学实心球成绩是否达到满分． 【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣3）2+3.2，将（0，1.8）代入解得a即可； （2）令，解得x，与8.4比较即可． 【解答】解：（1）由题意，可设抛物线的表达式为y＝a（x﹣3）2+3.2， 将（0，1.8）代入y＝a（x﹣3）2+3.2，得9a+3.2＝1.8， 解得． ∴该实心球运动时符合的抛物线解析式为； （2）令， 解得（负值已舍去）， ∴实心球出手点与着陆点的水平距离为7.5． 7.5＜8.4 ∴这名同学实心球成绩不能得满分． 【点评】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，延长CA交⊙O于点F，连接BF． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）连接OE，若BF，FC＝10，求OE的长． 【分析】（1）连接OD，则OD＝OB，所以∠ODB＝∠ABC，由AB＝AC，得∠C＝∠ABC，则∠ODB＝∠C，所以OD∥AC，则∠ODE＝∠DEC＝90°，即可证明DE是⊙O的切线； （2）连接OE，延长DO交BF于点H，可证明四边形DEFH是矩形，由AB＝AC，BF＝2，FC＝10，OH⊥BF，得AF＝10﹣AC＝10﹣AB，DE＝FH＝BH，则（2）2+（10﹣AB）2＝AB2，求得AB＝6，则ODAB＝3，所以OE． 【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB， ∴∠ODB＝∠ABC， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC于点E， ∴∠ODE＝∠DEC＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线． （2）解：连接OE，延长DO交BF于点H， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠F＝90°， ∵∠HDE＝∠DEF＝90°， ∴四边形DEFH是矩形， ∴∠DHF＝90°， ∵AB＝AC，BF＝2，FC＝10，OH⊥BF， ∴AF＝10﹣AC＝10﹣AB，DE＝FH＝BHBF， ∵BF2+AF2＝AB2， ∴（2）2+（10﹣AB）2＝AB2， 解得AB＝6， ∴ODAB＝3， ∴OE， ∴OE的长为． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定定理、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 25．（8分）如图①，已知正方形ABCD和等腰直角△AEF，∠BAD＝∠EAF＝90°，连接DF，BE． （1）【问题发现】如图①，线段BE与DF的数量关系为 　BE＝DF　 ，位置关系为 　BE⊥DF　 ； （2）【问题探究】如图②，将△AEF绕点A旋转，再将DF绕点F顺时针方向旋转90°至FM，连接BM，探究线段EF与线段BM的数量及位置关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】将△AEF绕点A旋转至AF∥BE，延长DF交直线AB于H、交BE于G，若FH＝4，DF＝9，求出BG的长． 【分析】（1）延长DF交BE于点N，证明△ABE≌△ADF（SAS），∠ADF+∠AEB＝90°，∠DNE＝180°﹣（∠ADF+∠AEB），DN⊥BE，进而即可作答； （2）延长DF交BE于N，交AB于H，推出△AEF是等腰直角三角形，∠EAF＝90°，△AEB≌△AFD，∠BNH＝∠HAD＝90°，FM＝BE，∠DEM＝∠FNB，则FM∥BE，推出四边形BEFM为平行四边形，即可作答； （3）分两种情况情况：分别作答即可． 【解答】解：（1）延长DF交BE于点N， ∵△AEF为等腰直角三角形，四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD＝∠EAF＝90°，AE＝AF，AB＝AD， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴∠ABE＝∠ADF，BE＝DF， ∵∠ABE+∠AEB＝90°， ∴∠ADF+∠AEB＝90°， ∴∠DNE＝180°﹣（∠ADF+∠AEB）＝90°， ∴DN⊥BE， 即DF⊥BE， 故答案为：BE＝DF，BE⊥DF； （2）如图，延长DF交BE于N，交AB于H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∴△AEF是等腰直角三角形，∠EAF＝90°， ∴AE＝AF， ∴∠EAB＝∠DAF， ∴△AEB≌△AFD（SAS）， ∴DF＝BE， ∴∠ADF＝∠NBA， ∴∠NHB＝∠AHD， ∴∠BNH＝∠HAD＝90°， ∵DF＝FM，∠DFM＝90°， ∴FM＝BE，∠DEM＝∠FNB， ∴FM∥BE， ∵四边形BEFM为平行四边形， ∴EF＝MB，EF∥BM； （3）分两种情况情况一： 如图， ∵AF∥BE，∠EAF+∠AEG＝180°， ∴∠EAF＝∠AEG＝90°， 由（1）得∠FGE＝90°， ∴四边形AEGF为正方形， ∴∠AFD＝90°，EG＝AF， ∵∠HAD＝90°， ∴∠HAF＝∠ADF， ∴△AFH∽△DFA， ∴， ∴AF2＝FH•DF， ∵FH＝4，DE＝9， ∴AF＝6， ∴BG＝BE﹣EG＝DF﹣AF＝3； 情况二：如图， 同理得EG＝AF，AF＝6， ∴BG＝BE+EG＝DF+AF＝15， 综上所述：BG的长为3或15． 【点评】本题考查正方形综合题，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是分类讨论思想的应用． 26．（9分）在平面直角坐标系xOy中，对于⊙O和图形W，给出如下定义：若图形W上任意两个不同点P，Q，⊙O上存在两点A，B，使得PA＝QB，则称图形W为⊙O的“平衡图形”． （1）如图1，⊙O的半径为1 ①点（4，0）．在线段C1D1，C2D2，C3D3中，线段　C1D1和C2D2　 是⊙O的“平衡图形”； ②若直线yx+b（b＞0）与坐标轴交于点E，F，线段EF为⊙O的“平衡图形”．则b的取值范围是　0＜b≤4　 ； （2）如图2，点．若△GMN是⊙O的“平衡图形”，直接写出⊙O的半径r的取值范围． 【分析】（1）①根据定义判断求解即可； ②过点O作OG⊥EF于G，则G到⊙O上任意一点距离d1满足，再根据EF上任意一点中，OG最短，OF最长，且F到⊙O上任意一点距离d2满足b﹣1≤d2≤b+1，因此，进而得解； （2）由三点坐标易得∠GMO＝30°，过O做OH⊥GM于点H，则OHOM＝2，此时△GMN三边上到O距离最近点为H，△MGN三边上到O距离最远点的点为N，ON＝3，再由新定义可得即，进而得解． 【解答】解：根据定义，若图形W上不同点P，Q，⊙O上存在两点A，B，使得PA＝QB， 即点P到⊙O上任意一点距离范围与点Q到⊙O上任意一点距离范围有公共解集即可． （1）①对于C1D1，可知C1到⊙O上任意一点距离d1满足1≤d1≤3， C2到⊙O上任意一点距离d2满足， 故显然C1D1是⊙O的平衡图形； 对于C2D2，同理可知C2到⊙O上任意一点距离d1满足， D2到⊙O上任意一点距离d2满足， ∵， 故C2D2是⊙O的平衡图形； 同理C3的d1满足0≤d1≤2，D3的d2满足3≤d2≤5， ∵2＜3， ∴C3D3不是⊙O的平衡图形， ∴线段C1D1和C2D2是⊙O的“平衡图形； 故答案为：C1D1和C2D2； ②若EF与⊙O相离时，即b＞2时， 过点O作OG⊥EF于G，此时， 则G到⊙O上任意一点距离d1满足， ∵EF上任意一点中，OG最短，OF最长，且F到⊙O上任意一点距离d2满足b﹣1≤d2≤b+1， 要使得线段EF为⊙O的“平衡图形”， 则需要， 解得b≤4， 当EF与⊙O相切或相交时，只会改变d1与d2的最小值， 当F在⊙O内部时，则需要，显然成立， ∴0＜b≤4； 故答案为：0＜b≤4； （2）如图，设GN与y轴交于点L， ∵，M（0，4），N（6，﹣3）， ∴GL，ML＝OM+PL＝7， ∴tan∠MGL， ∴∠MGL＝60°，∠GMO＝30°， 过O做OH⊥GM于点H，则OHOM＝2， 此时△GMN三边上到O距离最近点为H， △MGN三边上到O距离最远点的点为N，ON3， 当r足够小时，要使得△GMN是⊙O的“平衡图形”， 则H到⊙O上任意一点距离范围为2﹣r≤d≤2+r，N到⊙O上任意一点距离范围为， 只要满足这两段范围有公共部分即可， 即， 解得， 当H在⊙O内部，N在⊙O外部或H、N在⊙O均符合题意， 综上，． 【点评】本题主要考查了以圆为背景的新定义题型，正确理解题意是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/6/1 15:05:02；用户：陈斌；邮箱：18298313701；学号：38918004 第1页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页（共 4页） 2024-2025 学年度第二学期交大附中总、分校九年级阶段性检测 一．选择题（共 11 小题，满分 33 分，每小题 3 分） 1．（3分）手机移动支付给生活带来便捷．如图是小陈某某天微信账单的全部收支明细（正数表示收入， 负数表示支出，单位：元），小陈当天微信收支的最终结果是（ ） A．收入 36元 B．支出 26元 C．收入 10元 D．支出 10元 2．（3分）随着 2025年全民健身热潮兴起，运动 APP备受欢迎．下列运动 APP的图标中，是中心对称图 形的是（ ） A． B． C． D． 3．（3分）据网络平台数据，截至 2025年 3月 5日 18时 25分，电影《哪吒之魔童闹海》观影人次突破 300000000．成为中国影史首部观影人次突破 300000000 的电影．将 300000000 用科学记数法表示为 （ ） A．3×107 B．3×108 C．3×109 D．30×108 4．（3分）下列运算正确的是（ ） A．a5﹣a3＝a2 B．5a2•2a2＝10a2 C．（﹣2a）3＝﹣8a3 D．a6÷a6＝a 5．（3分）在一个由工程车搭建的创意展览场景中，小明站在工程车旁边观察，发现从某个角度看，工作 篮底部 AB与支撑平台 CD平行．若∠1＝30°，∠3＝150°，则∠2的度数为（ ） A．60° B．50° C．40° D．30° 6．（3分）不透明袋子中仅有 2个白球，1个红球，这些球除颜色外无其他差别．从中随机摸出 1个球， 放回并摇匀、再从中随机摸出一个球，则两次摸出的都是红球的概率是（ ） A． 2 3 B． 1 9 C． 4 9 D． 1 4 7．（3分）如图，四边形 ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C＝100°，则∠A的度数为（ ） A．100° B．90° C．80° D．70° 8．（3分）某农业合作社在春耕期间采购了 A，B两种型号无人驾驶农耕机器．已知每台 A型机器的进价 比每台 B型机器进价的 2倍少 0.7万元；采购相同数量的 A，B两种型号机器，分别花费了 21万元和 12.6万元．若设每台 B型机器的进价为 x万元，根据题意可列出关于 x的方程为（ ） A．12.6x＝21（2x﹣0.7） B． 21 � = 12.6 2�−0.7 C． 21 2�−0.7 = 12.6 � D． 21 � = 2 × 12.6 � − 0.7 9．（3分）随着人工智能技术的不断突破，人形机器人行业备受关注，未来行业将持续保持高速发展．如 图是某机构对 2025～2030年全球人形机器人市场规模预测的数据： 根据预测数据，下列分析正确的是（ ） ①2025∼ 2030年全球人形机器人市场规模逐年增长； ②2025～2030年全球人形机器人市场规模增长率逐年增大； ③2025～2030年全球人形机器人市场总规模超 7000亿元； ④若保持与 2030年相同的年增长率，到 2032年全球人形机器人市场规模将超万亿元． A．①④ B．①② C．②③④ D．①②④ 10．（3分）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，中国被誉为制扇王国．小旭 制作了一把扇形纸扇，如图，OA＝20cm，OB＝5cm，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不 计）的夹角∠AOC＝120°，现需在扇面一侧绘制水墨画，则水墨画所在纸面的面积为（ ） A． 400 3 ���2 B．125πcm2 C． 75 3 ���2 D．150πcm2 第 5 题图 第 7 题图 第 10 题图 第 2页（共 4页） 11．（3分）下面的三个问题中都有两个变量： ①某水池有水 15m3，现打开进水管进水，进水速度为 5m3/h，x小时后，这个水池有水 y m3； ②某电信公司手机的 A类收费标准为：每部手机每月必须缴月租费 12元，另外，通话费按 0.2元/min 计．若一个月的通话时间为 x min，应缴费用为 y元； ③用长度为 1的铁丝围成一个矩形，设矩形的面积为 y，其中一边长 x． 其中，变量 y与变量 x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二．填空题（共 4 小题，满分 12 分，每小题 3 分） 12．（3分）分解因式：ax2﹣2ax+a＝ ． 13．（3分）如图 1，太原古县城始建于明洪武八年（1375年），城内历史建筑遗存众多，十字街格局清晰， 沿袭了晋阳古城“城池凤翔余”的古老建筑格局，犹如一只头北尾南的凤凰，自古就有“凤凰城”的 美誉．如图 2，现将古县城的三个景点放在平面直角坐标系中，若县衙和城隍庙两个景点的坐标分别 为（﹣3，2），（﹣1，﹣3），则魁星楼的坐标为 ． 14．（3分）如图，四边形 ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点 C为��的中点，若∠D＝125°，则 ∠DAB的度数为 °． 15．（3分）如图，在菱形 ABCD中，AE⊥BC于点 E，AC＝6，BD＝8，则 AE的长是 ． 第 14 题图 第 15 题图 三．解答题（共 11 小题，满分 75 分） 16．（5分）计算：4���45° − 18 + | − 2| − (� + 3)0． 17．（5分）已知 x2+x﹣3＝0，求代数式(1 + 3�−1 ) ⋅ 3 �2+4�+4的值． 18．（5分）用公式法解方程：3x2﹣4x﹣8＝0． 19．（7分）为大力弘扬中华优秀传统文化，引导学生从千年中华传统文化中汲取养分，推动文化自信自 强．某校开展了“诵国家经典，承传统文化”朗诵比赛活动，七年级和八年级各有 400名学生参加竞 赛，学校为了解这两个年级的成绩情况，进行了抽样调查，过程如下： 收集数据 从七、八两个年级各随机抽取 20名学生，在这次竞赛中他们的成绩如下： 七年级 70 70 80 90 80 80 90 60 100 80 80 80 90 90 70 90 70 70 100 60 八年级 60 70 80 70 70 90 60 90 90 90 70 90 100 70 70 60 90 90 90 100 整理数据 成绩 x 人数 年级 60≤x≤75 75＜x≤90 90＜x≤100 七年级 7 11 2 八年级 9 9 2 （说明：优秀成绩为 90＜x≤100，良好成绩为 75＜x≤90，合格成绩为 60≤x≤75），分析数据 两组样本数据的平均分、中位数、众数、方差如表所示： 平均分 中位数 众数 方差 七年级 80 80 b 130 八年级 80 a 90 170 请解答下列问题： （1）a＝ ；b＝ ； （2）估计八年级参加此次竞赛的学生中达到良好成绩以上的学生有多少名？ （3）小明认为七，八年级竞赛成绩的平均数相等，因此两个年级的成绩一样好，你认为小明的说法正 确吗？请你用所学的统计知识说明理由．（写出一条即可） 第 3页（共 4页） 20．（7分）有这样一道尺规作图题： 如图，点 A，B，C在⊙O上，连接 AB，AC．求作：��的中点 D． 下面是小东的作法： 分别以点 B，C为圆心，大于 1 2 BC的长为半径画弧，两弧在 BC右侧交于点 E，作射线 OE交⊙O于点 D，则点 D即为所求． （1）在图中根据小东的作法画出点 D，试判断小东的作法是否正确，并说明理由． （2）请在备用图中再给出一种作图方法．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 21．（7分）如图，正比例函数�1 = 1 2 �的图象与反比例函数�2 = � �的图象交于 A，B两点，其中点 A的坐 标为（2，1）． （1）求反比例函数的表达式和点 B的坐标． （2）当 y1＞y2时，请直接写出 x的取值范围． （3）过点 A作 AC⊥y轴于点 C，连接 BC．求△ABC的面积． 22．（7分）甘肃黄河楼，耸立在黄河之滨，见证了母亲河的壮丽与传奇，是弘扬黄河文化的标志性建筑．如 图，小军想利用无人机测量黄河楼的高度 BC，无人机在点 A处测得黄河楼顶部点 B的俯角∠DAB为 45°，黄河楼底端点 C的俯角∠DAC为 71.5°，此时无人机与黄河楼的水平距离 AD为 47m，点 D、 B、C在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求黄河楼的高度 BC．（参考数据：sin71.5°≈0.95， cos71.5°≈0.32，tan71.5°≈3.00） 23．（7分）投掷实心球是一项重要的体育项目，一般情况下，实心球在空中运动的曲线符合抛物线的一 部分．某学生在实心球投掷过程中，监测到球在头部上方出手的瞬间高度是 1.8米，水平距离 3米时 达到最大高度，最大高度为 3.2米． （1）如图，以该学生所在直线为 y轴，球落地的水平距离所在的直线为 x轴，建立平面直角坐标系， 求该实心球运动时符合的抛物线解析式（不必写出取值范围）； （2）若实心球落地后距离投掷点 8.4米以上为满分，通过计算说明这名同学实心球成绩是否达到满分． 24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以 AB为直径的⊙O交 BC于点 D，过点 D作 DE⊥AC，垂足 为点 E，延长 CA交⊙O于点 F，连接 BF． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）连接 OE，若 BF= 2 5，FC＝10，求 OE的长． 第 4页（共 4页） 25．（8分）如图①，已知正方形 ABCD和等腰直角△AEF，∠BAD＝∠EAF＝90°，连接 DF，BE． （1）【问题发现】如图①，线段 BE与 DF的数量关系为 ，位置关系为 ； （2）【问题探究】如图②，将△AEF绕点 A旋转，再将 DF绕点 F顺时针方向旋转 90°至 FM，连接 BM，探究线段 EF与线段 BM的数量及位置关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】将△AEF绕点 A旋转至 AF∥BE，延长 DF交直线 AB于 H、交 BE于 G，若 FH＝4， DF＝9，求出 BG的长． 26．（9分）在平面直角坐标系 xOy中，对于⊙O和图形 W，给出如下定义：若图形 W上任意两个不同点 P，Q，⊙O上存在两点 A，B，使得 PA＝QB，则称图形 W为⊙O的“平衡图形”． （1）如图 1，⊙O的半径为 1 ①点�1( − 2，0)，�2(0， 1 2 )，�3(1，0)，�1( − 1，1)，�2(1，2)，�3（4，0）．在线段 C1D1，C2D2， C3D3中，线段 是⊙O的“平衡图形”； ②若直线 y= 3x+b（b＞0）与坐标轴交于点 E，F，线段 EF为⊙O的“平衡图形”．则 b的取值范围 是 ； （2）如图 2，点�( − 73 3， − 3)，�(0，4)，�(6， − 3)．若△GMN是⊙O的“平衡图形”，直接写 出⊙O的半径 r的取值范围．